Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 24 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
24
Dung lượng
1,53 MB
Nội dung
THẦY GIÁO LÀNG - 0973640175 HÌNH HỌC 12 CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HĨA TRONG KHƠNG GIAN DẠNG GẮN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ VÀO CÁC HÌNH ĐA DIỆN CĨ SẴN MƠ HÌNH TAM DIỆN VNG Phương pháp Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp Trong gốc tọa độ giao điểm chung ba đường đơi vng góc với nhau, tia Ox, Oy , Oz nằm ba đường Bước 2: Xác định toạ độ điểm toạ độ véc tơ có liên quan Bước 3: Sử dụng kiến thức toạ độ để giải tốn có liên quan Đây phẩn chun đề, thầy truy cập tải đầy đủ địa http://bit.ly/2HJSPsf Loại Hình chóp có đáy tam giác Ví DỤ AD ABC AC AD cm ; AB cm ; BC cm Cho tứ diện ABCD có , Tính BCD khoảng cách từ A đến mặt phẳng Tam giác ABC có AB 3, AC 4, BC nên tam giác ABC vng A Do tứ diện ABCD có ba cạnh AB, AC , AD đơi vng góc A 0;0;0 , B 3; 0;0 , C 0; 4; , D 0; 0; Chọn hệ trục hình vẽ Khi đó: x y z BCD : x y 3z 12 4 Phương trình mặt phẳng 4.0 3.0 3.0 12 12 d A, BCD 16 34 Vậy THẦY GIÁO LÀNG - 0973640175 Đây phẩn chuyên đề, thầy truy cập tải đầy đủ http://bit.ly/2HJSPsf Ví DỤ Cho hình chóp có ba cạnh đơi vng góc uuuu r OM Gọi trung điểm cạnh Tính góc tạo hai vectơ Chọn hệ trục toạ độ Oxyz hình vẽ ta có a a O(0;0;0), A(0; a ;0), B(a ;0;0), C(0;0; a), M ( ; ;0) 2 uuur uuuuur a a BC ( a ;0;a) ; OM ( ; ;0) 2 Ta có : uuuruuuu r uuuu r uuuuu r BC.OM r cos( BC ,OM ) uuuur uuuuu | BC | | OM | a uuuuu r uuuuu r ( BC ,OM ) 1200 a a 2 Đây phẩn chuyên đề, thầy truy cập tải đầy đủ địa http://bit.ly/2HJSPsf Loại Hình chóp có đáy hình thang Ví DỤ Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng A D , AB 2a, CD DA a Cạnh bên SA 2a vuông góc với đáy ABCD Tính cosin SBC SCD góc hai mặt phẳng Giải : THẦY GIÁO LÀNG - 0973640175 A O 0; 0;0 , D a;0; , B 0; 2a; , S 0; 0; 2a Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho , C a; a;0 uur uuu r uur uuu r uuu r 2 SB 0; 2a; 2a , SC a; a; 2a , SD a;0; 2a SB, SC 2a ; 2a ; 2a Ta có , , uuu r uuu r u r SC , SD 2a ;0; a n 1;1;1 SBC Suy mặt phẳng có véc tơ pháp tuyến , uu r SCD n 2;0;1 mặt phẳng có véc tơ pháp tuyến Ta có ur uu r cos SBC , SCD cos n1 , n2 3 15 Ví DỤ Đây phẩn chun đề, thầy truy cập để tải đầy đủ địa chỉhttp://bit.ly/2HJSPsf Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vuông A D , AB 2a, CD DA a Cạnh bên SA 2a vng góc với đáy ABCD Tính khoảng cách hai đường thẳng BD, SC A O 0; 0;0 , D a;0; , B 0; 2a; , S 0; 0; 2a Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho , C a; a;0 uuur uuu r uuur uuu r uur 2 BD a; 2a;0 , SC a; a; 2a , SB 0; 2a; 2a BD, SC 4a ; 2a ;3a Ta có , , uuur uuu r uur BD, SC SB 2a 2a d BD, SC u u u r u u u r uuur uuu r uuur uuu r uur 2 29a 29 