Chuyên đề 8 hình học

Câu (Tuyển sinh tỉnh Bình Định năm 2018-2019) S Cho hình vng ABCD Gọi diện tích phần giao S2 diện tích phần cịn lại hình vng nằm S1 S ngồi hai nửa đường nói (như hình vẽ bên).Tính hai nửa đường trịn đường kính AB AD B C S2 S1 D A Lời giải B C S3 S2 S4 S1 D A Gọi a cạnh hình vng ABCD Ta cm được: a   .90 a a      S3 S4          360  2  2 2 a    a    a2    S1 S3  S4              2  2  2 2 a    a2    S2  a        2  2  4 a2       S1  2    S2 a         2 4 Do Câu (Tuyển sinh tỉnh Bình Định năm 2018-2018) Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH , biết AB 5cm ; BH 3cm Tính  AH , AC sinCAH Lời giải AB  AH  BH 2 2 2 Áp dụng Pitago vào tam giác vuông ABH  AH  AB  BH 5  16  AH 4( cm ) Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông ABC AH 16 AH BH CH  CH    cm  BH 16 25 BC BH  CH 3    cm  3 Do Áp dụng Pitago vào tam giác vuông CH 16 20 sinCAH   :  CA 3 16 25 400 AC CH BC    3 20  AC  cm ) ABC C H 3cm A Câu 5cm B (Tuyển sinh tỉnh Bình Định năm 2018-2018)  H  BC  Biết BH 3cm, BC 9cm Cho tam giác ABC vuông A có AH đường cao Tính độ dài AB Lời giải A B H C Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABC vuông A , đường cao AH ta có: AB2 BH.BC  AB2 3.9  AB  27 3  cm  Câu (Tuyển sinh tỉnh An Giang năm 2018-2019) Cho tam giác ABCnội tiếp đường tròn tâm O Gọi M, N, P trung điểm cạnh AB, BC, CA a) Chứng minh tứ giác BMON nội tiếp đường tròn b) Kéo dài AN cắt đường tròn (O) G khác A Chứng minh ON = NG  c) PN cắt cung nhỏ BG đường trịn (O) F Tính số đo OFP Lời giải A P M O E B N C F G OM  AB   a) Do ABC M, N lần lư ợt trung điểm AB, AC    OMB  ONB 90 ON  BC   XÐt tø gi¸c BMON cã :OMB  ONB 90  90 180 BMON tứ giác nội tiếp b) Do O trọng tâm ABC nê n ON OA R (tính chất đư ờng trung tuyến) 2 Mà OG ON  NG  NG OG  ON R  R R R  VËy NO NG  (dpcm) 2 c) Gọi E giao điểm OC PN Do ABC nê n OC AB mà NO / /AB (do NP đư ờng trung bìn h tam giác ABC) suy OC NP E nê n OEF vuông E Xét ONC vuông N có NE đư ờng cao NO OE.OC  OE  ON R  (¸p dơng hƯ thøc l­ ỵng ) OC R OE    XÐt  vu«ng OEF cã :sin OFE sin OFP     OFP 14 028' OF R Câu (Tuyển sinh tỉnh An Giang năm 2018-2019) Cầu vòm dạng cầu đẹp hình dáng cầu uốn lượn theo cung tròn tạo hài hòa thiết kế cảnh quan, đặt biệt là khu thị có dịng sông chảy qua, tạo điểm nhấn công trình giao thơng đại Một cầu vịm thiết kế hình vẽ, vịm cầu  cung tròn AMB Độ dài đoạn AB 30m, khoảng cách từ vị trí cao vịm cầu so với mặt sàn cầu đoạn MK có độ dài 5m Tính chiều dài vịm cầu Lời giải M A B K O N Gi ¶ sư AMB cung tròn đư ờng tròn tâm O.Ta vẽ ®­ êng kÝnh MN ®ã M lµ ®iĨm chÝnh cung AB OM AB K trung điểm AB AK AB 15(m) AK 15 Xét AKM vuông K ta cã :tan AMK   3 MK   Tam giác OMA cân O OA OM R  OMA OAM arctan     AOM 180  (OMA  OAM) 180  arctan OAB cã OA OB R  AOB c©n Osuy đư ờng cao đồng thời phân giác.