SKKN Hướng dẫn học sinh lớp 9 trường THCS Nga Bạch ứng dụng và phát triển từ một bài toán ban đầu

SKKN Hướng dẫn học sinh lớp 9 trường THCS Nga Bạch ứng dụng và phát triển từ một bài toán ban đầu SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGA SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC[.]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGA SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP TRƯỜNG THCS NGA BẠCH ỨNG DỤNG VÀ PHÁT TRIỂN TỪ MỘT BÀI TOÁN BAN ĐẦU Người thực hiện: Nguyễn Văn Học Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Nga Bạch SKKN thuộc lĩnh vực mơn : Tốn THANH HĨA NĂM 2017 SangKienKinhNghiem.net MỤC LỤC Tên chương mục MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG 2.1 : Cơ sở lý luận Trang 3 3 3 2.2 Thực trạng 2.3 Các giải pháp Nội dung cụ thể 5 Ứng dụng 1: Hướng dẫn học sinh sử dụng đẳng thức vào phân tích đa thức thành nhân tử Ứng dụng 2: Hướng dẫn học sinh sử dụng đẳng thức vào rút gọn biểu thức: Ứng dụng 3: Hướng dẫn học sinh sử dụng dụng đẳng thức vào chứng minh chia hết: Ứng dụng 4: Hướng dẫn học sinh sử dụng đẳng thức vào chứng minh đẳng thức Ứng dụng 5: Hướng dẫn học sinh sử dụng đẳng thức vào tính giá trị biểu thức Ứng dụng 6: Hướng dẫn học sinh sử dụng đẳng thức vào giải phương trình hệ phương trình 2.5 Hiệu KẾT LUẬN –KIẾN NGHỊ 10 11 14 15 3.1 Kết luận 15 3.2 Kiến nghị 16 SangKienKinhNghiem.net MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Trong trình dạy học làm cho học sinh lĩnh hội kiến thức cần thiết Tuy nhiên để học sinh vận dụng kiến thức vào giải tốn cần nắm vững kiếm thức từ ứng dụng vào để giải toán Những đẳng thức đáng nhớ nội dung kiến thức quan trọng chương trình Đại số lớp Mỗi đẳng thức giúp học sinh giải lớp toán, việc vận dụng đằng đẳng thức giúp học sinh thực giải toán nhanh hơn, gọn Để trở thành học sinh giỏi Tốn, ngồi u cầu kiến thức chương trình cần nắm vững, học sinh cịn phải biết tìm tịi, khai thác, vận dụng kiến thức nâng cao Đối với học sinh lớp 9, giáo viên việc hướng dẫn em vận dụng nhuần nhuyễn bảy đẳng thức đáng nhớ sách giáo khoa cần phải cung cấp thêm số đẳng thức tổng quát, số đẳng thức nâng cao, giúp em học sinh giỏi vận dụng để giải nhiều tốn khó, nhiều dạng tập Khai thác ứng dụng đẳng thức nâng cao nhằm bổ sung kiến thức mới, khơi dậy niềm say mê học tập, phát huy tính tích cực nhận thức phát triển kỹ tự học học sinh Vậy ta phải dạy cho học sinh nắm kiến thức cách có hệ thống từ tốn toán làm mà phải vận dụng phát triển toán khác trở thành tốn tổng qt hay tìm quy luật cách giải toán Làm để em có hứng thú, say mê học tập câu hỏi mà thầy cô đặt cho Trong q trình dạy học Tốn, bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn, tơi thấy có hai tốn liên quan đến tổng ba lập phương tốn có nhiều ứng dụng, đê giúp học sinh vận dụng toán vào giải số tốn phân tích đa thức thành nhân tử, giải phương trình, rút gọn biểu thức, chứng minh bất đẳng thức, , giúp học sinh rèn luyện tư tốn học; sáng tạo q trình học tập, tiếp thu kiến thức điều cần thiết Để đáp ứng yêu cầu nhu cầu học tập học sinh Do giảng dạy thường phải chắt lọc nội dung kiến thức, phải từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tượng phát triển thành toán tổng quát giúp học sinh phát triển tư Tốn học Trong q trình nghiên cứu chương trình tốn THCS tơi nhận thấy việc hướng dẫn Học sinh giải tốn từ tốn thay đổi điều kiện hay thêm bớt điều