1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

TÀI LIỆU ÔN THI OLYMPIC TOÁN ĐẠI SỐ

169 6 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 169
Dung lượng 3,08 MB

Nội dung

TÀI LIỆU ÔN THI OLYMPIC TOÁN ĐẠI SỐ biên) – – – THANH PHONG 1 thi sinh viên T b 6, 9, 10 Oly 2 Ụ Ụ 1 Ụ Ụ 2 hươn 1 Ứ 6 1 Ứ 6 6 6 6 7 7 9 §2 Ủ Ứ 11 11 12 14 4 16 5 17 6 17 §3 Ứ 21 1 21 2 23 h.TÀI LIỆU ÔN THI OLYMPIC TOÁN ĐẠI SỐ

– biên) – – THANH PHONG thi sinh viên T b [6], [9], [10] Oly Ụ Ụ Ụ Ụ hươn 1 Ứ Ứ .6 .6 .7 .7 §2 Ủ Ứ .11 11 .12 14 16 17 17 Ứ 21 §3 21 23 hươn 29 Ủ N 29 29 29 29 .29 30 31 31 Ma 31 .31 31 31 Ma tr .32 32 33 § 35 35 36 Ừ .42 42 42 NG Ủ 49 49 49 ng c a ma tr n .50 hươn hươn 55 Ứ Ứ 61 61 61 61 Ứ 64 .64 66 67 70 .72 .73 hươn Ì §1 81 Ì H .81 n tính khơng n tính 81 D ng ma tr n c a h n tính 81 Nghi m c a h 82 H n 83 § Ì 83 .83 Gauss .86 89 Sử d nh lý v nghi m c Sử d ix c 91 gi i h i x ng 94 .96 hươn §1 Ơ Ơ E E TUY N TÍNH 108 Khái ni .108 c l p n tính ph n tính 108 s chi u c Ma tr n chuy 108 .108 t x1, x2 , , xn  sang  y1, y2 , , yn  109 Không gian - H ng c a m t h 110 T ng t ng tr c ti p .110 111 §2 ÁNH X TUY N TÍNH 116 Khái ni m ánh x n tính .116 Ma tr n c a ánh x n tính 117 Ảnh h t nhân c Giá tr T ng c u n tính 118 118 ng c c 119 119 §3 CHÉO HĨA MA TR N VÀ ỨNG DỤNG 124 Chéo hóa ma tr n 124 Ứng d ng c a chéo hóa ma tr n .126 ng 128 § ỨC CỰC TIỂU 134 c c c ti u 134 n c c ti u 134 Bài t p áp d ng 135 136 hươn TỔ HỢP 144 §1 CHỈNH HỢP – TỔ HỢP – HOÁN V 144 Ch nh h p 144 T h p .144 Hoán v 145 §2 NH THỨC NEWTON – TAM GIÁC PASCAL 146 Nh th c Newton .146 Tam giác Pascal 147 ỨNG MINH VÀ NGUYÊN LÝ QUY N P 148 ng minh tr c ti p ph n ch ng 148 Nguyên lý qui n p .149 §4 NGUYÊN LÍ DIRICHLET - NGUYÊN LÍ CỰC H N .152 Ngun lí Dirichlet (hay cịn g i nguyên lí chu ng thỏ) .152 Nguyên lý c c h n 153 Error! Bookmark not defined 166 hươn Ứ ,… ửK Ứ K , h n nh n h K f ( x)  a0  a1 x   an x n ,  K , i  0,1, , n a0 K ủ K[x] f ( x)  a0  a1 x   an x n nh n h an  f (x an h K f (x) n nh n h nh n h n m i 0 i 0 f ( x)   x i ; g ( x)   bi x i n  m vaø  bi , i  0, , n nh n h n m i 0 i 0 f ( x)   x i ; g ( x)   bi x i n n deg( f f ( x)  g ( x)  max( m , n )  a i 0 i mn  bi  x i f ( x).g ( x)   ck x k , ck  k 0 nh  ab i  j k i j  f ( x), g ( x)  K [ x] deg( f )  deg( g ) f ( x)  g ( x)  deg( f )  deg( g ) f ( x)  g ( x)  b) deg(fg)= deg(f )+deg(g) a) h h deg( f  g )  max{deg( f ),deg( g )} deg( f  g )  d eg( f )  deg( g )  K[x], g(x) nh  K[x] cho f ( x )  g( x )q( x )  r( x ), deg(r)  deg( g) q(x), r(x  f (x) cho g(x) f (x), g (x)  K [x], K nh n h q(x)  K [x] cho f (x) = q (x)g (x f (x) K [x h ng n nh f (x) nE ỏ h (x h (x) | f (x h(x g(x ủ h f ( x), g ( x)  K [ x] vaø deg( f )  deg( g ) nh a) ủ h f (x g(x f (x g (x nh n h = g (x) hay