Các chuyên đề thường gặp từ cơ bản đến nâng cao

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG CHUYÊN ĐỀ 16 MẶT CẦU, KHỐI CẦU MỤC LỤC PHẦN A CÂU HỎI Dạng Diện tích xung quanh, bán kính Câu (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Diện tích mặt cầu bán kính π R2 πR 2π R A B C R bằng: D 4π R Câu (THPT THIỆU HÓA – THANH HĨA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho mặt cầu có diện tích 16π a Khi đó, bán kính mặt cầu a 2 2a 2a 2a A B C D Câu (CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Diện tích mặt cầu bán kính 4π a 4π a 16π a 16a A B C D Câu 2a (THPT NGHĨA HƯNG NĐ- GK2 - 2018 - 2019) Diện tích mặt cầu Bán kính mặt cầu 8cm 2cm 4cm 6cm A B C D 16π ( cm2 ) CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ( S) Câu (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tính diện tích mặt cầu 4π vi đường trịn lớn S = 32π S = 16π S = 64π S = 8π A B C D biết chu Câu Cho ba hình cầu tiếp xúc ngồi đơi tiếp xúc với mặt phẳng Các tiếp điểm hình cầu mặt phẳng lập thành tam giác có cạnh , Tích bán kính ba hình cầu 12 A B C D Dạng Thể tích Câu Câu Câu (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Thể tích khối cầu bán kính π R3 π R3 4π R A B C R D 2π R a (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Thể tích khối cầu bán kính : π a3 4π a 2π a 4π a 3 A B C D (THPT ĐƠNG SƠN THANH HĨA NĂM 2018-2019 LẦN 02) Thể tích khối cầu bán kính 36π ( cm3 ) 108π ( cm3 ) 9π ( cm3 ) 54π ( cm3 ) A B C D cm ( S) Câu 10 (THPT LÊ XOAY VĨNH PHÚC LẦN NĂM 2018-2019) Cho mặt cầu có diện tích 2 4πa ( cm ) ( S) Khi đó, thể tích khối cầu 3 4πa πa 64πa 16πa 3 3 cm ) cm ) cm ) cm ) ( ( ( ( 3 3 A B C D Câu 11 (CHUYEN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho mặt cầu có diện tích 36π a Thể tich khối cầu 18π a 12π a 36π a 9π a A B C D Câu 12 ( S) (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN LẦN NĂM 2018-2019) Cắt mặt cầu 9π cm 4cm mặt phẳng cách tâm khoảng thiết diện hình trịn có diện tích ( S) Tính thể tích khối cầu CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG A Câu 13 250π 3 cm B 2500π cm3 Một khối đồ chơi gồm hai khối cầu ứng r2 = r1 , r2 thỏa mãn r1 C ( H1 ) , ( H ) kính A C 180cm3 ( H1 ) Thể tích khối cầu 160 cm 135 cm3 C D R=2 Người ta bỏ vào cầu có bán Tính lượng nước cịn lại bán cầu ban đầu 112   V =  24 − ÷π   V= π D tiếp xúc với nhau, có bán kính tương Cho bán cầu đựng đầy nước với bán kính 2R 500π 3 cm (tham khảo hình vẽ) Biết thể tích tồn khối đồ chơi 90 cm3 120 cm3 A B Câu 14 25π 3 cm V= B 16π ( ) V = 24 − 40 π D Dạng Khối cầu nội tiếp, ngoại tiếp khối đa diện Dạng 3.1 Khối cầu nội tiếp, ngoại tiếp khối lăng trụ Câu 15 R (MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có 2a cạnh R = 3a R = 3a R=a 100 A B C D CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Câu 16 (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho mặt cầu bán kính a cạnh Mệnh đề đúng? 3R 3R a= a= a = 2R 3 A B C R ngoại tiếp hình lập phương D a = 3R Câu 17 (THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' AB = a AD = AA ' = 2a có , Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật cho 3π a 9π a 