Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 76 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
76
Dung lượng
2,28 MB
Nội dung
218 Website:tailieumontoan.com CHUN ĐỀ 7: TÌM ẨN CHƯA BIẾT Tốn tìm x chủ đề thường gặp kì thi HSG Để giải tốn tìm x học sinh phải có kĩ cộng, trừ, nhân, chia phân số, lũy thừa để giúp cho việc biến đổi đưa đẳng thức chứa x dạng A.x = B từ suy x = B : A Bài tốn tìm x đơi cịn kết hợp phép tính tổng số , tổng phân số, tổng tích,tổng lũy thừa theo quy luật nên HS cần nắm vững luyện thật tốn tính tổng theo quy luật Dạng Tìm x thơng thường Bài 1: Tìm x biết: 720 : 41 − ( x − ) = 23.5 a) 2 1 c) x − ÷:1 + = 3 2 b) ( x + 11) − ( − x ) = 26 2x − d) 1 + = Hướng dẫn giải a) Ta có: 720 : 41 − ( x − ) = 23.5 b) Ta có: x + 66 − 14 + x = 26 ⇒ 13x = −26 ⇒ x = −2 720 : [ 46 − x ] = 40 ⇒ 46 − x = 18 ⇒ x = 46 :18 = ⇒x= 23 23 18 c) Ta có d) Ta có: 2 1 x − ÷:1 + = ⇒ ( x − ):1 = 3 2 3 ⇒ x − = ⇒ x=2 3 Vậy 2x − 1 1 + = 2x − = ⇒ 6 2x − TH1: x = 2x − TH2: Vậy Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: 1 = ⇒x = 6 1 =− 6 ⇒x=0 1 x ∈ 0; 6 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 218 Website:tailieumontoan.com Bài 2: Tìm x biết: Ta có: − 5.( x − 2) = + 2.(4 − x ) Hướng dẫn giải − 5.( x − 2) = + 2.(4 − x) − 5.2 − 5.(−2) = + 2.4 + 2.(− x) − x + 10 = + − 2x −5 x + x = + − − 10 −3x = −6 x=2 Vậy x=2 Bài 3: Tìm x biết: x − −3 − x + = − a, a, 7 − = − − 2÷ x 12 x b, Hướng dẫn giải x − + ( −9 ) − 3x − 2 x − −3 − x + = − ⇒ = 6 ⇒ x − 15 = − x ⇒ x = 18 ⇒ x = b, 18 7 7 23 61 − = − − ÷⇒ − = − +2⇒ + = + +2⇒ = x 12 x 3x x x 20 3x x ⇒ 3x = 460 460 ⇒x= 61 183 Bài 4: Tìm x biết: −2 + − ÷= x −1 − 2x a, a, b, Hướng dẫn giải 5 −3 −3 + = ⇒ + = ⇒ = x − 10 − x x − ( x − 1) 10 ( x − 1) 10 ⇒ ( x − 1) = − b, 13 x + 15 x − 20 x = 16 17 17 17 70 −35 −32 ⇒ x −1 = ⇒x= 3 13 13 5 9 x + 15 x − 20 x = 16 ⇒ + 15 − 20 ÷x = 16 ⇒ −4.x = 16 ⇒ x = −4 17 17 17 17 17 17 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 218 Website:tailieumontoan.com ( 19x + 22.3 ) : 14 = ( 11- 6) Bài 5: Tìm số tự nhiên x biết : Hướng dẫn giải ( 19x + 22.3 ) : 14 = ( 11- 6) 2 19x + 198 = 350 19x = 152 x=8 Bài 6: Tìm x biết: 121- ( 115 + x) = 3x - ( 25 - - 5x) - a) ( b) ỉ 1ư ỉ 1 ửổ 2016 2017 2018ử ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ x2 - ỗ = + ỗ3x + ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ç ç ç 2ø è3 12øè2017 2018 2019ø è ) Hướng dẫn giải a) 121- ( 115 + x) = 3x - ( 25 - - 5x) - Þ 121- 115 - x = 3x - ( 16 - 5x) - Þ - x = 3x - 16 + 5x - Þ - x = 8x - 24 Þ 9x = 30 Þ x= 10 10 x= Vậy (x b) ỉ ưỉ 1ư ỉ 1 1÷ 2016 2017 2018ữ ỗ ữ ữ ữ - 4ỗ =ỗ + ỗ3x + ữ ỗ - ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ3 12ữ ỗ2017 2018 2019ữ 2ữ ố ứ ố ứố ø ) ỉ ỉ4 ưỉ 1÷ 1÷ 2016 2017 2018ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ - 4ỗ x + = + ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ12 12 12ữ ỗ2017 2018 2019ữ ữ ữ ữ 2ữ ố ø è øè ø Þ ỉ ỉ 1ư 2016 2017 2018ữ ữ ữ x2 - ỗ = 0.