skkn rèn kĩ NĂNG PHÂN TÍCH đa THỨC THÀNH NHÂN tử (bằng phương pháp tách hạng tử)

Sáng Kiến Kinh Nghiệm Mơn Tốn Trường THCS Thanh Hồ A MỞ ĐẦU I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI - Phân tích đa thức thành nhân tử nội dung trọng tâm chương I Đại số Đây nội dung đa dạng, phong phú, chìa khố để giải nhiều toán chương sau lớp - Qua thực tế giảng dạy , nhận thấy học sinh dễ mắc sai lầm học vận dụng nội dung Cho nên suốt trình giảng dạy , giáo viên cần phải tìm tịi, bổ sung thêm kiến thức cách mở chuyên đề tự chọn Song, với mong muốn giúp em học tốt thấy ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử, tơi nghiên cứu đề tài: RÈN KĨ NĂNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ (bằng phương pháp tách hạng tử) II PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực lớp số phân tích đa thức thành nhân tử khó, trọng vào toán tách hạng tử Thống kê kết học tập: học sinh hai năm học khảo sát để kiểm chứng kết thực III GIỚI HẠN NGHIÊN CỨU Sáng Kiến Kinh Nghiệm Mơn Tốn Trường THCS Thanh Hồ Đối tượng, thời gian nghiên cứu: Học sinh khối năm học : 2016 - 2017, 2017 – 2018 trường THCS Thanh Hịa Nội dung nghiên cứu: Chương trình đại số lớp chương 1, phần Phân tích đa thức thành nhân tử B NỘI DUNG I CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ: Ta tách hạng tử đa thức thành hai hay nhiều hạng tử thích hợp để làm xuất nhóm hạng tử mà ta dùng phương pháp khác để phân tích  Định lí bổ sung: + Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ có dạng p/q p ước hệ số tự do, q ước dương hệ số cao + Nếu f(x) có tổng hệ số f(x) có nhân tử x – + Nếu f(x) có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ f(x) có nhân tử x + f (1) f (1) + Nếu a nghiệm nguyên f(x) f(1); f(- 1) khác a  a  số nguyên Để nhanh chóng loại trừ nghiệm ước hệ số tự Sáng Kiến Kinh Nghiệm Mơn Tốn Trường THCS Thanh Hồ II THỰC TRẠNG VÀ GIẢI PHÁP Có nhiều phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, câu hỏi đặt làm để nhận biết cần phải vận dụng phương pháp cho phù hợp Vấn đề cần giải trọn vẹn để sau làm sở cho việc giải toán rút gọn, tính nhanh, tính giá trị biểu thức, giải phương trình, chia đa thức, tìm nghiệm đa thức, chứng minh chia hết III/ NHỮNG VẤN ĐỀ TRONG HỌC TẬP VÀ GIẢNG DẠY PHƯƠNG PHÁP MỚI: Trước hết ta tìm hiểu phân tích đa thức thành nhân tử gì? Phân tích đa thức thành nhân tử hay thừa số biến đổi đa thức thành tích đơn thức đa thức PHƯƠNG PHÁP TÁCH HẠNG TỬ Trong số trường hợp ta sử dụng phương pháp mà khơng phân tích sử dụng số phương pháp sau:  Phương pháp tách hạng tử: Tài liệu cho học sinh tham khảo: Để phân tích đa thức ax2 + bx + c thành nhân tử, ta làm sau: Cách 1: Tách bx thành tổng b1x + b2x cho b1+ b2 = b b1.b2 = a.c Trong thực hành ta làm nhu sau: + Tìm tích a.c Sáng Kiến Kinh Nghiệm Mơn Tốn Trường THCS Thanh Hồ + Phân tích a.c thành tích hai số nguyên cách + Chọn hai thừa số có tích a.c nói mà có tổng b VD: x2 – 3x + ( a = 1, b = -3, c = ) Ta có: a.c = 1.2 = = 1.2 = (-1).