Chuyên đề 8 hình học

CHUYÊN ĐỀ : HÌNH HỌC Câu (Tuyển sinh tỉnh An Giang năm 2017-2018) Cho điểm C thuộc nửa đường trịn đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax nửa đường trịn ( Ax nằm nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AB chứa nửa đường trịn) Tia phân giác góc CAx cắt nửa đường tròn D Kéo dài AD BC cắt E Kẻ EH vuông góc với Ax H a) Chứng minh tứ giác AHEC nội tiếp đường tròn   b) Chứng minh ABD BDC c) Chứng minh tam giác ABE cân d) Tia BD cắt AC Ax F K Chứng minh AKEF hình thoi Lời giải x H K E C D F A B  a) Ta có ACB 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)  Suy ACE 90 (kề bù)   Xét tứ giác AHEC ta có: ACE  AHE 90 , suy tứ giác AHEC nội tiếp đường trịn đường kính AE (tổng hai góc đối diện 180 )   b) Ta có ABCD nội tiếp nên BDC DAC (1) (cùng nhìn cạnh DC ) ABD  AD Lại có: (góc nội tiếp)  DAx  AD (góc tạo tiếp tuyến dây cung) ABD DAx  Suy   DAx DAC Mà (do AD phân giác)   Suy ABD DAC (2)   Từ (1) (2) suy ABD BDC c) Xét DAB DEB có: ADB EDB  90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn – kề bù) BD chung ABD BDC  (cmt)  DAB DEB (g-c-g)  BA BE (tương ứng)  ABE cân B d) Theo câu c) DAB DEB  DA DE  D trung điểm AE (3) Xét DAF DAK có: ADF  ADK 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn – kề bù) AD chung   DAF DAK (do AD phân giác)  DAF DAK (g-c-g)  DK DF (tương ứng)  D trung điểm KF (4) AKEF Từ (3) (4) ta có hình bình hành (tứ giác có đường chéo cắt trung điểm đường) Mà AE  KF  AKEF hình thoi Câu (Tuyển sinh tỉnh Bà Rịa - Vũng Tàu 2017-2018)  O; R  đường kính AB Trên OA lấy điểm H ( H khác O , H khác A ) Qua Cho nửa đường trịn H dựng đường thẳng vng góc với AB , đường thẳng cắt nửa đường tròn C Trên cung BC lấy điểm M ( M khác B , M khác C ) Dựng CK vuông góc với AM K a) Chứng minh tứ giác ACKH nội tiếp đường tròn   b) Chứng minh CHK CBM c) Gọi N giao điểm AM CH Tính theo R giá trị biểu thức P  AM AN  BC Lời giải: M C N A H K O B   Ta có CHA CKA 90  Tứ giác ACKH nội tiếp đường trịn đường kính AC      CHK CAK CAM (do tứ giác ACKH nội tiếp) Mà CAM CBM (cùng chắn cung CM )   Vậy CHK CBM        Ta có ACN = ABC (= 90 - HCB ); ABC = AMC  ACN = AMC  AN AC =  AM.AN = AC AC AM Do ACN ∽ AMC (g.g) C thuộc nửa đường trịn đường kính AB nên tam giác ABC vuông C ,  AC2  BC AB2 2 Vậy P AM.AN  BC AB 4R Câu (Tuyển sinh tỉnh Bà Rịa - Vũng Tàu 2017-2018) Cho ABC nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O ) Hai tiếp tuyến đường tròn (O) B , C cắt D OD cắt BC E Qua D vẽ đường thẳng song song với AB , đường thẳng SABF cắt AC K đường thẳng OK cắt AB F Tính tỉ số diện tích SABC Lời giải: A F B O K E C D        Ta có BAC DBC (cùng chắn BC ), BAC DKC (đồng vị)  DBC DKC  DBKC nội tiếp   Mà: OBD OCD 90 nên điểm B, C , D thuộc đường trịn đường kính OD  K thuộc đường trịn đường kính OD  OK  KD  OK  AB  F trung điểm AB Do OB OC , DB DC  OD trung trực BC  E trung điểm BC S  ΔBEFBEF = S ΔBEFABC Hai tam giác BEF BAC đồng dạng có tỉ lệ đồng dạng Câu (Tuyển sinh tỉnh Bắc Giang năm 2017-2018) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường trịn (C ) tâm O bán kính R Hai đường cao AE BK tam giác ABC cắt H (với E thuộc BC , K thuộc AC ) Chứng minh tứ giác ABEK nội tiếp đường tròn Chứng minh CE.CB CK CA   Chứng minh OCA BAE Cho B , C cố định A di động (C ) thỏa mãn điều kiện tam giác ABC nhọn; H thuộc cung trịn (T ) cố định Xác định tâm I bán kính r đường tròn (T ) , biết R 3 cm Lời giải A K H B O E C M I   Xét tứ giác ABEK có AKB  AEB 90 ( AE  BC , BK  AC ) Hai góc chắn cung AB nên tứ giác ABEK nội tiếp đường trịn Xét hai tam giác vng ACE BCK , chúng có chung góc C nên CE CA    CE.CB CK CA ACE BCK CK CB (dpcm)  OCA 90  AOC (1) Mà tam giác ABC nhọn nên O nằm Tam giác OAC cân O nên ABC  sd AC  AOC 2 tam giác ABC ,  BAE 90  ABC 90  AOC (2) Tam giác ABE vuông E nên   Từ (1) (2)  OCA BAE (dpcm)   Gọi M giao điểm đường thẳng AE với đường tròn (C) Ta có MBC MAC ( chắn      cung MC ) Mà MAC HBC ( phụ với ACB ) nên MBC HBC hay BE phân giác  HBM Tam giác HBM có BE vừa đường cao, đường phân giác góc B nên cân B BE trung trực HM Gọi I điểm đối xứng với O qua đường thẳng BC ( O BC cố định  I cố định) Khi tứ giác HOIM hình thang cân nhận BC trục đối xứng  IH = MO = R hay H cách điểm cố định I khoảng R không đổi nên H thuộc đường trịn tâm I bán kính R Do r = R = cm Câu (Tuyển sinh tỉnh Thái Bình năm 2017-2018) Cho ABC có ba góc nhọn ( AB  AC ), dựng AH vng góc với BC điểm H Gọi M , N theo thứ tự hình chiếu vng góc H AB, AC Đường thẳng MN cắt đường thẳng a b c d BC điểm D Trên nửa mặt phẳng bờ CD chứa điểm A , vẽ nửa đường trịn đường kính CD Qua B kẻ đường thẳng vng góc với CD , cắt nửa đường tròn điểm E Chứng minh tứ giác AMHN tứ giác nội tiếp   Chứng minh EBM DNH Chứng minh DM DN DB.DC Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNE Chứng minh OE  DE Lời giải A E O D B M H N C   a Vì M , N hình chiếu vng góc H AB , AC  AMH  ANH 90   Xét tứ giác AMHN có: AMH  ANH 90  90 180 Do tứ giác AMHN nội tiếp đường trịn b Vì EB  CD (gt), AH  CD (vì AH  BC )  EB // AH    EBM MAH (hai góc so le trong) (1)    Tứ giác AMHN nội tiếp (cmt)  MAH MNH (hai góc nội tiếp chắn MH ) (2)     Từ (1) (2) suy ta EBM MNH , hay EBM DNH   c Ta có: DMB  AMN (hai góc đối đỉnh) (3)    Tứ giác AMHN nội tiếp (cmt)  AMN  AHN (hai góc nội tiếp chắn AN ) (4)  AHC vng H có HN  AC (gt)  ACH  AHN (cùng phụ với CHN )   Hay AHN DCN (5)   Từ (3), (4) (5) suy DMB DCN    Xét DMB DCN có: NDC chung; DMB DCN (cmt) DM DB    DMB ∽ DCN (g.g) DC DN  DM DN DB.DC (6) d EDC nội tiếp