9π a 3π a 4 A B C D Câu 18 (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH LẦN NĂM 2018-2019) Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật có ba kích thước , , 9π 7π 14 9π 36π A B C D Câu 19 (TRƯỜNG THPT HỒNG HOA THÁM HƯNG N NĂM 2018-2019) Thể tích khối cầu cm ngoại tiếp hình lập phương cạnh 27π 9π 27π 9π 2 A cm3 B cm3 C cm3 D cm3 Câu 20 (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Diện tích mặt cầu ngoại a a 2a tiếp khối hộp chữ nhật có kích thước , , 2 8a 4π a 16π a 8π a A B C D ABC A′B′C ′ (SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình lăng trụ đứng có ABC AC ′ A AB = a BC = 2a đáy tam giác vuông , , , đường thẳng tạo với mặt phẳng ( BCC ′B′ ) 30° góc Diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ cho bằng: 3π a 6π a 4π a 24π a A B C D Dạng 3.2 Khối cầu nội tiếp, ngoại tiếp khối chóp Dạng 3.2.1 Khối chóp có cạnh bên vng góc với đáy Câu 21 Câu 22 S ABCD (THPT QUỲNH LƯU NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Cho hình chóp có SA ⊥ ( ABCD ) SA = a ABCD a , đáy nội tiếp đường tròn bán kính Bán kính mặt cầu S ABCD ngoại tiếp hình chóp CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG A Câu 23 a 3 B a C a D a S ABC (GKI THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho hình chóp có đáy ABC AB = a SA B tam giác vuông cân Cạnh bên vng góc với mặt phẳng đáy SC 60 Đường thẳng tạo với mặt đáy góc Tính diện tích mặt cầu qua đỉnh hình S ABC chóp 32a 2π 8a 2π 8a 2π 4a 2π 3 A B C D Câu 24 (CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH YÊN BÁI LẦN 01 NĂM 2018-2019) Cho hình chóp ( ABCD ) SA = a S ABCD a có đáy hình vng cạnh Cạnh bên vng góc với đáy S ABCD a Tính theo diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp 2 8π a 2π a 2a a A B C D Câu 25 (THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 01 NĂM 2018-2019) Trong khơng gian, cho hình chóp SA, AB, BC SA = a, AB = b, BC = c S ABC có đơi vng góc với Mặt cầu qua S , A, B, C có bán kính 2(a + b + c) a + b2 + c 2 2 2 a +b +c a +b +c A B C D Câu 26 ABCD BCD C AB (MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho tứ diện có tam giác vng , ( BCD ) AB = 5a BC = 3a CD = 4a R vng góc với mặt phẳng , , Tính bán kính mặt ABCD cầu ngoại tiếp tứ diện R= A Câu 27 5a R= B 5a 3 R= C (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Cho hình chóp 5a 2 R= D 5a AB = 3a S ABCD có đáy hình chữ nhật với , BC = 4a SA = 12a SA R , vuông góc với đáy Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A S ABCD 13a R= B R= R = 6a C 5a R= D 17a CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Câu 28 Câu 29 Câu 30 Câu 31 Câu 32 S ABC (KTNL GV THUẬN THÀNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho hình chóp có tam ( ABC ) SA = 5, AB = 3, BC = ABC B SA giác vuông , vuông góc với mặt phẳng Tính S ABC bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp 5 R= R= R=5 R=5 2 A B C D SABC ABC (KTNL GIA BÌNH NĂM 2018-2019) Cho hình chóp có đáy tam giác vuông SA ⊥ ( ABC ) BC = SA = B AB = , , Biết Tính thể tích khối cầu có tâm thuộc phần SABC khơng gian bên hình chóp tiếp xúc với tất mặt phẳng hình chóp 16π 625π 256π 25π 81 