(-2) Vậy số có tổng -3 tích là hai số -1 -2 Do đó, x2 – 3x + tách sau: x2 – 3x + = x2 – x -2x + = ( x2 – x) – (2x – 2) = x(x-1) – 2(x-1) = (x-1)(x-2) Cách 2: Tách tự do: VD : Ta biến đổi x2 – 3x + = x2 – 3x – + x2 – 2x + – x +1 x2 – 4x + + x – ………………… Nhận xét : Qua hai cách ta thấy cách có phương pháp tách rõ ràng cịn cách khơng có phương pháp định Vậy cách giúp ta thực dễ dàng * Bài tập thực hành: Sáng Kiến Kinh Nghiệm Mơn Tốn Trường THCS Thanh Hoà 1/ x2 + x – 2/ x2 + 5x + 3/ x2 - 4x + 4/ x2 + 5x + 5/ x2 - x –  MỘT SỐ BÀI TOÁN DÀNH CHO HỌC SINH U THÍCH TỐN Bài : Tính nhanh ( x + )2 – 2( x + )( x – ) + ( x – )2 x = -1 2007 Bài : Tính giá trị biểu thức : a( 2m – n ) + a( n – 2m ) với a = 2007, m= 0.00001 , n = 12345679 Bài : Thực hiên phép chia đa thức sau cách phân tích đa thức bị chia thành nhân tử: 1/ ( x5 + x3 + x2 + ) : ( x3 + ) 2/ ( x2 – 5x + ) : ( x – ) 3/ ( x3 + x2 + ) : ( x + ) C/ KẾT LUẬN I/ BÀI HỌC KINH NGHIỆM : Sáng Kiến Kinh Nghiệm Mơn Tốn Trường THCS Thanh Hồ - Phân tích đa thức thành nhân tử sợi day xuyên suốt giúp em nắm vững kiến thức chương I đại số , tạo điều kiện cho em học tốt mơn Tốn lớp - Khi dạy chủ đề giáo viên có phương pháp tốt , hiểu vấn đề cách sâu sắc , toàn diện nắm cách loại tập phù hợp với dạng tránh việc học vẹt , máy móc học sinh Qua góp phần khơng nhỏ việc hình thành phương pháp giải tốn thích hợp hổ trợ nhóm giáo viên - Tiếp tục đổi phương pháp giảng dạy học tập theo chủ trương Đảng nhà nước Qua q trình tự học tự nghiên cứu có ý thức hợp tác học nhóm biết bảo vệ kiến tìm chân lí thấy hay vái đẹp toán II/ HẠN CHẾ CUA ĐỀ TÀI : Đề tài có thực hiệu hay khơng cịn phụ thuộc nhiều yếu tố : - Tuỳ vào đối tượng học sinh mà giáo viên điều chỉnh cho phù hợp với chủ đề bám sát nâng cao Riêng học sinh mức độ trung bình , yếu Giáo viên khơng nên mở rộng q nhiều - Thời gian khó đảm bảo dịi hỏi giáo viên phải có tài quản lý, tổ chức, sử lý tình khéo léo đảm bảo việc truyền đạt kiến thức mở rộng đào sâu kiến thức, giúp học sinh tập dượt nghiên cứu số vấn đề đơn giản - Do tài liệu bổ sung nên có số kiến thức lạ học sinh, giảng dạy vấn đề tự chọn vấn đề khó thực Sáng Kiến Kinh Nghiệm Mơn Tốn Trường THCS Thanh Hoà III/ HIỆU QUẢ ĐẠT ĐƯỢC : - Đa số giáo viên công nhận đề tài phục vụ hổ trợ cho tiết khố, áp dụng tiết lớp bình thường Ngồi ra, cịn tài liệu tham khảo cho giáo viên học sinh tiết tự chọn, tài liệu cho học sinh tự học lớp hướng dẫn giáo viên học sinh tự học nhà, tiết lớp giành cho việc giải đáp thắc mắc chữa tập - Đề tài giúp học sinh tự tin hơn, biết phân biệt rõ phương pháp cụ thể hầu hết em giải tốt phân tích đa thức thành nhân tử khơng cịn “ e sợ” giải toán dạng - Kết đánh giá giáo viên đọc tài liệu là: IV/ ĐỀ XUẤT Ý KIẾN : - Tiếp tục phát huy giảng dạy môn tự chọn trường THCS Đặc biệt mơn tốn - Mở nhiều chuyên đề hội thảo có kiên quan đến dạy học tự chọn Sáng Kiến Kinh Nghiệm Mơn Tốn Trường THCS Thanh Hồ ĐỌC THÊM Dành cho học sinh giỏi Sáng Kiến Kinh Nghiệm Mơn Tốn Trường THCS Thanh Hoà 1/ Phương pháp tách hạng tử : VD : Phân tích đa thức thành nhân tử : x2 + 6x + Giải Bằng cách tách hạng tử thành hạng tử khác, ta phân tích sau : Cách : x2 + 6x + = x2 + 2x + 4x + = x( x + ) + 4( x + ) = ( x + )( x + ) Cách : x2 + 6x + = x2 + 6x + – = ( x + )2 – = ( x + + )( x + – ) = ( x + )( x + ) Cách : x2 + 6x + = x2 - + 6x + 12 = ( x – )( x + ) + 6( x + ) = ( x + )( x – + ) = ( x + )( x + ) Cách : x2 + 6x + = x2 - 16 + 6x + 24 Sáng Kiến Kinh Nghiệm Mơn Tốn Trường THCS Thanh Hoà = ( x - )( x + ) = 6( x + ) = ( x + )( x - +6 ) = ( x + )( x + ) Cách : x2 + 6x + = x2 + 4x + + 2x + = ( x + )2 + 2( x + ) = ( x + )( x + + ) = ( x + )( x + ) VD : Phân tích đa thức thành nhân tử : bc( b + c ) + ac( c – a ) – ab( a + b ) Giải : Với nhận xét : c – a = ( b + c ) - ( a + b ) ta phân tích sau : bc( b + c ) + ac( c – a ) – ab( a + b ) = bc( b + c ) + ac[( b + c ) – ( a + b )] – ab( a+ b ) = bc( b + c ) + ac( b + c ) – ac( a + b ) – ab( a+ b ) = c( b + c )( b + a ) – a( a + b )( c + b ) = ( a + b )( b + c )( c – a ) Ta giải tương tự cách tách : b + c = ( c – a ) + ( a + b ) a + b = ( b + c ) – ( c – a ) 10 Sáng Kiến Kinh Nghiệm Mơn Tốn Trường THCS Thanh Hồ 2/ Phương pháp đặt biến phụ : Trong số trường hợp, việc đặt biến phụ thay cho nhóm hạng tử làm cho đa thức có bậc thấp việc phân tích đa thức thành nhân tử trở nên thuận tiện VD : Phân tích đa thức thành nhân tử ( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) + Giải ( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) + = [( x + 1)( x + 4)][( x + 2)( x + 3)] + = ( x2 + 5x + ) ( x2 + 5x + ) + Đặt x2 + 5x + = y Đa thức trở thành : ( y – )( y + ) + = y2 – + = y2 = ( x2 + 5x + )2 VD : Phân tích đa thức thành nhân tử ( a – b )3 + ( b – c )3 + ( c – a )3 Giải : Đặt a – b = x, b – c = y, c – a = z Ta có : x + y + z = ( a – b ) + ( b – c ) + ( c – a ) = Suy : z = -( x + y ) Do : x3 + y3 + z3 = x3 + y3 – ( x + y )3 = x3 + y3 - x3 – y3 – 3xy( x + y ) = 3xyz ( Áp dụng hằnh đẳng thức : ( A + B )3 = A3 + B3 + 3AB( A + B ) ) 11 Sáng Kiến Kinh Nghiệm Mơn Tốn Trường THCS Thanh Hồ Vậy : ( a – b )3 + ( b – c )3 + ( c – a )3 = 3( a – b )( b – c )( c – a ) 3/ Phương pháp dự đoán nghiệm đa thức : Cơ sơ phương pháp hệ định lý Bêdu : “ Đa thức f(x) chia hết cho x – a a nghiệm đa thức ” Như a nghiệm đa thức f(x) phân tích f(x) thành nhân tử, f(x) có chứa nhân tử ( x – a) Do đó, dự đốn nhẩm nghiệm đa thức f(x) áp dụng kết để phân tích f(x) thành nhân tử Đến ta dùng cách : chia đa thức f(x) cho đa thức ( x – a ), phân tích đa thức f(x) theo hướng làm xuất nhân tử chung ( x – a ), dùng sơ đồ Hoocnơ để tìm nhân tử cịn lại VD : Phân tích đa thức f(x) = x3 – 5x2 + 8x - thành nhân tử: Giải : Ta nhận thấy nghiệm f(x) : f(1) = (1)3 – 5(1)2 + 8(1) – = Do : f(x) = x3 – 5x2 + 8x - phải chứa nhân tử ( x – ) 12 Sáng Kiến Kinh Nghiệm Mơn Tốn Trường THCS Thanh Hồ 13 ... thành nhân tử gì? Phân tích đa thức thành nhân tử hay thừa số biến đổi đa thức thành tích đơn thức đa thức PHƯƠNG PHÁP TÁCH HẠNG TỬ Trong số trường hợp ta sử dụng phương pháp mà không phân tích sử... phần Phân tích đa thức thành nhân tử B NỘI DUNG I CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ: Ta tách hạng tử đa thức thành hai hay nhiều hạng tử thích hợp để làm xuất nhóm hạng tử mà ta dùng phương pháp khác để phân. .. Mơn Tốn Trường THCS Thanh Hồ 1/ Phương pháp tách hạng tử : VD : Phân tích đa thức thành nhân tử : x2 + 6x + Giải Bằng cách tách hạng tử thành hạng tử khác, ta phân tích sau : Cách : x2 + 6x + =