BD, SC BD, SC SB 2a BD, SC 29a , Suy THẦY GIÁO LÀNG - 0973640175 Ví DỤ Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng A D , AB 2a, CD DA a Cạnh bên SA 2a vng góc với đáy ABCD Gọi M trung điểm SD , G trọng tâm tam giác SBC Tính thể tích khối tứ diện ACMG A O 0; 0;0 , D a;0; , B 0; 2a; , S 0; 0; 2a Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho , C a; a;0 2a a a M ;0; a , G ; a; 2 3 uuuu r a uuur a 2a uuur uuuu r uuur uuur AM ;0; a , AC a; a;0 , AG ; a; AM , AC AG a 3 2 3 Ta có r uuur uuur a uuuu V ACMG AM , AC AG 6 Đây phần chuyên đề, thầy cô tải full tại: bit.ly/2HJSPsf Ví DỤ Đây phẩn chuyên đề, thầy tải full - http://bit.ly/2HJSPsf: Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng ABCD ; M , N hai x, y a điểm nằm hai cạnh BC , CD Đặt BM x , DN y Xác định hệ thức liên hệ x y để hai mặt phẳng SAM SMN vng góc với nhau? Lời giải THẦY GIÁO LÀNG - 0973640175 Tọa độ hóa với O A , Ox AD , Oy AB , Oz AS S 0; 0; z M x; a; N a; y; Đặt SA z , ta có , , uuu r uuu r uuuu r AS 0;0; z az; xz;0 AS ; AM u u u u r AM x ; a ;0 Do uuur SM x; a; z uuur uuu r SM ; SN yz az; xz az; xy a r uuu SN a; y; z uuu r uuuu r AS ; AM az; xz;0 SAM Mặt phẳng nhận VTPT uuur uuu r SM ; SN yz az; xz az; xy a SMN Mặt phẳng nhận VTPT uuu r uuuu r uuur uuu r SAM SMN AS ; AM SM ; SN Ta có az az yz xz xz az a a y x x a x a a x y Ví DỤ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, cạnh bên SA vng góc với đáy, AB a , AD 2a, SA 3a Gọi M , N hình chiếu A lên SB, SD P giao điểm AMN Tính thể tích khối chóp S AMPN SC với mặt phẳng Lời giải THẦY GIÁO LÀNG - 0973640175 Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ A 0;0;0 , B a;0;0 , D 0;2a;0 , C a;2a;0 , S 0;0;3a Ta có tọa uurđộ điểm uuu r uuu r SB a;0; 3a , SD 0;2a; 3a , SC a;2a; 3a Suy x a t SB : y z 3t Phương trình uuuu r M a t ;0; 3t AM a t;0; 3t uuuu r uur a M 9a ;0; 3a AM SB AM SB a t 9t t 10 10 10 Mà 18a 12a N 0; ; Tương tự ta tìm 13 13 ur uuuu r uuur 27a n1 AM , AN 1;2; 3 65 Suy AMN : x y 3z Do ta có phương trình xt SC : y 2t z 3a 3t Phương trình nên tọa độ điểm P nghiệm hệ xt y 2t 9a 9a 15a 9a 9a 15a x ,y ,z P ; ; 14 14 14 14 y 2t x y z 2 uuuu r uuu r uuur uuu r 27a 27a AM , AP AN , AP 1;2; 1;2; 3 70 91 Ta có: , r uuu r uuur uuu r 9a uuuu 621 14.a d S , AMN S AMPN AM , AP AN , AP 14 1820 Suy 9a 621 14.a 1863.a VS AMPN 14 1820 1820 Vậy Ví DỤ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA 2a vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M trung điểm cạnh SD Tính tan góc tạo AMC SBC hai mặt phẳng Lời giải THẦY GIÁO LÀNG - 0973640175 A 0;0; B 0;1;0 Chọn hệ trục tọa độ chuẩn hóa cho a cho , , D 1; 0; S 0; 0; , 1 M ;0;1 2 , C 1;1; Ta có M trung điểm SD uuuur uuuu r uuur AM , AC 1;1; AM ;0;1 uuur AMC có vtpt 2 , AC 1;1;0 , r n 2; 2;1 uur uuu r uur uuu r r SB 0;1; 