g (x f (x) | g (x) hay g ( x) f ( x)  f ( x), g ( x)  K [ x] UCLN ( f ( x), g ( x )) nh n h f (x g(x a) h (x b) h (x) c) ▪ h f (x g (x)  UCLN ( f ( x), g ( x))  b1g ( x), h (x) | g (x) h (x) b) r ( x)  UCLN ( f ( x), g ( x))  UCLN ( g ( x ), r ( x)) a) f ( x)  g ( x) q ( x) r (x) = UCLN ( f ( x), g ( x))  b1g ( x), r ( x)  b) b g(x) h( x)  UCLN ( f ( x), g ( x)), f ( x)  g ( x) q ( x)  r ( x) G h '( x)  UCLN ( g ( x), r ( x)) g (x f (x h( x ) | f ( x) h( x) | g ( x) nên h( x ) | r ( x) r (x) Suy h( x) | h '( x) h '( x ) | h( x) g (x h(x h(x ’(x ’(x h( x)  h '( x) ■ nh f ( x), g ( x) u(x hứn v(x) cho f ( x)u ( x)  g ( x)v( x)  nh , UCLN ( f ( x), g ( x))  f ( x), g ( x) deg( f )  deg( g ) UCLN ( f ( x), g ( x ))  n = deg(g f ( x )u ( x )  g ( x ) v ( x )  u ( x ), v ( x ) cho n = hay g(x) = b0 u(x) = v( x)  b01 ỏ f ( x) u ( x)  g ( x) v( x)  f (x), g (x ỏ deg( f )  deg( g ) deg(g) = n f ( x)  g ( x)q( x)  r ( x),deg(r )  deg( g ) neáu r ( x)  n, n > q (x r (x) cho r ( x )  g(x r ( x )  , suy  UCLN ( f ( x), g ( x)) UCLN ( g ( x), r ( x)) deg(r )  deg( g )  n ’(x), ’(x) cho g ( x)v '( x)  r ( x)u '( x)  hay f ( x)u '( x)  g ( x)(v '( x)  q( x)u '( x))  u ( x)  u '( x); v( x)  v '( x)  q ( x)u '( x) f ( x)u ( x)  g ( x)v( x)  UCLN ( f ( x ), g ( x )) u(x), v(x) cho f ( x)u ( x)  g ( x)v( x)  f (x g (x UCLN ( f ( x), g ( x))  ■ t n t i nh t hai ph n tử khác c a A ph n tử c a B y, nguyên lí Dirichlet m r ng v i m t c phát bi Gi sử A B t p h p h u h n s( A), s( B ) ng kí hi u s ng ph n tử c a A B Gi sử có m t s t nhiên k s( A)  k.s(B) ta có m t quy t ng ng m i ph n tử c a A v i ph n tử c a B n t i nh t k  ph n tử c a A ng v i m t ph n tử c a B Chú ý k  1, ta có l i nguyên lí Dirichlet * Nguyên lí Dirichlet cho di n tích N u K m t hình ph ng, K1, K2 , , Kn hình ph ng cho Ki  K v i i  1, n K  K1  K2   Kn , K di n tích c a hình ph ng K , Ki di n tích c a hình ph ng Ki t n t i nh t hai hình ph ng Hi , H j (1  i  j  n) cho Hi H j m t ph ng n n m tr n A ) m chung (Chú ý r n t i hình trịn tâm A m P m c a t p h p A nhỏ cho hình trịn n th ng, th tích v t th … * Nguyên lí Dirichlet vô h n: N u chia m t t p vô h n qu táo vào h u h n i có nh t m a vơ h n qu táo Ví dụ Trong m c 5.5 n ng u nhiên vào ô m t giá tr −1, ho c ng t t c ô theo hàng ; theo c t ng chéo Ch ng minh r ng t n t i nh t hai t ng có giá tr b ng Gi i G i t ng l t S1, S2, , S12 Có t t c 12 t ng Ta nh n th y r ng t ng ch có th nh n giá tr {−5, −4, … 0, … 4, 5} Có t t c 11 giá tr khác T u c n ch ng minh Ví dụ Gi sử m t nhóm i m i c p hai ho c b n ho c thù Ch ng tỏ r i b n l n ho i k thù l n Gi i 153 G i A m t i Trong s i c a nhóm ho c có nh i b n c a A ho c có nh i k thù c a A u suy t ngun lí Dirichlet, nh i khác ch có th b n ho c thù c a A Tr ng h u ta g i B, C, D b n c a A n i b n h v i A l p thành m t b ib nl c l i, t c n i B, C, D khơng có b n c ch ng tỏ h b i thù l có th ch ng h p có nh i k thù c a A ụ Trong n Gi i n - Trong quen n nhóm Theo n-1 ụ m Trong khu m m m = 48.20m + 47.0,6m +2.5,9m 1000m = 95.10m + 94.0,52m +2.0,56m m m m m m m m2 g, 45  95  4560 m < 154 < m2 Nguyên lý c c h n Nguyên lí Trong t p h p h u h n khác r ng s th c ln có th ch s bé nh t s l n nh t c Nguyên lí Trong m t t p h p khác r ng s t nhiên ln ln có th ch s bé nh t c Sử d ng nguyên lí c c h n m c v n d ng cho nhi u l p c bi t có gi i tốn t h gi i toán nh ng ph i xét c a t n giá tr l n nh t, giá tr nhỏ nh t theo m t ch c sử d ng k t h p v c bi ng minh ph n ch cv nd ng h p t p giá tr c n kh o sát ch t p h p h u h n (ngun lí 1) ho c có th vơ h n n t i ph n tử l n nh t ho c nhỏ nh t (nguyên sử d ng nguyên lí c c h n gi i tốn hình h c t h ng dùng m gi i d ng có th sử d ng nguyên lí (ho ch ng tỏ r ng giá tr c n kh o sát c a tốn c n có giá tr l n nh t (nhỏ nh ng nh n giá tr l n nh t (nhỏ nh t) - Ch mâu thu n, ho nh o sát l c nhỏ ng minh ph n ch ng, ta s Ví dụ B s cá l n nh t (nhỏ u ph i ch ng minh c 100 cá Bi t r ng minh r c c t ng c Ta s p x i câu cá theo th t i th nh c nhi u cá nh N i th 16  17  18  51 cá s N i th c 14 cá ho 14  13  12  11  50 V c t ng c c c a h gi m d i th b c cá nh t c không b i 50 cá 155 c không Ví dụ Trong m t bu i ti c v i m t s i tham gia nh nh, xét quan h u A b n c a B B nc aA ng minh r ng i bu i ti c ln có th cho: V i m i m t phòng b t kì, nh t m t nửa s b n c a phòng l i Gi i V i m t cách chia b t kì s   c p P; Q cho P Q i thành nhóm, g i s ng t t c khác phòng P, Q b n c a Xét cách chia v i m l n nh t có th (vì s cách chia h u h n nên m nh n h u h n giá tr ), ta ch ng minh cách chia thỏa mãn yêu c u Th t v y, v i P b t kì, g i aP s b n c a phòng bP s b n c a khác phòng N u ta chuy n P sang phịng cịn l i ta s c ng aP  bP vào m Do gi thi t ch n m l n nh t nên ta ph i có aP  bP  hay aP  bP V y v i cách chia mà m l n nh t có th thỏa mãn u c u Ví dụ Trên m t m m Ch ng minh r c v i nhi u nh tm ts ng xu v i kích c khơng gi i n m s p ho c ngửa bàn) nt im ng xu ch ti p ng xu khác Gi i c h t, ý r ng m ng xu không th ti p xúc v ng xu khác l ( ng d n: dùng ph n ch i di n v i c nh l n nh t l n nh t tam giác) Bây gi , s ng xu h u h n nên t n t ng xu v ng kính nhỏ nh ng xu này, theo nh n xét bên trên, ch có th ti p xúc v i nhi u nh t ng xu khác Ví dụ Cho ABC tam giác nh n L m P b t kì trong tam giác Ch ng minh r ng kho ng cách l n nh t kho ng cách t P m A, B , C c a tam giác không nhỏ c nh c n kho ng cách bé nh t kho ng cách t P t i ba Gi i 156 G i A1, B1, C1 ng hình chi u c a P xu ng A BC , AC , AB Ta có: APC1  C1PB  BPA1  A1PC  CPB1  B1PA  3600 (1) P B Theo