1 2019 TOAN CHUNG TU NHIEN

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN Năm học: 2019 - 2020 Mơn thi: Tốn (chung) – Đề Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên tự nhiên SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút; (Đề thi gồm: 01 trang.) Câu ( 2,0 điểm) 1) Tìm điều kiện xác định biểu thức P  2019  x 3 x 9 2) Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng y   m2  1 x  đường thẳng y  3x  m  (với m  1 ) hai đường thẳng song song 3) Cho tam giác ABC vuông A có AB  6cm, BC  10cm Tính độ dài đường cao kẻ từ A xuống cạnh BC 4) Một hình trụ có diện tích hình trịn đáy 9 cm2 , độ dài đường sinh cm Tính thể tích hình trụ  a 1   a2  a a  a 1   a  :  Câu (1,5 điểm) Cho biểu thức P    với a  0, a  a  a  a      1) Rút gọn biểu thức P 2) Tìm giá trị nguyên a để P nhận giá trị số nguyên Câu (2,5 điểm) 1) Cho phương trình x  2(m  2) x  m2   (với m tham số) a) Giải phương trình với m  b) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 (giả sử x1  x2 ) thỏa mãn | x1 |  | x2  1| 2) Giải phương trình  x4 2    x   2 x Câu (3,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD  BD  AC  Đường trịn  O  đường kính AC cắt tia AB, AD H , I khác A Trên dây HI lấy điểm K cho HCK  ADO Tiếp tuyến C đường tròn  O  cắt BD E ( D nằm B, E ) Chứng minh rằng: AO.KC 1) CHK # DAO HK  OB 2) K trung điểm đoạn HI 3) EI EH  4OB  AE Câu (1,0 điểm)  x  y 2   y  x   x  1 y  1  1) Giải hệ phương trình  3xy  y  x  11   x   2) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x  y  z  2019 xyz Chứng minh x   2019 x  y   2019 y  z   2019 z     2019.2020 xyz x y z -HẾT Họ tên thí sinh:……………………………………… Họ tên, chữ ký GT 1:……………………………………… Số báo danh:…………………………………………… Họ tên, chữ ký GT 2:……………………… …………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM NAM ĐỊNH ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUN Năm học: 2019 - 2020 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn thi: Toán (chung) – Đề Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên tự nhiên (Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) Câu Điểm Nội dung 1) Tìm điều kiện xác định biểu thức P  2019  x 3 x 9 2) Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng y   m2  1 x  đường Câu 1) thẳng y  3x  m  (với m  1 ) hai đường thẳng song song 3) Cho tam giác ABC vuông A có AB  6cm, BC  10cm Tính độ dài đường cao kẻ từ A xuống cạnh BC 4) Một hình trụ có diện tích hình trịn đáy 9 cm2 , độ dài đường sinh cm Tính thể tích khối trụ x   Biểu thức xác định  x   x   x    x  (2,0đ) 0,25 0,25 Với m  1, ta có đường thẳng y   m2  1 x  đường thẳng y  3x  m  2) 3) 4) Câu m   hai đường thẳng song song  7  m  Tìm m  2 (thỏa mãn) 0,25 Tính AC  8cm 0,25 Tính đường cao 4,8cm 0,25 Thể tích hình trụ V  54 cm3 0,5  a 1   a2  a a  a 1   a  :  Cho biểu thức P    với a  0, a  a 1  a 1   a 1  1) Rút gọn biểu thức P 2) Tìm giá trị nguyên a để P nhận giá trị số nguyên 1,5 a2  a a  a a Với a  0, a  ta có a 1 0,25 1) Và a 1 a 1  4 a 1 a 1  a   a 1   0,25 a 1  a   a 1   a 1  a 1  a 1 0,25  Do P  2) Câu 0,25 4a a  a 1 a a a 1 0,25  a   4  a   2   a   1 Với a nguyên P nhận giá trị số nguyên  a   a    a    a  3  a  1  a   Đối chiếu với điều kiện ta có a  2, a  3, a  (thỏa mãn) a  a   a  1) Cho phương trình x  2(m  2) x  m2   (với m tham số) a) Giải phương trình với m  b) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 (giả sử x1  x2 ) thỏa mãn | x1 |  | x2  1| 2) Giải phương trình 1.a) 4a a a 1  x4 2  0,25 0,25 2,5   x   2 x Với m  , phương trình trở