2 SC 1;1; 2 SB, SC 0; 2;1 SBC k 0; 2;1 , , có vtpt rr n.k cos r r AMC SBC n.n Gọi góc hai mặt phẳng Do tan nên tan 1 cos Ví DỤ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB a , AD a 2, SA a ABCD SA vng góc với mặt phẳng Gọi M , N trung điểm AD SC , I giao điềm BM AC Tính thề tích khối tứ diện ANIB Lời giải THẦY GIÁO LÀNG - 0973640175 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O A , tia Ox chứa B , tia Oy chứa D tia Oz chứa S Khi đó: a a a a A 0;0; , B a;0;0 , C a; a 2;0 , D 0; a 2; , S 0;0; a , M 0; ;0 , N ; ; uuu r uuur a a a AB a;0;0 ,Q AN ; ; 2 2 Ta có IAM đồng dạng với ICB (góc-góc) a a uur uu r IC BC I ;0 ; IC 2 IA 3 Suy ra: IA AM Từ tìm uur a a uuur uur a 2 a AI ; ;0 AN , AI ; ; 3 , uuur uur uuur a a VANIB AN , AI AB 6 36 Thể tích khối tứ diện ANIB Ví DỤ 10 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh , SA SA ABCD vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M , N hai điểm thay đổi hai SMC SNC cạnh AB , AD cho mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng Tính 1 T AN AM thể tích khối chóp S AMCN đạt giá trị lớn tổng Lời giải THẦY GIÁO LÀNG - 0973640175 A 0;0; B 2;0; D 0; 2;0 S 0; 0; Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho , , , C 2; 2;0 x, y 0; 2 M x;0;0 Suy Đặt AM x , AN y , , suy , N 0; y; uuur uuu r uuu r SM x;0; 2 SC 2; 2; 2 SN 0; y; 2 , , ur uuur uuu r uu r uuu r uuu r n1 SM , SC 4; x 4; x n2 SN , SC y; 4; 2 y , ur uu r n n y x xy SMC SNC Do nên xy x y 2x 2x y x 1 y x , nên x S AMCN S ABCD S BMC S DNC x y x y 2 x x2 VS AMCD SA.S AMCN x y x 3 x x2 Do 2 x 4x x2 f x f x x 2 x với x 1; 2 , Xét f x x x x 2 x 2 ; (loại) max f x f 1 f Lập BBT ta suy 0;2 x 1 1 y max VS AMCN T 2 2 x AM AN x y y Vậy Loại Lăng trụ đứng tam giác Ví DỤ 11 ABC tam giác vng A có AB , AC Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC có mặtuuđáy uuur uu r AA ' Tính cosin góc hai vectơ AB ' BC Bài giải THẦY GIÁO LÀNG - 0973640175 Chọn hệ trục toa độ hình vẽ Khi ta có: A 0; 0; B 3; 0; C 0; 4; B ' 3; 0; , , , uuuu r uuur AB ' 3;0; , BC 3; 4;0 Ta có: uuuu r uuur uuuu r uuur 3 0.4 2.0 AB '.BC 13 cos AB ', BC uuuu r uuur 65 AB ' BC 32 2 3 Khi : Đây phẩn chuyên đề, thầy cô tải full tại: bit.ly/2HJSPsf Ví DỤ 12 Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có mặt đáy ABC tam giác vng B có AB , AC A ' BC A ' B Gọi M trung điểm AC Tính khoảng cách từ M đến Bài giải Chọn hệ trục toa độ hình vẽ 2 2 Ta có: AA ' A ' B AB BC AC AB Khi ta có: 1 THẦY GIÁO LÀNG - 0973640175 M ; ;0 ;0;0 A ' 0;1; 2 , , B 0; 0; A 0;1; C , , uuur uuur BA ' 0;1; , BC Ta có: uuur uuur BA ' BC 0; ; Khi phương trình Suy 2; 0; A ' BC d M , A ' BC 3y z Ví DỤ 13 O Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có cạnh bên 2a , góc tạo A ' B mặt đáy 60 Gọi M trung điểm BC Tính cosin góc tạo hai đường