KTDN TOAN CAO CAP DE TONG ON 2017

tªn cQ, tc cÊp trªn (1) TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ LUẬT BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KỲ Học kỳ I Năm học 2017 – 2018 (Được sử dụng tài liệu) PHIẾU TRẢ LỜI TRẮC NGHIỆM Môn TOÁN CAO CẤP Thời lượng 6.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ LUẬT BỘ MƠN TỐN KINH TẾ _ ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KỲ Học kỳ I Năm học 2017 – 2018 (Được sử dụng tài liệu) PHIẾU TRẢ LỜI TRẮC NGHIỆM Mơn: TỐN CAO CẤP - Thời lượng: 60 phút Mã đề: ĐỀ TỔNG ÔN TOÁN CAO CẤP CHO K17 Tên SV : ………………………… MSSV: ………….…… … Mã lớp: ……… Đề thi gồm có: trang Chữ ký Giám thị Chữ ký Giám thị A Điểm (số) Điểm (chữ) Cán chấm thi Cán chấm thi HƯỚNG DẪN TRẢ LỜI Chọn B  A B  C  D  Bỏ B - Chọn C  A B  C  D  Bỏ C - Chọn lại B  A B  C  D Sinh viên chọn câu trả lời cho câu hỏi A B C D                                     10     11     12     13     14     15     16     Lưu ý Trong làm bài, sinh viên phép sử dụng tài liệu quyền  Giáo trình Tốn Cao cấp UEL: in, không photocopy  Vở ghi giảng giải tập: chữ viết tay, không photocopy 17     18     19     20     Câu Giả sử 2 a d Chọn đáp án A a = 0, d = 23 B a = 4, d = 23 C a = , d = 1 1.0 ( 1).( 2) 2.1 1.1 ( 1).2 2.5 Đáp án 2 3.0 0.( 2) 4.1 3.1 0.2 4.5 Câu Số nghiệm thực phương trình (ẩn x): D Một đáp án khác 23 Vậy ta chọn B x 1 x2017 x2016 x2015 x2014  1 x2017 x2016  1 x2016 = A B C D Đáp án Khai triển theo cột 4, khai triển cột ta x x 2014 2017 Vế trái = ( x 1) x ( x2014 1)( x2016 1) ( x2014 1)( x2016 1)( x2018 1) 2017 x x2016 1 x2016 Dó phương trình vơ nghiệm Vậy ta chọn A Câu Xét thị trường gồm ba loại hàng hóa Hàm cung, hàm cầu giá chúng thỏa mãn điều kiện sau Qs1 = – 12 + 6p1 – 4p2 + 3p3 Qs2 = –15 + 2p1 + 7p2 – 2p3 Qs3 = – 23 – p1 + 2p2 + 5p3 Qd1 = 15 – 4p1 + 3p2 + p3 Qd2 = + 4p1 – 3p2 + 3p3 Qd3 = 32 + 2p1 + 3p2 – 5p3 Lượng cung cầu cân loại hàng hóa là: A Qs1 = Qd1 = 25; Qs2 = Qd2 = 30; Qs3 = Qd3 = 20 B Qs1 = Qd1 = 20; Qs2 = Qd2 = 30; Qs3 = Qd3 = 25 C Qs1 = Qd1 = 30; Qs2 = Qd2 = 25; Qs3 = Qd3 = 20 D Một đáp án khác Đáp án Hệ cân thị trường trùng với câu Điểm cân thị trường (p1, p2, p3) = (6, 7, 8) Suy Qs1 = Qd1 = 20; Qs2 = Qd2 = 30; Qs3 = Qd3 = 25 Vậy ta chọn B  0,1 0, 0,  Câu Giả sử quốc gia có ba ngành sản xuất với ma trận hệ số đầu vào A =  0, 0, 0,  nhu cầu   0, 0, 0,  cuối ngành 90, 70, 160 Tìm tổng đầu x1, x2, x3 ngành A x1 = 300, x2 = 300, x3 = 400; B x1 = 400, x2 = 300, x3 = 300; C x1 = 300, x2 = 400, x3 = 300; D Một đáp án khác Đáp án Mơ hình I/O (I – A)X = B với A ma trận hệ số đầu vào, I ma trận đơn vị cấp 3, X cột đầu B cột cầu cuối Thay liệu A B = (90, 70, 160)t vào giải hệ ta X = (300, 300, 400)t Vậy