81 A B C D S ABC (THPT AN LÃO HẢI PHỊNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hình chóp có đường cao SA = a , AB = a , AC = a SA ABC A , đáy tam giác vuông Biết Tính bán kính mặt cầu S ABC ngoại tiếp hình chóp ? R = 2a R = 2a r = 2a R = a 14 A B C D S ABCD (THPT GIA LỘC HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp có đáy 2a SA ABCD 2a hình chữ nhật có đường chéo , cạnh có độ dài vng góc S ABCD với mặt phẳng đáy Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ? a a 2a a 12 A B C D · BAC = 60° BC = a (HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho hình chóp có , , SA ⊥ ( ABC ) SB SC M N A Gọi , hình chiếu vng góc lên Bán kính mặt A, B, C , M , N cầu qua điểm 2a a 2a a 3 A B C D S.ABC CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Câu 33 Câu 34 Câu 35 Câu 36 Câu 37 S ABCD (PEN I - THẦY LÊ ANH TUẤN - ĐỀ - NĂM 2019) Hình chóp có đáy hình chữ AB = a, SA ⊥ ( ABCD ) SC 450 nhật, , tạo với mặt đáy góc Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp a S ABCD S ABCD có bán kính Thể tích khối chóp a 2a 3 2a 2a 3 A B C D S ABCD (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hình chóp có ABCD hình a SA ⊥ ( ABCD ), SA = a vuông cạnh Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp? a a a 2a A B C D S ABCD ABC (THPT GANG THÉP THÁI NGUN NĂM 2018-2019) Cho hình chóp có đáy SA B BC = 2a H K tam giác vng cân , , cạnh bên vng góc với đáy Gọi , SB SC AHKCB A hình chiếu lên , thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp 3 2π a 2π a πa 2π a 3 A B C D SABC ABC (THPT YÊN KHÁNH - NINH BÌNH - 2018 - 2019) Cho hình chóp , đáy tam a; SA ⊥ ( ABC ) H, K SB; SC A giác cạnh Gọi hình chiếu vng góc A , B , C , K , H Diện tích mặt cầu qua điểm 4π a 4π a π a2 3π a 3 A B C D SABC (GKI CS2 LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp có ABC AB = a SA B đáy tam giác vuông cân Cạnh bên vng góc với mặt phẳng đáy SC 60 Đường thẳng tạo với đáy góc Tính diện tích mặt cầu qua bốn đỉnh hình chóp SABC A 8a 2π B 32a π C 8a 2π D 4a 2π CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Câu 38 Câu 39 S ABC (THPT YÊN PHONG SỐ BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp có ( ABC ) SA ABC B vng góc với mặt phẳng , tam giác vuông Biết SA = 2a, AB = a, BC = a R Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp x=3; y = a 2a a 2 A B C D (THPT YÊN PHONG SỐ BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp tam giác SA, SB, SC S ABC có cạnh bên vng góc với đơi Biết thể tích khối a S ABC r chóp Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp a 2a a r = r = r= 3+ 3 3+ 3+ r = 2a A B C D ( Câu 40 Câu 41 Câu 42 ) ( (CỤM LIÊN TRƯỜNG HẢI PHỊNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp ) S ABCD có ( ABCD ) ABCD SA = a a đáy hình vng cạnh Đường thẳng vng góc với đáy (α) SC M A M Gọi trung điểm , mặt phẳng qua hai điểm đồng thời song song với SB, SD E, F S , A, E , M , F BD cắt Bán kính mặt cầu qua năm điểm nhận giá trị sau đây? a a a a 2 B C D A S ABCD (ĐỀ GK2 VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Trong khơng gian cho hình chóp có AB = BC = 1, AD = SA ABCD SA = đáy hình thang vng