thẳng A ' C AM Bài giải Ta có: AB AC BC 2a 2a BC a MC o tan 60 3 AB a Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ AM a C ;0;0 M 0;0; A 0; a ; , A ' 0; a ; a Khi đó: , , uuuur a 4a A 'C ; a ; 2a A ' C Ta có : uuuu r AM 0; a ;0 AM a THẦY GIÁO LÀNG - 0973640175 uuuu r uuuu r AC AM cos AC , AM uuuu r uuuu r AC AM Khi có Ví DỤ 14 Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' với đáy ABC tam giác vng C có AB 8cm , · BAC 600 , diện tích tam giác A ' CC ' 10cm Tính tang góc tạo hai mặt phẳng C AB ABC Bài giải Ta có : sin 60o BC o AB BC AB sin 60 A ' C ' AC AB BC 2S S A ' CC ' CC ' A ' C ' CC ' A 'CC ' A'C ' Chọn hệ trục toa độ hình vẽ C 0;0; A 0; 4; B ; 0;0 C ' 0; 0;5 Khi ta có : , , , ABC Oxy ABC Ta có : Phương trình z uuuur uuuur C ' A 0; 4; C ' B ;0; Lại có , uuuur uuuur C ' A C ' B 20; 20 ; 16 4 5;5 ; r ur n 5;5 3; ABC n 0;0;1 ( C AB ) Suy có VTPT có VTPT r ur n.n cos C AB , ABC r r 37 n n Khi THẦY GIÁO LÀNG - 0973640175 tan tan C AB , ABC cos Mà: Loại Lăng trụ đứng tứ giác Ví DỤ 15 Cho hình lập phương ABCD ABC D có cạnh a a Chứng minh giao điểm đường chéo AC mặt phẳng ( ABD) trọng tâm tam giác ABD b.Tìm khoảng cách hai mặt phẳng ( ABD) (C BD) c.Tìm cosin góc tạo hai mặt phẳng ( DAC ) ( ABBA) ( Dựa SGK Hình 12, trang 112, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000 ) Bài giải Chọn hệ trục toạ độ Đề vng góc sau : ; A(0;0; a) ; B(a; 0; a) ; ; C (a; a; a ) ; ; D(0; a; a) a Gọi G trọng tâm tam giác ABD uuuu r u A ' C (1;1; 1) A C Đường thẳng nhận véc tơ phương qua A nên phương trình đường x t (t ¡ ) y t z a t Véc tơ pháp tuyến mặt phẳng ( ABD) ur n1 (1;1; 1) ur uuuu r uuuur n1 AB ', AD ' ( a ; a ; a ) Phương trình tổng quát mặt phẳng ( ABD) hay x yz 0 Gọi G AC ( ABD) Toạ độ giao điểm G đường thẳng AC mặt phẳng ( ABD) nghiệm hệ Mặt khác : (2) THẦY GIÁO LÀNG - 0973640175 a a 2a G ; ; 3 (1) Từ (1), (2) ta có giao điểm G đường chéo mặt phẳng ( ABD) trọng tâm tam giác ABD d ( ABD), (C BD) b Tính uu r uuur uuuur 2 n C B , C D (a ; a ; a ) ( C BD ) Véc tơ pháp tuyến mặt phẳng hay uu r n2 (1;1; 1) Phương trình tổng quát mặt phẳng (C BD ) x y z a Phương trình tổng quát mặt phẳng ( ABD) x y z ABD / / C BD c Tính d ( ABD),(C BD ) d B,( ABD) cos ( DAC ), ( ABBA) a 00 12 12 1 a r Oy ( ABB ' A ') nên véc tơ pháp tuyến j (0 ; ; 0) uu r uuuu r uuur uu r n3 DA ', DC (0; a ; a ) n (0;1;1) Vectơ pháp tuyến hay cos ( DA ' C ),( ABB ' A ') Do ( DA ' C ), ( ABB ' A ') 450 Ví DỤ 16 Cho hình lập phương có cạnh a Chứng minh hai đường chéo hai mặt bên hai đường thẳng chéo Tìm khoảng cách hai đường thẳng chéo Bài giải Chọn hệ trục toạ độ Đề vng góc sau : , A(0;0; a ) , B( a; 0;0) , B( a;0; a) , , C (a; a; a ) , D(0; a; 0) , D(0; a; a) uuuur uuur uuur B D ( a ; a ;0) A B ( a ;0; a ) Ta có , , BB (0;0; a ) nên uuuur uuur