skkn toán 7 về dạy học phần dãy số

Phần thứ Cơ sở lý luận Toán học mơn học chiếm vị trí quan trọng nhà trường phổ thơng nói chung, bậc THCS nói riêng Dạy Toán dạy cho học sinh phương pháp suy luận khoa học - lơ gíc Học Tốn tức rèn khả tư ứng dụng nhằm trang bị vốn kiến thức hồn chỉnh Chính việc giải toán phương tiện tốt giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ kỹ xảo Thực tiễn giảng dạy nhà trường phổ thơng có nhiều dạng Toán khác nhau, giành cho đối tượng học sinh Khá giỏi Nhưng khơng phải dạng Tốn Giáo viên đưa mà học sinh nắm bắt kiến thức vận dụng Nhất học sinh lớp 6, 7, mức độ tiếp thu cịn nhiều hạn chế Vì vậy, người thầy cần cho em tiếp cận nhiều toán dạng, hình thức giảng dạy theo chuyên đề Từ em dần trang bị hoàn chỉnh mặt kỹ năng, kỹ xảo việc giải toán Qua nhiều năm học tập giảng dạy, tơi nhận thấy có mảng kiến thức tương đối quan trọng là: "Dãy số", tập đưa trải rộng từ khối đến khối lớp cao hơn, chưa bị dừng lại vị trí Mặt khác, q trình giảng dạy tơi thấy em thường ngại "nhìn" thấy "một dãy" số có đến "n phần tử", đơi gặp tốn phức tạp lại khơng Do tính đa dạng mn màu mn vẻ tốn học, thật khó lịng đúc kết ngun tắc, dựa vào mà tìm "chìa khóa" để giải vấn đề nêu Dẫu ý tưởng để hình thành cho em biết hình thành khai thác tối đa kiến thức mới, khó số học, vận dụng kĩ cần thiết để giải tập điều thành công em Thiết nghĩ dạng tốn khai thác triệt để phạm vi ảnh hưởng tác dụng lớn Chính tơi mạnh dạn sưu tầm tập để trình bày chuyên đề số tập "Giá trị dãy số" để đồng nhiệp tham khảo đóng góp ý kiến, Trong khn khổ cho phép xin trình bày phạm vi khối lớp - Vì sở quan trọng việc hình thành sáng tạo cho học sinh học tiếp lớp cao hơn, bậc học cao Phần thứ hai Cơ sở thực tiễn Xuất phát từ Toán sách giáo khoa sau: Tính: A = + + + + 98 + 99 + 100 Ta thấy tổng A có100 số hạng, ta chia thành 50 nhóm, nhóm có tổng 101 sau: A = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + + (50 + 51) = 101 + 101 + + 101 = 50.101 = 5050 Đây Toán mà lúc lên tuổi nhà Tốn học Gauxơ tính nhanh tổng số Tự nhiên từ đến 100 trước ngạc nhiên thầy giáo bạn bè lớp Như toán sở để tìm hiểu khai thác thêm nhiều tập tương tự, đưa nhiều dạng khác nhau, áp dụng nhiều thể loại toán khác chủ yếu là: tính tốn, tìm số, so sánh, chứng minh Để giải dạng tốn cần phải nắm quy luật dãy số, tìm số hạng tổng quát, cần phải kết hợp cơng cụ giải tốn khác Các tốn trình bày chuyên đề phân hai dạng