giai toan bang cach lap phuong trinh njfrc

GIẢI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH I Phương pháp giải Bước 1: Lập phương trình:  Chọn ẩn số đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số;  Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượng biết;  Lập phương trình biểu thị mối quan hệ đại lượng Bước 2: Giải phương trình Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem nghiệm phương trình, nghiệm thỏa mãn điều kiện ẩn, nghiệm không, kết luận II Một số ví dụ Ví dụ Quãng đường AD gồm ba đoạn AB; BC CD Lúc sáng người ô tô từ A với vận tốc 60km/h đến B lúc 7giờ 30phút, sau tiếp đoạn đường BC vận tốc 50km/h Cùng lúc sáng người xe máy từ C với vận tốc 35km/h để đến D Biết thời gian người xe máy đến D nhiều thời gian người ô tô từ B đến c 24 phút quãng đường BC ngắn quãng đường CD 40km Tính quãng đường AD * Tìm cách giải: Đây tốn chuyển động Có ba đại lượng: Quảng đường (s), vận tốc (v) thời gian (t) Quan hệ đại lượng sau: s v.t; v s : t; t s:v Đoạn đường AD gồm ba đoạn Đoạn AB biết độ dài (do biết vận tốc 60km/h thời gian 0,5 giờ) nên cần tính đoạn BD Do ta chọn ẩn sổ x (k m) độ dài đoạn BD Do quãng đường BC ngắn quãng đường CD 40km mà tổng hai đoạn đường x km nên độ dài đoạn CD x 40 km BC x 40 km x Ta phải tìm thời gian xe máy đoạn đường CD thời gian ô tơ đoạn đường BC để lập phương trình Giải Thời gian xe hết quãng đường AB 30 phút - = 30 phút = 0,5 h Ta có quãng đường AB dài 60 0,5 = 30(km) Gọi quãng đường BD x(km); x > 40 Do đoạn CD dài BC 40km; tổng hai đoạn đường x (km) nên:  Đoạn đường BC dài x 40 x 40 (km); đoạn đường CD dài (km) x  Thời gian ô tô đoạn BC x 40 : 50 (h) x  Thời gian ô tô đoạn CD x 40 : 35 (h) 24 phút = 1,4 Theo ta có phương trình: x 40 70 x 40 100 1,  Giải phương trình: 10x x 400 x 280 980 3x 300 100 Giá trị phù hợp với điều kiện ấn vậy: Quãng đường BD dài 100 km quãng đường AD dài 100 + 30 = 130 (km) Chú ý: Cách khác: Gọi thời gian xe máy từ C đến D x (giờ) thời gian tơ từ B đến C x 1, (giờ) Quãng đường CD dài 35x (km), quãng đường BC dài x 1, 50 Ta có phương trình x 1, 50 35 x 40 Giải phương trình x = (bạn đọc tính tiếp) Ví dụ Trên qng sơng AB dài 48km, ca nô xuôi từ A đến B quay trở lại đỗ địa điểm C giũa A B Thời gian ca nơ xi ngược dịng hết tất 30 phút Tính vận tốc riơng ca nô biết bè nứa thả trôi sông 15 phút trơi km * Tìm cách giải: - Đây toán chuyển động liên quan đến chuyến động xi, ngược dịng nước (hoặc xi gió, ngược gió) Nếu gọi vận tốc xi vx; vận tốc ngược ; vận tốc riêng động vr vận tốc dịng nước (hoặc giỏ) vx vr vdn ; vr vdn vx 2vdn  Quãng sông ca nô xuôi 48km ngược 48: = 24km Vận tốc bè nứa trơi vận tốc dòng nước  Chọn ẩn số x vận tốc riêng ca nơ, ta tìm thời gian xi ngược để lập phương trình Giải 15 phút = 0,25 giờ; 30 phút = 3,5 Vận tốc bè nứa trôi 1: 0,25 = (km/h) vận tốc dịng nước Gọi vận tốc riêng ca nô x (km/h); x > Thì vận tốc ca nơ xi dịng x + (km/h), vận tốc ca nô ngược dòng x - (km/h) Thời gian ca nơ xi dịng Theo ta có phương trình: 48 x (h) ngược dịng 48 x 24 x 3,5 24 (h) x  Giải phương trình (1): biến đổi thành 