kiện tốn trở thành toán khác Xuất phát từ động thực tế nói nên tơi xin trao đổi số kinh nghiệm nhỏ bạn với tên đề tài là:" Hướng dẫn học sinh lớp trường THCS Nga Bạch ứng dụng phát triển từ tốn ban đầu " SangKienKinhNghiem.net 1.2 Mục đích nghiên cứu: - Đối với học sinh toán biết đẳng thức đáng nhớ đơn vị kiến thức vô quan trọng, khơng nắm khơng giải nhiều tốn tiếp theo, tìm cách dạy - học mơn tốn để áp dụng đẳng thức cách có hiệu cao nhất, từ tiết kiệm thời gian thầy trị dạy – học Thông qua đề tài nhằm giúp em chủ động kiến thức, biết vận dụng kiến thức lúc vào giải dạng tập Làm cho em khơng cịn phải lo lắng, lúng túng mắc phải sai lầm bắt gặp dạng tốn Bên cạnh học sinh cịn rèn luyện kỹ phân tích – tổng hợp vấn đề nảy sinh sống 1.3 Đối tượng nghiên cứu: - Đề tài nghiên cứu toán- Hằng đẳng thức biết vận dụng vào giải số tốn: a3 + b3 + c3 - 3abc = (a+ b+ c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc - ca) 1 (a +b +c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a+ b)(b+c)(c + a) 1 - Các ứng dụng nó: Nếu a3 + b3 + c3 - 3abc = a + b + c = Hoặc (a2 + b2 + c2 – ab – bc - ca) =  a = b= c - Nếu (a +b +c)3 – a3 – b3 – c3 = a = -b b = - c c = -a 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp điều tra khảo sát thực tế thống kê - Điều tra, thực nghiệm, khảo sát kết học tập học sinh - Thực nghiệm giảng dạy cho em học sinh với nhóm chun mơn thực - Điều tra, đánh giá kết học tập học sinh sau thực nghiệm giảng dạy chuyên đề trao đổi ý kiến với đồng nghiệp NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận: - Trong dạy hoc tốn học tơi thấy hai tốn sau sách giáo khoa chìa khóa để giải tốn là: Chứng minh toán: a3 + b3 + c3 - 3abc = (a+ b+ c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc - ca) 1 (a +b +c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a+ b)(b+c)(c + a) 1 - Việc khai thác toán sách giáo khoa đem đến cho nhiều điều thú vị sâu sắc hệ thống tập sách giáo khoa sách bồi dưỡng chắt lọc kỹ lưỡng hàm chứa nhiều vấn đề, cần khai thác phát triển ví dụ : Cho a + b + c = Chứng minh a3 + b3 + c3 = 3abc 4 Phân tích đa thức thành nhân tử: (x + y + z)3 - x3 - y3 - z3 3 SangKienKinhNghiem.net Tốn học cơng cụ để phát triển tư duy, việc giải tốn có ý nghĩa quan trọng việc phát triển tư cho học sinh Trong khuôn khổ đề tài này, xin đề cập đến ý nghĩa việc vận dụng tốn biết tốn biết coi đẳng thức cho học sinh lớp Từ kinh nghiệm giảng dạy thực tế, thấy cho học sinh nắm đẳng thức toán biết, tác động mạnh đến tư phân tích tư tổng hợp học sinh Từ giúp em hệ thống nhớ kiến thức liên quan học trước Trong trình giải tập, em vừa tìm đáp số vừa có dịp “hồi tưởng” lại kiến thức học mà có khơng nhớ hết Từ dạy học , giáo viên cần phải hướng dẫn học sinh phân tích để tìm lời giải cho tốn mà cịn phát cách giải khác cho toán 2.2 Thực trạng - Việc nắm vững toán biết- đẳng thức yêu cầu cần thiết học sinh, phần nhiều em học sinh nắm số đẳng thức đơn giản vận dụng vào số tập dạng đơn giản, cịn nhiều đẳng thức mở rộng nhìn chung em chưa ý nhiều đến, có hai toán sách giáo khoa đẳng thức mà ứng dụng rộng rãi, việc áp dụng cho ta cách giải nhanh, nhiều em chưa thật ý nhiều nên vận dụng cịn lúng túng, chí khơng nhớ kết tập Để khắc phục nhược điểm cho em, suy nghĩ phải tìm khía cạnh để khêu gợi suy nghĩ em, kích thích trí tị mị qua vấn đề mà thầy đưa thơng qua để trang bị cách có hệ thống kiến thức thiết thực, trang bị cho em