Các phương pháp xấp xỉ nghiên cứu cấu trúc dòng chảy

Bài viết Các phương pháp xấp xỉ nghiên cứu cấu trúc dòng chảy trình bày phép phân tích theo giá trị kì dị SVD; Mối liên hệ giữa POD và SVD; Phương trình Fredholm; Các tính chất của các hàm riêng cơ sở.

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018 ISBN: 978-604-82-2548-3 CÁC PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ NGHIÊN CỨU CẤU TRÚC DÒNG CHẢY Nguyễn Đức Hậu Trường Đại học Thủy lợi, email: ndhau.dhtl@tlu.edu.vn GIỚI THIỆU CHUNG Phép phân tích trực giao theo giá trị riêng hay Proper Orthogonal Decomposition (POD) kĩ thuật hiệu để phân tích liệu, cho phép xấp xỉ hệ cỡ lớn thành hệ cỡ nhỏ Nói chung phương pháp q trình tuyến tính, việc xác định hệ sở modes riêng trực chuẩn phù hợp Các modes thu sau giải phương trình tích phân Fredholm nhận xây dựng từ tập hợp liệu ban đầu kết số hay kết thực nghiệm Từ ta chọn hệ hàm riêng cách tối ưu để xây dựng lại hệ liệu xấp xỉ tốt Để tiếp cận với phương pháp POD trước tiên ta đề cập đến trường hợp chung phương pháp xấp xỉ Bài toán phát biểu sau: Làm để xấp xỉ hàm u phụ thuộc vào biến không gian x biến thời gian t theo tổng hữu hạn có dạng: K u  x,t    a k  t   k  x  k 1 Rõ ràng xấp xỉ trở thành phép tính cho K vô Tuy nhiên thực tế với K cho trước tìm cách xây dựng lại cách tốt Việc thực với nghiệm tốn phân tích kì dị với chuẩn Euclide khơng gian L2 Nói chung, để giải toán xấp xỉ trên, ta xét hàm sở k hàm đa thức Chebychev hay Legendre, hàm lượng giác Cách tiếp cận dẫn đến phép phân tích trực giao theo giá trị riêng Một khó khăn phép xấp xỉ hệ hàm sở k tương ứng với tập hợp hàm thời gian ak (t) Liệu ak (t) tồn nhất? Giả sử chọn hàm k hệ trực chuẩn:  0,  (x)  (x) dx     k k k k  2 1,  đó: k k kí hiệu Kroneker k1  k k1  k Dùng tích vơ hướng ta nhận được: al  t    u  x,t  l  x  dx   u  x,t  ,  l  x    Nghĩa với họ hàm trực chuẩn, hệ số ak (t) phụ thuộc hàm k Bài toán xấp xỉ dẫn đến việc xác định K họ trực chuẩn k  x k 1 với K  N t để toán cực tiểu sau xảy Nt K i 1 k 1  || u  x, t i     u  x, t i  ,  k  x   k  x  || PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 2.1 Phép phân tích theo giá trị kì dị SVD Cho A ma trận thực cỡ M  Nt , Phép phân tích theo giá trị kì dị SVD (Singular Value Decomposition) A định nghĩa sau A = U  VT, U V ma trận vng góc với nhau, có cỡ M  M Nt  Nt  ma trận đường chéo với phần tử đường chéo:  , …, r giá trị riêng A (và AT) cho   2  …  r, r = (M, Nt) Hạng ma trận A số giá trị riêng khác khơng Mặt khác, r cột tương ứng V  v1 , v , , v N t U = (u1 , u2 , …, uM) gọi véc tơ kì dị phải trái A Để tính tốn véc tơ kì dị phải trái ma trận vuông A ta giải toán giá trị riêng tương ứng với ma trận ATA AAT Ta có: 172   Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018 ISBN: 978-604-82-2548-3 A TA  V  U T U  V T  V  V T K sở hàm riêng POD k (x) k 1 chứa T Do A A ma trận Hermite, khơng gian véc tơ sinh hàm n chéo hóa sở vng góc n j  j k (x)    kj   (x) véc tơ riêng dạng phân tích  (x) j1 j 1 A T A  WW 1  WW T , W Chúng ta lựa chọn ma trận thực  cỡ ma trận vng có số chiều Nt Từ K suy 2 =  W = V Mặt khác t   t n  K hàm riêng k (x) k 1 - hệ sở hữu   µ cỡ n  N (V, ) biểu diễn phép phân tích véc tơ riêng hạn Đối với tất ma trận A t Nt ma trận ATA Tương tự ta thu || Aµt ||22 || Aµ||F AAT  U  VT V  U T  U  U T  W W T , ứng với (U, ) biểu diễn phép phân tích giá trị riêng ma trận AAT Khi mà Nt bé so với M việc giải toán véc tơ riêng ATA đơn giản mặt tính tốn so với tốn giá trị riêng AAT Điều đẫn đến hai cách tiếp cận khác POD Về sau thấy toán ma trận ATA có liên hệ với phương pháp snapshots toán liên hệ với ma trận AAT toán phương pháp cổ điển Như Nt lớn so với M sử dụng phương pháp cổ điển Nt bé so với M việc tính tốn thực nhẹ nhàng so với việc ta sử dụng SVD A 2.2 Mối liên hệ POD SVD Giả sử tệp ta xét u tập hợp U Tất hàm u phân tích dạng u  x,t i   u n n  x, ti    u j (ti )  j  x j 1 t 1 || ||F chuẩn Frobenius Bi toỏn cc tiu tr thnh Tả | | A  ZZ A | | với điều kiện ZT Z  IK , Z T T  1  1 µ  M  A Z   M   A         Như ta cần phải tìm khơng gian có số chiều K cho X = ZZTA µ Từ dẫn đến xấp xỉ tốt A µK  U  VT U V tương ứng A K K K K K K cột U V µK chuẩn Khi so sánh biểu thức A X thấy ma trận  nghiệm hệ tuyến tính sau T  1  M    U K Trong biểu thức này, véc     µ  U  V T nhận tơ kì kị trái U A trực tiếp véc tơ riêng ma Tích vơ hướng hai hàm u v xác µµT Từ véc tơ kì dị xác trận AA T định  u, v  M  u Mv , M ma AV định sau công thức U   µ trận vng cấp n Theo chuẩn Cholesky M M2 T  1  M  hay:     KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 3.1 Phương trình Fredholm Cho X = (x, t n ) biến không gian thời T 1   gian, {u(X)} tập hợp kết gọi || u ||  u, u  ||  M  u || snapshot Nt thời điểm tn không     gian Kí hiệu X Chúng ta tìm hàm Bài tốn cực tiểu lúc viết  cho giá trị |(u, )| cực tiểu hóa lại thành toán cực tiểu mới: với   L2 (D) Từ dẫn đến tốn cực Nt  || u i 1 n K  x,t i     un  x, ti  , k  x   ||2M tiểu hóa k 1 173 |  u,   |  Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018 ISBN: 978-604-82-2548-3 n nj giá trị riêng hàm riêng POD Các hàm riêng vng góc với có chuẩn đơn vị b) Tốn tử R có giá trị riêng số thực dương Ta xếp chúng lại theo thứ tự tăng dần 1        Mặt  nghiệm tốn tối ưu |  u,   |2 max   L2 D  |  u,   |2   ,   ||  ||  Xét toán tử: R : L  D   L2  D  Xác định bởi:  khác chuỗi sau hội tụ R  X    R  X, X'    X'  dX ' n 1 D c) Các hàm riêng POD tạo thành sở hoàn chỉnh, tất u xây dựng lại đó: R  X, X '   u  X   u *  X '  Ta có:    từ sở u u  X    a n in  X   d) Các hàm riêng POD vng góc với đôi một:  R ,      u  X   u *  X'    X'  dX',   X   D u  X   u *  X '   X'  dX '. *  X dX n 1 nC DD  n    im  X  i*n  X  dX  mn  u  X   *  X  dX  u *  X'    X'  dX' D i 1 D e) Các hệ số an u theo  xác D  | u,   | nC 0 Làm tương tự ta thu được:  RX,     , R  với  ,    L22  D  Theo lý thuyết phổ Riesz tốn cực đại hóa có nghiệm giá trị riêng lớn R   Viết dạng phương trình tích phân Fredholm: định an   u,      u i  X  i*n  X  dX i 1 D f) Ma trận tương quan xác định  Ri j  X,X '     n ni  X   nj*  X '  nC   Ri j  X, X '  j  X '  dX '   t  X  n 1 g) Các hệ số thỏa mãn tính chất a n a n *  mn n h) Tính chuẩn hóa hàm riêng POD nC  i 1 D n 1   Ri i  X, X  dX    n  E j1 D n C số thành phần u Bài tốn cực đại hóa liên quan đến KẾT LUẬN việc cực đại thương Rayleigh xác định bởi: Trong báo nghiên cứu phương pháp xấp xỉ SVD POD Bài R ,    r    báo mối liên hệ hai ||  || phương pháp đưa tính chất phương pháp POD Từ Điều kiện cần thiết là: nhận thấy có hai cách tiếp cận khác POD: toán ma trận  r     T R  r      ATA có liên hệ với phương pháp snapshots   toán liên hệ với ma trận AAT Từ dẫn đến R  r     tốn có liên hệ với phương pháp cổ điển 3.2 Các tính chất hàm riêng sở TÀI LIỆU THAM KHẢO a) Phương trình tích phân Fredholm có [1] Nguyen D.H., Guillou S., Nguyen K.D., Pham Van Bang D., Chauchat J (2012), “Simulation tập hợp rời rạc nghiệm thỏa mãn of dredged sediment releas es into homogeneous water using a two-phase model” Advances in Water Resources 48, 102-112 nC   R i j  X,X'   nj  X ' dX '  n  ni  X  j1 D 174 ... Trong báo nghiên cứu phương pháp xấp xỉ SVD POD Bài R ,    r    báo mối liên hệ hai ||  || phương pháp đưa tính chất phương pháp POD Từ Điều kiện cần thiết là: nhận thấy có hai cách tiếp... đến hai cách tiếp cận khác POD Về sau thấy toán ma trận ATA có liên hệ với phương pháp snapshots toán liên hệ với ma trận AAT toán phương pháp cổ điển Như Nt lớn so với M sử dụng phương pháp cổ... liên hệ với phương pháp snapshots   toán liên hệ với ma trận AAT Từ dẫn đến R  r     tốn có liên hệ với phương pháp cổ điển 3.2 Các tính chất hàm riêng sở TÀI LIỆU THAM KHẢO a) Phương trình