48 x 192 24 x 96 3,5 x 56 3,5 x 72 x 40 x 144 x 80 x 7x 14 x 4x 80 x 7x x 20 Trong hai giá trị x = 20 thỏa mãn điều kiện đầu Vậy vận tốc riêng ca nơ 20km/h Ví dụ Hai xưởng sản xuất làm sản phẩm, số sản phẩm xưởng thứ làm ngày nhiều số sản phẩm xưởng thứ hai làm ngày 140 sản phẩm Biết suất lao động xưởng thứ xưởng thứ hai 65 sản phẩm/ngày Tính suất lao động xưởng  Tìm cách giải: Bài toán thuộc loại toán Năng suất lao động Có ba đại lượng:  Khối lượng cơng việc: (K)  Thời gian hồn thành cơng việc (t)  Năng suất lao động: (lượng cơng việc hồn thành đơn vị thời gian) (N) Quan hệ dại lượng sau: K = Nt; t = K : N N = K: t Trong suất lao động xưởng số sản phẩm xưởng làm ngày, ta chọn ẩn X từ hai suất lao động Khối lượng cơng việc xưởng số sản phẩm xưởng thứ làm ngày, xưởng thứ hai làm ngày Lập phương trình từ việc so sánh hai khối lượng công việc Giải Gọi suất lao động xưởng thứ x (sản phẩm /ngày); ( x ; x > 65) suất lao động xưởng thứ hai x 65 (sản phẩm/ngày) Trong năm ngày xưởng thứ làm 5x (sản phẩm), sáu ngày xưởng thứ hai làm x 65 (sản phẩm) Theo ta có phương trình: x x 65 Giải phương trình: (1) x 5x x 390 140 (1) 140 250 (thỏa mãn điều kiện) Vậy: Năng suất lao động xưởng thứ 250 sản phẩm /ngày Năng suất lao động xưởng thứ hai 250 - 65 = 185 (sản phẩm /ngày) Ví dụ Hai vòi nước chảy vào bể cạn thời gian 48 phút bể đầy Nếu vịi thử chảy giờ, vịi thứ hai chảy tiếp đầy 17 bể Hỏi nêu vịi chảy sau bể đầy? 24  Tìm cách giải - Đây tốn công việc đồng thời (làm chung, làm riêng cơng việc) - dạng đặc biệt tốn suất lao động Khối lượng công việc không cho dạng số lượng cụ thể Bởi ta quy ước cơng việc cần hoàn thành Tùy nội dung toán cụ thể mà ta quy ước đại lượng làm đơn vị (1 bể nước, mương, cánh đồng, đường, ) Đơn vị suất lao động công việc / đơn vị thời gian Năng suất lao động chung tổng suất lao động riêng cá thể - Ở tốn trên, cơng việc cụ thể bể nước (lượng nước làm đầy bể) Nếu vịi chảy sau a đầy bể suất (lượng nước chảy giờ) vịi khác chảy sau b đầy bể suất bể/giờ Nếu a 1 bể/giờ Năng suất chung a b b (bể/giờ) Giải Hai vòi chảy chung 48 phút = 24 đầy bể hai vòi chảy chung 5 bể nước Gọi thời gian vịi thứ hai chảy đầy bể x x 24 24 , vòi thứ hai chảy bể nước x 24 Vịi thứ chảy Ta có phương trình 24 Giải phương trình: (1) x x 17 24 bể nước x 15x 72 96 17 x 2x 24 x 12 Giá trị phù họp với điều kiện ẩn Vậy thời gian vòi thứ hai chảy đầy bể 12 Thời gian vịi thứ chảy đầy bể 1: 24 12 1: 8 (giờ) Ví dụ Năm ngối sơ kg thóc thu hoạch ruộng thứ số kg thóc thu hoạch thứ hai Năm nhờ cải tiến kỹ thuật thứ thu hoạch tăng 20%; thứ hai thu hoạch tăng 30% hai thu hoạch 1320kg Tìm số tạ thóc thu hoạch năm  Tìm cách giải: Đây dạng toán liên quan đến tỷ số tỷ số % Thu hoạch tăng a% tức thu hoạch (100 + a)% Ta phải tìm số thóc thu hoạch năm Ẩn sổ ta nên chọn số thóc thu hoạch hai năm trước đại lượng quan hệ: tỷ số sổ thóc thu hoạch hai ruộng năm trước tỷ số % tăng so với năm trước Giải Gọi số thóc thu hoạch năm ngối thứ hai x (kg) (x > 0) Số thóc thu hoạch năm ngoái thứ x (kg) Số thóc thu hoạch năm thứ hai 130% x (kg) Số thóc thu hoạch năm thứ 120% x (kg) Theo ta có phương trình: 120% x 130% x 1320 Giải phương trình: x 13x 13200 120 x 100 22 x 130 x 100 13200 x 1320 600 Giá trị x thỏa mãn điều kiện ẩn Vậy số thóc thứ hai thu hoạch năm 130%.600 = 780 (kg) = 7,8 (tạ), số thóc thứ thu hoạch năm 1320 - 780 = 540 (kg) = 5,4(tạ) Chú ý: Ta chọn x số thóc thu hoạch năm thứ Khi ta có phương trình: x.100 120 1320 x 100 130 Giải x = 540 (bạn đọc tự giải) Ví dụ Một số có bốn chữ số có chữ số hàng đơn vị Nên chuyển chữ số lên đầu giữ nguyên ba chữ số cịn lại số lớn số ban đầu 3222 đơn vị Tìm số có chữ số  Tìm cách giải: Bài tốn liên quan đến cấu tạo số Số có chữ abcd 1000a 100b+10c dabc 1000d số d abcd a, b, c, d 1000a bcd ;0 abc.10 d a 9;0 b, c, d có khai triển Chuyển d lên đầu số abc Trong chữ số abc khơng thay đổi thứ tự xếp nên ta chọn làm ẩn số x Giải Gọi số có ba chữ số trước chữ số hàng đơn vị x x ;100 x 1000 Số cần tìm x5 Chuyển chữ số lên đầu ta sổ 5x Ta có phương trình 5x x5 3222 Giải phương trình: (1) 9x 1773 x 5000 x 10x (1) 3222 197 Giá trị thỏa mãn điều kiện ẩn Vậy số phải tìm 1975 Ví dụ Khối trường THCS có ba lớp 8A; 8B 8C Tổng số học sinh ba lớp 120 em Nếu chuyển em từ lớp 8A sang lớp 8B số học sinh hai lớp nhau, số học sinh 8C trung bình cộng sổ học sinh hai lớp 8A 8B Tìm số học sinh ban đầu lớp  Tìm cách giải: Chuyển em từ lớp 8A sang lóp 8B số học sinh hai lớp nghĩa sổ học sinh lớp 8A số học sinh lớp 8B Giải Gọi số học sinh ban đầu 8A x x học sinh lớp 8C x x *, x 80 suy số học sinh lớp 8B x số x Theo ta có phương trình: x x x 120 Giải phương trình: (1) 3x 129 x (1) 43 Giá trị X thỏa mãn điều kiện ẩn Vậy: Số học sinh lóp 8A 43; số học sinh lớp 8B 43 - = 37; Số học sinh lóp 8C 43 - = 40 Ví dụ Người ta dự định tổ chức hội nghị gồm 300 đại biểu, số chỗ ngồi xếp thành hàng có số ghế hàng Do hội nghị có thêm 23 đại biểu nên phải xếp lại, hàng thêm ghe, lại bớt hàng Tính số hàng số ghế hàng theo dự định xếp ban đầu  Tìm cách giải: Bài tốn có ba đại lượng: Tổng số chỗ ngồi (số ghế); số hàng ghế số ghế hàng Quan hệ chúng Tổng số chỗ ngồi (số ghế) = số hàng ghế x số ghế hàng Số hàng ghế = Tổng số chỗ ngồi (số ghế): số ghế hàng Sổ ghế hàng = Tổng số chỗ ngồi (số ghế): số hàng ghế Đã biết số đại biểu (tức số ghế cần xếp), ta chọn hai đại lượng số hàng ghế số ghế hàng làm ẩn dựa vào quan hệ ba đại lượng lúc đầu sau để lập phương trình Giải Gọi số hàng ghế dự định xếp ban đầu x x , x , số dãy ghế sau xếp lại x Số ghế hàng ban đầu 300 (chiếc) x Số ghế hàng sau xếp lại 300 23 (chiếc) x Theo ta có phương trình: Giải phương trình: (1) x2 35 x 900 x 20 x 45 0 x x 300 x 300x 900 x 20 x 45 300 23 x 4 x 12 x 323x 0 20 45 Ta thấy x = 20 thỏa mãn điều kiện ẩn, vậy: Số hàng ghế ban đầu 20; số ghế hàng ban đầu 300: 20 = 15 Ví dụ Biết 445g đồng tích 50cm3; 175g kẽm tích 25cm3 Một hợp kim đồng kẽm nặng 1,4kg tích 181 cm3 Tính khối lượng đồng kẽm hợp kim  Tìm cách giải: Bài tốn có nội dung Vật lý Có ba đại lượng: Khối lượng (m); khối lượng riêng (D) thể tích (V) Khối lượng riêng khối lượng đơn vị thể tích Quan hệ ba đại lượng là: D = m: V; m = D.V; V = m:D Bài tốn u cầu tìm khối lượng đồng, khối lượng kẽm có hợp kim Khối lượng hợp kim tổng khối lượng đồng kẽm Thể tích hợp kim tổng thể tích khối đồng kẽm Ta chọn hai khối lượng đồng kẽm làm ẩn Giải Khối lượng riêng đồng là: 445: 50 = 8,9 (g/cm3); Khối lượng riêng kẽm là: 175: 25 = (g/cm3); 1,4kg = 1400g Gọi khối lượng đồng hợp kim x g (x < 1400) khối lượng kẽm hợp kim 1400 x g Thể tích đồng x 1400 x (cm3); Thể tích kẽm (cm3); 8,9 x Theo ta có phương trình: 8,9 Giải phương trình: (1) 1,9 x 1183, x 1400 x 7 x 12460 8,9 x 181 11276,3 623  Giá trị x thỏa mãn điều kiện ẩn Vậy khối lượng đồng 623 g kẽm 1400 - 623 = 777 (g) Ví dụ 10 Khối trường THCS có số lớp nhiều 2, tổ chức trồng cây: Lớp thứ trồng số lại Lớp thứ hai trồng tiếp 10 Lớp thứ ba trồng tiếp 15 số lại số lại Cử trồng đến lớp cuối vừa hết số số lớp trồng Tính số mà khối trồng số lớp khối tham gia trồng Tìm cách giải Đây tốn hay khó Cách phân bổ trồng: 1 số lại Lóp thứ hai trồng tiếp 5.2 lại 5 Lớpthứ trồng Lớp thứ ba trồng tiếp 5.3 số số lại Ta lưu ý lớp cuối vừa hết số đặc biệt số lóp trồng Vì ta chọn ẩn x tồn số mà khối trồng cần tìm số lóp thứ trồng, số lớp thứ hai trồng có phương trình Giải Gọi tổng số khối trồng là: x cây; x Số lớp thứ trồng là: x 5 * x (cây) Số lại sau lớp thứ trồng : x Lớp thứ hai trồng là: 10 x 5 x 25 10 x 36 x (cây) Do số lóp trồng nên ta có phương trình: x Giải phương trình 1 x 25 16 x 4 x 25 36 (1) 80 Giá trị thỏa mãn điều kiện ẩn Vậy so khối trồng 80 Mỗi lớp trồng: 80 20 (cây) Số lớp tham gia trồng cây: 80: 20 = (lớp)  Nhận xét: Ta cách giải khác đơn giản hơn: Gọi số lớp tham gia trồng y y ;y Do lớp cuối trồng hết số nên lớp cuối trồng 5y + (cây) Do số lóp trồng nên lóp trồng 5y y lớp trồng tất cà Số lớp thứ trồng Ta có phương trình y y y y y y y2 5 y2 y2 4 5y Trong hai giá trị có y = thỏa mãn điều kiện ẩn Vậy số lớp tham gia trồng số khối trồng 42 = 80 (cây) III Bài tập vận đụng Dạng toán chuyến động 19.1 Lúc sáng người xe máy khởi hành từ A dể đến B Lúc 10 phút ô tô khởi hành từ A với vận tốc lớn vận tốc xe máy 10km/h Trên đường ô tô phải dừng đường 14 phút đến B lúc với xe máy Tính vận tốc xe biết quãng đường AB xe taxi với vận tốc 60km/h hết 20 phút Hướng dẫn giải – đáp số Xe taxi 20 phút (bằng giờ) với vận tốc 60km/h Ta tính quãng đường AB Xe ô tô khỏi hành sau 10 phút, nghỉ đường 14 phút cùng1đến B lúc với xe máy Như xe máy chậm ô tô 10 14 24 (phút) = So sánh thời gian ô tô xe máy ta lập phương trình Ta có cách giải: Qng đường AB dài 60 80 (km) Gọi vận tốc xe máy x km/h (x > 0), vận tốc ô tô (x + 10) km/h Hướng dẫn giải – đáp số Lúc tàu thủy cách ca nơ thuyền độ dài đoạn sông tàu thủy trừ độ dài đoạn sông thuyền với độ dài sông ca nô trừ độ dài đoạn sông mà tàu thủy Từ có cách giải sau: Gọi thời gian tàu thủy từ A đến cách ca nô thuyền x (x > 0) Đến 10 tàu thủy khỏi hành thuyền 20km ca nô 25km Ta có phương trình: 30x Giải x 20 10x 25 25x 30x 9 thỏa mãn điều kiện ẩn ( = 48 phút) 5 Trả lời: Lúc 11 48 phút tàu thủy cách ca nô thuyền 19.4 Quãng đường AE gồm bốn đoạn, hai đoạn đường AB DE Nếu từ A BC đoạn lên