chính, là: - Dạng thứ nhất: Dãy số với số hạng số nguyên, phân số (hoặc số thập phân) cách - Dạng thứ hai: Dãy số với số hạng không cách Sau số tập phân thành thể loại, phân thành hai dạng trên: Phần thứ ba Nội dung I thể loại toán số nguyên Dạng 1: Dãy số mà số hạng cách Bài 1: Tính B = + + + + 98 + 99 Nhận xét: Nếu học sinh có sáng tạo thấy tổng: + + + + 98 + 99 tính hồn tồn tương tự 1, cặp số 51 50, (vì tổng thiếu số 100) ta viết tổng B sau: B = + (2 + + + + 98 + 99) Ta thấy tổng ngoặc gồm 98 số hạng, chia thành cặp ta có 49 cặp nên tổng là: (2 + 99) + (3 + 98) + + (51 + 50) = 49.101 = 4949, B = + 4949 = 4950 Lời bình: Tổng B gồm 99 số hạng, ta chia số hạng thành cặp (mỗi cặp có số hạng 49 cặp dư số hạng, cặp thứ 49 gồm số hạng nào? Số hạng dư bao nhiêu?), đến học sinh bị vướng mắc Ta tính tổng B theo cách khác sau: Cách 2: B = + + + + 97 + 98 + 99 + B = 99 + 98 + + + + 2B = 100 + 100 + + 100 + 100 + 100 2B = 100.99 ⇒ B = 50.99 = 4950 Bài 2: Tính C = + + + + 997 + 999 Lời giải: Cách 1: Từ đến 1000 có 500 số chẵn 500 số lẻ nên tổng có 500 số lẻ áp dụng ta có C = (1 + 999) + (3 + 997) + + (499 + 501) = 1000.250 = 250.000 (Tổng có 250 cặp số) Cách 2: Ta thấy: = 2.1 = 2.2 = 2.3 999= 2.50 - 1 1 Quan sát vế phải, thừa số thứ theo thứ tự từ xuống ta xác định số số hạng dãy số C 500 số hạng áp dụng cách ta có: C = + + + 997 + 999 + C = 999 + 997 + + + 2C = 1000 + 1000 + + 1000 + 1000 2C = 1000.500 ⇒ C = 1000.250 = 250.000 Bài Tính D = 10 + 12 + 14 + + 994 + 996 + 998 Nhận xét: Các số hạng tổng D số chẵn, áp dụng cách làm tập để tìm số số hạng tổng D sau: Ta thấy: 10 = 2.4 12 = 2.5 14 = 2.6 +2 +2 +2 998 = 2.498 + Tương tự trên: từ đến 498 có 495 số nên ta có số số hạng D 495, mặt khác ta lại thấy: 495 = 998 − 10 + hay số số hạng = (số hạng đầu - số hạng cuối) : khoảng cách cộng thêm Khi ta có: D = 10 + 12 + + 996 + 998 + Thực chất D = D = 998 + 996 + + 12 + 10 2D = 1008 + 1008 + + 1008 + 1008 2D = 1008.495 ⇒ D = 504.495 = 249480 (998 + 10)495 Qua ví dụ , ta rút cách tổng quát sau: Cho dãy số cách u1, u2, u3, un (*), khoảng cách hai số hạng liên tiếp dãy d, Khi số số hạng dãy (*) là: n = un − u1 + (1) d Sn = n(u1 + un ) (2) Tổng số hạng dãy (*) Đặc biệt từ cơng thức (1) ta tính số hạng thứ n dãy (*) là: un = u1 + (n - 1)d Hoặc u1 = d = S1 = + + + + n = n(n + 1) Bài Tính E = 10,11 + 11,12 + 12,13 + + 98,99 + 99,10 Lời giải Ta đưa số hạng tổng dạng số tự nhiên cách nhân hai