A B với , cạnh bên Smc E AD vng góc với đáy Gọi trung điểm Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình S CDE chóp Smc = 11π S mc = 5π Smc = 2π S mc = 3π A B C D S ABC ABC (SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp có đáy tam ( ABC ) AB = 2, AC = 4, SA = A SA giác vuông , vng góc với mặt phẳng Mặt cầu S ABC qua đỉnh hình chóp có bán kính là: CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG R= 25 R= A B Dạng 3.2.2 Khối chóp có mặt bên vng góc với đáy Câu 43 Câu 44 Câu 45 Câu 46 Câu 47 C R=5 R= D 10 ABCD (THPT-THANG-LONG-HA-NOI-NAM-2018-2019 LẦN 01) Cho tứ diện có mặt ( ABD ) ( ACD ) ABC BCD tam giác cạnh 2; hai mặt phẳng vng góc với ABCD Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện 2 3 A B C D S ABC ABC (KSCL THPT NGUYỄN KHUYẾN LẦN 05 NĂM 2018-2019) Hình chóp có đáy 1, SAB tam giác cạnh mặt bên tam giác nằm mặt phẳng vng góc S ABC với mặt phẳng đáy Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp 5π 15π 15π 3π V= V= V= V= 18 54 27 A B C D S ABCD (THPT AN LÃO HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hình chóp có đáy AB = 2a CD = a ·ABC = 60 SAB hình thang cân, , , Mặt bên tam giác nằm mặt ( ABCD ) S ABC R phẳng vng góc với Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp a 2a 2a R= R= R= R=a 3 A B C D S ABCD (THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho hình chóp có đáy ABCD SAD A B AB = BC = a, AD = 2a hình thang vng , Tam giác nằm S ABC mặt phẳng vng góc với đáy Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo a 6π a 10π a 3π a 5π a A B C D (HỌC MÃI NĂM 2018-2019-LẦN 02) Cho hình chóp S ABC tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy S ABC ngoại tiếp hình chóp 10 AB = a, ·ACB = 300 có ( ABC ) Biết Tính diện tích mặt cầu SAB S mc CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Câu 24 Gọi Gọi O = AC ∩ BD I , đường chéo trung điểm SC AC = a OI SAC OI // SA ⇒ OI ⊥ ( ABCD ) Suy đường trung bình tam giác Suy OI ABCD Hay trục đường tròn ngoại tiếp đáy IS = IC ⇒ IA = IB = IC = ID = IS I Mà Suy tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S ABCD S ABCD Bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S = 4π R = 8π a Diện tích mặt cầu: Câu 25 Ta có:  SA ⊥ AB ⇒ SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ AC   SA ⊥ BC 23 R = SI = : SC = SA2 + AC =a 2 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Ta có: Gọi O  BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ SB   BC ⊥ AB trung điểm SC OA = OB = OC = OS = SC SAC , SBC Do mặt cầu qua Tam giác BCD vuông C 2 A vuông S , A, B, C có tâm SC = SB + BC = SA + AB + BC = a + b + c Ta có: suy Chọn C Câu 26 , ta có tam giác 2 nên áp dụng định lí Pitago, ta O R= B nên: R= bán kính SC 2 a + b2 + c BD = 5a AD = 5a ABD B Tam giác vng nên áp dụng định lí Pitago, ta C ABCD B AD Vì nhìn góc vng nên tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Câu 27 trung điểm Chọn A Ta có: Vì I AC = SA ⊥ AC AD R= Bán kính mặt cầu là: AB + BC = 5a nên SC = SA2 + AC = 13a 24 AD 5a = 2 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Nhận thấy:  BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ SB   BC ⊥ SA Do điểm A, B, D đoạn thẳng R= Vậy Câu 28 SC SC 13a = 2 Tương tự: nhìn đoạn thẳng I CD ⊥ SD SC góc vng nên gọi tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD I trung điểm Chọn A Gọi K AC trung điểm Gọi M trung điểm SA Vì tam giác ABC vng B nên K tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác mp ( ABC ) Từ K dựng đường thẳng d vng góc với mp ( SAC ) SA MI I Trong dựng đường trung trực đoạn cắt d ABC Khi điểm I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bán kính mặt cầu SA AC = AB + BC = ⇒ AK = IK = MA = = 2 Ta có Có R = AI = AK + IK = Vậy Ta có 25 25 + = 4 Gọi I trung điểm IS = IC = IA nên (1) BC ⊥ AB; BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ SB ⇒ ∆SBC Nên IS = IC = IB (2) 25 SC vuông tạiB Tam giác R = AI SAC vuông A CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Từ (1) (2) ta có I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp R= S ABC bán kính SC AC = AB + BC = SC = AS + AC = ; R= Câu 29 Vậy Chọn C Gọi r bán kính khối cầu nội tiếp chóp VS ABC = SA.S ABC = 48 Ta dễ dàng có Tính AC = AB + BC = 10 ⇒r= (đvdt) Vậy thể tích khối cầu nội tiếp chóp Chọn B Ta có S ABC 3VS ABC = Stp BC = AB + AC = 4a + 16a = 2a Rd = a R = Rd2 + , ta có S ∆SAB ∆SAC , vuông Stp = S SAB + S SAC + S ABC = 108 Câu 30 S ABC 3V VS ABC = Stp r ⇒ r = S ABC Stp SA2 = 5a + 9a = a 14 26 256π V = π r = 81 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Câu 31 ∆SAC A ( 1) *) Ta có vuông ∆ SDC ∗) CM vuông D Ta có: AD ⊥ CD ABCD ( hình chữ nhật) SA SA ⊥ CD (vì cạnh vng góc với mặt phẳng đáy) Ta suy ra: CD ⊥ ( SAD ) ⇒ CD ⊥ SD ⇒ ∆SDC vuông D ( 2) ( 3) ∆ SBC *) Chứng minh tương tự, ta vuông B ( 1) ( ) ( 3) ( S) S ABCD SC Từ , , : Ta suy ra: mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có đường kính Ta có: SC = SA2 + AC = 4a + 2a = a Vậy mặt cầu ( S) ngoại tiếp hình chóp Câu 32 S ABCD R= có bán kính S N M H A I K B  Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp ⇒ IA = IB = IC ( 1) ∆ABC 27 C SC a = 2 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG AC IH  Kẻ trung trực IH ⊥ AC   ⇔ IH ⊥ ( SAC ) ⇔ IH ⊥ ( ANC ) IH ⊥ SA  Mà ∆ANC vng N có ∆ANC ⇒ IA = IC = IN ( )  Tương tự kẻ IK AC cạnh huyền AB ⇒ IK ( 1) , ( ) , ( 3) ⇒ IA = IB = IC = IM = IN ⇒ I Câu 33 H trung điểm trung trực Định lí hàm sin Chọn D ∆ABC IA = : trục AC ⇒ IH trục ∆AMB ⇒ IA = IB = IM ( 3) tâm đường trịn ngoại tiếp chóp BC a a = = · 2sin 60° 2sin BAC A.BCMN O ABCD I SC Gọi tâm hình chữ nhật ; trung điểm đoạn  BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ SB   BC ⊥ AB CD ⊥ SA ⇒ CD ⊥ ( SAD ) ⇒ CD ⊥ SD  CD ⊥ AD A, B, D SC I Các điểm nhìn góc vng nên tâm mặt cầu ngoại tiếp hình S ABCD chóp AC SC SC Mặt khác hình chiếu mặt phẳng đáy nên góc mặt phẳng đáy góc ACS 450 Do tam giác SAC vng cân 28 A ⇒ SA = AC = 2a CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 1 2a 3 VS ABCD = SA.S ABCD = 2a.a.a = 3 Câu 34 Gọi O = AC ∩ BD d vng góc với SA SA ∆ E Dựng đường trung trực cạnh cắt I = d ∩∆⇒ I S ABCD IA tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp => Bán kính là: AO = Ta có Dựng ( ) qua mp ( ABCD ) O a 2 a a a a 2 ) +( ) = , AE = AI = AO + AE = ( 2 2 Câu 35 BC M Gọi trung điểm ∆ABC ∆KAC vuông cân vuông K B ⇒ MB = MA = MC = ⇒ MK = AC (2) 29 AC (1) CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG BC ⊥ AB    ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AH  BC ⊥ SA   ⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ AH ⊥ HC  AH ⊥ SB  ⇒ ∆AHC vuông ( 1) → ( 3) ⇒ M H ⇒ MH = AC (3) AHKCB tâm khối cầu ngoại tiếp hình chóp 1 R = AC = AB + BC = a 2 Bán kính khối cầu cần tìm: Từ Thể tích khối cầu: 2π a V = πR = 3 Câu 36 ABC I R Gọi tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác Vì IA = IB = IC = R = ABC a 3 tam giác cạnh nên ta có: M, N AC AB Gọi trung điểm SA ⊥ ( ABC ) IM ⊥ ( SAB )  M IM ⊥ SA IM ⊥ AB AH ⊥ HB Ta có: ( ) suy ; Mà nên AHB IM tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ; Do trục đường trịn ngoại tiếp tam giác AHB ⇒ IA = IH = IB ( 1) 30 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG IN ⊥ AC SA ⊥ ( ABC ) IN ⊥ ( SAC ) N AK ⊥ KC ) suy ; Mà nên IN AKC tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ; Do trục đường trịn ngoại tiếp tam giác Lại có: IN ⊥ SA ( 2) AKC ⇒ IA = IK = IC Từ R= Câu 37 ( 1) ( 2) suy ( I tâm mặt cầu qua a 4π a ⇒ Smc = 4π R = 3 điểm A, B, C , K , H bán kính mặt cầu Chọn B AC , AS trung điểm ABC B K Tam giác tam giác vng cân nên tâm đường trịn ngoại tiếp Từ K dựng đường thẳng d vng góc mặt phẳng (ABC) Trong (SAC), dựng đường trung trực SA cắt d I R = IA Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC bán kính mặt cầu Gọi K, M AC = AB + BC = a ⇒ AK = Ta có AC a = 2 SA a · SA = AC tan SCA = a ⇒ MA = = 2 ⇒ R = IA = MA2 + AK = a Câu 38 Diện tích mặt cầu Chọn C 31 S = 4π R = 8a 2π CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG BC ⊥ AB   ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ SB BC ⊥ SA  CA ⊥ SA Ta có , lại có Do điểm A, B nhìn đoạn SC góc vng Suy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC mặt cầu đường kính SC ABC Xét tam giac R=a Vậy Câu 39 có AC = BC + BA2 = 2a suy SC = SA2 + AC = 2a Chọn A r= Cách Áp dụng công thức: 3V (*) Stp tam giác cạnh 32 x S= có diện tích x2 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG SA = SB = SC Từ giả thiết S.ABC có chóp S.ABC Suy a3 Lại có SA, SB, SC đơi vng góc thể tích khối nên ta có AB = BC = CA = a phần khối chóp S ABC SA = SB = SC = a ABC tam giác Stp = SSAB + S SBC + S SCA + S ABC cạnh có độ dài ( ) a a2 =3 + = ( a a2 + Do diện tích tồn ) Thay vào (*) ta được: a3 3V a r= = = Stp a + 3+ ( ) Cách Xác định tâm tính bán kính SA = SB = SC = a Từ giả thiết suy Kẻ Gọi SH ⊥ ( ABC ) , ta có H trực tâm tam giác ABC · AMB M = AH ∩ BC IE ⊥ ( SBC ) SH , dựng tia phân giác góc cắt I, kẻ E Dễ thấy d ( I , ABC ) = d ( I , SBC ) E ∈ SM IH = IE Khi ta có hay S.ABC la chóp tam giác nên d ( I , ABC ) = d ( I , SAB ) = d ( I , SAC ) hồn tồn có tức I tâm mặt cầu nội tiếp khối chóp S.ABC r = IH = IE Ta có Xét ∆SAM vuông S, đường cao AM = SA2 + SM = a + SH SM = , tính a a = 2 MH = ; 1 1 a = 2+ 2+ = ⇒ SH = 2 SH SA SB SC a Áp dụng tính chất đường phân giác ta có 33 BC a a = = 2 2 SM a a a = : = AM 2 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG IH MH IH MH IH MH = ⇒ = ⇔ = IS MS IH + IS MH + MS SH MH + MS MH SH a a a a a ⇒ IH = = :( + )= MH + MS 6 3+ r = IH = Câu 40 Vậy Chọn C Ta có a 3+ ( α ) P BD ⇒ BD / /EF  ( SBD ) ∩ ( α ) = FE Gọi I giao điểm AM SO SAC I Dễ thấy tâm tam giác SF SI 2 2 = = ⇒ SF = SD ⇒ SF SD = SD = SA2 + AD = 2a ⇒ SF SD = SA2 SD SO 3 3 ( Xét tam giác vng minh tương tự ta có SAD SF SD = SA2 ⇒ AF ⇒ AE ⊥ SB ) đường cao tam giác ⇒ AF ⊥ SF SA = AC = a AM nên vừa trung tuyến vừa đường cao tam giác Tam giác SAC ⇒ AM ⊥ SM 34 , chứng CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG  AF ⊥ SF   AE ⊥ SE  AM ⊥ SM  Ta có SA S , A, E , M , F nên mặt cầu qua năm điểm bán kính có tâm trung điểm SA a = 2 Câu 41 H , G, F AB, SC , SE M = AC ∩ BD Gọi trung điểm ; AFGH Dễ thấy hình bình hành AF ⊥ SE ( SA = AE )  GF ⊥ SE (GF / / AB / / CE , AB ⊥ SE ) Ta có ( AFGH ) SE Khi đó, mặt phẳng trung trực ⇒ CE ⊥ AD ⇒ ∆CED Theo giả thiết: tứ giác ABCE hình vng vuông E CD CDE I I Gọi trung điểm , ta có tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác SA CDE d I Đường thẳng qua song song trục đường tròn ngoại tiếp tam giác O O GH d S CDE R = OC cắt , ta có tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp , bán kính: O ∈ d ⇒ OE = OC = OD ⇒ OS = OC = OD = OE  O ∈ GH ⊂ (AFGH ) ⇒ OS=OE Vì GM OI IC = CD = = ⇒ OI = ∆GMH 2 ∆OIH MH IH , đồng dạng nên Áp dụng định lý Pitago vào tam giác OIC R = OC = , suy 35 11 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG S CDE Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S mc = 4π R = 11π Câu 42 Cách M,H BC ,SA trung điểm Gọi ABC ABC A M Ta có tam giác vng suy tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác Qua M kẻ đường thẳng d cho d ⊥ ( ABC ) ⇒ d trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ( SAM ) SA d ∆ I Trong mặt phẳng kẻ đường trung trực đoạn , cắt  IA = IB = IC ⇒ ⇒ IA = IB = IC = IS ⇒I S ABC  IA = IS tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ● ●  HA ⊥ ( ABC )  HA ⊥ AM  ⇒  IM ⊥ ( ABC )  HA // IM  HI ⊥ SA   AM ⊥ SA  HI , SA, AM ⊂ SAM ( ) ⇒ HI // AM  Suy tứ giác AM = Ta có HAMI hình chữ nhật 1 BC = + 42 = IM = SA = 2 2 , Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC 36 R = AI = AM + IM = + là: 5 = ABC CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Cách Sử dụng kết quả: Nếu tiếp tứ diện SABC tứ diện vuông đỉnh R= SABC 37 bán kính mặt cầu ngoại AS + AB + AC 2 tính cơng thức: R= + 22 + 42 = 2 Áp dụng công thức trên, ta có ( ) A ...CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG CHUYÊN ĐỀ 16 MẶT CẦU, KHỐI CẦU MỤC LỤC PHẦN A CÂU HỎI Dạng Diện tích xung quanh, bán kính Câu (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018)... ( S) (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN LẦN NĂM 2018-2019) Cắt mặt cầu 9π cm 4cm mặt phẳng cách tâm khoảng thiết diện hình trịn có diện tích ( S) Tính thể tích khối cầu CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP TRONG... Câu 15 R (MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có 2a cạnh R = 3a R = 3a R=a 100 A B C D CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Câu 16 (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT