Đề 1 TP THUDUC DEHSG TOAN9 22 23

ỦY BAN NHÂN DÂN THÀNH PHỐ THỦ ĐỨC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang) KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2022 - 2023 Mơn thi: TỐN – Ngày thi 24/09/2022 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu (4 điểm) Rút gọn a) A  208  208 52  52 b) B  x  y 1 x  xy   4  4 4  4 x y  y y     với x; y > x  y xy  x  xy x  xy  Câu (4 điểm) a) Giải phương trình: x   x3  x  x    x  1 1 x  y  z   b) Giải hệ phương trình:    4  xy z Câu (3 điểm) a) Cho x, y, z > thỏa mãn x + y + z = 2022 Chứng minh rằng: xy yz zx    xy  2022z yz  2022x zx  2022y Dấu “=” xảy nào? b) Cho x =  10    10  Tính giá trị A = x2 + 2x + Câu (8 điểm) Cho đường trịn (O) có đường kính AB Vẽ tiếp tuyến Ax, By đường tròn (O), đường tròn (O) lấy điểm E cho AE < EB (E khác A) Tiếp tuyến E đường tròn (O) cắt Ax By C, D Kẻ EF  AB F, EF cắt CB I, BE cắt Ax K a) Chứng minh: AF.AB = KE.EB I trung điểm EF b) Đường thẳng CD cắt đường thẳng AB S Chứng minh:  AFC  BFD SC.ED = SD.EC c) EA cắt CF M EB cắt DF N Chứng minh M, I, N thẳng hàng Câu (1 điểm) Cho  ABC vuông A, có đường cao AH = 8cm, trung tuyến AM Tìm giá trị nhỏ chu vi  ABC -Hết (Thí sinh khơng sử dụng tài liệu, Giám thị coi thi khơng giải thích thêm) Họ tên thí sinh:…………………………………………………Số báo danh:……… HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP – MƠN TỐN – NĂM HỌC 2022 – 2023 ĐỀ Câu A 208  208  52  52 1a Biểu điểm Nội dung 4  4     4  4  2 52  52 4  4 =  43 23 1,0 102 1382 13    23 23 Cho B  1b x  y 1 x  xy  0,5x2 x y  y y     với x, y > x  y xy  x  xy x  xy  Rút gọn B  x  y 1 x y  y y B     x ( x  y) xy  x ( x  y ) x ( x  y )  x  y 1 x  y  y( x  y  x  y)      x ( x  y) xy  x ( x  y)( x  y)  x  y 1 x y xy =   x ( x  y) xy x ( x  y)( x  y) x  y 1 x y 1 x      x x ( x  y) x ( x  y) x ( x  y) x 0,5 0,5 0,5x2 x   x3  x  x    x 1 Giải phương trình: ĐKXĐ: x  0,25 x   x3  x  x    x   x   x  x  x    (x  1)(x  1)  x   x  x  x    (x  1)(x  1)(x  1) Câu 2a 3  x   x  x  x    (x  1)(x  x  x  1)  (x  1)(x  x  x  1)  x  x  x   x     x  x  x  1( x   1)  ( x   1)  Câu 2b 0,5 2 0,5  ( x   1)( x  x  x   1)  0,25  x    (do x   x  x  x    0)  x = 0,5 ĐKXĐ: x; y; z  0,25 1 1 1 1 x  y  z  z   x  y  1   Ta có         (= )  z  x y  xy   4   4 2  xy z  z xy 0,5  4 1 4 2  2    4 x y x y xy xy 0,5 2 1  1  1  1      4     4     2    2  x x  y y  x  y  1   x   x  1 1 mà        2  z     1 z x y    y  y   1 1 Vậy nghiệm hệ phương trình (x; y; z) =  ; ;    2 2 0,5 0,25 a) Cho x, y, z > thỏa mãn x + y + z = 2022 Chứng minh rằng: xy yz zx    xy  2022z yz  2022x zx  2022y Dấu “=” xảy nào? Ta có: xy + 2022z = xy + (x + y + z)z = xy + xz + yz + z2 = … = (x + z)(y + z) Tương tự  yz + 2022x = (x + y)(x + z) zx + 2022y = (x + y)(y +z) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: xy xy x y 1 x y        (1) xy  2022z (x  z)(y  z) x  z y z 2 x z yz  0,25 yz 