đường trịn đường kính CD  EDC vng E Áp dụng hệ thức lượng EDC vuông E , EB  CD , ta có: DE DB.DC (7) DE DN   DM DE Từ (6) (7) suy DE DM DN DE DN   Xét DEM DNE có: EDN chung; DM DE (cmt)    DEM ∽ DNE (c.g.c)  DEM DNE (2 góc tương ứng)    O  có: DEM DNE Xét tia EM nằm hai tia ED EN  O   DE  OE Do DE tiếp tuyến Câu (Tuyển sinh tỉnh Thái Bình năm 2017-2018) Cho tam giác ABC , M điểm nằm tam giác Kéo dài AM cắt BC P , BM cắt AC Q , CM cắt AB K Chứng minh: MA.MB.MC 8MP.MQ.MK Lời giải A K Q M B H H' P C MH MP    H , H  BC     MH € AH  AH  AP (Hệ ĐL Talet) Kẻ MH  BC , AH  BC MH BC S MH   MBC MP S MBC  AH  AH .BC S ABC  AP S ABC Lại có MQ S MAC MK S MAB   BQ S CK S ABC ABC Chứng minh tương tự, ta có ; MP MQ MK S MBC S MAC S MAB      1 AP BQ CK S S S ABC ABC ABC Suy MP y  MQ MK x z BQ ; AP ; CK x , y , z  x  y  z 1 Đặt Theo đề bài: MA.MB.MC 8MP.MQ.MK   CK  AP   BQ    1   1   1 8  MP   MQ   MK        1   1   1 8 Hay:  x   y   z   xyz   xyz   xyz   MA MB MC 8 MP MQ MK  1  1         8  xy yz xz  x y z x yz 1    9 xyz x y z 1 1    9 xyz x y z (do x  y  z 1 ) 1   9 x y z 1 1   x  y  z      9  x y z x x y y z z          9 y z x z x y x y  y z  z x                 0  y x  z y  x z    x  y xy  y  z  yz  z  x  zx 0 (*) Bất đẳng thức (*) hiển nhiên với x, y, z  MP MQ MK 1    AP BQ CK  M trọng tâm ABC Dấu xảy , hay Vậy MA.MB.MC 8MP.MQ.MK x  y z  Câu (Tuyển sinh tỉnh Thái Nguyên năm 2017-2018) ( O ) Hai đường tròn (O ') cắt điểm A, B Gọi M trung điểm OO ' Qua A kẻ đường thẳng vng góc với AM cắt đường trịn (O ) (O ') C D Chứng minh AC  AD Lời giải C I A K O O' M D B Kẻ OI  CD I , OK  CD K , ta có IA IC , KA KD (tính chất bán kính vng góc với dây cung qua trung điểm dây cung đó) Ta có: OI // OK nên tứ giác OIKO hình thang Mà OI // MA // OK M trung điểm OO  A trung điểm IK  IA KA Từ suy AC  AD (đpcm) Câu (Tuyển sinh tỉnh Thái Nguyên năm 2017-2018)  Cho đường trịn (O) đường kính AB , cung CD năm phía AB ( D thuộc cung nhỏ  BC ) Gọi E giao điểm AC BD , F giao điểm AD BC   a Tính góc AFB số đo cung CD 80   b Tính số đo cung CD góc AEB 55 Lời giải E C D F A O B   a sđ s® CD 80 , s®AB 180 AFB góc có đỉnh bên đường trịn chắn cung AB, CD nên ta có:  s® AB  s® CD 180  80  AFB   130 2  b AEB 55  AEB góc có đỉnh bên ngồi đường trịn chắn cung AB , CD nên:  s® AB  s®CD   s® AB   AEB  AEB   s®CD 180  2.55 70 Câu (Tuyển sinh tỉnh Thái Nguyên năm 2017-2018) Cho tam giác nhọn ABC ( AB  AC ) Đường tròn tâm (O) đường kính BC cắt AC , AB D E H giao điểm BD CE , K giao điểm DE AH , I giao điểm AH BC , M trung điểm AH Chứng minh rằng: MD MK MI Lời giải A M E B D K H I O C     Ta có BDC , BEC góc nội tiếp chắn nửa đường trịn tâm O nên BDC BEC 90 Mà BD CE cắt H nên ta suy H trực tâm tam giác ABC  Suy AIC 90   Ta có HDC  HIC 180 nên CDHI tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính HC   Suy HID HCD (góc nội tiếp chắn cung DH đường trịn đường kính HC )   Hay MID HCD Tương tự, ta chứng minh tứ giác AEHD nội tiếp đường tròn tâm M ( MA MD MH )      MAD MDA (vì MD MA ) EDH EAH (cùng chắn cung EH đường tròn tâm M )         Vậy MDK  ADH  ( MDA  EDH ) 90  ( MAD  EAH ) 90  EAD HCD    MID MDK Xét tam giác MDK MID có:  M góc chung, MID MDK   MDK ∽ MID (g.g)  MD MI   MD MK MI MK MD (đpcm) Câu 10 (Tuyển sinh tỉnh Bắc Ninh năm 2017-2018) Từ điểm M nằm đường tròn (O ) kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B hai tiếp điểm) Lấy điểm C cung nhỏ AB (C không trùng với A B ) Từ điểm C kẻ CD vuông góc với AB, CE vng góc với MA, CF vng góc với MB (D Ỵ AB, E Ỵ MA, F Î MB ) Gọi I giao điểm AC DE , K giao điểm BC DF Chứng minh 1) Tứ giác ADCE nội tiếp đường tròn 2) Hai tam giác CDE CFD đồng dạng · 3) Tia đối tia CD tia phân giác góc ECF 4) Đường thẳng I K song song với đường thẳng AB Lời giải A E I D O x C M K 1 F B 1) Chứng minh Tứ giác ADCE nội tiếp đường trịn · · · · Ta có AEC = ADC = 90° Þ AEC + ADC = 180° đó, tứ giác ADCE nội tiếp 2) Chứng minh Hai tam giác CDE CFD đồng dạng Chứng minh tng t t giỏc BDCF ni tip ả = Fà , A =D ả B 1 Do tứ giác ADCE , BDCF nội tiếp nên = sAC ả ị D ả = Fà ¼ =B A O 1 1 ( ) Mà AM tiếp tuyến đường tròn nên ¶ =D ¶ D CDE ∽ D CFD ( g.g) E Do đó, Chứng minh tương tự · 3) Chứng minh Tia đối tia CD tia phân giác góc ECF Gọi Cx tia đối tia CD · · · · Do tứ giác ADCE , BDCF nội tiếp nên DAE = ECx, DBF = FCx · · · · · Mà MAB = MBA Þ ECx = FCx nên Cx phân giác góc ECF 4) Chứng minh Đường thẳng I K song song với đường thẳng AB ¶ =D ¶ ,B ¶ =D ¶ A 1 Theo chứng minh ¶ +B ¶ + ACB · ¶ +D ¶ + ACB · · · A = 1800 Þ D = 180° Þ ICK + IDK = 180° Mà ¶ ¶ ¶ =D ¶ Þ K D1 = B1 Þ IK //AB 1 CI K D Do đó, tứ giác nội tiếp mà Câu 11 (Tuyển sinh tỉnh Bến Tre năm 2017-2018)  O  A lấy điểm M (  O  ( C tiếp điểm) Kẻ Cho đường trịn tâm O , đường kính AB Trên tiếp tuyến đường tròn M khác A ) Từ M vẽ tiếp tuyến thứ hai MC với đường tròn CH  AB ( H  AB ), MB cắt đường tròn  O  điểm thứ hai K cắt CH N Chứng minh rằng: a) Tứ giác AKNH nội tiếp đường tròn b) AM MK MB   c) KAC OMB d) N trung điểm CH Lời giải · a) Ta có: AKN = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn); ·AHN = 90° CH ^ AB ( ) · · Xét tứ giác AKNH có: AKN + AHN = 180° ; · · mà AKN AHN vị trí đối Vậy tứ giác AKNH nội tiếp đường tròn AM MK MB b) Áp dụng hệ thức lượng vào V MAB vng A có AK ^ MB suy MO ^ AC ü ïï ( O, R) ct ti M nờn BC ^ AC ýùùỵ Þ MO // BC c) Có MA, MC hai tiếp tuyến · · ( 1) ; Suy OMB = KBC (so le trong) · · KAC = KBC = » » ( 2) sđ KC (góc nội tiếp chắn KC )   ( 1) ( 2) ta KAC OMB Từ (đpcm) d) Gọi BC Ç AM = P Vì MO // BC nên M trung điểm AP