thành x  x   0,25 Phương trình có hai nghiệm x  1, x  0,5 Ta có  '   m    m2   m nên phương trình cho có hai nghiệm phân biệt 0,25 với m Mặt khác x1.x2  m2   0, x1  x2  x1   x2 0.25 1.b) Khi | x1 |  | x2  1|   x1  x2    x1  x2  6  2  m    6  m  0,25 Điều kiện xác định 4  x  0,25 Khi phương trình cho tương đương với 2) x  4 x 22  x   tm  (   x  4 x 2 x42   2 x x4 2 0 4 x 22  Vậy phương trình có nghiệm x  0,25 0,25  x    với 4  x  ) 0,25 Cho hình bình hành ABCD  BD  AC  Đường tròn  O  đường kính AC cắt tia AB, AD H , I khác A Trên dây HI lấy điểm K cho HCK  ADO Tiếp Câu 1) tuyến C đường tròn  O  cắt BD E ( D nằm B, E ) Chứng minh rằng: AO.KC 1) CHK # DAO HK  OB 2) K trung điểm đoạn HI 3) EI EH  4OB  AE Xét CHK DAO , có HCK  ADO KHC  DAO 0,25 nên CHK # DAO (g-g) 0,25 HK KC  AO DO 0,25 Suy AO.KC OB Từ ABCD hình bình hành O trung điểm AC suy B, O, D thẳng Mà OB  OD suy HK OB  AO.KC  HK  hàng, từ suy AOD  AOB  180 (1) Mà IKC  HKC  180 AOD  HKC ( CHK # DAO ) kết hợp với (1) ta suy AOB  IKC 2) Chứng minh AOB# IKC (vì AOB  IKC , BAO  KIC ) AO.KC (2) Suy KI  OB AO.KC Từ câu 1, ta có HK  (3) OB Từ (2) (3) suy HK  IK hay K trung điểm đoạn HI Chứng minh IKC  AOB  COE 3) 3,0 đ 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Ta có AOB  COE , COE  OEC  90  OKC  OEC  OKI  IKC  OEC  OKI  COE  OEC  180 0,25 Chứng minh tứ giác CKOE nội tiếp đường tròn Suy OKE  OEC  90 từ suy EK  OK , kết hợp với IK  OK Nên điểm H , K , I , E thẳng hàng Chứng minh ECI # EHC ( HEC chung, ECI  EHC ) Từ suy EI EH  EC  AE  AC 0,25 0,25  EI EH  AC  AE Mà BD  AC , OB  OD nên EI EH  4OB  AE (đpcm) Câu  x  y 2   y  x   x  1 y  1  1) Giải hệ phương trình  3xy  y  x  11   x   2) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x  y  z  2019 xyz Chứng minh 1,0 x   2019 x  y   2019 y  z   2019 z     2019.2020 xyz x y z  x  y 2   y  x    3xy  y  x  11 5  x3    x  1 Điều kiện   y   x  1 y  1 (1) (2) 0,25 Phương trình (1)   x  y     x   y 1  0 y  x2 Thế vào phương trình (2) ta có 3x  x      x  1  x  x  1   x2  x   x  x2  x   x     37 x   x2  x   x      37 x   Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm  x; y  hệ phương trình   37  37    37  37  ; ;  ,  2   2   1    2019 Từ giả thiết ta có xy yz zx Bất đẳng thức cho tương đương với 0,25 0,25 x  1 1 1  2019   y   2019   z   2019   2020( x  y  z ) x x y y z z 1 1 1  2019    2019    2019   2019( x  y  z ) (1) x x y y z z Theo bất đẳng thức Cơ si ta có 1 1 1 VT (1)   2019    2019    2019  x x y y z z  1 1 1 1 1 1 1               x xy yz zx x y xy yz zx y z xy yz zx z   1  1   1  1  1  1  1                        x  z x  z y   x y  x z  y  y x  y z  z 1 1  3    x y z Ta cần chứng minh 1 1      2019( x  y  z ) x y z   xy  yz  zx    2019 xyz    xy  yz  zx    x  y  z  0,25    x  y   y  z   z  x 2 Điều phải chứng minh Lưu ý: + Các cách giải khác đáp án đúng, phù hợp với chương trình THCS, ban giám khảo thống cho điểm thành phần tương ứng + Điểm tồn tổng điểm câu khơng làm tròn HẾT ... 2 019    2 019    2 019   2 019 ( x  y  z ) (1) x x y y z z Theo bất đẳng thức Cô si ta có 1 1 1 VT (1)   2 019    2 019    2 019  x x y y z z  1 1 1 1 1 1 1           ...  1    2 019 Từ giả thiết ta có xy yz zx Bất đẳng thức cho tương đương với 0,25 0,25 x  1 1 1  2 019   y   2 019   z   2 019   2020( x  y  z ) x x y y z z 1 1 1  2 019    2 019 ... a  0, a  ta có a ? ?1 0,25 1) Và a ? ?1 a ? ?1  4 a ? ?1 a ? ?1  a   a ? ?1   0,25 a ? ?1  a   a ? ?1   a ? ?1  a ? ?1  a ? ?1 0,25  Do P  2) Câu 0,25 4a a  a ? ?1 a a a ? ?1 0,25  a   4 