uuuur uuur uuur BD, AB (a ; a ; a ) BD, AB BB a , uuuur uuur uuur ba vectơ BD; AB, BB không đồng phẳng Hay BD AB chéo Khoảng cách hai đường THẦY GIÁO LÀNG - 0973640175 uuuur uuuur uuur [ BD, AB].BB a3 a3 a d B D , A B uuuur uuur 4 a [ BD, AB] a a a Ví DỤ 17 Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D có cạnh AB a , AD 2a AA a AM 3 a Gọi M điểm nằm AD cho MD Tính khoảng cách từ M đến (ABC) b Tính thể tích tứ diện (ABDC) Bài giải a) Chọn hệ trục toạ độ Đề vng góc sau : A(0;0;0) ; A(0;0; a) ; ; B(0; a; a) C (2a; a; 0) ; C (2a; a; a) ; D(2a; 0; 0) ; D(2a;0; a) Vì M điểm nằm AD cho AM 3a 3 M ( ; 0; 0) MD nên uuuuur uuuu r uuur , AC ( a ; 2a ; 2a ) n AB Véc tơ pháp tuyến mặt phẳng (ABC) (AB'C) hay uuuuur n(AB'C) (1; 2; 2) Phương trình tổng quát mặt phẳng (ABC) x y z Do khoảng cách từ M đến mặt phẳng (ABC) là: a 2.0 2.0 a d ( M , ( ABC )) 1 r uuur 1 uuur uuuu VABDC Vhop AB, AD AC 6 b) Theo công thức uuuu r uuur uuur Mà AD (2a;0; a ); AB (0; a; a ); AC (2a; a; a ) 2a VABDC ( dvdt ) Ví DỤ 18 THẦY GIÁO LÀNG - 0973640175 2a , khoảng Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D Biết khoảng cách AB BC 2a a cách BC AB , khoảng cách AC BD Gọi M trung BMD BAD điểm BC Tính tan góc tạo hai mặt phẳng Lời giải Đặt BA x, BC y, BB z Gọi O tâm ABCD AB // B DC d AB , BC d AB, BDC d B , BDC Ta có BDC BBCC cắt theo giao tuyến BC Ta dễ dàng chứng minh Kẻ BK BC BK BDC , hay d AB , BC BK 2a 5 1 1 (1) 2 2 BC BB y z 4a Xét BB C vuông B , ta có BK BC // B AD d BC , AB d BC , BAD d B, BAD Lại có BAD BBAA cắt theo giao tuyến AB Kẻ Ta dễ dàng chứng minh 2a 5 , hay 1 1 (2) 2 BA BB 4a x z Xét BBA vng B , ta có BH Từ (1) (2) , suy x y , hay ABCD hình vng BH AB BH BAD Ta dễ dàng chứng minh d BC , AB BH AC BBDD Kẻ OI BD , suy AC OI , hay OI đoạn vng góc chung AC BD , suy d AC , BD OI a 3 THẦY GIÁO LÀNG - 0973640175 BBDD , kẻ Trong DJ / / OI ( J BD) DJ 2OI 2a 3 ( OI đường trung bình BDD ) 1 1 (3) 2 2 BD DD 4a 2x z Xét BDD vuông D , ta có DJ Giải (2), (3) ta x a, z 2a B 0;0;0 B 0; 0; C 1; 0; A 0;1; Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ với : , , , , D 1;1;0 , 1 M ; 0;1 2 M trung điểm BC , suy uuur uuuu r uuur uuuu r 0; 2; 1 B A , B D BA 0;1; 2 BD 1;1; 2 +) Ta có , , r BAD có véctơ pháp tuyến n 0; 2;1 Suy mặt phẳng uuuu r 1 uuuu r uuur BM , BD 1;1; BM ; 0;1 uuur 2 2 , BD 1;1;0 , +) Ta có r n 2; 2;1 BMD Suy mặt phẳng có véctơ pháp tuyến BAD BMD Gọi góc tạo hai mặt phẳng , ta có: r ur | n.n | 5 cos r ur 2 sin tan 5.3 | n | n DẠNG GẮN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ VÀO CÁC HÌNH ĐA DIỆN CĨ SẴN MƠ HÌNH TAM DIỆN VNG AB BCD Dạng tốn : Cho tứ diện ABCD có BCD tam giác vuông C , Cách dựng : Ta dựng hệ trục tọa độ Oxyz cho C O, D Ox , B Oy , Oz qua C vng góc với BCD Loại Tứ diện có cạnh vng góc với mặt đáy Ví DỤ 19 