ỦY BAN NHÂN DÂN THÀNH PHỐ THỦ ĐỨC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang) KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2022 - 2023 Mơn thi: TỐN – Ngày thi 24/09/2022 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu (4 điểm) Rút gọn a) A 208 208 52 52 b) B x y 1 x xy 4 4 4 4 x y y y với x; y > x y xy x xy x xy Câu (4 điểm) a) Giải phương trình: x x3 x x x 1 1 x y z b) Giải hệ phương trình: 4 xy z Câu (3 điểm) a) Cho x, y, z > thỏa mãn x + y + z = 2022 Chứng minh rằng: xy yz zx xy 2022z yz 2022x zx 2022y Dấu “=” xảy nào? b) Cho x = 10 10 Tính giá trị A = x2 + 2x + Câu (8 điểm) Cho đường trịn (O) có đường kính AB Vẽ tiếp tuyến Ax, By đường tròn (O), đường tròn (O) lấy điểm E cho AE < EB (E khác A) Tiếp tuyến E đường tròn (O) cắt Ax By C, D Kẻ EF AB F, EF cắt CB I, BE cắt Ax K a) Chứng minh: AF.AB = KE.EB I trung điểm EF b) Đường thẳng CD cắt đường thẳng AB S Chứng minh: AFC BFD SC.ED = SD.EC c) EA cắt CF M EB cắt DF N Chứng minh M, I, N thẳng hàng Câu (1 điểm) Cho ABC vuông A, có đường cao AH = 8cm, trung tuyến AM Tìm giá trị nhỏ chu vi ABC -Hết (Thí sinh khơng sử dụng tài liệu, Giám thị coi thi khơng giải thích thêm) Họ tên thí sinh:…………………………………………………Số báo danh:……… HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP – MƠN TỐN – NĂM HỌC 2022 – 2023 ĐỀ Câu A 208 208 52 52 1a Biểu điểm Nội dung 4 4 4 4 2 52 52 4 4 = 43 23 1,0 102 1382 13 23 23 Cho B 1b x y 1 x xy 0,5x2 x y y y với x, y > x y xy x xy x xy Rút gọn B x y 1 x y y y B x ( x y) xy x ( x y ) x ( x y ) x y 1 x y y( x y x y) x ( x y) xy x ( x y)( x y) x y 1 x y xy = x ( x y) xy x ( x y)( x y) x y 1 x y 1 x x x ( x y) x ( x y) x ( x y) x 0,5 0,5 0,5x2 x x3 x x x 1 Giải phương trình: ĐKXĐ: x 0,25 x x3 x x x x x x x (x 1)(x 1) x x x x (x 1)(x 1)(x 1) Câu 2a 3 x x x x (x 1)(x x x 1) (x 1)(x x x 1) x x x x x x x 1( x 1) ( x 1) Câu 2b 0,5 2 0,5 ( x 1)( x x x 1) 0,25 x (do x x x x 0) x = 0,5 ĐKXĐ: x; y; z 0,25 1 1 1 1 x y z z x y 1 Ta có (= ) z x y xy 4 4 2 xy z z xy 0,5 4 1 4 2 2 4 x y x y xy xy 0,5 2 1 1 1 1 4 4 2 2 x x y y x y 1 x x 1 1 mà 2 z 1 z x y y y 1 1 Vậy nghiệm hệ phương trình (x; y; z) = ; ; 2 2 0,5 0,25 a) Cho x, y, z > thỏa mãn x + y + z = 2022 Chứng minh rằng: xy yz zx xy 2022z yz 2022x zx 2022y Dấu “=” xảy nào? Ta có: xy + 2022z = xy + (x + y + z)z = xy + xz + yz + z2 = … = (x + z)(y + z) Tương tự yz + 2022x = (x + y)(x + z) zx + 2022y = (x + y)(y +z) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: xy xy x y 1 x y (1) xy 2022z (x z)(y z) x z y z 2 x z yz 0,25 yz 1 