Chuyên đề 8 hình học

Câu (Tuyển sinh tỉnh Quang Nam năm 2019-2020) Cho hình vng ABCD Gọi S1 diện tích phần giao hai nửa đường trịn đường kính ường trịn đường trịn đường kính ường kính AB AD S2 diện tích phần cịn lại hình S1 S vng nằm ngồi hai nửa đường trịn đường kính ường nói (như hình vẽ bên).Tính B C S2 S1 D A Lời giải B C S3 S2 S4 S1 D A Gọi a cạnh hình vng ABCD Ta cm đường trịn đường kính ược: a   .90 a a      S3 S4          360  2  2 2 a    a    a2    S1 S3  S4              2  2  2 2 a    a2    S2  a        2  2  4 a2       S1  2    S2 a         2 4 Do đường trịn đường kính ó Câu (Tuyển sinh tỉnh Cần Thơ năm 2019-2020) Anh Bình đường trịn đường kính ứng vị trí A cách đường trịn đường kính ài kiểm sốt khơng lưu 50 m nhìn thấy đường trịn đường kính ỉnh C đường trịn đường kính ài góc 55 so với phương nằm ngang (như hình vẽ bên dưới) Biết khoảng cách từ mắt anh Bình đường trịn đường kính ến mặt đường trịn đường kính ất 1,7 m Chiều cao BC đường tròn đường kính ài kiểm sốt khơng lưu (làm trịn đường trịn đường kính ến chữ số thập phân thứ hai) A 40, 96 m B 71, 41 m C 42, 96 m Lời giải D 73,11 m Chọn D CK  50.tan 550 HK  CK HK tan CHK Xét HKC vng K ta có Chiều cao BC đường trịn đường kính ài kiểm sốt khơng lưu BC CK  KC 73,11m (Tuyển sinh tỉnh Long An năm 2019-2020) Cho tam giác ABC vuông A có đường trịn đường kính ường  tan CHK  Câu  cao AH , biết AB 5cm ; BH 3cm Tính AH , AC sin CAH Lời giải ABH Áp dụng Pitago vào tam giác vuông AB  AH  BH  AH  AB  BH 52  32 16  AH 4( cm ) 25 BH BC AB  BH.13 5  BH  (cm) 13 Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông ABC AH 16   cm  BH 16 25 BC BH  CH 3    cm  3 Do đường tròn đường kính ó AH BH CH  CH  Áp dụng Pitago vào tam giác vuông CH 16 20 sinCAH   :  CA 3 16 25 400 AC CH BC    3 20  AC  cm ) ABC C H 3cm A Câu 5cm B (Tuyển sinh tỉnh Lâm Đồng năm 2019-2020)Cho tam giác ABC vuông A có AH H  BC  đường trịn đường kính ường cao  Biết BH 3cm, BC 9cm Tính đường trịn đường kính ộ dài AB Lời giải A B H C Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABC vuông A , đường trịn đường kính ường cao AH ta có: AB2 BH.BC  AB2 3.9  AB  27 3  cm  Câu (Tuyển sinh tỉnh Thái Nguyên năm 2019-2020) Cho tam giác ABC vuông A, đường trịn đường kính ường cao AH Biết AB = 10cm, AH = 6cm, Tính đường trịn đường kính ộ dài cạnh AC, BC tam giác ABC Lời giải Ta có: 1  2 AH AB AC 1   2 10 AC 1    36 100 AC 64   36.100 AC 15  AC  (cm) Ta có: AH.BC = AB.AC 15  6.BC = 10 25 (cm)  BC = Câu (Tuyển sinh tỉnh Tây Ninh năm 2019-2020) Cho tam giác  ABC vuông cân  A có đường trịn đường kính ường trung tuyến  BM (  M thuộc cạnh  AC ) Biết  AB 2a Tính theo  a đường trịn đường kính ộ dài  AC ,  AM  BM Lời giải AC  AB 2a AM  AC a BM  AB  AM BM  5a Câu (Tuyển sinh tỉnh Tây Ninh năm 2019-2020) Cho tam giác ABC vuông A