A Mở đầu I Lý chọn đề tài Sau trực tiếp giảng dạy Toán lớp với chương trình sách giáo khoa năm, qua trình giảng dạy kết kiểm tra chương IV Đại số nhận thấy học sinh thường lúng túng không đủ kiến thức để giải thành thạo phương trình chứa đấ giá trị tuyệt đối Khi học sinh không nắm vững kiến thức trị tuyệt đối phương pháp giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối việc khơng biết giải mắc sai lầm điều khó tránh khỏi Mà kiến thức trị tuyệt đối tập liên quan quan trọng chương trình, đặc biệt chương trình tốn lớp tốn cấp sau Vì học sinh thường khơng nắm vững bước giải phương trình chứa dấu gía trị tuyệt đối? Bài tốn giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối tốn khó chứa đựng nhiều kiến thức tính chất thứ tự phép toán cộng, nhân, kiến thức trị tuyệt đối, kiến thức giải phương trình, giải bất phương trình Khi gặp dạng tốn có chứa dấu giá trị tuyệt đối học sinh thường ngại khó lưu tâm phải tiếp thu kiến thức Vậy làm để học sinh dễ nắm kiến thức, nắm vững phương pháp, bước giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Trong năm qua, từ thực tế giảng dạy, trao đổi với đồng nghiệp tài liệu rút hệ thống dạng phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối thường gặp bước giải dạng sau Với hệ thống kiến thức học sinh dễ tiếp thu giải thành thạo phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối chương trình tốn II Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Là học sinh lớp Phạm vi nghiên cứu: Học sinh lớp 8A,B Trường THCS năm học 2016-2017 III Tài liệu tham khảo -Sách giáo khoa Toán -Sách tập Toán - Tập -Sách giáo viên Toán -Thiết kế soạn Toán -Để học tốt Toán (Nhà xuất DG) -Để học tốt Toán (Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội) -Tài liệu bồi dưỡng Toán -Chuyên đề nâng cao Toán B.nội dung Các dạng phương pháp giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối lớp a nÕu a ≥ Với số a ta có: a = − a nÕu a b > ⇒ a = a, b = b a.b > ⇒ a.b = a.b = a b ⇒ a.b = a b (2) a < b < ⇒ a = -a, b = -b a.b > (3) ⇒ a.b = a.b = (− a)(−b) = a b ⇒ a.b = a b a > b < ⇒ a = a, b = -b a.b < ⇒ a.b = − a.b = a.( −b) = a b ⇒ a.b = a b (4) T? (1), (2), (3) (4) ⇒ dpcm 2.9 Tớnh ch?t 9: a a = (b ≠ 0) b b Th?t v?y: a = ⇒ a a a =0⇒ = ≡0 b b b a > b > ⇒ a = a, b = b a a a a >0⇒ = = b b b b (2) a a a −a a >0⇒ = = = b b b −b b (3) a a a a a b < ⇒ a = a, b = -b (1) T? (1), (2), (3) (4) ⇒ dpcm Xuất phát từ kiến thức người ta phát triển thành yêu cầu giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.Trong phạm vi kiến thức lớp cần hướng dẫn cho học sinh quan tâm tới dạng phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, bao gồm: Dạng 1: Phương trình: f(x) = k , với k số không âm Dạng 2: Phương trình: f(x) = g(x) Dạng 3: Phương trình: f(x) = g(x) Để học sinh tiếp cận nắm vững phương pháp giả ta cần hướng dẫn học sinh theo thứ tự cụ thể sau: f(x) = k Bài tốn 1: Giải phương trình: , với k số không âm Phương pháp giải: Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) xác định (nếu cần) f(x) = k ⇔ ⇒ f(x) = k f(x) = − k Bước 2: Khi nghiệm x Bước 3: Kiểm tra điều kiện, từ đưa kết luận nghiệm cho phương Ví dụ1: Giải phương trình sau: x+1 -2=0 x 2x − = 2x = x = ⇔ ⇔ a, ta có 2x − = 1⇔ 2x − = −1 2x = x = Vậy phương trình có hai nghiệm x = x = b, Điều kiện xác định phương trình x ≠ x +1 x = x =2 x + 1= 2x −x = −1 x +1 = 2⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x = −1 x x + x + = − 2x 3x = − = −2 x −1 Vậy phương trình có hai nghiệm x = x = a, 2x − = b, f(x) = g(x) Bài tốn 2: Giải phương trình: Phương pháp giải: Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) g(x) xác định (nếu cần) f(x) = g(x) ⇔ ⇒ f(x) = g(x) f(x) = − g(x) Bước 2: Khi nghiệm x Bước 3: Kiểm tra điều kiện, từ đưa kết luận nghiệm cho phương Ví dụ 2: Giải phương trình sau: x2 − x + − x = a, 2x + = x − b, x+1 Giải: a, Biến đổi tương đương phương trình: 2x + = x − 2x + = x − ⇔ ⇔ 2x + = − x + c, 2x − x = −3− x = −6 2x + x = 3− ⇔ x = Vậy phương trình có hai nghiệm x = -6 x = b, Điều kiện xác định phương trình x ≠ Biến đổi tương đương phương trình: x2 − x + x2 − x + − x = 0⇔ =x x +1 x +1 x2 − x + x+1 = x x2 − x + = x(x + 1) 2x = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x=1 2x = − v« nghiƯ m x − x + x − x + = − x(x + 1) x + = −x Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ 3: Giải phương trình: 2x − 3m = x + , với m tham số Giải : Biến đổi tương đương phương trình: 2x − 3m = x + 2x − x = 3m+ x = 3m+ 2x − 3m = x + ⇔ ⇔ ⇔ 2x − 3m = − x − 2x + x = 3m − 3x = 3m− x = 3m+ ⇔ x = m− Vậy phương trình có hai nghiệm x = 3m + x = m - f(x) = g(x) Bài toán 3: Giải phương trình: Phương pháp giải: Ta lựa chọn hia cách giải sau: Cách 1: (Phá dấu giá trị tuyệt đối) Thực bước: Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) g(x) xác định (nếu cần) Bước 2: Xét hai trường hợp: -Trường hợp 1: Nếu f(x) ≥ (1) Phương trình có dạng: f(x) = g(x) => nghiệm x kiểm tra điều kiện (1) -Trường hợp 2: Nếu f(x) < (2) Phương trình có dạng: -f(x) = g(x) => nghiệm x kiểm tra điều kiện (2) Bước 3: Kiểm tra điều kiện, từ đưa kết luận nghiệm cho phương trình Cách 2: Thực bước: Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) g(x) xác định (nếu cần) g(x) ≥ Ví dụ 4: Giải phương trình: x + + 3x = Cách 1: Xét hai trường hợp: -Trường hợp 1: Nếu x + ≥ ⇔ x ≥ -4 (1) thoả mãn điều kiện (1) -Trường hợp 2: Nếu x + < ⇔ x < - (2) Phương trình có dạng: -x - + 3x = ⇔ 2x = ⇔ x = không thoả mãn tra điều kiện (2) Vậy phương trình có nghiệm x = Cách 2: Viết lại phương trình dạng x + = −3x + Phương trình có dạng: x + + 3x = ⇔ 4x = ⇔ x = Với điều kiện - 3x + ≥ ⇔ - 3x ≥ - ⇔ x ≤ Khi phương trình biến đổi: x = x + = −3x + x + = −3x + ⇔ ⇔ x + = 3x x = không thoả mà n ( * ) Vậy phương trình có nghiệm x = Lưu ý1: Qua ví dụ em học sinh thấy hai cách giải có độ phức tạp Vậy trường hợp cách hiệu cách ngược lại? Khi vế phải biểu thức khơng đa thức có bâc ta nên sử dụng cách sử dụng cách việc tìm x thoả mãn điều kiện g(x) không âm phức tạp Khi biểu thức trị tuyệt đối dạng phức tạp khơng nên sử dung cách gặp khó khăn việc giải bất phương trình f(x) ≥ f(x) < Tuy nhiên học sinh khắc phục cách không di giải điều kiện mà thực bước biến đổi phươnmg trình sau thử lại điều kiện mà khơng đối chiếu Ví dụ 5: Giải bất phương trình: 2 a, x + = x + x b, x − 2x + = 2x Giải: a, Xét hai trường hợp -Trường hợp 1: Nếu x + ≥ ⇔ x ≥ -1 (1) Khi phương trình có dạng: x + = x2 + x ⇔ x2 = ⇔ x = ± (thoả mãn đk 1) -Trường hợp 2: Nếu x + < ⇔ x < -1 (2) Khi phương trình có dạng: - x - = x2 + x ⇔ x2 + 2x + = ⇔ (x+1)2 = ⇔ x = -1 ( không thoả mãn đk 2) Vậy phương trình cób hai nghiệm x = ± b, Viết lại phương trình dạng: x2 − 2x = 2x − với điều kiện 2x - ≥ ⇔ 2x ≥ ⇔ x ≥ (*) x2 − 2x = 2x − x2 − 4x + = x − 2x = 2x − ⇔ ⇔ Ta có: x − 2x = − 2x + x = (x + 2)2 = x = ⇔ ⇔ x = ± x = −2 không thoả mà n ( * ) Vy phng trỡnh có nghiệm x = 2 Lưu ý 2: - Đối với số dạng phương trình đặc biệt khác ta có cách giải khác phù hợp chẳng hạn phương pháp đặt ẩn phụ, sử dụng bất đẳng thức Cơsi Ví dụ 6: Giải phương trình x − = x − 2x − Viết lại phương trình dạng (x2 − 2x + 1) − x − − = ⇔ (x − 1)2 − x − − = (1) Đặt x − = t ( t ≥ 0) Khi từ (1) ta có phương trình t2 - 2t - = ⇔ t2 + t - 3t - = ⇔ t(t + 1) - 3(t + 1) = ⇔ (t + 1)(t - 3) = ⇔ t = - (loại) t = (t/m) x − 1= x = ⇔ Với t = ta x − = ⇔ x − 1= −3 x = −2 Vậy phương trình có hai nghiệm x = -2 x = x+1 + = (1) Ví dụ 7: Giải phương trình x+1 Điều kiện xác định phương trình x ≠ -1 Ta lựa chọn hai cách sau: x+1 Cách 1: Đặt t = điều kiện t > Khi (1) ⇔ + t = ⇔ t2 − 2t + 1= ⇔ t = t x+1 x + 1= x = ⇔ = 1⇔ x + = 3⇔ ⇔ x + = − x = −4 ⇔ Vậy phương trình có hai nghiệm x = -4 x = Cách 2: áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có: x+1 3 x+1 + ≥ VT = =2 x+1 x+1 Ta thấy dấu xảy (Tức x+1 + = 2) x+1 x+1 x + 1= x = = ⇔ = (x + 1)2 ⇔ ⇔ x+1 x + 1= −3 x = −4 Vậy phương trình có hai nghiệm x = -4 x = Đối với phương trình có giá trị tuyệt đối trở lên ta nên giải theo cách đặt điều kiện để phá dấu giá trị tuyệt đối Mỗi trị tuyệt đối có giá trị x làm mốc để xác định biểu thức trị tuyệt đối âm hay không âm NHững giá trị x chia trục số thành khoảng có số khoảng lớn số trị tuyệt đối Khi ta xét giá trị x khoảng để bỏ dấu giá trị tuyệt đối giải phương trình tìm Ví dụ 8: Giải phương trình x − + x − = Ta thấy x - ≥ ⇔ x ≥ x - ≥ ⇔x ≥ Khi để thực việc bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta cần phải xét ba trường hợp +Trường hợp 1: Nếu x < Khi phương trình có dạng: - x + - x + = ⇔ -2x = - ⇔ x = (không t/m đk) +Trường hợp 2: Nếu ≤ x < Khi ta có phương trình: x - - x + = ⇔ 0x = => ≤ x < nghiệm +Trường hợp 3: Nếu x ≥ Khi phương trình có dạng: x - + x - = ⇔ 2x = ⇔ x = (t/m đk) Vậy nghiệm phương trình ≤ x ≤ C kết đạt được: Sau buổi tổ chức học phụ khoá tự chọn HS lớp truyền thụ cho học sinh hệ thống dạng phương pháp giải nêu nhận thấy đa số học sinh nắm vững dược kiến thức giải thành thạo dạng tốn giải phương trình chứa đấu giá trị tuyệt đối Với hệ thống kiến thức, dạng toán phương pháp giải xây dựng đơn giản đễ nhớ nên học sinh nắm nhanh hình thành cho học sinh niềm thích thú gặp dạng toán Đương nhiên hệ thống kiến thức dừng lại đối tượng học sinh có học lực trung bình khá, cịn học sinh giỏi cần xây dựng sâu bổ sung dạng toán phong phú D Kết luận Như vậy, từ chỗ họ sinh lúng túng kiến thức phương pháp giải chí tỏ thái độ khơng u thích, qua thực tế giảng dạy với hệ thống kiến thức nêu học sinh giải thành thạo dạng tốn giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối mức Khi nắm vững kiến thức phương pháp giải học sinh có hứng thú góp phần khơi dậy niềm say mê học tập từ nâng cao chất lượng đại trà dạy học mơn Tốn Với hệ thống kiến thức xây dựng truyền thụ học sinh chủ động để tiếp thu kiến chương trình lớp Có thể nói, số điều mà thân rút qua dạy học Tuy nhiên điều qua tìm tịi từ tài liệu, sách báo học hỏi từ đồng nghiệp nên cịn có hạn chế định Rất mong nhận ý kiến đóng góp, bảo hội đồng khoa học cấp bạn đồng nghiệp Xin chân thành cảm ơn ! , ngày 30 tháng năm 2016 Người làm đề tài ... −4 Vậy phương trình có hai nghiệm x = -4 x = Đối với phương trình có giá trị tuyệt đối trở lên ta nên giải theo cách đặt điều kiện để phá dấu giá trị tuyệt đối Mỗi trị tuyệt đối có giá trị x làm... trị tuyệt đối âm hay không âm NHững giá trị x chia trục số thành khoảng có số khoảng lớn số trị tuyệt đối Khi ta xét giá trị x khoảng để bỏ dấu giá trị tuyệt đối giải phương trình tìm Ví dụ 8: ... cầu giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. Trong phạm vi kiến thức lớp cần hướng dẫn cho học sinh quan tâm tới dạng phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, bao gồm: Dạng 1: Phương trình: