BỘ đề LUYỆN THI HSG 9 cấp QUẬN 2017 2018

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN ĐỀ THI MƠN: TỐN – LỚP Thời gian: 150 phút (không kể giao đề) Q1- 1718 (Đề thi gồm 01 trang) Bài 1: (2.0 điểm) a) Cho đa thức P ( x ) = ax + bx + c ( a ≠ ) Chứng minh với số thực m ta b  P ( m ) = P  −m − ÷ a  có b) Tính giá trị biểu thức Q= x= với ( ) 2014 − 2013 x − ( ) 2013 − 2012 x + 2013 − 2012 2014 − 2013 + 2012 2013 − 2014 Bài 2: (2.0 điểm) a) Giải hệ phương trình:     3x 1 + ÷= x + y      7y 1 −  =  x + y÷     b) Tìm số nguyên x, y, z thỏa mãn x10 + y10 = z10 + 96 Bài 3: (1.0 điểm) Cho n số nguyên dương m ước nguyên dương 2n Chứng minh n2 + m khơng số phương Bài 4: (1.5 điểm) Cho đường trịn (O; R), hai đường kính AB CD vng góc với Gọi E điểm cung AD, EC cắt OA M, EB cắt OD N Xác định vị trí điểm E để OM ON + AM DN đạt giá trị nhỏ Bài 5: (2.5 điểm) Cho đường trịn (O; R) hai đường kính AB CD cho tiếp tuyến A đường tròn (O; R) cắt đường thẳng BC BD hai điểm tương ứng E F Gọi P Q trung điểm đoạn thẳng AE AF Chứng minh trực tâm H tam giác BPQ trung điểm đoạn thẳng OA Gọi α số đo góc BFE Hai đường kính AB CD thoả mãn điều kiện biểu thức P = sin α + cos α Đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ Chứng minh hệ thức sau: CE.DF.EF = CD3 Bài 6: (1.0 điểm) Cho P= x > 0, y > 0,z > 0, xyz = x2 ( y + z) y y + 2z z + y2 ( z + x ) z z + 2x x BE CE = BF3 DF Tìm GTNN biểu thức: + z2 ( x + y) x x + 2y y -Hết - Q2- 1718 -UBND QUẬN MƠN THI: TỐN LỚP Bài (2,0 điểm) KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI a) Chứng minh rằng: 1 1 + + + + > 24 1+ 5+ + 11 9997 + 9999 a,b,c ≠ b) Cho ba số thỏa mãn: 1 1 + + = a 3b 3c 3 a + b + c = + − 29 − 12 Chứng minh số a, b, c có số 27 Bài (2,5 điểm) a) Giải phương trình: x3 = 23 2x − − x2 − 2y2 = 2013 b) Chứng minh không tồn cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: Bài (2,0 điểm) µ = 400, D µ = 800 C Cho tứ giác ABCD có AD = BC Gọi E, F trung điểm AB CD Tính · EFD ? Bài (2,5 điểm) Từ điểm A nằm ngồi đường trịn tâm O, kẻ hai tiếp tuyến AB AC (B C tiêp điểm) Đường thẳng qua A cắt (O) D E (D nằm A E), kẻ dây cung EN song song với BC, DN cắt BC I Chứng minh BI = CI Bài (1,0 điểm) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thỏa mãn: c2013 b2013 a2013 + + = a2012 + b2012 + c2012 a + b − c a − b + c −a + b + c Hãy xác định dạng tam giác Hết Q3 HH1718- UBND QUẬN PHỊNG GD&ĐT ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN MƠN: TỐN LỚP Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài (2,0 điểm) A = 7- 2; B = 20+14 Cho Tính A + B P( x) = x4 + 16x2 + 32 Cho đa thức x = 6- 2+ - Chứng minh: + 2+ nghiệm đa thức cho Bài (2,0 điểm) Giải phương trình: 1 + = x 2- x2 Giải hệ phương trình: ìï xy + x + 1= 7y ïí ïïỵ x2y2 + xy +1= 13y2 Bài (2,0 điểm) Chứng minh từ 19 số tự nhiên tùy ý ln tìm số cho hiệu bình phương chúng chia hết cho 36 Cho ba số thực dương thỏa mãn xyz = x y z A= + + ³ x + 2y y + 2z z + 2x Chứng minh: Bài (3,0 điểm) µ = 45o A Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), có Hai đường cao BD CE cắt H Gọi I trung điểm Dem G trọng tâm tam giác ABC Kẻ DN vuong góc với AB N, EM vng góc với AC M Chứng minh: a O giao điểm DN EM ; b HC = 2NO ; c Ba điểm H, I, G thẳng hàng µ =B µ = 90o, EAD · · E = BAC, Cho ngũ giác lồi ABCDE có BD cắt CE O Chứng minh: AO vng góc với BE Bài (1,0 điểm) 2´ và1´ Một nhà hình chữ nhật lát kín viên gạch kích thước Khi sửa nhà, người thợ phải dỡ tất số gạch để lát lại, làm vỡ viên kích thước 2´ Vì khơng có loại gạch kích thước viên có kích thước 1´ 2´ , nên người thợ phải thay viên bị vỡ Hỏi nhà lát kín lại viên gạch khơng ? Hết Q4- HH1718-SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Mơn Tốn ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề x + y − xy = x + y + Câu (3,0 điểm) a)Tìm số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: b) Chứng minh với ba số tự nhiên a,b,c có số lẻ hai số chẵn ta ln có 3 ( a + b + c) − ( Q a + b − c) − ( b + c − a) − ( a − b + c) Câu (4,0 điểm) Chia hết cho 96  1 1+  +  n n+ 2 = 1+ 1 − n n+2 a) Chứng minh với số ngun dương n ta có b) Tính  1 S = + 1 +   3 2 tổng  1 1 1 1  + +  +  + +  +  + + +  +  2 4 3 5  2014 2016  Câu (4,0 điểm) a) Giải phương trình 2x − x = 2x − x ( ) ( )  x − y + y − x = 2( xy − 1)  4 x + y + x − y − = b) Giải hệ phương trình Câu (7,0 điểm) Cho BC dây cung cố định đường tròn (O; R) ,( BC