Cơ sở Logic pot

TOÁN RỜI RẠC (Discrete Mathematics) Chương 1 Cơ sở Logic  Logic mệnh đề  Logic vị từ Nội dung chính  Khái niệm mệnh đề  Các phép toán logic  Dạng mệnh đề  Các quy tắc suy diễn  Các phương pháp chứng minh  Vị từ và lượng từ hóa  Mệnh đề (Proposition): là một diễn đạt có giá trị chân lý (chân trị) xác định (đúng hoặc sai nhưng không thể vừa đúng lại vừa sai). Ví dụ 1.1: Các diễn đạt sau, diễn đạt nào là mệnh đề?  Mặt trời quay quanh trái đất  3+1 = 5  Trái đất quay quanh mặt trời,…  x + 2 = 8  Mấy giờ rồi?  phải hiểu kỹ điều này.  Hà nội là thủ đô của Việt Nam  Sài gòn nằm ở miền bắc việt nam  x+1=5 nếu x=1 1. Định nghĩa mệnh đề: Kí hiệu: 1 (hoặc T): Chân trị đúng. 0 (hoặc F): Chân trị sai. P, Q, R,… dùng cho kí hiệu các mệnh đề. Ví dụ 1.2: P: Hà Nội là Thủ Đô của Việt Nam Q: Quy nhơn thuộc tỉnh Bình Định R: Việt nam thuộc châu Á S: Long An là tỉnh thuộc khu vực miền trung của Việt nam. … Mệnh đề (tt) 2. Các phép toán logic  Phép phủ định (Negation operator)  Phép nối liền (Conjunction operator)  Phép nối rời (Disjunction operator)  Phép kéo theo (Implication operator)  Phép kéo theo hai chiều (Biconditional operator) 2.1. Phép phủ định (Negation operator)  Phủ định của mệnh đề P (kí hiệu ¬P: đọc là “Không P”) là mệnh đề có chân trị 1 nếu P có chân trị 0 và có chân trị 0 nếu P có chân trị 1. P ¬P 0 1 1 0 ◊ Bảng chân trị ◊ Ví dụ 2.1: P: ≡ “Hà nội là thủ đô của Việt Nam” ¬P:≡ “Hà nội không phải là thủ đô của Việt Nam” Q: ≡ “1-4 = 8” ¬Q:≡ ” 1-4 ≠ 8” 2.2. Phép nối liền (Conjunction Operator)  Phép nối liền hai mệnh đề P và Q (kí hiệu P ∧ Q: đọc là “P và Q”) là mệnh đề có chân trị 1 nếu cả P và Q có chân trị 1 hoặc có chân trị 0 nếu ít nhất một trong 2 mệnh đề P hay Q có chân trị 0.  Bảng chân trị: P Q P∧Q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Ví dụ về phép nối liền Ví dụ 2.2: “Hôm nay là chủ nhật và ngày mai là thứ 7” là một mệnh đề có chân trị 0. Ví dụ 2.2: “Tổng các góc trong một tam giác bằng 180 o và trong tam giác vuông có một góc 90 o ” là mệnh đề có chân trị 1 Ví dụ 2.3: “Trong một tam giác cân có 2 cạnh bằng nhau và mặt trời quay quanh trái đất” là một mệnh đề có chân trị 0. 2.3. Phép nối rời (Disjunction Operator)  Phép nối rời kết hợp hai mệnh đề P,Q (kí hiệu P ∨ Q: đọc là “P hay Q”) là mệnh đề có chân trị 0 nếu cả P và Q có chân trị 0 hoặc có chân trị 1 nếu P có chân trị 1 hay Q có chân trị 1.  Bảng chân trị: P Q P∨Q 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 [...]... trị : 3.2 Tương đương logic & hệ quả logic      Hai dạng mệnh đề E và F tương đương logic nếu chúng có cùng bảng chân trị Kí hiệu E ⇔ F (còn đọc là “E tương đương logic với F” hoặc “F tương đương Logic với E”) Dạng mệnh đề gọi là hằng đúng (tautology) nếu nó luôn có chân trị 1 Dạng mệnh đề gọi là hằng sai (mâu thuẩn- Contradiction) nếu nó luôn có chân trị 0 E và F tương đương logic khi và chỉ khi... 0 1 0 1 0 0 1 1 1 3 Dạng mệnh đề Tóm tắt: Định nghĩa  Bảng chân trị  Tương đương Logic  Hệ quả Logic  Các quy tắc thay thế  Các luật logic  Các phương pháp chứng minh  3.1 Dạng mệnh đề     Định nghĩa: Dạng