nguyên lí c c h n, t n t i:  B1 C1 C A1  max APC1 , C1PB, BPA1 , A1PC, CPB1 , B1PA   Gi sử max APC1 , C1PB, BPA1 , A1PC, CPB1 , B1PA  BPA1 (2) T (1) (2) suy ra: BPA1  60 hay cos BPA1  PA1  PB y PB  2PA1 c k t qu sau: max PA, PB, PC  PB  2PA1  2min PA1, PB1, PC1 §1, §2 nh Tìm s nh c 120 giác u có n nh (n  3) Tìm s nh c Cn ng th ng song song d1 d2 ng th ng d2 m Hỏ ng th ng d1 có 10 c ch n b cho? 2800 M t t h c sinh g m có nam n C n ch ngh Hỏi có cách ch n n u m i cách: 157 l p thành m m Trên a) Có nh t n b) Có nhi u nh t n a) 252; b) 672 V i ch s 0, 1, 2, 3, 4, có th l c s t nhiên có ch s khác t thi t ph i có m t ch s 17280 Cho t p X  {1,2,3,4,5} a) X có t p g m ph n tử b) Có s t nhiên có ch s ch s ng c nh tl yt X a) 10; b) 48 Tìm s h ng không ch a x khai tri n nh th c Newton 12 1  a)   x  x  18   b)  x   x   ( x  0) ; 10   c)  2x   x   ( x  0) ; 10  1 d)  x   x  ( x  0) ; a) 495 Tìm h s : a) a2 b 4c khai tri n c a (a  b  c) 101 99 200 b) x y khai tri n c a (2 x  y) 25 10 15 c) x y khai tri n c a ( x  xy) d) x y z khai tri n c a (2 x  y  z) 10 e) x khai tri n c a ( x   x ) 158 ( x  0)  1 f) x khai tri n c a  x    x  a) 105 Rút g n bi u th c sau: n a) A  Cn  Cn  Cn   Cn n n b) B  Cn  Cn  Cn   (1) Cn 2 2n 2n c) C  C2 n  5C2 n  C2 n   C2 n 2 4 2n 2n d) D  C2 n  C2 n  C2 n   C2 n 3 5 n 1 n 1 C2 n e) E  5C2 n  C2 n  C2 n   2n a) n ; b) 0; c) ; d) 2n 2n  42 n ; e)  42 n 2     15 10 Khai tri n (1  x  x  x )  a0  a1x  a2 x   a15 x a) Tính h s a10 b) Tính t ng T  a0  a1  a2   a15 ; S  a0  a1  a2   a15 a) 101; b) 11 Ch ng th c sau: n 1 2n n 1 a) C2 n  C2 n   C2 n  C2 n  C2 n   C2 n  k k 1 k 2 m k m k b) CmCn  CmCn  CmCn   Cm Cn  Cm  n (v i k , m, n ba s t nhiên thỏa m  k  n ) 2015 2014 2013 2015 2015 Áp d ng CMR: C2015 C2015  C2015 C2015  C2015 C2008   C2015 C2015  C4030     c) Cn  Cn1     Cnn  C2nn 159 n d)  Cnk k 0 k 1  2n 1  n 1 2n ng d n a) Khai tri n nh th c 1  x  , l theo v c ng th t cho x  , x  1 r i c ng, tr c m n mn b) So sánh s h ng c a x k hai khai tri n (1  x ) (1  x ) (1  x ) 2n n n c) So sánh s h ng c a x n hai khai tri n (1  x ) (1  x ) (1  x ) d) Xét Cnk k 1  Cnk11 v i k  0,1,2, , n n 1 §3 12 ([14]) Ch ng minh b ng ph n ch (k  * s nguyên t d ng 4k  ) ng d n n ch ng 13 ([14]) Cho p s nguyên t Ch ng minh b ng ph n ch ng r ng ng d n p s vô t n ch ng 14 ([14]) Ch ng minh r ng 1.2.3  2.3.4   n(n  1)(n  2)  n(n  1)(n  2)(n  3) ng d n Dùng nguyên lí qui n p 15 ([14]) Ch ng minh r ng 4n 1  52 n 1 chia h t cho 21 v i m i s n ng d n Dùng nguyên lí qui n p 16 ([14]) Ch ng minh r ng 32 n 1  40n  67 chia h t cho 64 v i m i s nguyên n ng d n Dùng nguyên lí qui n p 17 ([14]) Cho n s  x1  x2   xn Ch ng minh r ng v i n  , ta có 160 n n xi x i 1 i 1 v  i 1 xi 1 xi c xn 1  x1 ng d n Dùng nguyên lí qui n p §4 S dụng nguyên lý Dirichlet 18 ([16]) Trên m t ph m Bi t r t n t m cách xa nhỏ kính b ng ch m b t kì s ng minh r ng t n t i hình trịn bán ng d n TH1 N m n m m TH2 L p lu ph i ch ng minh ng trịn bán kính b ng ch u 19 ([16]) ng có tính ch t m ng th ng chia hình vng thành hai t giác có t s di n tích b ng Ch ng minh r ng có nh ng th ng s m ng d n Cho hình vuông ABCD, g i E , P , F , Q theo th AB, BC , CD , DA G i J1, J2 , J3 , J4 t m m cho J1, J2 n m c nh EF; J3 , J4 n m c nh PQ thỏa mãn: EJ1 FJ2 PJ3 QJ4     J1F J2 E J3Q J P ng th ph i ch ng minh am m T 20 ([16]) Trong m t ph ng cho t p h p A có n m (n  2) M t s c n i v i b n th ng Ch ng minh r ng t p h p A c n i v i s m khác thu c A ng d n Gi sử a  A Kí hi u S(a) s n th ng  S(a)  n  không t n t 161 u c m m c a A n i v i a thành m a , b cho S (a )  n  1, S(b )  G i S t p h p giá tr nh n t n  giá tr c l p lu n S ng S(a) nh m a1  A, a2  A (a1  a2 ) mà n t S(a1)  S(a2 ) 21 ([16]) Ch ng minh r ng m không song song v i m t c nh c i v i s c nh ch n, t n t ng chéo ng d n Sử d ng nguyên lí 22 ([16]) M t hình l nh b ng 15 ch có m t hình c u bán kính b ng ch a nh m s ng d n Chia c nh c a hình l l ỏ n t i hình l p nhỏ ch a nh hình c u ngo i ti p hình l p nhỏ 23 (O 2015, [7]) M m m t ph ho ỏ Ch ng minh r ng ta t màu ng d n K 1 ch m Ch ng minh r ng n b ng Có 2197 hình m Ch ng minh bán kính u ph i ch ng mính c bơi b ng m t hai màu xanh c m t hình ch nh t có b nh ng th ng song song 1, 2 , 3 Theo nguyên lí Dirichlet, m lên 2 , 3 L p lu m màu Chi u ph i ch ng minh 24 ([17]) m M1, M2 , , M1000 m t ph ng V m kính b ng tùy ý Ch ng minh r ng t n t mS SM1  SM2   SM1000  1000 ng d n ng kính S1S2 Ch ng minh  S2 M1  S2 M2   S2 M1000   2000 ng tròn bán ng tròn cho:  S1M1  S1M2   S1M1000  u ph i ch ng minh S dụng nguyên lý c c h n 25 ([17]) Trên m ng th un m khác A1, A2 , , An theo th t t trái qua ph i (n  4) M c tô b ng m t màu khác c c dùng Ch ng minh r ng t n t i m n th ng ch mc a hai màu nh m c a hai màu cịn l i 162   ng d n Xét t p A  k  k  n Theo nguyên lí c c h n, t n t i i nhỏ nh t mà Ai khác màu v i A1, A2 , , Ai 1 A1, A2 , , Ai i A B   k  k  i gi m Ak , Ak 1, , Ai b n màu Xét b n màu màu  Theo n th ng  A j Ai  thỏa mãn nguyên lí c c h n, t n t i j l n nh t mà j  B L p lu yêu c u tốn 26 ([17]) ng h c, m ng có h c sinh M i h c sinh quen v i nh t n  h c sinh t ng khác Ch ng minh r i ta có th ch n t m ng m t b n cho ba h c ch t quen ng d n G i A h c sinh có nhi u b n nh t m ng khác G i s b n nhi u nh t k Gi sử A ng th nh t t p b n quen A M  B1, B2 , , Bk  thi t, có nh t h c sinh C ng th ng th quen v i A Vì C quen không k h c sinh gi thi t C quen v i nh t n   k h c sinh t N  D1, D2 , , Dm  nh i quen C ng th nh t nên theo c ng th 2, ng th hai m  n   k Vì u t p c a t p h p g