ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 Phiên bản đã chỉnh sửa PGS TS Mỵ Vinh Quang Ngày 15 tháng 11 năm 2004 Hạng Của Ma Trận Cùng với định thức, ma trận (đặc biệt là hạng của ma trận) là các công cụ cơ bản để giải quyết các bài toán về hệ phương trình tuyến tính nói riêng và đại số tuyến tính nói chung.
uDaiHoc.com ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tài liệu ơn thi cao học năm 2005 Phiên chỉnh sửa PGS TS Mỵ Vinh Quang Ngày 15 tháng 11 năm 2004 Hạng Của Ma Trận Cùng với định thức, ma trận (đặc biệt hạng ma trận) công cụ để giải toán hệ phương trình tuyến tính nói riêng đại số tuyến tính nói chung Bài viết giới thiệu định nghĩa, tính chất hạng ma trận, hai phương pháp để tính hạng ma trận Định nghĩa tính chất Trước hết, cần nhớ lại khái niệm định thức cấp k ma trận Cho A ma trận cấp m × n; k số tự nhiên ≤ k ≤ min{m, n} Chọn k dòng, k cột A Các phần tử thuộc giao k dòng, k cột tạo thành ma trận vuông cấp k, gọi ma trận cấp k ma trận A Định thức ma trận cấp k gọi định thức cấp k A 1.1 Định nghĩa hạng ma trận Cho A ma trận cấp m × n khác không Hạng ma trận A số tự nhiên r, ≤ r ≤ min{m, n} thỏa mãn điều kiện sau: Tồn định thức cấp r ma trận A khác Mọi định thức cấp lớn r (nếu có) ma trận A Nói cách khác, hạng ma trận A O=chính cấp cao định thức khác không ma trận A Hạng ma trận A ký hiệu r(A) rank(A) Qui ước: hạng ma trận khơng O 1.2 Các tính chất hạng ma trận 1.2.1 Tính chất Hạng ma trận không thay đổi qua phép chuyển vị, tức rank A t = rank A 1.2.2 Tính chất Nếu A ma trận vng cấp n rank A = n det ⇐⇒ A = rank A < n det ⇐⇒ A=0 Nếu xảy trường hợp đầu, ta nói A ma trận vuông không suy biến Nếu xảy trường hợp thứ hai, ta nói A ma trận vng suy biến 1.2.3 Tính chất Nếu A, B ma trận cấp rank(A + B) ≤ rank A + rank B 1.2.4 Tính chất Cho A, B ma trận cho tồn tích AB Khi rank(AB) ≤ min{rank A, rank B} Nếu A ma trận vuông không suy biến rank(AB) = rank B Tìm hạng ma trận phương pháp định thức 2.1 Từ định nghĩa hạng ma trận ta suy thuật tốn sau để tìm hạng ma trận A cấp m × n (A O) = Bước Tìm định thức cấp k khác A Số k lớn tốt Giả sử định thức cấp k khác không D k Bước Xét tất định thức cấp k + A chứa định thức D k Xảy khả sau Khơng có định thức cấp k + A Khả xảy k = min{m, n} Khi rank A = k = min{m, n} Thuật toán kết thúc Tất định thức cấp k + A chứa định thức D k Khi rank A = k Thuật tốn kết thúc Tồn định thức cấp k + A D k+1 chứa định thức D k khác Khi lặp lại bước với D k+1 thay cho D k Và tiếp tục xảy trường hợp (1) (2) thuật tốn kết thúc 2.2 Ví dụ Tìm hạng ma trận A= 12214 −1 1 13322 21101 Giải Đầu tiên ta thấy A có định thức cấp 2, D = 12 −1 =3 =(Định thức tạo thành dòng đầu, cột đầu A) Xét định thức cấp A chứa D , ta thấy có định thức cấp khác Đó định thức D = 121 −1 1 132 =1 0= (Định thức thành dòng 1, 2, 3, cột 1, 2, A) Tiếp tục, xét định thức cấp A chứa D Có tất định thức vậy, D 4,1 = 1221 −1 1 1332 2110 D 4,2 = 1214 −1 1 1322 2101 Cả định thức Do rank A = Chú ý Có thể nhận xét dịng (4) ma trận A tổ hợp tuyến tính dịng (1) dịng (2); dòng (4) = dòng (1) - dòng (2), nên dễ dàng thấy D 4,1 = 0, D 4,2 = Việc tìm hạng ma trận định thức phải tính tốn phức tạp nên thực tế người ta sử dụng mà người ta thường sử dụng phương pháp tìm hạng ma trận phép biến đổi sơ cấp sau Tìm hạng ma trận phương pháp sử dụng phép biến đổi sơ cấp (phương pháp Gauss) Trước giới thiệu phương pháp này, ta cần nhớ lại số khái niệm sau 3.1 Ma trận bậc thang 3.1.1 Định nghĩa Ma trận A cấp m × n khác không gọi ma trận bậc thang tồn số tự nhiên r, ≤ r ≤ min{m, n} thỏa điều kiện sau: r dịng đầu A khác khơng Các dịng từ thứ r + trở (nếu có) Xét dòng thứ k với ≤ k ≤ r Nếu (A) ki k phần tử bên trái (tính từ trái sang phải) khác dịng k ta phải có i