Gọi H HB = Độ chân đường trịn đường kính ường cao hạ từ đường trịn đường kính ỉnh A xuống cạnh BC Biết AH = 12cm , HC dài đường tròn đường kính oạn BC A cm B cm C cm Lời giải Chọn B HB   HC 3HB Theo đường tròn đường kính ề ta có: HC Áp dụng hệ thức lượng tam giác ABC vuông A có đường trịn đường kính ường cao AH ta có AH BH HC  12 BH 3BH  BH 4  BH 2  HC 3.HB 3.2 6  BC HB  HC 2  8   cm  D 12 cm Câu (Tuyển sinh tỉnh Vĩnh Long năm 2019-2020) Cho tam giác ABC có AB 4 cm,  AC 4 3cm,  BC 8cm a) Chứng minh tam giác ABC vng   b) Tính số đường trịn đường kính o B,  C đường trịn đường kính ộ dài đường trịn đường kính ường cao AH tam giác ABC Lời giải a) Câu 2 2 2 Ta có: AB 4 16; AC (4 3) 48; BC 8 64  AB  AC 16  48 64 BC  ABC vng A (đường trịn đường kính ịnh lý Pitago đường trịn đường kính ảo) b) Áp dụng tỉ số lượng giác góc nhọn ABC ta có:   AB    B  60 cos B BC    A 180  60  90 30  C 180  B Áp dụng hệ thức lượng ABC vuông A có đường trịn đường kính ường cao AH ta có: AB AC 4.4 AH BC  AB AC  AH   2 cm BC     Vậy B 60 , C 30 , AH 2 cm (Tuyển sinh tỉnh An Giang năm 2019-2020) Cho tam giá c ABC vuông A có AB 4cm, AC 3cm Lấ y đường trịn đường kính iêm̉D thuộc cạnh AB  AB  AD  Đường tròn  O đường tròn đường kính ườ ng kí nh BD cắt CB E , kéo dài CD cắt đường trịn đường kính ườ ng  O  F trò n a)Chưn ́g minh ACED tứ giác nội tiếp b)Biết BF 3cm Tính BC diện tích tam giác BFC  O  đường trịn đường kính iểm G Chứng minh BA tia phân giá c)Kéo dài AF cắt đường trịn đường kính ườ ng trò n c CBG củ a gó c Lời giải C E A D O F G B Chứ ng minh ACED tứ giác nội tiếp  CAD 900 (giả thiết  CED 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn đường kính ường trịn)  Bốn đường trịn đường kính iểm C , D, A, E nằm đường trịn đường kính ường trịn đường trịn đường kính ường kính CD Vậy tứ giác ACED tứ giác nội tiếp Biết BF 3cm Tính BC diện tích tam giác BFC ABC vuông A : BC  AB  AC 42  32 25  BC 5 BFC vuông F : CF BC  BF 52  32 16  CF 4 1 S BFC  BF CF  3.4 6 (cm ) 2   Tứ giác ACBF nội tiếp đường trịn đường kính ường trịn ( CAB CFB 90 )   nên ABC  AFC (cùng chắn cung AC )    Mà ABG  AFC (cùng bù với DFG )  ABC ABG  Vậy BA tia phân giác CBG Câu 10 (Tuyển sinh tỉnh Bình Phước năm 2019-2020) Cho tam giác ABC vng A có đường trịn đường kính ường cao AH đường trịn đường kính ường trung tuyến AM Biết AH 3cm; HB 4cm Hãy tính AB, AC , AM diện tích tam giác ABC Lời giải Cho tam giác ABC vuông A có đường trịn đường kính ường cao AH đường trịn đường kính ường trung tuyến AM Biết AH 3cm; HB 4cm Hãy tính AB, AC , AM diện tích tam giác ABC Lời giải A C H M B 2 Xét AHB vuông H , theo đường trịn đường kính ịnh lí Pitago, ta có: AB  AH  HB AB 32  42 9 16 25  AB  25 5 (cm) Xét ABC vng A , có đường trịn đường kính ường cao AH 1  2 AB AC Theo hệ thức lượng tam giác vng, ta có: AH  1 1 1    2   2 AC AH AB 25  16 225   AC  AC 225 16  AC  225 15  (cm) 16 2 Xét ABC vuông A , theo đường trịn đường kính ịnh lí Pitago, ta có: BC  AB  AC 225 625  15  BC 5    25   16 16  4 2  BC  625 25  (cm) 16 ABC vuông A , AM đường trịn đường kính ường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC 1 25 25  AM  BC    (cm) 2 1 15 75 S ABC  AB AC  5   (cm ) 2 Diện tích tam giác ABC : Câu 11 (Tuyển sinh tỉnh Bắc Ninh năm 2019-2020) Cho tam giác ABC vuông A Gọi H HB = Độ chân đường trịn đường kính ường cao hạ từ đường trịn đường kính ỉnh A xuống cạnh BC Biết AH = 12cm , HC dài đường trịn đường kính oạn BC A cm C cm B cm D 12 cm Lời giải Chọn B HB   HC 3HB Theo đường trịn đường kính ề ta có: HC Áp dụng hệ thức lượng tam giác ABC vng A có đường trịn đường kính ường cao AH ta có AH BH HC  12 BH 3BH  BH 4  BH 2  HC 3.HB 3.2 6  BC HB  HC 2  8   cm  Câu 12 (Tuyển sinh tỉnh Bến Tre năm 2019-2020) Cho tam giác ABC vng A, đường trịn đường kính ường cao AH Biết AB 3cm, AC 4cm Tính đường trịn đường kính ọ  dài đường trịn đường kính ường cao AH , tính cos ACB chu vi tam giác ABH BC 5 AB, AC 12 AH   BC AC cos ACB  BC Lời giải cos ACB  BH  AB  BC 36 Chu vi tam giác ABH là: Câu 13 (Tuyển sinh tỉnh Hậu Giang năm 2019-2020) Cho đường tròn đường kính ường trịn tâm (O) với đường trịn đường kính áy AB cố đường trịn đường kính ịnh khơng phải đường trịn đường kính ường kính Gọi C đường trịn đường kính iểm thuộc cung lớn AB cho tam giác ABC nhọn M, N đường trịn đường kính iểm cung nhỏ AB; AC Gọi I giao đường tròn đường kính iểm BN CM Dây MN cắt AB AC H K a) Chứng minh tứ giác BMHI nội tiếp b) Chứng minh MK.MN MI.MC c) chứng minh tam giác AKI cân K Lời giải   a)Ta có: ABN NMC (hai góc nội tiếp chắn cung hai cung nhau)    HBI HMI  Tứ giác BMHI nội tiếp ( tứ giác có hai đường trịn đường kính ỉnh kề nhìn cạnh góc nhau)   b)Ta có MNB ACM (hai góc nội tiếp chắn cung hai cung nhau)    MNI MCK Xét tam giác MIN tam giác MKC ta có:  NMC : chung   MNI MCK  cmt   MIN MKC  g  g   MI MK   MK.MN MI.MC MN MC   c)Ta có MNI MCK (cmt) nên tứ giác NCIK nội tiếp     HKI NCI NCM ( góc ngồi góc đường trịn đường kính ỉnh đường trịn đường kính ối diện tứ giác nội tiếp)  sdMN  NMC  (góc nội tiếp nửa số đường trịn đường kính o cung bị chắn) Lại có      AHN  sdAN  sdBM  sdAN  sdAM  sdMN 2 (góc có đường trịn đường kính ỉnh bên đường trịn đường kính ường trịn)      NCM AHK  HKI AHK  AH / /KI mà chúng vị trí so le   Chứng minh tương tự ta có AKH KHI mà chúng vị trí so le  AK / /HI  AH / /KI   AK / /HI Xét tứ giác AHIK ta có  AHKI hình bình hành (1)    MHB MIB Tứ giác BMHI tứ giác nội tiếp (hai góc nt chắn cung MB)   Tứ giác NCIK tứ giác nội tiếp  NKC KIC (hai góc nt chắn cung NC)     MIB NIC  dd   MHB NKI Mà    AHK AKH  AHK cân H  AH AK   Từ (1) (2)  tứ giác AHIK hình thoi  KA KI  AKI cân K (đường trịn đường kính pcm) Câu 14 (Tuyển sinh tỉnh Nam Định năm 2019-2020) Qua đường tròn đường kính iểm A năm ngồi đường trịn đường kính ường tròn (O) vẽ tiếp tuyến AB, AC đường trịn đường kính ường trịn (B, C tiếp đường trịn đường kính iểm Gọi E trung đường trịn đường kính iểm đường trịn đường kính oạn AC, F giao đường trịn đường kính iểm thứ hai EB với (O) 1)Chứng minh tứ giác ABOC tứ giác nội tiếp ∆CEF  ∆BEC 2)Gọi K giao đường trịn đường kính iểm thứ hai AF với đường trịn đường kính ường tròn (O) Chứng minh BF.CK = BK.CF 3)Chứng minh AE tiếp tuyến đường trịn đường kính ường trịn ngoại tiếp ∆ABF Lời giải B K F O H x A E C 1) Chứng minh tứ giác ABOC tứ giác nội tiếp ∆CEF  ∆BEC Có AB, AC tiếp tuyến đường tròn đường kính ường trịn (O) , B C ác tiếp đường trịn đường kính iểm   AB  OB,  AC  OC  ABO 90 ,  ACO 90   ABO  ACO 900  900 1800 Tứ giác ABOC có trịn + Đường trịn (O) có: nên tứ giác ABOC nội tiếp đường trịn đường kính ường  EBC góc nội tiếp chắn cung CF ECF góc tạo tia tiếp tuyến AC dây cung CF    EBC ECF (góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn cung CF) Xét ∆CEF ∆BEC có  BEC góc chung   EBC ECF (chứng minh trên)  ∆CEF  ∆BEC (g g) 2) Chứng minh BF.CK = BK.CF Xét ∆ABF ∆AKB có  BAK góc chung ABF AKB  (góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn cung BF) BF AF    (1) BK AB   ∆ABF  ∆AKB (g g) Chứng minh tương tự ta có: CF AF      (2) ∆ACF  ∆AKC (g g)  CK AC Mà AB = AC (t/c tiếp tuyến cắt (O)) (3)  BF CF   BF.CK BK.CF BK CK Từ (1), (2) (3)  3) Chứng minh AE tiếp tuyến đường trịn đường kính ường trịn ngoại tiếp ∆ABF Có ∆ECF  ∆EBC (Chứng minh câu a)  EC EF   EC EB.EF EB EC  EA EB.EF  Mà EC = EA (gt) Xét ∆BEA  ∆AEF có: EA EF  EB EA EA EF  EB EA  AEB góc chung      ∆BEA  ∆AEF (c.g.c)  EAF EBA ( hai góc tương ứng) hay EAF ABF Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chưa đường trịn đường kính iểm E, kẻ tia Ax tiếp tuyến đường trịn đường kính ường trịn    ngoại tiếp ABF  EAF xAF (Cùng ABF )  tia AE trùng với tia Ax  AE tiếp tuyến đường trịn đường kính ường tròn ngoại tiếp ∆ABF Câu 15 (Tuyển sinh tỉnh Nghệ An năm 2019-2020)Cho đường trịn đường kính ường trịn (O) có hai đường trịn đường kính ường kính AB MN vng góc với Trên tia đường trịn đường kính ối tia MA lấy đường trịn đường kính iểm C khác đường trịn đường kính iểm M Kẻ MH vng góc với BC (H thuộc BC) a) Chứng minh BOMH tứ giác nội tiếp b) MB cắt OH E Chứng minh ME.MH = BE.HC c) Gọi giao đường trịn đường kính iểm đường trịn đường kính ường trịn (O) với đường trịn đường kính ường tròn ngoại tiếp ∆MHC K Chứng minh đường trịn đường kính iểm C, K, E thẳng hàng Lời giải C M K H E A O B N 0   a) Ta có: MOB 90 (do AB  MN) MHB 90 (do MH  BC) 0   Suy ra: MOB  MHB 90  90 180  Tứ giác BOMH nội tiếp   b) ∆OMB vuông cân O nên OBM OMB (1)