vế với 100, ta có: 100E = 1011 + 1112 + 1213 + + 9899 + 9910 = (1011 + 1112 + 1213 + + 9899) + 9910 = (1011 + 9899).98 + 9910 = 485495 + 9910 = 495405 ⇒ E = 4954,05 (Ghi chú: Vì số số hạng dãy (9899 − 1011) + = 98 ) 101 Bài Phân tích số 8030028 thành tổng 2004 số tự nhiên chẵn liên tiếp Lời giải Gọi a số tự nhiên chẵn, ta có tổng 2004 số tự nhiên chẵn liên tiếp là:  a + ( a + 4006)   2004 = ( a + 2003).2004 S = a + (a + 2) + + (a + 4006) =   Khi ta có: (a + 2003).2004 = 8030028 ⇔ a = 2004 Vậy ta có: 8030028 = 2004 + 2006 + 2008 + + 6010 Nhận xét: Sau giải toán dạng ta khơng thấy có vướng mắc lớn, tồn tốn mà học sinh không gặp khó khăn tiếp thu Tuy nhiên sở để từ tiếp tục nghiên cứu dạng toán mức độ cao hơn, phức tạp chút Dạng 2: Dãy số mà số hạng không cách Bài Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1) Lời giải Ta thấy số hạng tổng tích hai số tự nhên liên tiếp, đó: Gọi a1 = 1.2 ⇒ 3a1 = 1.2.3 ⇒ 3a1= 1.2.3 - 0.1.2 a2 = 2.3 ⇒ 3a2 = 2.3.3 ⇒ 3a2= 2.3.4 - 1.2.3 a3 = 3.4 ⇒ 3a3 = 3.3.4 ⇒ 3a3 = 3.4.5 - 2.3.4 ………………… an-1 = (n - 1)n ⇒ 3an-1 =3(n - 1)n ⇒ 3an-1 = (n - 1)n(n + 1) - (n - 2)(n - 1)n an = n(n + 1) ⇒ 3an = 3n(n + 1) ⇒ 3an = n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1) Cộng vế đẳng thức ta có: 3(a1 + a2 + … + an) = n(n + 1)(n + 2) n(n + 1)(n + 2) [ 1.2 + 2.3 + + n(n + 1)] = n(n + 1)(n + 2) ⇒ A = Cách 2: Ta có 3A = 1.2.3 + 2.3.3 + … + n(n + 1).3 = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(3 - 1) + … + n(n + 1)[(n - 2) - (n - 1)] = 1.2.3 - 1.2.0 + 2.3.3 - 1.2.3 + … + n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2) ⇒ A = n(n + 1)(n + 2) * Tổng quát hoá ta có: k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = 3k(k + 1) Trong k = 1; 2; 3; … Ta dễ dàng chứng minh công thức sau: k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = k(k + 1)[(k + 2) - (k - 1)] = 3k(k + 1) Bài Tính B = 1.2.3 + 2.3.4 + … + (n - 1)n(n + 1) Lời giải áp dụng tính kế thừa ta có: 4B = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + … + (n - 1)n(n + 1).4 = 1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + … + (n - 1)n(n + 1)(n + 2) [(n - 2)(n - 1)n(n + 1)] = (n - 1)n(n + 1)(n + 2) - 0.1.2.3 = (n - 1)n(n + 1)(n + 2) ⇒ B= (n − 1)n( n + 1)( n + 2) Bài Tính C = 1.4 + 2.5 + 3.6 + 4.7 + … + n(n + 3) Lời giải Ta thấy: 1.4 = 1.(1 + 3) 2.5 = 2.(2 + 3) 3.6 = 3.(3 + 3) 4.7 = 4.