cách nhìn tốn nhiều góc độ khác nhau, tăng khả tư lơgích rèn luyện tính sáng tạo cho em, giúp cho em có tác phong độc lập giải tốn Đứng trước tốn chủ động vững tin biết đặt câu hỏi tìm câu hỏi trả lời thích hợp để giải toán cách trọn vẹn - Trên sở nghiên cứu đối tượng học sinh Tôi tìm hiểu đẳng thức, phương pháp giải ứng dụng để chứng minh toán , … tìm hiểu, vận dụng để chứng minh toán khác - Hướng dẫn học sinh giải toán bản, ứng dụng để giải toán khác tập nâng cao Trong chương trình tốn có nhiều dạng tốn khác nhau, sử dụng toán hay đẳng thức biết để làm tiền đề cho toán (bài tốn mới) Mỗi có u cầu khác đặc trưng riêng, học sinh bắt gặp cảm thấy khó nhiều học sinh giải toán biết cách giải kết tốn mà khơng vận dụng vào tốn khác, lại Bởi em chưa nắm kiến thức bản, không nhớ cách giải dạng thói quen gợi nhớ, mở rộng, vận dụng tốn cũ nên khơng giải tốn đặt ta thay đổi giả thiết SangKienKinhNghiem.net Qua kết khảo sát nhón học sinh (hai nhóm tương đương) tơi thấy có vấn đề sau: - Vận dụng đẳng thức yếu - Khả tư học sinh hạn chế - Cách trình bày lời giải cho tồn cịn - Chưa có khả sáng tạo vận dụng toán biết Kết khảo sát lớp học sinh chưa truyền đạt kiến thức Số lượng % 15 Các mức độ kiến thức đạt % Hiểu % Vận dụng 50 14 46.7 Biết Lớp 9A 30 Lớp 9B 30 18 60 12 40 3.3 Từ kết trên, để có hiệu tốt hơn, tơi tìm tòi suy nghĩ đưa phương án : là: Từ tốn ta thay đổi giả thiết tốn khác từ toán vận dụng để giải toán khác Nếu Học Sinh làm điều khơng nắm vững kiến thức , nắm vững toán, dạng toán làm mà cịn có khả tư sáng tạo, tổng hợp cao 2.3 Các biện pháp Để giúp học sinh lớp có kỹ giải thành thạo tập vận tập phần sở lý luận, trước hết giáo viên cần hướng dẫn học sinh nắm đẳng thức đáng nhớ kết hai tập Giáo viên cần giúp học sinh phân loại tập theo dạng toán bản, nâng cao Ở dạng tốn, giáo viên cần đưa ví dụ cụ thể, hướng dẫn học sinh biết vận dụng tập biết - đẳng thức để giải Giáo viên đưa tập tương tự, tập nâng cao để học sinh tự giải + Các toán sử dụng để giải nhiều tốn thuộc dạng sau: 1.1 Phân tích đa thức thành nhân tử 1.2 Rút gọn biểu thức 1.3 Chứng minh chia hết 1.4 Chứng minh đẳng thức 1.5 Tính giá trị biểu thức 1.6 Giải phương trình hệ phương trình Nội dung cụ thể Trong chương trình tốn THCS có nhiều đẳng thức song có hai đẳng thức quen thuộc với bạn HS lớp Chúng đưa vào chương trình phổ thơng tốn là: a3 + b3 + c3 - 3abc = (a+ b+ c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc - ca) 1 (1) SangKienKinhNghiem.net (a +b +c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a+ b)(b+c)(c + a) 1 (2) Chứng minh: Chứng minh đẳng thức (1) Ta có : a3 + b3 + c3 – 3abc= (a+ b)3 – 3ab(a+b) + c3 = (a+b+c)3 – 3(a+b)2c – 3(a+b)c2 - 3ab(a+b) + c3 = (a+ b+ c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc - ca) (đpcm) Chứng minh đẳng thức (2) Ta có: (a +b +c)3 – a3 – b3 – c3 = (a+b)3 + 3(a+b)2c + 3(a+b)c2 + c3 = 3(a+b)(ac +bc + c2 + ab) = 3(a+ b)(b+c)(c + a) (đpcm) "Hai đẳng thức bị nhiều người bỏ rơi Thật cho ta nhiều điều thú vị Trước hết ta ý đến đẳng thức (1)" a  b  c  Từ (1) => a3 + b3 + c3 = 3abc   (3) 2 a  b  c Từ (2) => (a +b +c)3 = a3 + b3 + c3 a  b  b  c 2 c  a (4) "Việc vận dụng hai đẳng thức nhiều trường hợp hiệu bất ngờ Sau ta xét số toán minh họa" Ứng dụng 1: Hướng dẫn học sinh sử dụng đẳng thức vào phân tích đa thức thành nhân tử Bài tốn 1: Phân tích đa thức 27x3 + 125y3 + z3 - 45xyz thành nhân tử Giải: 27x3 + 125y3 + z3 - 45xyz = (3x)3 + (5y)3 + z3 - 3.