ỗ + ỗ3x + ữ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ2017 2018 2019ữ 2ứ ố ố ứ ị (x ) ( ) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 218 Website:tailieumontoan.com (x Þ ỉ 1ử ữ= - 4ỗ ỗ3x + ữ ữ ỗ 2ữ ố ứ ) ị x - = 3x + =0 2 x2 = 22 = ( - 2) Þ 2 x = x = - Với x - = Þ x = Þ - - 3x + = 3x = x= Þ 2 Þ Với ïì - 1ïü x ẻ ùớ 2;- 2; ùý ùợù ùỵ ù Vy 10 131313 131313 131313 131313 x − 70 : + + + ÷ = −5 11 151515 353535 636363 999999 Bài 7: Tìm x biết : Ta có: ⇔ ⇔ ⇔ Hướng dẫn giải 10 131313 131313 131313 131313 x − 70 : + + + ÷ = −5 11 151515 353535 636363 999999 780 13 13 13 13 x− : + + + ÷ = −5 11 15 35 63 99 780 13 2 2 x− : + + + ÷ = −5 11 3.5 5.7 7.9 9.11 780 13 1 x− : − ÷ = −5 11 11 ⇔ 780 13 x− : ÷ = −5 11 33 ⇔ x − 45 = −5 ⇔ x = 40 ⇔ x = 60 Vậy x = 60 Bài 8: Tìm x biết: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 218 Website:tailieumontoan.com a) −1 : 2015 x = 2016 2015 x − −60 = −15 x − b) Hướng dẫn giải a) −1 −1 x= ⇒x= : = −2016 2016.2015 2015 2015 2016.2015 b) Từ gt tốn ta có: ( x − 1) x = 31 = 900 ⇒ x − = ±30 ⇒ x = 29 x −2 5+ x = Câu Tìm x biết: Hướng dẫn giải x −2 5+ x = ⇔ ( x − ) = ( + x ) ⇔ x − = 20 + x ⇔ x = −26 Vậy x = −26 Bài 10 Tìm a) b) x biết ( x - 11) = 52 + 200 x - x - x - x - x - x - 16 + + + + + = 12 20 30 42 56 72 Hướng dẫn giải a) ( x - 11) = + 200 Þ ( x - 11) = 32.25 + 200 = 1000 = 103 Þ x - 11 = 10 Þ x = 21 Þ x = n +1- n 1 = = ( n Ỵ N) n ( n +1) ( n +1) n n n +1 b)Ta ý : Ta xét tổng sau 1 1 1 1 1 1 + + + + + = + + + + + 12 20 30 42 56 72 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 1 1 1 1 1 1 1 = - + - + - + - + - + - = - = 4 5 6 7 8 9 Phuong trình cho ỉ1 1 1 16 16 ( x - 1) ỗ + + + + + ÷ = Û x = ( ) ữ ỗ ữ ỗ ố12 20 30 42 56 72 ø 9 Û x - 1=8 Û x =9 Bài 11 Tìm x biết: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 218 Website:tailieumontoan.com ( 19 x − + 2.5 ) :14 = ( 13 − 8) a) x − 2019 = x − 2019 b) Hướng dẫn giải − 42 a) Ta có: ( 19 x − + 2.5 ) :14 = ( 13 − 8) b) Ta có: − 42 ( 19 x − + 2.25) :14 = 25 − 16 19 x − + 50 = 9.14 ( x − 2019 ) 19 x − = 76 x − = 76 :19 = x − 2019 = x − 2019 ( x − 2019 ) = = 22 x − 2019 = x = + 2019 x = 2021 Vậy x − = x − = −4 Do x = x = −3 2 2 + + 17 37 ÷ 16 + ÷x = 5+ + ÷ 17 37 Bài 12 Tìm x biết: Hướng dẫn giải 2 2 + + 17 37 ÷ 16 + ÷x = 5+ + ÷ 17 37 1 + + ÷ 16 ⇒ + 17 37 ÷x = 5 + + ÷ 17 37 ⇒ x= 5 ⇒x=4 Vậy x = x − ( x + 3) = x − Bài 13 a) Tìm x biết: 39 15 − 3x2 = b) Tìm x biết: Hướng dẫn giải x = a ) x − ( x + 3) = x − ⇔ x − 3x = ⇒ x = Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 218 Website:tailieumontoan.com 39 15 − x = ⇔ 3x = 12 ⇒ x = ⇔ x = ±2 2 39 15 − 3x = − ⇔ x = 27 ⇔ x = ⇔ x = ±3 2 b) a) ( 2x − 1) = 16 b) ( 2x + 1) = ( 2x + 1) Bài 14 Tìm x biết: c) x + − = 20 Hướng dẫn giải x = a) ( x − 1) = 16 ⇒ x = − b) ( x + 1) = ( x + 1) ⇒ x = −0,5; x = 0; x = −1,5 x + = 20 + x + = 28 x + = 28 x = 25 c) x + − = 20 ⇒ ⇒ ⇒ ⇔ x + = −20 + x + = −12(VN ) x + = −28 x = −31 Bài 15 Tìm x biết: 2 − x − 3, 25 = −2 ( 1, 25 ) − 2,5.0, 25 + ( −0, 25 ) Hướng dẫn giải x= − x = ⇒ 4 x= Tính Bài 16 Tìm x, biết: a) ( x − 1) = 27.