1 y z      (2) yz  2022x  x  y x  z  Tương tự  Câu 3a zx 1 x z      (3) Từ (1), (2), (3) zx  2022y  x  y y  z  xy yz zx 1 x z yz x  y          xy  2022z yz  2022x zx  2022y  x  z y  z x  y  2  x y x  z  y  z  xy  xz  xy  yz xz  yz x  y z  y      xy  yz  xz  yz  xy  xz  y  z  x  y  z Dấu “=” xảy  x  y x  z xy  xz  xz  yz xy  yz x  z z  x x  y  y  z  Mà x + y + z = 2022  x = y = z = 674  Cho x = Ta có Câu 3b 0,25 0,25  10    10   x    10   0,25   0,25 0,25   4  10   10    10      16  10        0,25  10    10  Tính giá trị A = x2 + 2x +   x    10    10      0,25  1    0,25  1   5   x   ( x > 0) Vậy A = x2 + 2x + = 0,25x3 D K E C N Q I P S Câu 4a A M F O B Chứng minh: AF.AB = KE.EB I trung điểm EF  ABE nội tiếp đường tròn (O) có AB đường kính   ABE vng E  ABE vng E có đường cao EF  AF.AB = AE2 (Hệ thức lượng)  ABK vuông A có đường cao AE  KE.EB = AE2 (Hệ thức lượng) Vậy AF.AB = KE.EB (= AE2) Ta có CA = CE (t/c tt cắt nhau), OA = OE (bán kính)  CO đường trung trực AE  CO  AE mà AE  BK  OC // BK, lại có O trung điểm AB  C trung điểm AK (định lý - đường trung bình) EI BI IF   EF // AK  (Hệ qủa Thales) CK BC AC mà CK = AC (C trung điểm AK)  EI = IF Chứng minh:  AFC  BFD SC.ED = SD.EC Ta có EF // BD // AC  CE CI AF (Thales)   ED IB FB 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Mà CE = CA DE = DB (t/c tiếp tuyến cắt nhau) CA AF   FBD   900 CAF  DB FB   AFC  BFD (cgc)    AFC  BFD (góc t/ư)  Câu 4b 0,5 0,5   EFD  (phụ với góc = nhau)  FE tia phân giác góc CFD   EC  CF  CFE ED Có SF  EF  SF phân giác ngồi  CFD  DF SC CF SC EC    SD DF SD ED SC EC   SC.ED  SD.EC SD ED Chứng minh: M, I, N thẳng hàng * Tia IM cắt AC P Tia IN cắt BD Q 0,5 0,5  0,5 CP MP   (Thales)   CP PA IF MI   PC  PA  P trung điểm AC  PA MP IF IE PA / /IE   (Thales)  IE MI 0,5 CP / /IF  Câu 4c * C/m tương tự Q trung điểm BD CI CE CA 2CP CP   QBI  (so le trong) PCI     IB ED BD 2QB QB   QIB  Vậy PCI ∽ QBI  cgc   PIC  P, I, Q thẳng hàng  M, I, N thẳng hàng * IE / /BD  0,5 0,5 0,5 A cm Câu B H M C  ABC vuông A, đường cao AH, trung tuyến AM  AB.AC =AH.BC (hệ thức lượng) Ta có AM  AH (quan hệ đường xiên đường vng góc) dấu “=” H  M  BC = 2AM  2AH  2.8  16 Chu vi  ABC P = AB + AC + BC Mà AB + AC  AB.AC  AH.BC  8.2AM  8.2.8  16 Do P = AB + AC + BC  16 + 16 (cm) Dấu “=” xảy AB = AC H  M Vậy GTNN chu vi  ABC 16 + 16 (cm)  ABC vuông cân A Học sinh có cách giải khác xác, giám khảo cho trọn điểm ... NĂM HỌC 2 022 – 2 023 ĐỀ Câu A 208  208  52  52 1a Biểu điểm Nội dung 4  4     4  4  2 52  52 4  4 =  43 23 1, 0 10 2 13 82 13    23 23 Cho B  1b x  y ? ?1 x  xy ... (x  1) (x  1)  x   x  x  x    (x  1) (x  1) (x  1) Câu 2a 3  x   x  x  x    (x  1) (x  x  x  1)  (x  1) (x  x  x  1)  x  x  x   x     x  x  x  1( x   1) ... = 2 022  x = y = z = 674  Cho x = Ta có Câu 3b 0,25 0,25  10    10   x    10   0,25   0,25 0,25   4  10   10    10      16  10        0,25  10    10 