ưKhi :AOB 2AOK 360 arctan 73, R.n .25.73, 70  32,18(m) 180 180 (Tuyển sinh tỉnh An Giang năm 2018-2019) VËy ®é dµi cung AMB lµ :l  Câu Cho đường trịn (O;R) điểm A nằm ngồi đường trịn Kẻ cát tuyến AMN khơng qua (O) (M nằm A N) Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với (O;R) (B C hai tiếp điểm C tuộc cung nhỏ MN) Đường thẳng BC cắt MN AO E F Gọi I trung điểm MN a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn  b) Chứng minh EB.EC = EM.EN IA phân giác BIC c) Tia MF cắt (O;R) điểm thứ hai D Chứng minh AMF ∽AON BC //DN d) Giả sử OA = 2R Tính diện tích tam giác ABC theo R Lời giải C M A N I E O F D B  a) Vì AB tiếp tuyến (O) tiếp điểm B  AB  OB hay ABO 90  Vì AC tiếp tuyến (O) tiếp điểm C  AC  OC hay ACO 90   Tứ giác ABOC có ACO  ABO 90 nên tứ giác ABOC nội tiếp đường trịn đường kính AO b) Xét EMB  ECN có:   EMB ECN (hai góc nội tiếp chắn cung NB)   EBM ENC (hai góc nội tiếp chắn cung MC)  EMB ∽ ECN ( gg )  EM EB   EB.EC EM EN EC EN   Vì AB, AC tiếp tuyến (O) tiếp điểm B C nên AOB  AOC AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Vì I trung điểm MN  OI  MN (quan hệ vuông góc đường kính dây)  AIO 900  I nằm đường trịn đường kính OA Xét đường trịn đường kính OA ta có: AIC  AOC; AIB  AOB (hai góc nội tiếp chắn cung)   Mà AOB  AOC   AIC  AIB hay IA phân giác BIC c) Vì AB = AC OB = OC nên AO đường trung trực BC  AO vng góc với BC F 2 Xét  AOC vuông C, đường cao CF ta có AF.AO  AC FC FA.FO    Xét ACM  ANC có: ACM  ANC A chung  ACM ∽ ANC ( gg )   AF AO  AM AN  AC AM   AC  AM AN AN AC AF AM  AN AO Xét AMF AON có: A chung; AF  AM  AMF ∽AON( cgc ) AN AO Xét  FCM FDB có:   FCM FDB (hai góc nội tiếp chắn cung MB)   CFM DFB (đối đỉnh)  FCM ∽FDB  FM FC  FB FD  FM FD FB.FC FC  FM FD FA.FO  FM FA  FO FD Xét FMA FOD có: FM FA  MFA OFD  FO FD    FMA ∽FOD( cgc )  FMA FOD   Mà FMA FON    FON FOD    FON FOD có: FO cạnh chung, FON FOD , ON = OD  FN FD Vì FN = FD ON = OD  FO đường trung trực ND  FO  ND mà FO  BC  ND//BC d) Xét  AOC vng C ta có: OA2  AC  OC  AC OA2  OC 4 R  R 3R  AC R Xét  AOC vuông C ta có:    CAO 300  CAB 600  sin CAO  OC R   OA R   ABC có AB = AC CAB 600   ABC tam giác  đường cao S BCA h  AB 3R  2 1 3R 3R  h AB   R  (dvdt ) 2 Câu (Tuyển sinh tỉnh Bắc Giang năm 2018-2019) Cho tam giác nhọn ABC Đường trịn tâm O đường kính BC cắt cạnh AB, AC điểm M , N ( M B, N C ) Gọi H giao điểm BN CM ; P giao điểm AH BC a) Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp đường tròn b) Chứng minh BM BA BP.BC c) Trong trường hợp đặc biệt tam giác ABC cạnh 2a Tính chu vi đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMHN theo a d) Từ điểm A kẻ tiếp tuyến AE AF đường trịn tâm O đường kính BC ( E , F tiếp điểm) Chứng minh ba điểm E , H , F thẳng hàng Lời giải A M E B N F H P O C  a) + Chỉ AMH 90 ANH 900   nên M N thuộc đường trịn đường kính AH ( AMH  ANH 180 ) Vậy tứ giác AMHN nội tiếp đường tròn 0   b)Tứ giác AMPC có APC 90 (do H trực tâm tam giác ABC) AMC 90 nên tứ giác AMPC nội tiếp đường trịn đường kính