( x − 1) b) x − x = ( x ≥ ) c) x − = 5x + Hướng dẫn giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 218 Website:tailieumontoan.com 13 x − = x = 4 9 a)81( x − 1) = 16 ⇔ ( x − 1) = ÷ ⇒ ⇒ 9 x −1 = − x = x = b) x x − = ⇒ x = ( ) x = −3 2 x − = 5x + c) x − = x + ⇒ ⇒ x − = −5 x − x = Dạng 2: Đưa dạng tích Bài 1: Tìm x biết: x+ x+ x+ x+ x+ x+ + + = + + 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Hướng dẫn giải Ta có: x+ x+ x+ x+ x+ x+ + + = + + 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x+ x+ x+ x+ x+ x+ ⇔ + 1÷+ + 1÷+ + 1÷ = + 1÷+ + 1÷+ + 1÷ 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 ⇔ + + − − − =0 2008 2007 2006 2005 2004 2003 1 1 1 ⇔ ( x + 2009) + + − − − ÷= 2008 2007 2006 2005 2004 2003 ⇔ x = −2009 Bài 2: Tìm x, biết: 29 − x 27 − x 25 − x 23 − x 21 − x x − 10 x − 14 x − x − 148 + + + + = −5 + + + =0 21 23 25 27 29 30 43 95 a, b, Hướng dẫn giải 29 − x 27 − x 25 − x 23 − x 21 − x + + + + = −5 21 23 25 27 29 a, 29 − x 27 − x 25 − x 23 − x 21 − x ⇒ + 1÷ + + 1÷ + + 1÷+ + 1÷+ + 1÷ = 21 23 25 27 29 ⇒ 50 − x 50 − x 50 − x 50 − x 50 − x + + + + =0 21 23 25 27 29 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 218 Website:tailieumontoan.com 1 1 ⇒ ( 50 − x ) + + + + ÷= 21 23 25 27 29 ⇒ x = 50 b, x − 10 x − 14 x − x − 148 + + + =0 30 43 95 x − 10 x − 14 x − x − 148 ⇒ − ÷+ − ÷+ − 1÷ + + 6÷= 30 43 95 ⇒ x − 100 x − 100 x − 100 x − 100 + + + =0 30 43 95 1 1 ⇒ ( x − 100 ) + + + ÷ = ⇒ x = 100 30 43 95 Bài Tìm x, biết: x − x − x − x − 100 x − 101 x − 102 x − x −1 x − x − + + = + + + = + 100 101 102 a, b, Hướng dẫn giải x − x − x − x − 100 x − 101 x − 102 + + = + + 100 101 102 a, x − x − x − x − 100 x − 101 x − 102 ⇒ − 1÷+ − 1÷ + − 1÷ = − 1÷ + − 1÷+ − 1÷ 100 101 102 ⇒ x − 105 x − 105 x − 105 x − 105 x − 105 x − 105 + + = + + 100 101 102 ⇒ x − 105 = ⇒ x = 105 b, x − x −1 x − x − + = + x − x −1 x − x − ⇒ − 1÷+ − 1÷ = − 1÷+ − 1÷ x−9 x−9 x−9 x−9 ⇒ + = + ⇒ x −9 = ⇒ x = Bài Tìm x, biết: x +1 x + x + x + x + x + x + 19 x + 17 x + x + + + = + + − = − 94 93 92 91 90 89 21 23 33 35 a, b, Hướng dẫn giải x +1 x + x + x + x + x + + + = + + 94 93 92 91 90 89 a, Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 218 Website:tailieumontoan.com x +1 x + x + x + x + x + ⇒ + 1÷ + + 1÷ + + 1÷ = + 1÷ + + 1÷ + + 1÷ 94 93 94 91 90 89 ⇒ x + 95 x + 95 x + 95 x + 95 x + 95 x + 95 + + = + + 94 93 92 91 90 89 ⇒ x + 95 = ⇒ x = −95 b, x + 19 x + 17 x + x + − = − 21 23 33 35 x + 19 x + 17 x + x + ⇒ + 1÷− + 1÷ = + 1÷ − + 1÷ 21 23 33 35 ⇒ x + 40 x + 40 x + 40 x + 40 + = + 21 35 33 23 ⇒ x + 40 = ⇒ x = −20 Bài Tìm x, biết: x −1 x − x − x − x − x − x +1 x + x + x + + + = + + + = + 59 58 57 56 55 54 15 14 13 12 a, b, Hướng dẫn giải x −1 x − x − x − x − x − + + = + + 59 58 57 56 55 54 a, x −1 x − x − x − x − x − ⇒ − 1÷ + − 1÷ + − 1÷ = − 1÷ + − 1÷ + − 1÷ 59 58 57 56 55 54 ⇒ x − 60 x − 60 x − 60 x − 60 x − 60 x − 60 + + = + + 59 58 57 56 55 54 ⇒ x − 60 = ⇒ x = 60 b, x +1 x + x + x + + = + 15 14 13 12 x +1 x + x + x + ⇒ + 1÷ + + 1÷ = + 1÷ + + 1÷ 15 14 13 12 ⇒ x + 16 x + 16 x + 16 x + 16 + = + 15 14 13 12 ⇒ x + 16 = ⇒ x = −16 Bài Tìm x, biết: x − x − 15 x − 1990 x − 1980 + = + 1990 1980 15 a, Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word x −1 x − x − x − + = + 2015 2013 2011 2009 b, Hướng dẫn giải tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 218 Website:tailieumontoan.com a, 2x 3 2x − >0⇒ > ⇒x> = 4 11 15 3 15 ⇒ − 4÷> = ⇒ > ⇒ x.11 < ⇒ x < − 4÷ > 3x 33 3x 3 3x b, Bài 3: Tìm x biết: ( x − 6) ( x + 5) ≤ a, a, b, ( x − ) ( x + 5) ≥ ( x − ) ( x + 5) ≤ Để x − ≥ x + ≤ Để: b, Để: (x b, TH2 : Hoặc TH2: − ) ( x − 25 ) < : 2 x − > ⇒2< x (x − ) ( x − 25 ) < c, Để: Bài 5: Tìm x biết: ( x + 3) ( x − ) > a, liệu ( x + 5) ( + x ) < c, 2 x − < 9 − 3x < (vô lý) ) x + > ⇒ x + < ⇒ x < −5 + ) ( x − 49 ) < b, Hướng dẫn giải ( x + 3) ( x − ) > Để: thì: Liên hệ tài 039.373.2038 x − ≤ ⇒ x ≤ −5 x + ≤ thì: x − > x − 25 < ( x + 5) ( + x a, x − ≤ ⇒ −5 ≤ x ≤ x + ≥ 2 TH1: 2x − < Hướng dẫn giải ( x − ) ( − 3x ) > TH1: c, : TH1 : (vơ lý) ( x − ) ( x + 5) ≥ Để: Thì: x − ≥ ⇒x≥6 x + ≥ TH1: 2x − < ⇒ 2x < ⇒ x < c, Bài 4: Tìm x biết: ( x − 4) ( − 3x ) > a, a, b, Hướng dẫn giải word toán zalo: c, (x + ) ( x + 3) > TÀI LIỆU TOÁN HỌC 218 Website:tailieumontoan.com x + > ⇒x>4 x − > x + < ⇒ x < −3 x − < TH1: Hoặc: 2 x + x − 49 < ⇒ x + ( x + ) ( x − ) < b, Để x2 + > ⇒ ( x + 7) ( x − 7) < Vì x + > x + < ⇒ −7 < x < x − < x − > TH1: TH2: (vô lý) x + ( x + 3) > x + > => x > −3 c, Để: x + − x + = 11 x > −3 Bài 8: Tìm x biết: , Hướng dẫn giải x > −3 ⇒ x + − ( x + 3) = 11 ⇒ x = ⇒ x = Với ( )( ( ) ( ) ) ∈ Bài 9: Tìm n N biết: < 3n ≤ 234 a, 8.16 ≥ 2n ≥ b, Hướng dẫn giải n < ≤ 234 < 243 = 35 ⇒ n ∈ { 2;3; 4} c, 415.915 < 2n.3n < 1816.216 a, Ta có: b, Ta có: 415.915 < 2n 3n < 1816.216 ⇒ 3615 < 6n < 3616 ⇒ 630 < 6n < 632 ⇒ n = 31 c, 8.16 ≥ n ≥ ⇒ 27 ≥ 2n ≥ 22 ⇒ n ∈ { 2;3; 4;5;6;7} Bài 10: Giải bất phương trình: 1 1 + + + ≥0 x − 5x + x − 7x + 12 x − 9x + 20 x − 11x + 30 Hướng dẫn giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 218 Website:tailieumontoan.com 1 1 + + + ≥0 x − 5x + x − 7x + 12 x − 9x + 20 x − 11x + 30 1 1 ⇔ + + + ≥ 0( x ≠ 1;2;3;4;5;6) ( x − 2) ( x − 3) ( x − 3) ( x − 4) ( x − 4) ( x − 5) ( x − 5) ( x − 6) 1 1 1 1 − + − + − + − ≥0 x− x− x− x− x− x− x− x− 1 −4 ⇔ − ≥ 0⇔ ≥ ⇔ ( x − 2) ( x − 6) < x− x− ( x − 2) ( x − 6) ⇔ x − > x − < ⇔ ⇔ x − < x − > 2 < x < x ∈ ∅ Kết hợp với điều kiện ta có 2< x < x ≠ 3;4;5 ∈ Bài 11: Tìm n N biết: a, 32 < 2n < 128 b, 2.16 Hướng dẫn giải 25 < 2n < 2048 = 211 ⇒ n ∈ { 6; 7;8;9;10} a, ≥ 2n > 2.16 ≥ 2n > ⇒ 25 ≥ 2n > 22 ⇒ n ∈ { 5; 4;3} b, Dạng 10 : Tìm ẩn với điều kiện nguyên Bài1: Tìm tất sớ ngun ngun n để phân sớ n +1 n−2 có giá trị sớ Hướng dẫn giải Xét phân số Để n +1 n−2 n +1 n − + 3 = = 1+ n−2 n−2 n−2 số nguyên ⇔ 3Mn − ⇔ n − ∈ Ư(3) = { ±1; ±3} Từ ta có: n−2 −3 −1 n −1 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 218 Website:tailieumontoan.com Vậy n∈ A= Ư(3) = { −1;1;3;5} n +1 n−2 số nguyên 2n + n−2 ( n ≠ 2) Bài 2: Cho Tìm sớ ngun n để A số nguyên Hướng dẫn giải A= Ta có: 2n + ( n − ) + 7 = 2+ = n−2 n−2 n−2 Để A sớ ngun n − phải sớ ngun ( n− 2) ∈Ư ( 7) Do Ư ( 7) = { ±1; ± 7} mà , nên ta có bảng sau: n −2 -7 -1 n -5 TM n ∈¢ TM n ∈¢ TM n ∈¢ TM n ∈¢ Vậy n ∈ { −5; 1; 3; 9} A sớ ngun x+3 Bài 3: Tìm giá trị nguyên của x để x − nhận giá trị nguyên Hướng dẫn giải Ta có: x +3 x −2+5 = =1+ ∈ ¢ ⇒ x − ∈U (5) = { ±1; ±5} x−2 x−2 x−2 ⇒ x = 1;3; −3;7 Bài 4: Tìm sớ nguyên n 4n + để chia hết cho 2n + Hướng dẫn giải Ta có: 4n + = ( 2n + 1) + Vì ( 2n + 1) M2n + Nên để với 4n + 5M2n + ∀n ∈ ¢ 3M2n + = { −3; −1;1;3} ⇒ 2n + ∈ Ư(3) Ta có bảng giá trị sau: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 218 Website:tailieumontoan.com Vậy 2n + -3 -1 n -2 -1 n ∈ { −2; −1;0;1} 4n + 5M2n + 2n + 7Mn + Bài 5: Tìm sớ tự nhiên n cho Hướng dẫn giải 2n + 7Mn + Ta có: ⇔ 2( n + 1) + 5M( n + 1) ⇔ 5Mn + ⇔ n + 1∈ U ( 5) = { 1;5} , vi n∈ N ⇔ n∈ { 0;4} 2n + n+2 Bài 6: Tìm sớ ngun n để phân sớ có giá trị sớ ngun Hướng dẫn giải Để Vì 2n + n+2 có giá trị sớ ngun ( n + ) Mn + 2 n + 2Mn + 2n + 1Mn + (1) nên (2) ( n + ) − ( 2n + 1) Mn + Từ (1) (2) ⇒ 3Mn + Vì n+2 nguyên nên n + ∈ { −1; −3;1;3} ⇒ n ∈ { −3; −5; −1;1} 2n + n+2 ⇒ n ∈ { −3; −5; −1;1} Vậy với phân sớ sớ ngun Bài 7: Tìm sớ tự nhiên n để biểu thức sau 2n + 5n + 17 3n B= + − n+2 n+2 n+2 số tự nhiên: Hướng dẫn giải Ta có: B= 2n + 5n + 17 3n 2n + + 5n + 17 − 3n 4n + 19 + − = = n+2 n+2 n+2 n+2 n+2 = Liên hệ tài 039.373.2038 liệu 4( n + 2) + 11 11 =4+ n+2 n+2 word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 218 Website:tailieumontoan.com Để B sớ tự nhiên ⇒ 11 (n + 2) ⇒ 11 n+2 n+2 ∈ số tự nhiên Ư(11) = Do n + > nên n + = 11 ∈ Vậy n = B N Bài 8: Tìm n để ⇒ { ±1; ±11} n=9 n3 − n + n + Mn + Hướng dẫn giải n − n + n + Mn + ⇒ n3 + n − n + + 8Mn + ( Ta có : ⇒ n n + − n + + 8Mn + ⇒ n2 + ∈ U ( ) ( ) ( ) ) ⇒ x ( x + ) + ( x + ) − 3Mx + ⇒ x + ∈ U ( 3) Bài 9: Tìm cặp sớ ngun (x; y) để biểu thức sau có giá trị nguyên: 3x ( x + y ) − ( x + y ) + K= x−2 K= Hướng dẫn giải 3x ( x + y ) − ( x + y ) + x−2 Để : có giá trị nguyên : x − x + y + x − x + y ( )( ) = ( )( ) +1 x−2 x−2 Phải có giá trị ngun hay Bài 10: Tìm số nguyên n để B= 1Mx − ⇒ x − ∈ U ( 1) ⇒ x − ∈ { −1;1} ⇒ x = 3, x = 2n + 3n + có giá trị nguyên Hướng dẫn giải Để B= 2n + 3n + có giá trị nguyên ⇔ 2n + M3n + ⇒ 3( 2n + 3) M3n + 2( 3n + 2) M3n + ⇒ 3( 2n + 3) − 2( 3n + 2) M( 3n + 2) ⇒ 5M3n + ⇒ 3n + 2∈ U ( 5) ∈ { 1; − 1;5; − 5} ⇒ n∈ { −1;1} , vi n ∈ Z Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 218 Website:tailieumontoan.com n +1 n−2 Bài 11: Tìm tất số nguyên n để phân số nguyên n +1 n−2 có giá trị sớ Hướng dẫn giải sớ ngun Ta có Vậy ( n + 1) M( n − 2) n + = ( n − ) + 3 ( n + 1) M( n − ) M(n − 2) = { −3; − 1; 1; 3} ⇒ n ∈ { −1; 1; 3; 5} (n − 2) ∈ Ư(3) n−2 A= n+3 Bài 12: Cho a) Tìm điều kiện của n để: A phân số b) Tìm giá trị nguyên của n để A sớ ngun Hướng dẫn giải n ∈ ¢ n ∈ ¢ ⇔ a) Để A phân sớ n + ≠ n ≠ −3 n−2 A= = 1− n+3 n+3 b) Ta có: Để A sớ ngun Ta có bảng: n+3 n ( n + 3) ∈ Ư ( 5) = { ±1; ± 5} −5 −1 −8 −4 −2 n ∈ { −8; − 4; − 2; 2} Vậy để A sớ ngun Q= Bài 13: Cho Điều kiện: Q= Biến đổi: Liên hệ tài 039.373.2038 27 − x 12 − x Tìm sớ ngun x ∈ ¢ , x ≠ 12 x để Q có giá trị nguyên ? Hướng dẫn giải 27 − x 2.( 12 − x ) + 3 = =2+ 12 − x 12 − x 12 − x liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 218 Website:tailieumontoan.com Ta có: Mà ∈ ¢; x ∈ ¢; x ≠ 12 nên Q có giá trị nguyên ∈¢ 12 − x ∈¢ ⇔ 12 − x ∈U (3) = { −3; −1;1;3} ⇒ x ∈ { 15;13;11;9} 12 − x Vậy Q nguyên x ∈ { 15;13;11;9} Bài 14: Tìm x, y nguyên biết: xy + x − y = Hướng dẫn giải Ta có: xy + 3x − y = ⇔ x ( y + 3) − ( y + 3) = − ⇔ ( x − 1) ( y + 3) = = 1.3 = 3.1 = ( −1) ( −3 ) = ( −3 ) ( −1) Ta có bảng sau: x −1 y+3 x y Vậy −1 −3 −3 −1 −2 −4 3 ( x; y ) = { ( 2;0 ) ; ( 4; −2 ) ; ( 0;6 ) ; ( −2; −4 ) } −2 −6 Bài 15: Tìm sớ ngun x, y biết x − xy + y − = Ta có : x − xy + y − = Hướng dẫn giải ⇔ x − xy + y − = ⇔ x − xy + y − = ⇔ x ( − y ) − ( − y ) = ⇔ ( x − 1) ( − y ) = Lập bảng: 2x − 1− 2y x y -1 -5 -5 -1 -2 -2 Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn 4x − 3x − x + ;B = x−2 x−3 Bài 16 Cho biểu thức: a) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức có giá trị nguyên b) Tìm giá trị nguyên của x để hai biểu thức có giá trị nguyên A= Hướng dẫn giải a) Ta có: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu A= 4x − 4( x − 2) + 1 = =4+ x−2 x−2 x−2 word toán zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 218 Website:tailieumontoan.com Với x ∈¢ x − ∈ ¢ x − = x = ⇒ x − ∈U (1) ⇒ ⇒ x − = −1 x = Để A nguyên x − nguyên x − x + x ( x − 3) + 2 B= = = 3x + x−3 x−3 x−3 Với x ∈ ¢ ⇒ x − ∈ ¢ ⇒ x − ∈ U ( ) = { ±1; ±2} Để B ngun x − ngun Do x = 5, x = 1, x = 4, x = x ∈ { 5;1;4;2} Vậy để B nguyên b) Từ câu a suy để A, B ngun x = Bài 17: Tìm sớ nguyên x y biết: xy − y + x = Hướng dẫn giải xy − y + x = y ( x − 3) + ( x − ) = ( x − 3) ( y + 1) = Vì x, y sớ ngun nên số lẻ nên: x − = x = ⇒ 2 y + = y = ( x − 3) ( y + 1) ước của ( y + 1) • • • • x − = −6 x = −3 ⇒ 2 y + = −1 y = −1 x − = x = ⇒ 2 y + = y = x − = −2 x = ⇒ y + = −3 y = − Bài 18: Tìm tất cặp số nguyên x, y cho x − xy + y = Hướng dẫn giải a) Ta có: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 