(3x).(5y).z = (3x + 5y + z)[(3x)2 + (5y)2 + z2 - (3x)(5y) - (3x)z - (5y)z] = (3x + 5y + z)(9x2 + 25y2 + z2 - 15xy - 3xz - 5yz) Bài tốn 2: Phân tích đa thức (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 thành nhân tử Giải: Đặt m = x - y, n = y - z, p = z - x m + n + p = Suy m3 + n3 + p3 = 3mnp Vậy (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 = 3(x - y)(y - z)(z - x) Với m = x2 + y2; n = z2 - x2; p = - y2 - z2 cho m + n + p = ta có tốn sau: Bài tốn 3: Phân tích thành nhân tử: Q= (x2 + y2)3 + (z2 - x2)3 - (y2 + z2)3 Giải: Q = (x2 + y2)3 + (z2 - x2)3 - (y2 + z2)3 = (x2 + y2)3 + (z2 - x2)3 + (- y2 - z2)3 Đặt m = x2 + y2; n = z2 - x2; p = - y2 - z2  m + n + p =  Q = m3 + n3 + p3 = 3mnp = 3(x2 + y2)(z2 - x2)(- y2 - z2) = 3(x2 + y2)(y2 + z2)(x + z)(x - z) SangKienKinhNghiem.net Với m = x + y - z; n = x - y + z; p = - x + y + z cho m + n + p = ta có tốn: Phân tích thành nhân tử: (x + y + z)3 - (x + y - z)3 - (x - y + z)3 - (- x + y + z)3 1 Bài tập vận dụng Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) a3 + 8b3 + 27c3 - 18abc 2) (x - y + z)3 - x3 + y3 - z3 3) (a + b)3 - (b + c)3 + (c - a)3 4) (3x2 - 2x + 1)3 + (x - x2 - 1)3 - (2x2 - x)3 Ứng dụng 2: Hướng dẫn học sinh sử dụng đẳng thức vào rút gọn biểu thức: Bài toán 4: Rút gọn biểu thức A = ( a+b+ c)3 – ( a+ b – c)3 – ( b + c – a)3 – ( c+ a – b)3 2 Giải: Để thuận tiện ta sử dụng ẩn phụ: x  a  b  c Đặt  y  b  c  a  x  y  z  a  b  c z  c  a  b  Khi : A = ( x+ y + z)3 – x3 – y3 – z3 = 3( x+y)(y+z)(z+x) = 3.2b.2c.2a = 24abc Nhận xét: Như lời giải toán sử dụng yếu tố phụ x, y, z với mục đích giảm thiểu độ phức tạp cho lời giải Đây ý tưởng không mạng lại hiệu cao " Giải toán nào", Pô – li –a khẳng định yếu tố phụ nhịp cầu nối toán toán cần tìm cách giải với tốn biết cách giải 2 Chú ý: Tiếp theo ta tiếp tục sử dụng đẳng thức để thực vài phép biến đổi đại số cụ thể việc trục thức bậc ba mẫu số Bài toán 5: Trục thức mẫu số biểu thức sau: A= , với abc = 1 a b3c Giải: Áp dụng đẳng thức: a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) Ta coi mẫu số A có dạng a + b + c Khi nhân tử mẫu A với (a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca), tức A=  a  b  c  3 3 ab  bc  ca ta được: a  b  c  ab  bc  ca a  b  c  3 abc SangKienKinhNghiem.net a  b  c  ab  bc  ca a bc 3 = Bài toán 6: Trục thức mẫu số biểu thức: B= 2 4   16 Giải: Áp dụng đẳng thức: a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) Ta coi mẫu số A có dạng a + b + c Khi nhân tử mẫu B với ( a2 + b2 + c2 – ab –bc- ca) ta có : A= 16 16  4  256  16  64  32 (4 4)3  (2 2)3  1633.4 4.2 2.16 = 272  60 15  68  3056 764 Bài toán 7: Hãy thực trục thức mẫu biểu thức sau: a) A = b) B = 2 1  với abc = 1000 a3b3c Từ toán 1: Nếu cho thêm giả thiết số a, b, c tốn viết dạng u cầu chứng minh tính chia hết sau số ví dụ Ứng dụng 3: Hướng dẫn học sinh sử dụng dụng đẳng thức vào chứng minh chia hết: Bài toán 8: Cho số nguyên a,b,c thảo mãn: a + b + c = ( a- b)( b- c)(c –a) Chứng minh rằng: ( a- b)3 + ( b- c)3 + ( c- a)3 chia hết cho 1 Giải: Để thuận tiện ta sử dụng ẩn phụ: Đặt: x  a  b  y  b c  x  y  z  z  c  a  Khi : ( a –b)3 + ( b- c)3 + ( c- a)3 = x3 + y3 + z3 = (x+ y+z)(x2+y2 + z2- xy-yz-xz) + 3xyz = 3( a-b)( b- c)( c- a) = 3( a+b+c) (vì a + b+c =(a- b)( b- c)(c –a)) 3 Từ ta có ( a –b) + ( b- c) + ( c- a)3 chia hết cho Bài toán 9: Cho số nguyên a,b,c thảo mãn: a + b + c = ( a- b)( b- c)(c –a) SangKienKinhNghiem.net Chứng minh rằng: M = ( a- b)3 + ( b- c)3 + ( c- a)3 chia hết cho 81 2 Giải: Vì (a-b) + ( b- c) + ( c- a) = nên theo ( 3) ta có a3 + b3 + c3 = 3abc ( a- b)3 + ( b- c)3 + ( c- a)3 = 3( a-b)( b-c)( c-a) Xét số dư phép chia a, b ,c cho a) Nếu ba số dư khác ( 0, , 2) ( a + b + c ) M3 ( a-b)( b- c)( c-a) không chia hết cho 3, trái với giả thiết b) Nếu có hai số dư thi a + b + c không chia hết cho 3, trong ba hiệu ( a- b), ( b- c), ( c- a) chia hết cho 3, trái với giả thiết c) Vậy trường hợp ba số a ,b ,c có số dư chia cho 3, lúc ( a-b)( b- c)( c-a) M3.3.3.3 nên M M81 Nhận xét: Cũng với phương pháp cịn chứng minh kết tổng quát sau Chứng ming với p số nguyên tố lẻ số: ( a+b+c)p + ( a- b –c)p+ ( b- c-a)p + ( c- a- b)p chi hết cho 8pabc Chứng ming với p số nguyên tố lẻ số ( a- b)p + ( b- c)p + ( c- a)p chia hết cho p( a-b)(b-c)(c-a) 1 Ứng dụng 4: Hướng dẫn học sinh sử dụng đẳng thức vào chứng minh đẳng thức Bài toán 10: Biết x+ y + z = Chứng ming 2( x5 + y5 + z5) = 5xyz( x2 + y2 + z2) 2 Giải Từ giả thiết x + y+ z = => 3xyz = x3 + y3 +z3  3xyz( x2 + y2 + z2) = (x3 + y3 +z3)( x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x2y2( x+y)+ y2z2( y + z)+ z2x2( z+x) = x5 + y5 + z5 - x2y2z- - y2z2x- z2y2x = x5 + y5 + z5 - xyz( xy+yz+xz) Mặt khác: từ: +) x + y+ z =  = ( x+ y + z) = x2 + y2 + z2+ 2(y + 2yz+ 2xz)  xy+ yz+xz = - ( x2 + y2 + z2) ( x2 + y2 + z2) vào biểu thức ta 3xyz ( x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + xyz( x2 + y2 + z2)  2( x5 + y5 + z5) = 5xyz( x2 + y2 + z2) ( đpcm) Thay xy+ yz+xz = - Bài toán 11: ax  by  c Biết : bx  cy  a cx  ay  b  (*) Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 = 3abc 5 SangKienKinhNghiem.net a  b  c  Giải: Do a3 + b3 + c3 = 3abc   a  b  c a  b  c  Nên ta cần chứng minh  a  b  c Thật vậy: giả sử ( x,y) nghiệm ( *) cộng theo vế (*) ta a  b  c  a  b  c  ( a + b+c)( x+y - 1) =     x  y 1   x  y 1  Từ x+ y – = => y = – x vào ( *) ta a =b =c từ ta có điều phải chứng minh Ứng dụng 5: Hướng dẫn học sinh sử dụng đẳng thức vào tính giá trị biểu thức Bài toán 12: Cho a, b, c số thực khác cho a3b3 + b3c3 + c3a3 = 3a2b2c2 Hãy tính giá trị biểu thức a  b  c  M= 1  1  1   5 b  c  a  (5) y  x  z  Giải: Đặt x= bc, y = ac, z = ab => xyz  => M = 1  1  1   x  z  y  x  y  z  Từ giả thiết (5) => x3 + y3 + z3 = 3xyz   x  y  z Ta xét hai trường hợp 1) x + y + z = 3(x+y)(y+z)(z+x) = - 3xyz => (x+y)(y+z)(z+x) = - xyz y  x  z   x  y  z  x  y  z    = -1    M = 1  1  1   =  x  z  y   x  z  y   2) Nếu x=y=z (hay a= b= c) => M = Cho xy + yz + xz = x; y; z khác yz xz xy Hãy tính A =   1 x y z Từ xy + yz + xz = x; y; z khác Bài toán 13: Giải: suy 1    nên theo (3) ta có x y z 10 SangKienKinhNghiem.net Từ A = 1 xyz xyz xyz     = xyz( =3 3 )= 3xyz 3 x y z x y z xyz Nhận xét : Ở toán ta sử dụng điều kiện xi để tính giá trị biểu thức, ví dụ minh họa điều kiện ngược để tính gía trị biểu thức 1 Bài tốn 14: Biết a3 + b3 = 3ab -1, tính giá trị biểu thức A= a+b 1 Giải: Biến đổi dạng : a3 + b3 = 3ab -1  a3 + b3 + = 3a.b.1 a  b    a  b  1  A  1  A  1      a  b  a  b  A  A  Bài toán 15: Biết a3 – b3 = 3ab +1 Tính giá trị biểu thức A = a- b 1 Giải: Biến đổi giả thiết dạng : a3 – b3 = 3ab +1  a3 +(- b)3 +(- 1)3 = 3a.(-b).