m n h c sinh M  N  k  n   k  n  nên M  N   Ch n B  M  N ta có A, B, C t quen 27 ([17]) Ch ng minh r ng m t ph ng t , không th nh m u (M m M ( x, y) m t ph ng t u c hai thành ph n t x, y u s nguyên) ng d n 28 ([17]) Trên m t ph khác N th Hỏi v i cách n Không th nh m cg i n ch ng nguyên lí c c h n, nh cm m, kho ng cách gi t m v m g n nh t C ti p t cm c ng g p khúc khép kín khơng? c g p khúc khép kín 29 (O.2016, [8]) Xét m ng 16  16 t o thành t cách gi a hàng c ): 163 ng a) Tìm s hình vng v nh m ng có di n tích b b) Tìm s hình vng v nh m ng có di n tích b di n tích) di n tích) ng d n Xem [8] 30 (O 2017) Ông V tr ng 30 xoan d c theo rìa xung quanh m t m n n 20m  40m (xem hình, AD  BC  40m ), kho ng cách gi a hai c nh 4m n tu i khai thác, ông V mu n ch t m t s bán Hỏi ơng V có bao t n u: a) Ơng V mu n ch t khơng c nh s 11 c nh BC? b) Ông V mu n ch t s 30 mà khơng có liên ti p b ch t? c) Ông V mu n ch t s 30 mà gi a hai b ch t b t kì (tính c thu n c chi ng h ) ln có hai khơng b ch t? 164 ng d n Xem wedsite c a H i Toán h c Vi t Nam a) 45; b) 26625; c) 13940 165 [1] O Tài li is [2] Lê Ng m Th Long, Nguy n Minh Tu n, viên toàn qu c, NXB Giáo d [3] H i toán h c Vi t Nam, l n th 18 d ib thi Olympic toán sinh O pic Toán h c sinh viên O c sinh viên [4] H i toán h c Vi t Nam, l n th 19 Q d ib [5] H i toán h c Vi t Nam, l n th 20 Y d ib án Olympic Toán h c sinh viên [6] H i toán h c Vi t Nam, Kỷ y u kỳ thi Olympic Toán h c sinh viên l n th 21 [7] H i toán h c Vi t Nam, Kỷ y u kỳ thi Olympic Toán h c sinh viên l n th 23 [8] H i toán h c Vi t Nam, Kỷ y u kỳ thi Olympic Toán h c sinh viên l n th 24 Q Q [9] [10] Jean-Marie Monier [11] Lê Tu n Hoa, 2005 , 1996 i s n tính qua ví dụ t p, Nxb giáo d c Hà N i, [12] [13] Q L [14] Q nh, Tài li i s 10, NXB GD, 2011 [15] Q nh, Tài li i s Gi i tích 11, NXB GD, 2011 [16] Tr nh Vi Nguyên lí Dirichlet ng dụng gi p, Lu th c Toán h c – i h c Khoa h i h c Thái Nguyên), 2009 [17] Lê Th Bình, Các tốn Hình h c t h p, Lu – i h c Khoa h i h c Thái Nguyên), 2009 166 c Toán h c [18] David C.Lay, Linear algebra and its applications (fourth edition), Addison Wesley, 2012 [19] S.Krenk, J.Hogsberg, Truss structures 2, Springer Science + Business Media Dordrecht 2013 [20] Applications of systems of linear homepage.ntu.edu.tw/~jryanwang/ /Applications%20in%20Ch1.pdf 167 equations, ... 1  f ▪ n h h ủ f ( x )  x n  an1 x n1  a0 ,   f (1); f  f (x) không? ỏ a0 f (1) f (1) ; 1  1  f (x) không? h n n h [x Eisenste h f ( x )  an x n  an1 x n1  a0 , an  (n... 108 s chi u c Ma tr n chuy 108 .108 t x1, x2 , , xn  sang  y1, y2 , , yn  109 Không gian - H ng c a m t h 110 T ng t ng tr c ti p .110 111 §2 ÁNH X TUY... thi sinh viên T b [6], [9], [10] Oly Ụ Ụ Ụ Ụ hươn 1 Ứ Ứ .6

Ngày đăng: 22/10/2022, 01:52

w