dốc, CD đoạn xuống dốc Biết AB 2DE; BC DE; DE 2CD Vận tốc ô tô đường 40km/h, lên dốc 30km/h xuống dốc 60km/h Thời gian từ A đến E trở A 45 phút Tính quãng đường AE Hướng dẫn giải – đáp số Nếu từ E trở DC đoạn lên dốc, CB đoạn xuống dốc Vận tốc lên dốc 30km/h xuống dốc 60km/h Tổng thời gian lẫn 45 phút Từ có cách giải: Gọi quãng đường DE dài x km (x > 0) đoạn đường AB 2x km; đoạn đường CB dài x km; đoạn CD = 0,5x Thời gian 45 phút = 3x 40 3x 240 31 trình: Ta có phương x 120 3x 40 x 60 3x 480 31 Giải phương trình tìm x = 40 thỏa mãn điều kiện ẩn Từ tìm quãng đường AE dài 155km 19.5 Một ca nô xi dịng sơng từ A đến B hết Sau ca nơ quay trở lại ngược từ B đến bến C nằm cách A khoảng AB hết 24 phút Tính độ dài đoạn sông từ A đến B biết khóm bèo trơi đoạn sơng 12 phút 400m Hướng dẫn giải – đáp số Vận tốc bèo trơi vận tốc dịng nước Nếu tính vận tốc riêng ca nơ ta tính độ dài quãng sông AB, nên ta chọn ẩn cách gián tiếp Ca nô ngược quãng sông AB hết 24 phút, ta tính thời gian ca nô ngược hết quãng sông BA Quãng sông AB BA, ta dựa vào để lập phương trình có cách giải sau: Vận tốc bèo trơi vận tốc dịng nước Ta có 12 phút = 0,2 giờ; 400 m = 0,4km Vậy vận tốc dòng nước 0,4: 0,2 = 2(km/h) Gọi vận tốc riêng ca nô x km/h ( x > 2) Vận tốc ca nô xuôi x km/h ngược x km/h Ca nô ngược quãng sông AB hết 24 phút = 2,4 vận tốc ngược ca nô hết quãng sông AB hết (2,4: 2) = 3,6 (giờ) Theo ta có phương trình: x 3,6 x Giải phương trình x = 22 thỏa mãn điều kiện ẩn Vậy quãng sông AB dài 3.(22 + 2) = 72 (km) * Chú ý: Cách khác: Ta biết vx xuôi 2vdn nên gọi quãng sông AB dài x km vận tốc ca nơ x 12 (km/h), vận tốc ca nô ngược x : 3 x 5x ta có phương trình 18 5x 18 Giải x = 72 19.6 Một ô tô đoạn đường MN với vận tốc 60km/h 3 đoạn đường MN lại với vận tốc 40km/h Tính vận tốc trung bình tơ đoạn đường Hướng dẫn giải – đáp số Vận tốc trung bình tơ đoạn đường bàng độ dài đoạn đường chia cho thời gian ô tô hết đoạn đường Thời gian ô tô hết đoạn đường tổng thời gian ô tô phần đoạn đường Ta có cách giải sau: Ta đặt đoạn đường MN a đoạn đường cịn lại 2a Đoạn đường MN 3a Gọi vận tốc trung bình tơ đoạn đường x km/h (40 < x < 60) thịi gian tơ hết đoạn đường Thịi gian ô tô 3a (giờ) x a đoạn đường MN đầu (giờ) 60 Thời gian ô tơ đoạn đường cịn lại Ta có phương trình: a 60 2a 40 3a x 60 2a (giờ) 40 20 x Giải phương trình ta tìm x = 45 thỏa mãn điều kiện ẩn Vậy vận tốc trung bình tơ đoạn đường 45 km/h Dạng toán suất lao động 19.7 Ba tổ sản xuất giao làm số sản phẩm, số sản phẩm tổ II giao gấp đôi tổ 1, số sản phẩm tổ III giao gấp đôi tổ II Do cải tiến kỹ thuật nên tổ I sản xuất vượt mức 30% kế hoạch, tổ II sản xuất vượt mức 20% kế hoạch, tổ III sản xuất vượt mức 10% kế hoạch Do số sản phẩm vượt mức kế hoạch ba tổ 220 sản phẩm Tính số sản phẩm tổ giao theo kế hoạch Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: Số sản phẩm vượt mức = Số % vượt mức x số sản phẩm theo kế hoạch Từ đó: Gọi số sản phẩm giao tổ I x sản phẩm (x > 0) số sản phẩm giao tổ II 2x sản phẩm, tổ III 4x sản phẩm  Số sản phẩm vượt mức tổ I 30% x, tổ II 20% 2x, tổ III 10% 4x Theo ta có phương trình: 30%x + 40% x + 40% 1x = 220 Giải phương trình x = 200 thỏa mãn điều kiện ẩn Vậy: Số sản phẩm giao: Tổ I: 200 sản phẩm; Tổ II: 400 sản phẩm; Tổ III: 800 sản phẩm 19.8 Một xí nghiệp khí giao sản xuất 500 máy bơm nước thời gian định Do cải tiến kỹ thuật tăng suất lao động, ngày xí nghiệp sản xuất thêm máy bơm nên xí nghiệp hồn thành cơng việc sớm ngày mà sản xuất thêm 70 máy bơm Hỏi số máy bơm dự định sản xuất ngày số ngày dự định theo kế hoạch ban đầu Hướng dẫn giải – đáp số Số máy bơm sản xuất = Số máy bơm sản xuất ngày x Số ngày sản xuất Từ đó: Gọi số máy bơm dự định sản xuất ngày x x N * số ngày dự định làm 500 (chiếc), số máy bơm thực làm 500 + 70 = 570 (chiếc) Số máy bơm x thực sản xuất ngày x + (chiếc), số ngày thực làm trình: 500 x 570 (ngày) Ta có phương x 570 x Giải phương trình: x 75 x 2500 x 25 x 100 x x 25 100 Ta có x = 25 thỏa mãn điều kiện ẩn Vậy Số máy bơm dự định sản xuất ngày 25 Số ngày dự định làm 500 25 20 (ngày) 19.9 Hai đội công nhân dự kiến làm đường sau 20 ngày xong Hai đội làm chung ngày đội I chuyển sang làm việc khác Đội II tiếp tục làm 10 ngày điều động làm việc khác Đội trở lại tiếp tục làm 28 ngày xong đường Hỏi làm đội làm ngày xong đường Hướng dẫn giải – đáp số Đây loại tốn suất lao động, khối lượng cơng việc đường Ta biết: Khối lượng công việc (K) = Thời gian hồn thành cơng việc (t) x Năng suất lao động Đoạn đường hai đội làm chung ngày cộng đoạn đường đội II làm 10 ngày tiếp đoạn đường (N) đội I trở lại làm 28 ngày đường cần làm Ta có cách giải sau Hai đội làm chung ngày đường Gọi thời gian đội II làm xong 20 đường X ngày (x > 20) Thì ngày đội II làm đường; đội I làm x 20 x đường Ta có phương trình: 20 10 x 28 20 x Giải phương trình tìm x = 30 thỏa mãn điều kiện Vậy thời gian làm xong đường đội II 30 ngày Từ tìm thời gian làm xong đường đội I 60 ngày 19.10 Hai vòi nước chảy vào bể cạn sau bể đầy Nhưng sau vịi thứ chảy giờ, vịi thứ hai chảy hai vịi chảy sau 20 phút bể đầy Hỏi vòi chảy sau bể đầy? Hướng dẫn giải – đáp số Khối lượng công việc cụ thể bể nước (lượng nước đầy bể) Hai vòi chảy bể nước Nếu vịi chảy sau x đầy bể lượng nước chảy bể Ta có lượng nước vịi chảy + lượng nước vòi II chảy + lượng x nước vòi chảy 20 phút = (bể) Ta có cách giải sau:  Giải 20 phút = Một hai vòi chảy bể Gọi thời gian vòi I chảy đầy bể x (x > 4), vịi I chảy 1 bể; vịi II chảy x Ta có phương trình x x bể; x Giải phương trình tìm x = thỏa mãn điều kiện Đáp số: Thịi gian chảy đầy bể cùa vòi I giờ,6vòi II 12 19.11 Một bể nước có hai vịi nước chảy vào vịi chảy vào sau bể đầy Vòi III chảy bể kể từ đáy.Vòi I chảy lượng nước bể Lúc 12 đầu bể cạn, mở ba vịi sau 48 phút bể đầy Hỏi vòi thứ hai chảy vào thỉ sau bể đầy? Hướng dẫn giải – đáp số Vòi III 1 bể nước (từ đáy) nên lúc đầu hai vòi I II chảy để đầy bể nước Sau 3 vòi chảy đầy bể lại lượng nước bể thêm tổng lượng nước hai vòi chảy vào trừ lượng nước chảy Thời gian hai vòi chảy đầy thời gian ba vòi chảy đầy bể nước 14 bể nước 48 phút = Ta có cách giải sau Gọi thời gian vịi thứ hai chảy vào đầy bể x (x > 0) Suy vòi thứ hai chảy 1 bể Một vịi I chảy bể x Một hai vòi chảy bể x Ba vòi chảy lượng nước bể cịn Ta có phương trình : 1 : x : x x 12 x 14 Giải phương trình ta có: 19x2 30x 504 x 19x 84 Tìm x = thỏa mãn điều kiện Vậy thời gian chảy đầy bể vịi II Dạng tốn có nội dung số học - Tốn cổ 19.12.Một số có hai chữ số, chữ số hàng chục lớn chữ số hàng Nếu đổi chỗ hai chữ số số lớn đơn vị đơn vị số ban đầu 37 đơn vị Tìm số cho Hướng dẫn giải – đáp số Bài toán liên quan đến cấu tạo số Số có hai chữ số ab 107a b ; Đổi chỗ số ba 10b a với a, b ;0 a Gọi chữ số hàng chục x x Số cho: x x 10x 9; ;3 b x ) Ta có cách giải: chữ số hàng đơn vị x x ; Đổi chỗ chữ số: x x 10 x x Ta có phương trình 10 x x 10x x 3 37 Giải phương trình x = phù hợp điều kiện ẩn Số cần tìm 96 19.13 Một số có bốn chữ số có chữ số hàng đơn vị Nếu chuyển lên đầu số có chữ số Tổng hai số có chữ số 8217 Tìm số cho Hướng dẫn giải – đáp số Bài toán liên quan đến cấu tạo số Số có bốn chữ số mà chữ số hàng đơn vị là abc6 10.abc Chuyển lên đầu số 6abc 6000 abc với a, b, c ) Từ có cách giải: Gọi số có ba chữ số đứng trước số x x ;99 ; 0 0), bán kính sau kéo dài x (cm) Chu vi đường tròn ban đầu  2x (m); Chu vi đường tròn  2x  x sau  90 2x x  x 5 (m); Ta 90 Giải phương trình tìm x = 20 thỏa mãn điều kiện ẩn có phương trình: Vậy bán kính đường trịn ban đầu 20 cm 19.18 Hòa khối lượng dung dịch NaCl loại I có nồng độ 30% với khối lượng dung dịch NaCl loại II có nồng độ 25% l000g hỗn hợp dung dịch NaCI có nồng độ 27% Tính khối lượng dung dịch NaCl loại Hướng dẫn giải – đáp số Nồng độ phần trăm (C%) dung dịch so gam chất tan chứa 100 gam dung dịch C% mct 100% mdd Khối lượng NaCl dung dịch loại + Khối lượng NaCl dung dịch loại II = Khối lượng NaCl 1000 gam dung dịch nồng độ 27% Ta có cách giải: Gọi khối lượng dung dịch NaCl loại I x gam (0 < x < 1000) Gọi khối lượng dung dịch NaCl loại II 1000 x (gam) Ta có phương trình: 30%x 25% 1000 x 27%.1000 Giải phương trình tìm x = 400 thỏa mãn điều kiện ẩn Vậy khối lượng dung dịch NaCl loại I 400g; loại II 600g 19.19 Pha 10kg nước nóng nhiệt độ 90 C với 5kg nước 24 C Tìm nhiệt độ cuối nước (bỏ qua nhiệt) Hướng dẫn giải – đáp số Bài tốn liên quan đến việc tìm nhiệt lượng tỏa ra, thu vào nước theo cơng thức Qtỏa C.m t2 t1 Qthu C.m t1 t2 với C nhiệt dung riêng nước, m khối lượng nước Nhiệt lượng tỏa 10kg nước 90 C nhiệt lượng thu vào 5kg nước 24 C Ta có cách giải: Gọi t (độ C) nhiệt độ cuối nước sau pha (24 < t < 90) Nhiệt lượng thu vào 5kg nước lượng tỏa 10kg nước 90 C C.10 90 t (J) nhiệt 24 C C.5 t 24 (J) Ta có phương trình C.10 90 t C.5 t 24 10 90 t t Giải phương trình t = 68 thỏa mãn điều kiện ẩn Vậy nhiệt độ cuối sau hòa nước 68 C Dạng toán tổng hợp, toán nâng cao 24 19.20 100 gà, vịt, thỏ, chó Vừa đủ 290 chân Số vịt số thỏ Số thỏ nửa số chó Hỏi vịt, gà Và chó, thỏ? Hướng dẫn giải – đáp số Một đại lượng tốn khơng cho coi biết, gà vịt có chân; chó thỏ có chân Số vịt + số gà + số thỏ + số chó = 290 Số chân vịt + số chân gà + số chân thỏ + số chân chó = 290 Ta có cách giải: Gọi số vịt x (0 < x < 100) số thỏ x con, số chó 2x con, số gà 