(-1)  a  ( b)  (1)   A  1   a   b  1  A  2 Chú ý : Bài toán phát biểu sau: Trong mặt phẳng tọa độ vng góc Oxy, Hãy tìm tập hợp điểm M( x;y ) cho : x3 – y3 = 3xy + 2 Bài tốn 16: Tìm cơng thức tính nhanh tổng sau theo số tự nhiên k: S= 1.2.3 +3.4.7 + 7.8.15+ …+ (2k – 1)2k(2k+1-1) 2 Giải: Vì (2k – 1) + 2k + (1- 2k+1)= nên áp dụng đẳng thức (1) ta có (2k- 1)3 + (2k)3- (2k+1- 1)3 = -3(2k – 1)2k(2k+1-1) Từ -3S = (-3).1.2.3 + (-3).3.4.7 +(-3)7.8.15 + …+ (-3) (2k- 1)2k(2k+ 1- 1) => - 3S = (1 + 23- 33) + ( 33 + 43 – 73 )+ ( 73 + 83 – 153 ) +… + (2k- 1)3 + 23k- (2k+1- 1)3 => -3S = + 23 + 43 +83 +…+ 33k – (2k+1- 1)3 (*) 3 3k 3k+3 2k+1 => 24S = -2 – – - … - – + 8(2 - 1) (**) Cộng theo vế (*) (**) ta => 21S = – 23k+3 + 7(2k+1-1)3 Hay S = k (2  1)(2 k 1  1)(2 k   1) Ứng dụng 6: Hướng dẫn học sinh sử dụng đẳng thức vào giải phương trình hệ phương trình 11 SangKienKinhNghiem.net Bài tốn 17: Giải phương trình: a) x3 -3x + = b) x3 + 16 = 12x 1 Giải: a) Ta có x3 -3x + =  x3 + 13 + 13 = 3.x.1.1 x 11   x  2    x   x  Vậy phương tình có hai nghiệm x = -2, x = b) x    Ta có x3 + 16 = 12x  x3 + 23 + 23 = 3.2.2.x   x   Vậy phương tình có hai nghiệm x = -4, x = Bài toán tương tự:  x  4  x  Giải phương trình 6x3 + 3x- = 1 Bài tốn 18: Giải phương trình (x-3)3+ (x+1)3-= 8.(x-1)3 2 Lời giải: Vì (a-b)+(b-c)+(c-a)=0 nên (a-b)3+(b-c)3+(c-a)3=3.(a-b)(b-c)(c-a) Ta có: (x-3)3+ (x+1)3-= 8.(x-1)3  [(3x+3)-(2x+6)]3+[(2x+6)-(x+5)]3+[(x+5)-(3x+3)]3 x    3.(x-3)(x+1)(-2x+2)=0   x  1  x  Tập nghiệm S = 3;1;1 Bài tốn 19: Giải phương trình a) ( x- 2)3 + ( x + 1)3 + ( 1- 2x)3 = b) x   x   x   1 Giải: a) Sử dụng đẳng thức biến đổi phương trình dạng : ( x- 2)3 + ( x + 1)3 + ( 1- 2x)3 =  (x-2+x+1+2x) (x  2)  (x  1)  (1  x)  (x  2)(x  1)(1  x)   3(x  2)(x  1)(1  x)   ( x- 2)(x+1)( 1-2x) =  x   x  1   x  1/ a Đặt a = x  , b = x  , c= x  Khi phương trình có dạng : a+ b + c = a3 + b3 + c3 = 3abc  ( x- 1)+ ( x- 2) + ( x- 3) = 3 x  x  x   x -2 = (x  1)(x  2)(x  3)  ( x- 2)3 = ( x- 1)( x-2)( x-3) 12 SangKienKinhNghiem.net  ( x -2) (x  2)  (x  1)(x  3)   x- =  x = Thử lại thấy x = thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm x = Nhận xét: Trong câu a) só thể sử dụng đánh giá ( x- 1)+ ( x- 2) + ( x- 3) = Do đó, phương trình tương đương với: ( x- 1)( x-2)( x-3)  x = x = x = Từ ta thử lại để chọn nghiệm Một số toán tương tự a) ( x- 3)3 + ( 2x -3)3 = 27 ( x-2)3 b) ( x- 3)3 + ( x + 1)3 = 8( x-1)3 c) (a x+b)3 + (bx + a)3 + ( a+b)3(x+1)3 = d) x  + x  + x  = 2 Bài tốn 20: Giải hệ phương trình x  y  z   2 x  y  z   x3  y  z   1 Giải: Từ x+ y + z = x3 + y3 + z3 = ta suy ( x + y + z)3 – ( x3 + y3 + z3) = x  y  o  ( x+ y)( y + z)( z + x) =   y  z   z  x  Khi z  x  y  + Với x + y = 0, hệ có dạng  x  y    z   x2  y   + Với y + z = 0, hệ có nghiệm ( 1;0;0) + Với z + x = 0, hệ có nghiệm ( 0, 1;0) Nhận xét: Chúng ta biết " Sau tìm lời giải toán , nhiều trường hợp, ta từ kết cách giải mà suy giải khác nhau( hiểu có cách giải khác)" Cụ thể từ nghiệm tìm được, ta thấy x- = y – z – = đễ dàng suy cách giải khác sau: Từ x2 + y2 + z2 = suy -  x, y, z  Khi , kết hợp x2 + y2 + z2 = x3 + y3 + z3 = ta suy x2( 1-x) + y2( 1-y)+z2( 1-z) = 13 SangKienKinhNghiem.net  x  0; y  0; z   x2( 1-x) = y2( 1-y) =z2( 1-z) =   x  0; y  1; z   x  1; y  0; z  Đó ý tưởng " Một cách tìm nhiều lời giải tốn" Bài tốn 21: Tìm nghiệm nguyên hệ phương trình:  x  y  3z  ( I)  Giải: 3 (x  1)  (2 y  3)  (3 z  2)  18 2  x  y  3z  (x  1)  (2 y  3)  (3z  2)   3 (x  1)  (2 y  3)  (3 z  2)  18 (x  1)  (2 y  3)  (3z  2)  18 Ta có :  3 (II) Áp dụng đẳng