218 Website:tailieumontoan.com x − xy + y = ⇒ x(1− y) + y = ⇒ (1− y) − x(1− y) =1 ⇔ ( − x ) ( − y ) = = 1.1 = −1 − 1- x -1 1- y -1 x y Vậy ( x; y ) = { ( 0;0 ) ; ( 2;2 ) } x +1 = y −1 Bài 19: Tìm cặp sớ ngun (x, y) thỏa mãn : Hướng dẫn giải x x+5 +1 = => = y −1 y −1 Ta có : =>(x + 5)(y - 1) = x; y ∈ Z y −1 x+5 Do nên ước của mà Ư(5)= { Ta có bảng giá trị tương ứng sau: x+5 -5 -1 y-1 -1 -5 x -10 -6 -4 y -4 Vậy cặp số nguyên cần tìm : (x,y)= { ±1; ±5} (−4;6), (0; 2), (−6; 4), ( −10, 0)} 2n − n − có giá trị sớ ngun Bài 20: Tìm số nguyên n để phân số Hướng dẫn giải M= Ta có M= 2n − 2n − 10 + ( n − ) + 3 = = = 2+ n−5 n−5 n−5 n −5 ∈¢ ⇒ n − ước của Vì ∈¢ nên để M ∈¢ n − Lập bảng: n−5 −1 −5 n (tm) (tm) 10 (tm) (tm) Vậy với Liên hệ tài 039.373.2038 n ∈ { 0; 4; 6;10} liệu word M có giá trị sớ ngun tốn zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 218 Website:tailieumontoan.com xy − x + y = 148 Bài 21: Tìm sớ tự nhiên x, y biết: Hướng dẫn giải Tìm số tự nhiên x, y biết xy − x + y = 148 ⇒ ( xy + y ) − x − = 148 − ⇒ y ( x + 1) − ( x + 1) = 143 ⇒ ( x + 1) ( y − ) = 143 Do x, y số tự nhiên nên x + y − ước của 143 Do 143= 1.143=11.13 nên ta có bảng sau x+1 143 11 13 2y-5 143 13 11 x 142 10 12 y 74 Bài 22: Tìm cặp sớ ngun dương ( x; y ) biết : 3xy + x + y = 13 Hướng dẫn giải Từ xy + x + y = 13 1 ⇒ x(3 y + 1) + (3 y + 1) − = 13 3 1 ⇒ (3 y + 1).( x + ) = 13 + 3 ⇒ (3 y + 1).(3 x + 1) = 40 ( *) x (loại) y 13 Vì x; y nguyên dương y + x + hai số nguyên dương nên từ (*)suy y + 1;3x + ước của 40 Mặt khác x + số chia dư nên ta có bảng sau: 3x + 1 3y +1 40 10 Vậy cặp số nguyên dương ( x; y ) thõa mãn toán ( x; y ) = (1;3) Bài 23: Cho A = 2xy - 10x + 3y A = 2xy - 10x + 3y Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word Tìm sớ ngun x, y để A = 28 Hướng dẫn giải tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 218 Website:tailieumontoan.com Þ 2xy - 10x + 3y = 28 Þ 2x ( y - 5) + 3y - 15 = 13 Þ 2x ( y - 5) + 3( y - 5) = 13 Þ ( 2x + 3) ( y - 5) = 13 = 1.13 = 13.1 = - - 13 = - 13 - ( x;y ) ( 1;18) ;( 5;6) ;( - 2;- 8) ;( - 8;4) Từ ta có cặp Bài 24: Tìm sớ ngun x y biết : xy − x + y = Ta có: Hướng dẫn giải xy − x + y = ⇒ xy − x + y − = ⇒ ( xy − x ) + ( y − ) = ⇒ x ( y − 1) + ( y − 1) = ⇒ ( y − 1) ( x + ) = = { −5; − 1; 1; 5} Vì x, y ∈ ¢ nên y − ∈ Ư(5) y -1 -5 -1 y -4 x+2 -1 -5 x -3 -7 -1 Vậy cặp số ( x; y ) ∈ { ( −3; −4 ) , ( −7;0 ) , ( 3;2 ) , ( −1;6 ) } nguyên x, y thỏa mãn là: Bài 25: Tìm x , y nguyên biết: 3x + xy + y = 17 Hướng dẫn giải 3x + xy + y = 17 ⇔ x ( + y ) + ( + y ) = 23 ⇔ ( x + ) ( + y ) = 23 Ta có bảng: Vậy Bài 26: Tìm Ta có x+2 −1 −23 23 3+ y −23 23 −1 x −3 −1 −25 21 y −26 20 −4 −2 ( x; y ) ∈ { ( −3; − 26 ) ; ( −1; 20 ) ; ( −25; − ) ; ( 21; − ) } x, y nguyên biết: x + y + xy = 40 Hướng dẫn giải x + y + xy = 40 Þ x + y + xy +1 = 41 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 218 Website:tailieumontoan.com Þ x ( y +1) +( y +1) = 41 Þ ( x +1) ( y +1) = 41 Mà 41 có cách phân tích thành tích của cặp số nguyên sau éx +1 = 1; y +1 = 41 ê êx +1 = 41; y +1 = Þ ê êx +1 =- 1; y +1 =- 41 ê 41 = ( - 1) (- 41) = 1.41 ê ëx +1 =- 41; y +1 =- éx = 0; y = 40 ê êx = 40; y = Þ ê êx =- 2; y =- 42 ê êx =- 42; y =- ë Vậy ( x, y ) ∈ { ( 40;0 ) ; ( 0; 40 ) ; ( −2; −42 ) ; ( −42; −2 ) } Bài 27: Tìm sớ ngun x, y biết: xy + x = 25 + y Hướng dẫn giải xy + x = 25 + y ⇔ x ( y + ) = 25 + y (1) Ta có: y = −4 +) Nếu y ≠ −4 +) Nếu x= pt pt (1) (1) vơ nghiệm trở thành: y + 25 ( y + ) + 5 = = 5+ y+4 y+4 y+4 y + ∈ { ± 1; ± 5} x, y Để nguyên Lập bảng Vậy y+4 −5 −1 y −9 −5 −3 x 10 ( x, y ) = ( 4; − ) , ( 0; − 5) , ( 10; − 3) , ( 6; 1) a+ b = c + d ab + 1= c.d Bài 28: Cho số nguyên a, b, c, d thỏa mãn: Chứng minh c = d Hướng dẫn giải a+ b = c+ d ⇒ a = c+ d − b ab + 1= c.d Từ , thay vào ta được: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 218 Website:tailieumontoan.com ( c + d − b) b + = c.d ⇒ cb + db − cd + 1− b = ⇒ b( c − b) − d ( c − b) + 1= ⇒ ( b − d) ( c − b) = −1 Vì a, b, c, d số nguyên nên TH sau: TH1: ( b − d) ,( c − d) b − d = −1 d = b + ⇒ ⇒ c= d c − b = c = b + số nguyên, ta có TH2: b − d = d = b − ⇒ ⇒ c= d c − b = −1 c = b − Bài 29: Tìm tất cặp sớ ngun ( x, y ) thỏa mãn: x + x = 32019 y + Hướng dẫn giải +) TH1: Với y < , ta có: VP = 32019 y + không số nguyên VT = x + x số nguyên ⇒ Trường hợp loại 2019.0 + ⇒ x2 + x = +) Với y = , ta có x + x = ⇒ x ( x + 1) = 1.2 = ( −2 ) ( −1) ⇒ x = x = −2 + chia cho dư +) Với y ≥ , ta có: VP = Vì x ngun nên x có dạng 3k ; 3k + 1; 3k + 2019 y VT = x ( x + 1) M3 Với x = 3k x = 3k + VT = x ( x + 1) Với x = 3k + chia cho dư Do trường hợp loại ) cần tìm là: ( ) , Vậy cặp số nguyên ( Bài 30 Tìm tập hợp sớ ngun x, biết rằng: x; y 1; ( −2;0 ) 5 31 1 : − < x < : 3, + 4,5.1 ÷: −21 ÷ 18 45 2 Hướng dẫn giải 5 41 18 : − = − = − = −5 41 Ta có: 18 Lại có: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 218 Website:tailieumontoan.com 31 16 76 43 38 −2 43 −2 −2 : 3, + 4,5.1 ÷: −21 ÷ = + ÷: ÷ = 1 + ÷ = = 45 16 45 43 43 Do −5 < x < Liên hệ tài 039.373.2038 −2 mà x ∈ ¢ ⇒ x ∈ { −4; −3; −2; −1} liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC ... 6 17 Hướng dẫn giải Ta có 1 x+ y + = ⇔ = ⇔ xy − 6 17( x + y ) = ⇔ xy − 6 17 x − 6 17 y + 6 17 = 6 17 x y 6 17 xy 6 17 ⇔ ( x − 6 17) ( y − 6 17) = 6 17 Vì x, y nguyên dương nên x – 6 17 y – 6 17 ước lớn –6 17. .. x + 15 x − 20 x = 16 17 17 17 70 −35 −32 ⇒ x −1 = ⇒x= 3 13 13 5 9 x + 15 x − 20 x = 16 ⇒ + 15 − 20 ÷x = 16 ⇒ −4.x = 16 ⇒ x = −4 17 17 17 17 17 17 Liên hệ tài 039. 373 .2038 liệu word tốn... Bài 2: Tìm x 33 x +3 − 2.33 x+1 = 5 67 biết: Hướng dẫn giải 3x 33 x +3 − 2.33 x+1 = 5 67 ⇒ 33 x 27 − 2.33 x.3 = 5 67 ⇒ ( 27 − ) = 5 67 ⇒ 33 x 21 = 5 67 ⇒ 33 x = 5 67 : 21 ⇒ 33 x = 33 Vậy 3x = ⇒ x =