(4 + 3) …… n(n + 3) = n(n + 1) + 2n Vậy C = 1.2 + 2.1 + 2.3 + 2.2 + 3.4 + 2.3 + … + n(n + 1) +2n = 1.2 + +2.3 + + 3.4 + + … + n(n + 1) + 2n = [1.2 +2.3 +3.4 + … + n(n + 1)] + (2 + + + … + 2n) 3C = 3.[1.2 +2.3 +3.4 + … + n(n + 1)] + 3.(2 + + + … + 2n) = = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + … + n(n + 1).3 + 3.(2 + + + … + 2n) = = n(n + 1)(n + 2) + 3(2n + 2)n ⇒ C= n(n + 1)(n + 2) 3(2n + 2) n + = n(n + 1)(n + 5) Bài Tính D = 12 + 22 + 32 + … + n2 Nhận xét: Các số hạng tích hai số tự nhiên liên tiếp, tích hai số tự nhiên giống Do ta chuyển dạng tập 1: Ta có: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1) = 1.(1 + 1) + 2.(1 + 2) + … + + n.(1 + n) = 12 + 1.1 + 22 + 2.1 + 32 + 3.1 + … + n2 + n.1 = (12 + 22 + 32 + … + n2 ) + (1 + + + … + n) Mặt khác theo tập ta có: A= n(n + 1)(n + 2) n(n + 1) ⇒ 12 + 22 + + … + n = = + + + … + n = n(n + 1)(n + 2) n(n + 1) n(n + 1)(2n + 1) = Bài Tính E = 13 + 23 + 33 + … + n3 Lời giải Tương tự toán trên, xuất phát từ toán 2, ta đưa tổng B tổng E: Ta có: B = 1.2.3 + 2.3.4 + … + (n - 1)n(n + 1) = (2 - 1).2.(2 + 1) + (3 - 1).3.(3 + 1) + … + (n - 1)n(n + 1) = (23 - 2) + (33 - 3) + … + (n3 - n) = = (23 + 33 + … + n3) - (2 + + … + n) = (13 + 23 + 33 + … + n3) - (1 + + + … + n) = (13 + 23 + 33 + … + n3) (13 + 23 + 33 + … + n3) = B + n(n + 1) ⇒ n(n + 1) (n − 1) n( n + 1)( n + 2) Mà ta biết B = ⇒ E = 13 + 23 + 33 + … + n = (n − 1)n(n + 1)(n + 2) n(n + 1)  n(n + 1)  = + =   Cách 2: Ta có: A1 = 13 = 12 A2 = 13 + 23 = = (1 + 2)2 A3 = 13 + 23 + 33 = 36 = (1 + + 3)2 Giả sử có: Ak = 13 + 23 + 33 + … + k3 = (1 + + + … + k)2 (1) Ta chứng minh: Ak+1 = 13 + 23 + 33 + … + (k + 1)3 = [1 + + + … + (k + 1)]2 (2) Thật vậy, ta biết: + + + … + k = Ak = [ k (k + 1) ] (1') Cộng vào hai vế (1') với (k + 1)3 ta có: Ak + (k + 1)3 = [  (k + 1)(k + 2)  =   k (k + 1) ⇒ k (k + 1) k (k + 1) ] + (k + 1)3 ⇔ Ak+1 = [ ] + (k + 1)3 2 Vậy tổng với Ak+1, tức ta ln có: Ak+1 = 13 + 23 + 33 + … + (k + 1)3 = [1 + + + … + (k + 1)]2 =  (k + 1)( k + 2)  =  Vậy ta có:   n(n + 1)  E = + + + … + n = (1 + + + … + n) =    3 3 2 Lời bình: - Với tập ta áp dụng kiến thức quy nạp Toán học - Bài tập dạng tập tổng số hạng cấp số nhân (lớp 11) giải phạm vi cấp THCS Bài (Trang 23 SGK Toán tập 1) Biết 12 + 22 + 32 +…+ 102 = 385, đố em tính nhanh tổng S = 22 + 42 + 62 + … + 202 Lời giải Ta có: S = 22 + 42 + 62 + … + 202 = (2.1)2 + (2.2)2 + … + (2.10)2 = = 12.22 + 22.22 + 22.32 + …+ 22.102 = 22.(12 + 22 + 32 + … + 102) = (12 + 22 + 32 + … + 102) = 4.385 = 1540 Nhận xét: Nếu đặt P = 12 + 22 + 32 + … + 102 ta có: S = 4.P Do đó, cho S ta tính P ngược lại Tổng qt hóa ta có: P = 12 + 22 + 32 +…+ n2 = n(n + 1)(2n + 1) (theo kết trên) Khi S = 22 + 42 + 62 + … + (2n)2 tính tương tự trên, ta có: S = (2.1)2 + (2.2)2 + … + (2.n)2 = 4.( 12 + 22 + 32 + … + n2) = = 4n(n + 1)(2n + 1) 2n(n + 1)(2n + 1) =  n( n + 1)  Còn: P = + + + … + n =  Ta tính S = 23 + 43 + 63 +…+ (2n)3   3 3 sau: S = (2.1)3 + (2.2)3 + (2.3)3 + … + (2.n)3 = 8.(13 + 23 + 33 + … + n3) lúc S = 8P, Vậy ta có: S = 23 + 43 + 63 +…+ (2n)3 = 8.n (n + 1)  n(n + 1)  = = 2n (n + 1)2 = ×    áp dụng kết trên, ta có tập sau: Bài a) Tính A = 12 + 32 + 52 + + (2n -1)2 b) Tính B = 13 + 33 + 53 + … + (2n-1)3 Lời giải a)Theo kết trên, ta có: 12 + 22 + 32 +…+ (2n)2 = = 2n(2n + 1)(4n + 1) n(2n + 1)(4n + 1) = Mà ta thấy: 12 + 32 + 52 + + (2n -1)2 = 12 + 22 + 32 +…+ (2n)2 - [23 + 43 + 63 +…+ (2n)2] = = n(2n + 1)(4n + 1) 2n(n + 1)(2n + 1) 2n (2n + 1) = 3 b) Ta có: 13 + 33 + 53 + … + (2n-1)3 = 13 + 23 + 33 + … + (2n)3 - [23 + 43 + 63 +…+ (2n)3] áp dụng kết tập ta có: 13 + 23 + 33 + … + (2n)3 = n2(2n + 1)2 Vậy: B = 13 + 33 + 53 + … + (2n-1)3 = n2(2n + 1)2 - 2n2(n + 1)2 = = 2n4 - n2 Nhận xét: Trên dạng tập liên quan hai loại tổng: Tổng bình phương (hoặc lập phương) số tự nhiên liên tiếp với tổng bình phương (hoặc lập phương) số tự nhiên chẵn liên tiếp Chúng ta sử dụng để quy định mức độ phát triển toán tới đâu học sinh giải * Một số tập dạng khác Bài Tính S1 = + + 22 + 23 + … + 263 Lời giải Cách 1: Ta thấy: S1 = + + 22 + 23 + … + 263 (1) ⇒ 2S1 = + 22 + 23 + … + 263 + 264 (2) Trừ vế (2) cho (1) ta có: 2S1 - S1 = + 22 + 23 + … + 263 + 264 - (1 + + 22 + 23 + … + 263) = 264 - Hay S1 = 264 - Cách 2: Ta có: S1 = + + 22 + 23 + … + 263 = + 2(1 + + 22 + 23 + … + 262) (1) = + 2(S1 - 263) = + 2S1 - 264 ⇒ S1 = 264 - Bài Tính giá trị biểu thức S = +3 + 32 + 33 + … + 32000 (1) Lời giải: Cách 1: áp dụng cách làm 1: Ta có: 3S = + 32 + 33 + … + 32001 (2) Trừ vế (2) cho (1) ta được: 3S - 2S = (3 + 32 + 33 + … + 32001) - (1 +3 + 32 + 33 + … + 32000) Hay: 32001 − 2S = 32001 - ⇒ S = Cách 2: Tương tự cách trên: Ta có: S = + 3(1 +3 + 32 + 33 + … + 31999) = + 3(S - 32000) = + 3S - 32001 ⇒ 2S = 32001 - ⇒ S = 32001 − *) Tổng qt hố ta có: Sn = + q + q + q3 + … + q n (1) qSn = q + q2 + q3 + … + qn+1 (2) Khi ta có: Cách 1: Trừ vế (2) cho (1) ta có: (q - 1)S = q Cách 2: n+1 -1 ⇒ S= q n +1 − q −1 Sn = + q(1 + q + q2 + q3 + … + qn-1) = + q(Sn - qn) = + qSn - qn+1 ⇒ qSn - Sn = qn+1 - hay: Sn(q - 1) = qn+1 - ⇒ S= q n +1 − q −1 Bài Cho A = + + 22 + 23 + … + 29; B = 5.28 Hãy so sánh A B Cách 1: Ta thấy: B = 5.28 = (23 + 22 + + + + + + + 1).26 = 29 + 28 + 27 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 = 29 + 28 + 27 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 25 + 25 (Vì 26 = 2.25) Vậy rõ ràng ta thấy B > A Cách 2: áp dụng cách làm tập ta thấy đơn giản hơn, thật vậy: A = + + 2 + 23 + … + (1) 2A = + 22 + 23 + … + 29 + 210 (2) Trừ vế (2) cho (1) ta có: 2A - A = (2 + 22 + 23 + … + 29 + 210) - (1 + + 22 + 23 + … + 29) = 210 - hay A = 210 - Còn: B = 5.28 = (22 + 1).28 = 210 + 28 Vậy B > A Lời bình: Đối với cách làm thứ phù hợp với tập với số số hạng Do vậy, gặp tập dạng có nhiều số hạng ta nên áp dụng cách làm thứ hai Tuy nhiên giáo viên cần gợi ý cho học sinh thấy được: ta tìm giá trị biểu thức A, từ học sinh so sánh A với B mà khơng gặp khó khăn Bài Tính giá trị biểu thức S = + 2.6 + 3.62 + 4.63 + … + 100.699 (1) 6S = + 2.62 + 3.63 + … + 99.699 + 100.6100 (2) Ta có: Trừ vế (2) cho (1) ta được: 5S = - 2.6 + (2.62 - 3.62) + (3.63 - 4.63) + … + (99.699 - 100.699) + + 100.6100 - = 100.6100 - - (6 + 62 + 63 + … + 699) (*) Đặt S' = + 62 + 63 + … + 699 ⇒ 6S' = 62 + 63 + … + 699 + 6100 ⇒ ⇒ S' = 6100 − 6100 − 499.6100 + thay vào (*) ta có: 5S = 100.6100 - = 5 ⇒ S= 499.6100 + 25 Bài Người ta viết dãy số: 1; 2; 3; Hỏi chữ số thứ 673 chữ số nào? Lời giải Ta thấy: Từ đến 99 có: + 2.90 = 189 chữ số, theo đầu ta thiếu số chữ số dãy là: 673 - 189 = 484 chữ số, chữ số thứ 673 phải nằm dãy số có chữ số Vậy ta xét tiếp: Từ 100 đến 260 có: 3.161 = 483 chữ số Như từ đến 260 có: 189 + 483 = 672 chữ số, theo đầu chữ số thứ 673 chữ số số 261 Một số tập tự giải: Tính: A = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + … + (n - 2) … (n + 1) Tính: B = 1.2.4 + 2.3.5 + … + n(n + 1)(n + 3) Tính: C = 22 + 52 + 82 + + (3n - 1)2 Tính: D = 14 + 24 + 34 + + n4 Tính: E = + 74 + 77 + 710 + … + 73001 Tính: F = + 83 + 85 + … + 8801 Tính: G = + 99 + 999 + … + 99 … (chữ số cuối gồm 190 chữ số 9) Tính: H = 1.1! + 2.2! + … + n.n! Cho dãy số: 1; 2; 3; … Hỏi chữ số thứ 2007 chữ số nào? II thể loại toán phân số: 1 1 Bài Tính giá trị biểu thức A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + ( n − 1).n Lời giải 1   1  1 − ÷sau bỏ dấu ngoặc ta có: Ta có: A =  − ÷+  − ÷+ +  1     n −1 n  n A = 1− = n −1 n Nhận xét: Ta thấy giá trị tử không thay đổi chúng m 1 hiệu hai thừa số mẫu Mỗi số hạng có dạng: b(b + m) = b − b + m (Hiệu hai thừa số mẫu giá trị tử phân số ln viết dạng hiệu hai phân số khác với mẫu tương ứng) Nên ta có tổng với đặc điểm: số hạng liên tiếp đối (số trừ nhóm trước số bị trừ nhóm sau liên tiếp), số hạng tổng khử liên tiếp, đến tổng số hạng đầu số hạng cuối, lúc ta thực phép tính đơn giản 4 4 + + + + 3.7 7.11 11.15 95.99 Bài Tính giá trị biểu thức B =  4  + + + B=  + ÷ vận dụng cách làm phần nhận 95.99   3.7 7.11 11.15 xét, ta có: - = (đúng tử) nên ta có: 1 1 1 1  1 32 B =  − + − + − + + − ÷= − = 95 99  99 99  7 11 11 15 72 72 72 72 + + + + 2.9 9.16 16.23 65.72 Bài Tính giá trị biểu thức C = Nhận xét: Ta thấy: - = ? 72 tử nên ta áp dụng cách làm (ở tử chứa 72), giữ ngun phân số ta khơng thể tách thành hiệu phân số khác để rút gọn tổng Mặt khác ta thấy: 1 = − , để giải vấn đề ta phải đặt làm thừa số 2.9 chung ngồi dấu ngoặc, thực bên ngoặc đơn giản Vậy ta biến đổi: 7  1   1 1 1 + + + + ÷ =  − + − + − + + − ÷= 65.72  65 72   2.9 9.16 16.23  9 16 16 23 C =    =  − ÷ = = 72 72  72  1 35 29 Bài Tính giá trị biểu thức D = 3 3 + + + + 1.3 3.5 5.7 49.51 Lời giải Ta lại thấy: - = ? tử phân số tổng nên cách ta đưa ngồi đưa vào thay Ta có: D = 2 3 3  3 2 2  + + + + + + + +  ÷=  ÷  1.3 3.5 5.7 49.51   1.3 3.5 5.7 49.51  = 1 1 1 1   1  50 25  − + − + − + + − ÷=  − ÷ = g = 1 3 5 49 51   51  51 17 Bài Tính giá trị biểu thức E = 1 1 1 + + + + + 91 247 475 775 1147 Lời giải Ta thấy: = 1.7 ; 91 = 13.7 ; 247 = 13.19 ; 775 = 25.31 ; 475 = 19.25 1147 = 31.37 Tương tự tập ta có: E= 1 6 6 6  + + + + +  ÷=  1.7 7.13 13.19 19.25 25.31 31.37  1 1 1 1 1 1    36 =  − + − + − + − + + ữ= ì1 ữ = ì =  7 13 13 19 19 25 25 31 31 37   37  37 37 Bài (Đề thi chọn HSG Toán - TX Hà Đông - Hà Tây - Năm học 2002 - 2003) So sánh: A = B= 2 2 + + + + 60.63 63.66 117.120 2003 5 5 + + + + 40.44 44.48 76.80 2003 Lời giải Lại áp dụng cách làm ta có: A= 2 1 1 1  2 3  + + + =  ÷+  60.63 63.66 117.120  2003 2 1  2 − = × + =  − + − + + =  − = ÷+ ÷+  60 63 63 66 117 200  2003  60 120  2003 120 2003 = + 180 2003 Tương tự cách làm ta có: B= 5 1  5 5 = × + = +  − ÷+  40 80  2003 80 2003 64 2003  4  + + = + Từ ta thấy ÷=  180 2003  180 2003 90 2003 Ta lại có: 2A =  B > 2A hiển nhiên B > A Bài (Đề thi chọn HSG Toán năm học 1985 - 1986) So sánh hai biểu thức A B: 1   + + + + ÷ 16.2000   1.1985 2.1986 3.1987 A = 124  B= 1 1 + + + + 1.17 2.18 3.19 1984.2000 Lời giải Ta có: A = =  1  1  1 + + + ÷−  + + + ÷ 16  16   1985 1986 2000   Còn B = = 124  1 1 1  1 − + − + − + + − ÷= 1984  1985 1986 1987 16 2000   1 1  1 − + − + + − ÷ = 16  17 18 1984 2000    1   1  1 + + + ÷−  + + + ÷ = 16  1984   17 18 2000   =  1 1 1 1   1  1 + + + ÷+  + + + − − − − + + ÷−  ÷ 16  16   17 18 1984 17 18 1984   1985 2000   =  1  1  + + + 1 + + + ÷−  ÷  16  16   1985 1986 2000   Vậy A = B 1 1 Bài Chứng tỏ rằng: + 13 + 25 + + n2 + n + < với n ∈ N ( ) Lời giải Ta áp dụng cách làm tập trên, mà ta thấy: 2 2 < ; < ; < ta phải so sánh: 2 với: n + (n + 1) 2n(2n + 1) 2.4 13 4.6 25 6.8 1 1 Thật vậy: n2 + (n + 1) = n + (n + 1)2 = 2n + 2n + 2n(2n + 2) = n(2n + 2) = 2n + 2n nên hiển nhiên n2 + (n + 1) < 2n(2n + 1) ∀n ∈ N 1 1 2 2 Vậy ta có: + 13 + 25 + + n + n + < 2.4 + 4.6 + 6.8 + + n(2 n + 2) ( ) 1 1 1 1 Mà: 2.4 = − ; 4.6 = − ; 6.8 = − 2n(2n + 2) = 2n − 2n + nên: 2 2 1 1 1 1 1 + + + + = − + − + − + − − < = 2.4 4.6 6.8 2n(2n + 2) 4 6 n n + 2 2n + 2 hiển nhiên với số tự nhiên n 1 1 1 1 1 1 Vậy: + 13 + 25 + + n2 + ( n + 1) < − + − + − + n − n + hay 1 1 + + + + < 13 25 n + (n + 1) 2n + Bài Tính giá trị biểu thức M = (1.2)2 + (2.3) + + n(n + 1) [ ] Lời giải 1 1 1 1 Ta có ngay: M = 12 − 22 + 22 − 32 + + (n − 1)2 − n + n2 − ( n + 1)2 = 1− (n + 1) − (n + 1)(n + 1) − n + 2n + − n + 2n n(n + 2) = = = = = ( n + 1) (n + 1) (n + 1) (n + 1) (n + 1) (n + 1) 1 1 Bài 10 Tính giá trị biểu thức N = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + n( n + 1)(n + 2) Lời giải  1 2 2 + + + +  ÷  1.2.3 2.3.4 3.4.5 n.( n + 1)( n + 2)  Ta có: N = =  1 1 1 1 1 − + − + − + + −  ÷  1.2 2.3 2.3 3.4 3.4 4.5 n.( n + 1) ( n + 1)( n + 2)  =  11  − ÷  (n + 1)(n + 2)  1 Bài 11 Tính giá trị biểu thức: H = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + + (n − 1).n(n + 1)(n + 2) Lời giải   3 + + + ÷  1.2.3.4 2.3.4.5 ( n − 1).n.( n + 1).( n + 2)   1 1 1 1 − + − + + − =  ÷  1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 ( n − 1).n.( n + 1) n.( n + 1).( n + 2)  Ta có: H = × 11  =  − ÷  n(n + 1)(n + 2)  Bài 12 Chứng minh P = 12 12 12 12 + + + + < 1.4.7 4.7.10 7.10.12 54.57.60 Lời giải   + + + + Ta có: P =  ÷ 54.57.60   1.4.7 4.7.10 7.10.13 6 6   − + − + + − =  − + ÷= 54.57 57.60   1.4 4.7 4.7 7.10 7.10 10.13 1 1 1 1  854 427 427 1 1 = < = Vậy P < = 2 ữ= ì 3420 855 854 2 57.60  Bài 13 Chứng minh S = + 1 1 + + + +