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân B cạnh AB 3a Cạnh bên THẦY GIÁO LÀNG - 0973640175 SA a vng góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo AB SC Lời giải Chọn hệ trục tọa độ cho: Khi A 0; 3a; , B 0; 0; C 3a; 0; S 0; 3a; a , , uuu r r BA 0; 3a; u 0; 3a; , suy AB có vectơ phương uuu r r SC 3a; 3a; a v 3a; 3a; a , suy SC có vectơ phương r r 2 u , v 3a 6; 0; 9a Suy r r uuur u , v BC 9a 3a 10 d AB; SC r r 3a 15 u , v Khi Ví DỤ 20 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng B cạnh AB 3a, BC 4a Tam giác SAB vuông cân A SA vuông góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo AC SB Lời giải Ta có SA AB 3a (do tam giác SAB vuông cân A ) Chọn hệ trục tọa độ cho: Khi uuur AC 4a; 3a; A 0; 3a; , B 0; 0; C a; 0; S 0; 3a; 3a , , r u 4a; 3a; AC , suy có vectơ phương THẦY GIÁO LÀNG - 0973640175 uuu r r BS 0; 3a; 3a v 0; 3a; 3a , suy SB có vectơ phương r r u , v 9a ; 12a ; 12a Suy r r uuu r u, v BA 36a 12a 41 d AB; SC r r 41 3a 41 u, v Khi Ví DỤ 21 SA ABC Cho hình chóp S ABC có , đáy ABC tam giác vuông B cạnh AB 3a, BC 4a Góc tạo SC ABC 600 Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo AM SC với M trung điểm BC Lời giải Ta có AC AB BC 3a 4a 5a · 60 ABC nên ·SC , ABC ·SC , AC SCA Mà AC hình chiếu SC (do tam giác SAC vuông A ) Khi SA AC.tan 60 5a Chọn hệ trục tọa độ cho: S 0; 3a; 5a A 0; 3a; , B 0; 0; C a; 0; , , M trung điểm BC nên M 2a; 0; Khi uuuu r r AM 2a; 3a; u 2a; 3a; , suy AM có vectơ phương r uuu r SC 4a; 3a; 5a v 4a; 3a; 5a , suy SB có vectơ phương r r u , v 15 3a ; 10 3a ; 6a Suy r r uuur u , v AC 30 3a 30 d AB; SC a r r a 1011 1011 u , v Khi Ví DỤ 22 SC ABC Cho hình chóp S ABC có Tam giác ABC vng A , điểm M , N THẦY GIÁO LÀNG - 0973640175 thuộc SA, BC cho AM CN Biết SC CA AB a Tìm giá trị nhỏ đoạn MN ? A a; a;0 , B 2a;0;0 , C 0; 0;0 , S 0;0; a Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có : x a t SA : y a t z 2t Phương trình đường thẳng uuuu r M a t0 ; a t0 ; 2t0 SA, t0 0; a AM t0 ; t0 ; 2t0 AM 2t0 Gọi Ta có: Vì N BC : NC AM nên uuuu r N 2t0 ;0;0 MN 3t0 a; t0 a; 2t0 MN 12t02 8at0 2a , t0 0; a a 2a MN t0 Suy giá trị nhỏ Ví DỤ 23 · ·ABC BCD · ·ADC 90 AD, BC 60 BC 3, ABCD CD Cho tứ diện có , , Tính Cosin góc hai mặt phẳng ABC ACD THẦY GIÁO LÀNG - 0973640175 Gọi H chân đường cao tứ diện ABCD BC AB BC HB BC AH Ta có: (1) CD AD CD HD CD AH Lại có: (2) · Mà BCD 90 Từ ta suy HBCD hình chữ nhật ·AD, BC ·AD, HD ·ADH 60 Mặt khác: Suy ra: AH HD tan 60 3 Chọn hệ trục Oxyz H DBA hình vẽ H 0; 0; A 0;0;3 B 0; 4; D 3;0; C 3; 4;0 Ta có: , , , , uuur uuur uuur AD 3; 0; 3 AC 3; 4; 3 AB 0; 4; 3 , , ur uu r ABC ABD Gọi n1 , n2 véc tơ pháp tuyến ur uuur uuur uu r uuur uuur n AB, AC 0; 3; 12 n2 AD, AC 12 3;0;12 Suy ra: ; ur uu r 0.12 3.0 12.12 43 n1.n2 2 cos ABC , ADC ur uu r 