ta chọn A Câu 5*** (Khó, bí mật khơng bật mí!) Câu Cho hệ (S) gồm m vector không gian n (m, n hai số nguyên dương) Xét khẳng định (1) Nếu m > n (S) phụ thuộc tuyến tính (2) Nếu (S) độc lập tuyến tính m  n (3) Hạng(S) = m (S) độc lập tuyến tính (4) Hạng(S) = n m  n Đếm số khẳng định sai A B 1; C 2; D Đáp án Đây câu hỏi lý thuyết mức độ HIỂU (cấp độ 2) khái niệm “Hạng hệ vector”, “Tính ĐLTT, PTTT” Các khẳng định (1), (2), (3) đúng; (4) sai Vậy ta chọn B Câu Trong cho hệ vector (B) = (b1 = (1, 2, 3), b2 = (3, 7, 10), b3 = (5, 11, m2) Chọn khẳng định sai A (B) sơ m = 15 B (B) không sơ m = – C (B) sơ m = 16 D (B) sơ m  – Đáp án Xét định thức mà dòng b1, b2, b3 3 m2 10 11 m 16 nên (B) sở (m2 – 16  0)  (–  m  4) Vậy ta chọn D Câu Cho ma trận M = Xét khẳng định Vì (B) gồm vector (1) Tất GTR M 1 = 2 = (2) M chắn chéo hóa với dạng chéo (3) Các vector 2017 2017 2017 2017 (4) M chéo hóa ma trận 0 VTR M 1 với dạng chéo 1 Đếm số khẳng định A B C D Đáp án Đa thức đặc trưng M () = det(M – I) = (1 – )(7 – ) Phương trình đặc trưng () = (1 – )(7 – ) = có nghiệm phân biệt 1 = 2 = Do M có hai GTR phân biệt 1 = 2 = x1 a 3 x1 (a )  Xét GTR 1 = Hệ phương trình riêng tương ứng x2 a 3 x2 Họ VTR tứng với 1 = {u =  a a /0a } Xét GTR 2 = Hệ phương trình riêng tương ứng Họ VTR tứng với 2 = {v = b b /0b 1 1 2017 dạng chéo M D = 2017 3 x1 x1 b x2 x2 b 1 0 ; cho b = ta c2 = VTR M ứng với 2 = 1 = 2017 2017 Do tất khẳng định (1), (2), (3), (4) Vậy ta chọn D Câu Cho dạng toàn phương biến x, y, z phụ thuộc tham số thực m q = 2x2 – 4xy + 8xz + 6y2 – 16yz + (m + 12)z2 Xét khẳng định (1) q suy biến không âm m = (2) q xác định dương m > (3) q đổi dấu m  (4) q không suy biến với m  Đếm số khẳng định sai A B C D Tất nhiên (b ) } Suy M chéo hóa Cụ thể, cho a = ta c1 = hóa M C = 1 Ma trận làm chéo Đáp án Biến đổi trực tiếp biểu thức q ta q = 2[x2 – 2x(y – 2z) + (y – 2z)2] – 2(y – 2z)2 + 6y2 – 16yz + (m + 12)z2 = 2(x – y + 2z)2 + 4y2 – 8yz + (m + 4)z2 = 2(x – y + 2z)2 + 4(y2 – 2yz + z2) – 4z2 + (m + 4)z2 = 2(x – y + 2z)2 + 4(y – z)2 + mz2 X x y 2z Ta đổi biến Y y z Z z Khi q nhận dạng tắc q = 2X2 + 4Y2 + mZ2 Từ dạng tắc q ta thấy: - q không suy biến m  - q đổi dấu m < - q xác định dương m > - q không âm suy biến m = Suy (1), (2), (4) đúng; có (3) sai Vậy ta chọn B Câu 10** (Khó, bí mật khơng bật mí!) Câu 11 Xét khẳng định (1) Xét hàm chi phí C = C(Q) theo biến sản lượng Q (trong giả thiết yếu tố khác khơng đổi) Chi phí biên mức sản lượng Q = Q0 MC(Q0)  C’(Q0) (2) Chi phí biên mức sản lượng Q0 xấp xỉ lượng thay đổi chi phí sản lượng tăng lên đơn vị từ mức Q0 lên mức Q0 + (trong giả thiết yếu tố khác không đổi) (3) Hệ số co giãn PQ(Q0) giá theo lượng cầu mức Q0 xấp xỉ lượng thay đổi