y z (2) yz 2022x x y x z Tương tự Câu 3a zx 1 x z (3) Từ (1), (2), (3) zx 2022y x y y z xy yz zx 1 x z yz x y xy 2022z yz 2022x zx 2022y x z y z x y 2 x y x z y z xy xz xy yz xz yz x y z y xy yz xz yz xy xz y z x y z Dấu “=” xảy x y x z xy xz xz yz xy yz x z z x x y y z Mà x + y + z = 2022 x = y = z = 674 Cho x = Ta có Câu 3b 0,25 0,25 10 10 x 10 0,25 0,25 0,25 4 10 10 10 16 10 0,25 10 10 Tính giá trị A = x2 + 2x + x 10 10 0,25 1 0,25 1 5 x ( x > 0) Vậy A = x2 + 2x + = 0,25x3 D K E C N Q I P S Câu 4a A M F O B Chứng minh: AF.AB = KE.EB I trung điểm EF ABE nội tiếp đường tròn (O) có AB đường kính ABE vng E ABE vng E có đường cao EF AF.AB = AE2 (Hệ thức lượng) ABK vuông A có đường cao AE KE.EB = AE2 (Hệ thức lượng) Vậy AF.AB = KE.EB (= AE2) Ta có CA = CE (t/c tt cắt nhau), OA = OE (bán kính) CO đường trung trực AE CO AE mà AE BK OC // BK, lại có O trung điểm AB C trung điểm AK (định lý - đường trung bình) EI BI IF EF // AK (Hệ qủa Thales) CK BC AC mà CK = AC (C trung điểm AK) EI = IF Chứng minh: AFC BFD SC.ED = SD.EC Ta có EF // BD // AC CE CI AF (Thales) ED IB FB 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Mà CE = CA DE = DB (t/c tiếp tuyến cắt nhau) CA AF FBD 900 CAF DB FB AFC BFD (cgc) AFC BFD (góc t/ư) Câu 4b 0,5 0,5 EFD (phụ với góc = nhau) FE tia phân giác góc CFD EC CF CFE ED Có SF EF SF phân giác ngồi CFD DF SC CF SC EC SD DF SD ED SC EC SC.ED SD.EC SD ED Chứng minh: M, I, N thẳng hàng * Tia IM cắt AC P Tia IN cắt BD Q 0,5 0,5 0,5 CP MP (Thales) CP PA IF MI PC PA P trung điểm AC PA MP IF IE PA / /IE (Thales) IE MI 0,5 CP / /IF Câu 4c * C/m tương tự Q trung điểm BD CI CE CA 2CP CP QBI (so le trong) PCI IB ED BD 2QB QB QIB Vậy PCI ∽ QBI cgc PIC P, I, Q thẳng hàng M, I, N thẳng hàng * IE / /BD 0,5 0,5 0,5 A cm Câu B H M C ABC vuông A, đường cao AH, trung tuyến AM AB.AC =AH.BC (hệ thức lượng) Ta có AM AH (quan hệ đường xiên đường vng góc) dấu “=” H M BC = 2AM 2AH 2.8 16 Chu vi ABC P = AB + AC + BC Mà AB + AC AB.AC AH.BC 8.2AM 8.2.8 16 Do P = AB + AC + BC 16 + 16 (cm) Dấu “=” xảy AB = AC H M Vậy GTNN chu vi ABC 16 + 16 (cm) ABC vuông cân A Học sinh có cách giải khác xác, giám khảo cho trọn điểm ... NĂM HỌC 2 022 – 2 023 ĐỀ Câu A 208 208 52 52 1a Biểu điểm Nội dung 4 4 4 4 2 52 52 4 4 = 43 23 1, 0 10 2 13 82 13 23 23 Cho B 1b x y ? ?1 x xy ... (x 1) (x 1) x x x x (x 1) (x 1) (x 1) Câu 2a 3 x x x x (x 1) (x x x 1) (x 1) (x x x 1) x x x x x x x 1( x 1) ... = 2 022 x = y = z = 674 Cho x = Ta có Câu 3b 0,25 0,25 10 10 x 10 0,25 0,25 0,25 4 10 10 10 16 10 0,25 10 10