thức a3 + b3 + c3 = 3abc ta có: (x  1)  (2 y  3)  (3z  2)  (x  1)(2 y  3)(3z  2)  ( II)   Vì x; y ; z nguyên nên x- 1; 2y – 3; 3z – nguyên Do đó: Giá trị tuyệt đối số (x - 1); (2y -3); (3z- 2) ước 6, nghĩa thuộc tập hợp  1;2;3;6 Từ để 3z- nghiệm ngun 3z – = 3z- = -2 a) Với 3z- = thay vào hệ ( II) ta (x  1)  (2 x  3)  1  (x  1)(2 y  3)  Vậy ( x -1) ( 2y -3) nghiệm phương trình : t2 +t +6 = Phương trình vơ nghiệm b) Với 3z – = -2 thay vào hệ ( II ) ta (x  1)  (2 y  3)   (x  1)(2 y  3)  3 Vậy ( x+1) ( 2y -3) nghiệm phương trình: t2 -2t -3 = Phương trình có hai nghiệm t1 = -1; t2 = Kết hợp với 3z- = -2 suy hệ phương trình (I) có hai nghiệm ngun (x;y;z) (0;3;0); (4;1;0)  Những cách nhìn khác tốn cho ta cách phát biểu khác tốn ngược lại, từ hình thành phảm chất nhạy bén cho người làm tốn 2.5 Hiệu Với kinh nghiệm vừa trình bày trên, sau thời gian thực hiện, thân thu kết sau: Kiến thức: Học sinh tiếp nhận kiến thức cách, chủ động, có hệ thống, học sinh phân biệt nhận dạng toán liên quan đến đẳng thức, tốn biết từ hầu hết giải tập phần này, xoá cảm giác khó phức tạp ban đầu Qua rèn luyện cho học sinh trí thơng minh, 14 SangKienKinhNghiem.net sáng tạo, phẩm chất trí tuệ học sinh thấy dạng tốn thật phong phú khơng đơn điệu, giúp học sinh hứng thú học mơn Kĩ năng; Khi gặp tốn liên quan đến đẳng thức tốn sinh có khả quan sát, phân tích đưa cách giải cách hợp lí hiệu nhanh nhất, vận dụng toán gốc cách linh hoạt Thái độ: Từ kiến thức em có ý thức tự giác hứng thú học tập ngày cao hơn, đa số em có nhu cầu tìn tịi , nâng cao kiến thức Chính lẽ số học sinh giỏi ngày tăng lên Bảng thống kê: Kiểm nghiệm kết kiểm tra sau áp dụng đề tài: Số Các mức độ kiến thức đạt lượng Biết % Hiểu % Vận % dụng Lớp 9A 30 0 17 56,7 13 43.3 Lớp 9B 30 0 18 30 12 40 Qua phần khảo sát số học sinh giỏi tăng lên, số học sinh yếu giản KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Qua thực tế giảng dạy, tổ chức biện pháp nhằm phát triển tư cho học sinh vận dụng đẳng thức để giải tốn thơng qua tốn , tơi nhận thấy có số ưu điểm bật là: Giúp học sinh có “chìa khố” để mở hầu hết tốn hình học mở nhiều tốn nói chung; Học sinh xây dựng đường lối tìm lời giải toán nhanh, gọn chứng minh khoa học Các biện pháp sử dụng rộng rãi với nhiều đơn vị kiến thức khác Khi giải toàn cần lưu ý: + Ta cần phân tích kỹ yếu tố có tốn phần hệ số, phần biến, phấn số mũ, dấu (+, - ) toán xem xét vận dụng kiến thức cũ để giải + Phân dạng toán cách có hệ thống hướng dẫn phương pháp dạng, bài, từ khai thác vận dụng để đưa toán + Làm cho học sinh nắm vững đẳng thức + Đưa tốn mang tính chất đặc trưng phương pháp để học sinh vận dụng giải toán tương tự + Trong tốn gợi nhớ toán làm + Phần "hằng đẳng thức hay toán " lớp nội dung quan trọng kiến thức có liên quan chặt chẽ, tiền đề cho học sinh học tốt kến thức sau đặc biệt ứng dụng nhiều Do vậy, trước hết cần cho học sinh nắm thật vững toán bản, đẳng thức, phép biến đổi, bất đẳng thức 15 SangKienKinhNghiem.net 3.2 Kiến nghị Hiện chất lượng học tập mơn Tốn chưa cao, có nhiều em học tập yếu mơn Tốn nên phải tạo điều kiện cho giáo viên có thời gian nghiên cứu, có thời gian bồi dưỡng cho học sinh yếu mơn Tốn Tơi mong nhà trường cấp quản lí giáo dục sớm trang bị đầy đủ sở vật chất, thiết bị, tài liệu, đồ dùng dạy học để công tác giảng dạy nhà trường đạt kết cao Trong phần nghiên cứu đưa vấn đề nhỏ nhiều vấn đề lớn vận dụng khai thác đến toán số vấn đề khác : bất đẳng thức, hệ thức, đường tròn, cách chứng minh đoạn thẳng nhau… dạng toán dành cho đối tượng học sinh lớp Vấn đề ta cịn đưa nhiều toán khác nữa, lĩnh vực khác nhau, đối tượng không học sinh lớp mà cịn áp dụng cho tất đối tượng học sinh khối lớp khác Khi khảo sát áp dụng không thu gọn nhóm học sinh mà có nhiều nhóm học sinh Từ ta có kết cao xác Trên vài kinh nghiệm nhỏ thân tự rút dạy phần đẳng thức Trong trình giảng dạy chắn chưa thể hoàn hảo Rất mong nhận góp ý chân tình bạn đồng nghiệp để năm học tới tốt hơn, đáp ứng với yêu cầu nghiệp giáo dục nước nhà.Trên số kinh nghiệm nhỏ thân, tơi mạnh dạn trình bày với mục tiêu nâng cao chất lượng học tập học sinh, đồng thời bồi dưỡng, tích luỹ thêm cho trình độ chun mơn nghiệp vụ Do điều kiện nghiên cứu vấn đề phạm vi hẹp, vốn tài liệu cịn nên đề tài hẳn cịn nhiều thiêu sót Rất mong đóng góp ý kiến nhiệt tình thầy giáo, bạn đồng nghiệp, hội đồng khoa học giáo dục cấp bạn đọc để viết hoàn thiện đề tài sử dụng rộng rãi Xin trân trọng cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Nga Sơn, ngày tháng năm 2017 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người thực : Nguyễn Văn Học 16 SangKienKinhNghiem.net NHỮNG TÀI LIỆU THAM KHẢO: -Tuyển chọn thi học sinh giỏi lớp 6-7-8-9– Tác giả : Lê Hồng ĐứcNhà xuất Hà Nội năm 2005 - Tuyển chọn theo chuyên đề toán học tuổi trẻ- Nhà xuất giáo dục,2006 3- Các dạng toán phương pháp giải toán 8- Nhà xuất giáo dục năm 2008 4- Tuyển chọn 400 tập toán 8-Tác giả phan Văn Đức – NXB Đà Nẵng năm 2006 5- 23 chuyên đề giải 1001 toán sơ cấp – Tác giả:Nguyễn Văn Vĩnh- NXB GD năm 2008 17 SangKienKinhNghiem.net DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNH KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT Họ tên tác giả: Nguyễn Văn Học Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên trường THCS Nga Bạch STT Tên đề tài SKKN Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Một số tổng , cách tính ứng dụng Một số tổng , cách tính ứng dụng Cách tìm chữ số tận ứng dụng Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Hướng dẫn học sinh lớp ứng dụng phát triển từ toán ban đầu Hướng dẫn học sinh lớp sử dụng tính đồng thời việc giải số dạng tốn Phương pháp giải tốn tính góc lớp Hướng dẫn học sinh lớp giải toán cực trị Trường THCS Nga Bạch Hướng dẫn học sinh lớp trường THCS Nga Bạch vận dụng tính chất dãy tỉ số vào giải toán Hướng dẫn học sinh lớp Trường THCS Nga Bạch ứng dụng phát triển từ toán ban đầu 10 11 12 Cấp đành giá xếp loại Tỉnh Kết đánh giá xếp loại C Năm học đánh giá xếp loại 2004-2005 Huyện A 2004-2005 Tỉnh Huyện Huyện C A B 2005-2006 2006-2006 2006-2007 Huyện C 2007-2008 Huyện B 2009-2010 Huyện B 2010-2011 Huyện C 2011-2012 Huyện B 2013-2014 Huyện B 2015-2016 Huyện A 2016-2017 18 SangKienKinhNghiem.net ... tính ứng dụng Một số tổng , cách tính ứng dụng Cách tìm chữ số tận ứng dụng Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Hướng dẫn học sinh lớp ứng dụng phát triển từ toán ban đầu Hướng dẫn. .. dẫn học sinh lớp sử dụng tính đồng thời việc giải số dạng tốn Phương pháp giải tốn tính góc lớp Hướng dẫn học sinh lớp giải toán cực trị Trường THCS Nga Bạch Hướng dẫn học sinh lớp trường THCS Nga. .. thể 5 Ứng dụng 1: Hướng dẫn học sinh sử dụng đẳng thức vào phân tích đa thức thành nhân tử Ứng dụng 2: Hướng dẫn học sinh sử dụng đẳng thức vào rút gọn biểu thức: Ứng dụng 3: Hướng dẫn học sinh