tương đối (tính %) giá lượng cầu tăng tương đối lên % từ mức Q0 lên mức Q0 + (1%)Q0 (trong giả thiết yếu tố khác không đổi) Đếm số khẳng định A 0; B 1; C 2; D U Đáp án Đây câu hỏi lý thuyết mức độ BIẾT (cấp độ 1) ý nghĩa KT đạo hàm Hiển nhiên khẳng định Chọn D Câu 12 Một công ty độc quyền sản xuất tiêu thụ loại sản phẩm thị trường Giả sử hàm cầu (theo giá P) sản phẩm Q = 400 – 0,1P chi phí bình quân AC = 2Q2 – 7Q + 100 + 20Q– Xét hàm (theo biến sản lượng Q > 0) gồm doanh thu R, chi phí C, lợi nhuận , doanh thu cận biên MR, chi phí biên MC lợi nhuận biên M Chọn khẳng định A R(1) = 3990; M (26) = 0; B C(1) = 92; M (25) = C MC(1) = 92, max Q = 25; D M = – 6Q2 + 6Q + 3900 U U Đáp án Vì tất hàm xét theo biến sản lượng Q nên ta cần đổi vai trò Q P Ta có Q = 400 – 0,1P  P = 4000 – 10Q - Hàm doanh thu: R = R(Q) = PQ = (4000 – 10Q)Q = 4000Q – 10Q2 Do R(1) = 3990 - Hàm chi phí: C = C(Q) = AC.Q = (2Q2 – 7Q + 100 + 20Q– 1)Q = 2Q3 – 7Q2 + 100Q + 20 Do C(1) = 115  92 - Hàm lợi nhuận:  = R – C = – 2Q3 – 3Q2 + 3900Q – 20 Suy - Chi phí biên: MC = 6Q2 – 14Q + 100; MC(1) = 92 - Lợi nhuận biên: M = – 6Q2 – 6Q + 3900 Nói riêng D sai Do ” = – 12Q – = – 6(2Q + 1) < (Q  0) M =  [(Q = 25)  (Q = – 26)] Ta nhận Q = 25 > loại Q = – 26 (vì Q  0) Nói riêng M(26)  Do A, B sai Lại ” (25) < nên  đạt cực đại Q = 25 Vậy có khẳng định C Ta chọn C Câu 13 Giả sử doanh thu (tính USD) R = R(Q) theo sản lượng cầu Q doanh nghiệp ẩn hàm xác định phương trình theo tham số thời gian t sau Q = 2t – 10, R = – 8t3 + 240t2 –5000 Tìm mức sản lượng cầu Q (> 0) tối ưu hóa doanh thu doanh thu tối đa doanh nghiệp A Q = 10, Rmax = 11.000 (USD) B Q = 30, Rmax = 27.000 (USD) C Q = 20, Rmax = 22.000 (USD) D Một đáp án khác Đáp án Ta có Q’(t) = 2, R’(t) = –24t2 + 480t Do ẩn hàm doanh thu R = R(Q) xác định Ta có d MR(Q) = R’(Q) = MR(Q) =  R '(t ) = – 12t2 + 240t, R”(Q) = dt Q '(t ) t t 20 MR(Q) = –12t + 120 Q '(t ) Q Q 10 30 Vì sản lượng cầu Q  nên ta loại giá trị Q = – 10 nhận giá trị Q = 30 Ta điểm dừng Q = 30 ứng với t = 20 doanh thu tương ứng R = 27000 (USD) Lúc rõ ràng R”(30) = R”(tính t = 20) = – 120 (< 0) Do R đạt cực đại Q = 30 với Rmax = 27000 (USD) Kết luận: Ở mức sản lượng cầu Q = 30 (đơn vị sản phầm) doanh thu tối đa Rmax = 27.000 (USD) Vậy ta chọn B Câu 14** (Khó, bí mật khơng bật mí!) Câu 15 Cho hàm sản xuất Cobb-Douglas Q(K, L) = aK1 – L – 1, a, ,  số cho ( < 1,  > 1), K lượng vốn đầu tư vào sản xuất, L lượng lao động dùng trình sản xuất Xét khẳng định (1) Q hàm bậc  –  tức Q(tK, tL) = t – Q(K,L) với t > (2) Hiệu sản xuất không giảm theo quy mô  –  > (3) Hiệu sản xuất không tăng theo quy mô  –  < (4) Hiệu sản xuất không đổi theo quy mô  –  = Đếm số khẳng định sai? A B C D Đáp án Đây câu hỏi lý thuyết tính nhuần hàm sản xuất phân tích hiệu quy mô sản xuất Cụ thể   - Q(K, L) = aK1 – L – 1là hàm bậc (1 – ) + ( – 1) =  –  > (vì  < < ) - Hiệu sản xuất TĂNG theo quy mô  –  > Do hiệu sản xuất KHƠNG TĂNG theo quy mô  –   - Hiệu sản xuất GIẢM theo quy mô  –  < Do hiệu sản xuất KHƠNG GIẢM theo quy mơ  –   - Hiệu sản xuất KHƠNG ĐỔI theo quy mơ  –  = Vậy (1), (4) đúng; (2), (3) sai Ta chọn B Câu 16 Một doanh nghiệp cạnh tranh túy có hàm sản xuất Q = K(L + 5) Biết giá thuê đơn vị vốn wK = 5USD, giá thuê nhân công giá wL = 10USD doanh nghiệp sản xuất điều kiện ngân sách cố định B = 950USD Xác định lượng cầu Marshall vốn nhân công mà doanh nghiệp cần sử dụng để tối đa hóa sản lượng A K= 100, L = 45 B K= 90, L = 50 C K= 80, L = 55 D Một cặp giá trị khác Đáp án Gọi K (> 0) lượng vốn đầu tư vào sản xuất L (> 0) lượng nhân công mà doanh nghiệp cần sử dụng Khi điều kiện ngân sách cố định B = 950$ trở thành U U 5K + 10L = 950  K + 2L – 190 = Vấn đề kinh tế doanh nghiệp đưa toán: chọn K, L (K > 0, L > 0) để hàm Q(K,L) = K(L+5) cực đại điều kiện K + 2L – 190 = Ta có hàm điều kiện  = (K, L) = K + 2L – 190 Hàm Lagange M (ta dùng chữ M để không nhầm với lượng nhân công L) sau M = Q +  = K(L + 5) + (K + 2L – 190) Các đạo hàm riêng M,  cho M’K = L + + , M’L = K + 2, M”KK = = M”LL, M”KL = 1; K > 0, L > 0; ’K = 1, ’L = 2; K > 0, L >  M K'  L      Giải hệ  M L'  K  2  ta điểm dừng (K, L) = (100, 45) tương ứng với nhân tử  K  L  190   Lagrange  = – 50 Tại điểm ta có Hessian '' M KK '' M KL '' KL ' K '' LL ' L H= M M ' K ' L 1 = = > 0 Suy Q = K(L + 5) đạt cực đại điều kiện K = 100 L = 45 với điều kiện K + 2L – 190 = 0; giá trị sản lượng cực đại Qmax = 100(45 + 5) = 5000 Kết luận vấn đề kinh tế: Trong điều kiện ngân sách cố định B = 950USD, doanh nghiệp cần sử dụng lượng cầu Marshall với vốn K = 100 nhân công L = 45 để tối đa hóa sản lượng Qmax = 5000 (đơn vị sản phẩm) Vậy ta chọn A Câu 17 Trên thị trường ta xét hai loại hàng háo X, Y Giả sử, với túi hàng hóa (x, y), người tiêu dùng có hàm lợi ích U = U(x, y) = 3xy + 4x; đây, x y lượng hàng hóa X, Y (x  0, y  0) Giá đơn vị loại hàng hóa X, Y thời điểm khảo sát tương ứng p1 = 2USD, p2 = 3USD Hãy tối ưu hóa chi phí xác định lượng cầu Hick xˆ , yˆ tương ứng người tiêu dùng muốn thụ hưởng mức lợi ích cố định U0 = 800 A Cmin = 76 (USD), xˆ = 20, yˆ = 12 B Cmin = 74 (USD), xˆ = 22, yˆ = 10 C Cmin = 84 (USD), xˆ = 12, yˆ = 20 D Một đáp án khác Đáp án Với túi hàng (x, y), chi phí tiêu dùng C = 2x + 3y; x  0, y  Vấn đề kinh tế trở thành tốn: tìm (x, y) để C = 2x + 3y cực tiểu với điều kiện U(x, y) = 3xy + 4x = 800; x  0, y  Ta giải toán phương pháp Lagrange Ta có - Điều kiện 3xy + 4x = 800  3xy + 4x – 800 = Hàm điều kiện:  = 3xy + 4x – 800 - Hàm Lagrange: L = 2x + 3y + (3xy + 4x – 800) Các đạo hàm riêng L  L’x = + (3y + 4), L’y = + 3x; x  0, y  L”xx = = L”yy, L”xy = 3; x  0, y  ’x = 3y + 4, ’y = 3x; x  0, y  Tìm điểm dừng  L'x 0 2   (3 y  4) =   0, 05;     '     3 x    x  20; (vì x  0, y  0)  Ly   3xy  x  800  y  12     ( x, y )  Do ta có nhất điểm dừng (x;y) = (20;12) ứng với nhân từ Lagrange  = – 0,05 Kiểm điều kiện cực trị điểm (20;12)  = – 0,05, ta có L”xx = L”yy = 0, L”xy = – 0,15, ’x = 40, ’y = 60; ' L''xx L''xy 0,15 40 x '' '' ' H = Lxy Lyy 0,15 60 = – 720 < y = 'x 'y 40 60 Do (20;12) điểm cực tiểu điều kiện với Cmin = 76USD Kết luận vấn đề kinh tế: Để chi phí tối thiểu, lượng cầu Hick tương ứng x = 20, y = 12 với chi phí tối thiểu Cmin = 76USD Vậy ta chọn A Câu 18*** (Khó, bí mật khơng bật mí!) Câu 19 Giả sử doanh nghiệp có lượng đầu tư (đơn vị tính: triệu đồng) theo thời gian t cho I(t) = 450t2; t ≥ Hãy xác định quỹ vốn thời điểm t = doanh nghiệp biết quỹ vốn ban đầu K0 = 150 A 1350; Đáp án Quỹ vốn theo t K(t) = B 3750; D Một đáp án khác C 1200; I(t)dt = 450  t dt = 150t3 + C; t ≥ Ở đây, C số thích hợp Vì quỹ vốn ban đầu K0 = 150 (theo giả thiết) nên ta có K(0) = K0  15003 + C = 150  C = 150 Do quỹ vốn theo thời gian doanh nghiệp K(t) = 150t3 + 150 = 150(t3 + 1); t ≥ Suy thời điểm t = ta K(2) = 150(23 + 1) = 1350 Vậy ta chọn A Câu 20 Cho biết lượng cầu Qd lượng cung Qs loại hàng hóa P P Qd = 325 ; Qs = (P giá loại hàng hóa đó) 3 Hãy tính thặng dư nhà sản xuất (PS) thặng dư người tiêu dùng (CS) loại hàng hóa A PS = 6750; CS = 3375 B PS = 3375; CS = 6750 C PS = 3625; CS = 6750 D Một kết khác Đáp án Tìm P theo Qs Qd ta hàm cung, cầu ngược sau Qs = P Qd = 325  P = S(Qs) = 3(Qs – 5)2; Qs  P  P = D(Qd) = 3(325 – Qd2); Qd  Trước hết, ta tìm điểm cân thị trường cho phương trình Qs = Qd Ta P Qs = Qd  = 325 P (điều kiện ≤ P ≤ 975)  P = P0 = 300  Qs = Qd = Q0 = 15 Thặng dư người tiêu dùng Q0 15 D(Qd )dQd CS = P0 Q0 (325 Q d2 )dQ d 300 15 975Q Q 15 4500 = 6750 Thặng dư nhà sản xuất Q0 PS = P0 Q0 S(Qs )dQs Vậy ta chọn B 15 300 15 3(Qs 5) dQ s 4500 (Q s 5) 15 = 3375  ... hóa với dạng chéo (3) Các vector 2017 2017 2017 2017 (4) M chéo hóa ma trận 0 VTR M 1 với dạng chéo 1 Đếm số khẳng định A B C D Đáp án Đa thức đặc trưng M () = det(M – I) = (1 – )(7 – ) Phương... tương ứng Họ VTR tứng với 2 = {v = b b /0b 1 1 2017 dạng chéo M D = 2017 3 x1 x1 b x2 x2 b 1 0 ; cho b = ta c2 = VTR M ứng với 2 = 1 = 2017 2017 Do tất khẳng định (1), (2), (3), (4) Vậy ta... Một đáp án khác 23 Vậy ta chọn B x 1 x2017 x2016 x2015 x2014  1 x2017 x2016  1 x2016 = A B C D Đáp án Khai triển theo cột 4, khai triển cột ta x x 2014 2017 Vế trái = ( x 1) x ( x2014 1)( x2016