mệnh đề là một biểu thức Logic (bao gồm các hằng mệnh đề, biến mệnh đề được kết hợp bởi các phép toán logic) Ví dụ 1: Cho dạng mệnh đề theo 3 biến mệnh đề p, q: E(p,q)=(p ∧ q) →¬ p Bản... một hằng đúng F là hệ quả logic của E (kí hiệu E ⇒ F) nếu E → F là hằng đúng Tương đương logic & hệ quả logic (tt) Ví dụ 3.3: Chứng minh ¬ (p→ q) ⇒ p Xét dạng mệnh đề E(p,q)= [ ¬ (p→ q)]→ p Bảng chân trị của E: p q p→q ¬(p→q) [¬(p→q)]→p 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 Ta thấy chân trị của dạng mệnh đề [¬(p→q)]→p luôn là 1 Vậy: [¬(p→q)]⇒p Tương đương logic & hệ quả logic (tt) Ví dụ 3.4: Dùng... thay thế thứ 2, ta có E’(r,s,q) cũng là hằng đúng 3.4 Các qui luật logic  Với p,q,r và s là các biến mệnh đề Ta có các tương đương logic sau: Phủ định của phụ định (Double negation) ¬¬p ⇔ p 2 Quy tắc De Morgan (DeMorgan’s Rules) ¬(p ∧ q) ⇔ ¬p ∨ ¬q ¬(p ∨ q) ⇔ ¬p ∧ ¬q 3 Luật giao hoán (Commutative Rules) p∨q⇔q∨p p∧q⇔q∧p 1 Qui luật logic (tt) 4 Luật kết hợp (Associative Rules) p ∧ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q)... trị, ta suy ra đều cần chứng minh? 3.3 Các quy tắc thay thế:  Quy tắc thay thế thứ nhất Trong một dạng mệnh đề, nếu thay thế một biểu thức con bởi một dạng mệnh đề tương đương logic thì được dạng mệnh đề mới vẫn tương đương logic dạng mệnh đề ban đầu Ví dụ 3.5: Cho dạng mệnh đề: (p → q) → r Do p → q ⇔ ¬p ∨ q nên theo quy tắc thay thế thứ nhất, ta có: (p → q) → r ⇔ (¬p ∨ q ) → r 3.3 Các quy tắc thay... Rules) p ∧ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q) ∧ r) p ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ r) 5 Luận phân phối (Distributive Rules) p ∧(q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) 6 Luật lũy đẳng (Idempotent Rules) p∧p⇔p p∨p⇔p Qui luật logic (tt) 7 Luật trung hòa p∧1⇔p p∨0⇔p 8 Luật phần tử bù (Negation rules) p ∧ ¬p ⇔ 0 p ∨ ¬p ⇔ 1 9 Luật thống trị p∧0⇔0 p∨1⇔1 10 Luật hấp thụ (absorption rules) p ∧ (p ∨ q) ⇔ p p ∨ (p... định (Modus Ponens) Được thể hiện bởi hằng đúng: [(p → q) ∧ p] → q Ví dụ 3.7: Nếu tôi học chăm thì tôi đạt kết quả tốt Mà tôi học chăm Vậy: Tôi đạt kết quả tốt (phương pháp khẳng định) Viết bằng kí hiệu logic: p: “Tôi học chăm”; q: “Đạt kết quả tốt” p →q p ∴q (phương pháp khẳng định) 3.5 Các quy tắc suy diễn  Tam đoạn luận Được thể hiện bởi hằng đúng: [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r) Ví dụ 3.8: Nếu An đi... có 2 người tham gia A và B A phải đạt giải nhất hay B phải đạt giải nhất mà: A không đạt giải nhất Vậy: B phải đạt giải nhất Các quy tắc suy diễn (tt)  Quy tắc mâu thuẩn (phản chứng) Ta có tương đương logic [(p1∧p2 ∧… ∧pn) → q] ⇔ [(p1∧p2 ∧… ∧pn ∧¬q) →0]  Quy tắc chứng minh theo trường hợp: Thể hiện bởi hằng đúng: [(p → r) ∧ (q → r)] → [(p ∨ q) → r] Một số ví dụ Ví dụ 3.7: Cho diễn đạt: Nếu An học chăm . RẠC (Discrete Mathematics) Chương 1 Cơ sở Logic  Logic mệnh đề  Logic vị từ Nội dung chính  Khái niệm mệnh đề  Các phép toán logic  Dạng mệnh đề  Các quy. đương logic & hệ quả logic  Hai dạng mệnh đề E và F tương đương logic nếu chúng có cùng bảng chân trị. Kí hiệu E ⇔ F (còn đọc là “E tương đương logic