2 43 02 9 12 12 12 n1 n2 Vậy Loại Chóp tam giác Ví DỤ 24 a Cho hình chóp S ABC có cạnh đáy a, cạnh bên Gọi M , N lần AMN SBC lượt trung điểm SB, SC Chứng minh rẳng: a a a a , OH OA , AH OA , OB OC 3 Ta có 2 3a a 5a a 15 2 SH SA AH SH 12 Tam giác SAH vuông H nên Chọn hệ trục hình vẽ Ta có: OA THẦY GIÁO LÀNG - 0973640175 a a a O 0; 0;0 , A 0; ;0 , B ;0;0 , C ; 0;0 2 a a a 15 a a a 15 a a 15 S 0; , , M , , ; , N ; 6 12 12 12 12 ur uuuu r uuur a 15 5a n1 AM , AN 0; ; 24 24 AMN Mặt phẳng có vec tơ pháp tuyến uu r uur uuu r a 15 a n2 SB, SC 0; ; 6 SBC Mặt phẳng có vec tơ pháp tuyến ur uu r ur uu r AMN SBC Khi n1.n2 n1 n2 Vậy Ví DỤ 25 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a , mặt bên SAB tam giác cân ·ASB 120 với nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M trung điểm SC N trung điểm MC Tính khoảng cách hai đường thẳng AM , BN Gọi H trung điểm AB SAB ABC SH ABC Vì nên Oxyz Chọn hệ trục tọa độ , với O H , HB Ox , HC Oy , HS Oz Ta có : HC AC AH 3a ; H 0; 0; , S 0; 0; a , SH A a ;0;0 AH a tan ASH , B a ;0;0 3a a 9a a M 0; ; N 0; ; C 0;3a ;0 2, 4 , , 2 uuuur uuur uuuu r 3a a uuur 9a a AM , BN 3a ; 3a ; 15 3a AM a ; ; BN a ; ; 4 2, 4, THẦY GIÁO LÀNG - 0973640175 uuuu r uuur uuu r 3a AM , BN AB 237a d AM , BN uuuur uuur 79 711a AM , BN Khoảng cách AN , BN : Ví DỤ 26 Cho hình chóp tam giác S ABC có độ dài cạnh đáy a Gọi M , N trung điểm AMN cạnh SB SC Tính theo a diện tích tam giác AMN biết mặt phẳng vng góc với mặt phẳng SBC Lời giải ABC Gọi O hình chiếu S , ta suy O trọng tâm tam giác ABC Gọi I trung a a a AI OA , OI Suy điểm BC , ta có Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ với O trùng với gốc tọa độ Đặt SO h , ta a a A ; 0; I ; 0; O 0; 0;0 S 0;0; h , , , a a a a a a h a a h B ; ;0 C ; ;0 M ; ; N ; ; 12 12 2 Suy , , , Ta có uuuu r 5a a h uuur 5a a h uur a a r a a uuu AM ; ; AN ; ; SB ; ; h SC ; ; h 2 2 12 , 12 , , uuuu r uuur ah 5a uur uuu r a2 r r n AMN AM , AN ;0; n SBC SB, SC ah; 0; 24 Suy a h 15a 5a 2 r r h AMN SBC n AMN n SBC 144 12 THẦY GIÁO LÀNG - 0973640175 S AMN uuuu r uuur a 10 a 10 AM , AN S AMN 16 Vậy 16 Ví DỤ 27 Cho hình chóp tam giác S ABC có SA 2a , AB a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính SAB khoảng cách từ M tới mặt phẳng ... SC với mặt phẳng Lời giải THẦY GIÁO LÀNG - 0973640175 Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ A 0;0;0 , B a;0;0 , D 0;2a;0 , C a;2a;0 , S 0;0;3a Ta có tọa uurđộ điểm uuu r uuu r SB... 450 Ví DỤ 16 Cho hình lập phương có cạnh a Chứng minh hai đường chéo hai mặt bên hai đường thẳng chéo Tìm khoảng cách hai đường thẳng chéo Bài giải Chọn hệ trục toạ độ Đề vng góc sau : , A(0;0;... AN 1;2; 3 65 Suy AMN : x y 3z Do ta có phương trình xt SC : y 2t z 3a 3t Phương trình nên tọa độ điểm P nghiệm hệ xt y 2t 9a 9a 15a 9a 9a 15a