AC (Hoặc hai tam giác BMC tam giác BPA đồng dạng) BM BC  Chỉ BP BA Từ suy BM.BA = BP.BC c) Đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMHN có đường kính AH Tam giác ABC nên trực tâm H trọng tâm 2 AB 2a  AH  AP   3 ( tính bán kính đường trịn ngoại a R  AH  ) tiếp tứ giác AMHN Chu vi đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMHN  AH = 2 a ( Hoặc tính chu vi đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMHN theo công thức 2 R ) 2 a Kết luận : Vậy chu vi đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMHN AH AE   AE AP d) Ta có AH.AP = AM.AB = AE AH AE   Hai tam giác AHE AEP có AE AP EAP chung nên tam giác AHE   đồng dạng với tam giác AEP suy AHE  AEP (1)   Tương tự, ta có: AHF  AFP (2) Mặt khác: tứ giác AFOP AEOF nội tiếp đường trịn đường kính AO nên năm điểm A,E,P,O,F thuộc đường trịn đường kính AO   Suy tứ giác AEPF nội tiếp đường tròn nên AEP  AFP 180 (3) 0      Từ (1),(2) (3)  AHE  AHF  AEP  AFP 180  EHF 180 Vậy ba điểm E, H, F thẳng hàng Câu (Tuyển sinh tỉnh Bắc Cạn năm 2018-2019) Cho đường trịn (O) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn (O) Trên tia Ax lấy điểm C, từ điểm C vẽ đường thẳng cắt đường tròn (O) hai diểm D E (D, E không nằm nửa mặt phẳng bở AB; D nằm C E) Từ điểm O kẻ OH vng góc với DE H a) Chứng minh tứ giác AHOC nội tiếp b) Chứng minh AD.CE=AC.AE c) Đường thẳng CO cắt tia BD, tia BE M N chứng minh tứ giác AMBN hình bình hành Lời giải C M D H A B O E N  a) v× Ax tiÕp tuyÕn  CAO 90   XÐt tø gi¸c AOHC cã :CAO  CHO 90  90 180 CAOH tứ giác nội tiếp b) Xét ADC vµ EAC cã :     chung CAD AEC (cïng ch¾n AD); C  ADC EAC (g  g) AD AC    AD.EC AC.AE (dpcm) EA EC Câu (Tuyển sinh tỉnh Bạc Liêu năm 2018-2019) Cho nửa dường trịn tâm O đường kính AB Vẽ bán kính CO vng góc với AB, M điểm tùy ý cung AC (M khác A C điêm cung AB), BM cắt AC H Gọi K chân đường vng góc kẻ từ H đến AB a) Chứng minh tứ giác BCHK tứ giác nội tiếp b) Chứng minh CA phân giác góc MCK c) Kẻ CP vng góc với BM (P thuộc BM) đoạn thẳng BM lấy điểm E cho BE = AM Chứng minh ME=2CP Lời giải C M H A E P K O B   XÐt tø gi¸c BCHK cã :HCB 90 (gãc néi tiÕp ch¾n nưa ®­ êng trßn);HKB 90 (gt)    HCB  HKB 90  90 180 VËy tứ giác CHKB tứ giác nội tiếp (dpcm)  b) Tø gi¸c BCKH néi tiÕp  ACK MBA (cïng ch¾n cung HK)   MCA MBA (cïng ch¾n cung MA)      ACK MBA MCA hay CA tia phân giác MCK c) XÐt CMA vµ CEB cã : MA EB (gt); MAC EBC (cùng chắn cung MC) CA CB (CAB vuông cân)  CMA CEB (cgc)  CM CE  CME c©n C CEM Mà CMB CAB 450 (cïng ch¾n CB) 45  MCE 90 Vậy CME vuông cân ưC Mà CP ME (gt) nê n CP đư ờng cao trung tuyến CME Do PM PN CP ME 2CP Câu 10 (Tuyển sinh tỉnh Bắc Ninh năm 2018-2019) Cho đường trịn đường kính AB , điểm C , D nằm đường trịn cho C , D nằm khác phía   đường thẳng AB , đồng thời AD  AC Gọi điểm cung nhỏ AC , AD M , N ; giao điểm MN với AC , AD H , I ; giao điểm MD CN K   a) Chứng minh ACN DMN Từ suy tứ giác MCKH nội tiếp