100 4x (con) Ta có phương trình: 2x 4x 8x 100 x 290 Giải phương trình x = 15 thỏa mãn điều kiện ẩn Vậy số vịt 15 con; số gà 40 con; số thỏ 15 con; số chó 30 19.21 Cha 30 tuổi Trước năm tuổi cha gấp tuổi a) Tìm tuổi cha tuổi nay? b) Cách (trước sau) năm tuổi cha gấp 2,5 lần tuổi con? Hướng dẫn giải – đáp số Trong tốn tính tuổi, cha thêm tuổi thêm tuổi nên hiệu tuổi cha ln khơng đổi Ta có cách giải: Gọi tuổi x (tuổi; x > 0) tuổi cha x + 30 Trước năm tuổi tuổi cha x 30 x 26 Ta có phương trình: x 26 x a) Giải phương trình x = 14 thỏa mãn điều kiện ẩn Vậy tuổi 14 tuổi cha 44 b) Gọi y tuổi lúc tuổi cha gấp 2,5 tuổi (y > 0), cha 30 tuổi nên tuổi cha lúc y + 30 Ta có phương trình: y + 30 = 2,5y Giải phương trình tìm y = 20 thỏa mãn điều kiện ẩn Vậy sau 20 - 14 = năm tuổi cha gấp 2,5 lần tuổi  Ghi chú: a) Có thể chọn ẩn gián tiếp tuổi cha (hoặc con) tuổi cha gấp lần tuổi (bạn đọc tự giải) b) Nếu chọn z số năm từ đến tuổi cha gấp 2,5 lần tuổi (z > sau z năm, z < trước z năm) Ta có phương trình 2,5( 14 + z) = 44 + z ta tìm z =6 19.22 Một người trồng quýt, sau thu hoạch để lại nhà 10 lại đem chợ bán Lần thứ bán 1 số quýt lại Lần thứ hai bán tiếp 12 số quýt 6 lại Lần thứ ba bán tiếp 18 số quýt lại Cứ bán đến lần cuối vừa hết số quýt số quýt lớp trồng Tính qt mà người thu hoạch, số qt mồi lần bán số lần bán Hướng dẫn giải – đáp số Tương tự ví dụ 10 Đáp số: số quýt đem bán: 150 quả, số lần bán lần Số quýt thu hoạch: 160 19.23 Một tơn hình chữ nhật có chu vi 114cm Người ta cắt bỏ bốn hình vng có cạnh 5cm bốn góc gấp lên thành hình hộp chữ nhật (khơng có nắp).Tính kích thước tơn cho Biết thể tích hình hộp bàng 1500cm2 (Thi học sinh giỏi lớp tỉnh Quảng Nam, năm học 2008 - 2009) Hướng dẫn giải – đáp số Nửa chu vi tôn 57cm Gọi kích thước thứ tơn x (cm); (10 < x < 57) Thì kích thước thứ hai 57 x (cm) Sau gấp thành hình hộp chữ nhật, ba kích thước x 10 (cm); 47 x (cm); 5cm Ta có phương trình x 10 47 x 1500 x 35 x 22 x 35 x x2 57 x 770 22 Cả hai giá trị thỏa mãn Vậy kích thước tam tơn 35cm 22 cm 19.24 Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích 900m2 chu vi 122m Tìm chiều dài chiều rộng khu vườn (Thi học sinh giỏi lớp TP Đà Nẵng, năm học 2008 - 2009) Hướng dẫn giải – đáp số Nửa chu vi 61m Gọi chiều x (m) (0 < x < 61) chiều 61 x (m) Ta có phương trình x 61 x x 25 x 36 900 x x2 61x 900 25 x=36 Cả hai giá trị thỏa mãn Vậy chiều dài chiều rộng khu vườn 36m 25m 19.25 Tháng thứ hai tổ sản xuất 900 chi tiết máy Tháng thứ hai tổ I vượt mức 15% tổ II vượt mức 10% so với tháng thứ hai tổ sản xuất 1010 chi tiết máy Hỏi tháng thứ tổ sản xuất chi tiết máy? (Đề thi vào lớp 10 trường THrT Chu Văn An Hà Nội - Amsterdam năm học 2008-2009) Hướng dẫn giải – đáp số Gọi số chi tiết máy tháng thứ tổ I sản xuất x (chi tiết máy, < x < 900) tổ II sản xuất 900 x (chi tiết máy) Ta có phương trình: 115% x 110% 900 x 1010 hay 115x 100 110 900 100 x 1010 Giải phương trình tìm x = 400 Vậy tháng thứ tổ sản xuất 400 chi tiết máy tổ II sản xuất 500 chi tiết máy 19.26 Một máy bay trực thăng bay từ A đến B cách 960km với vận tốc 280 km/h Khi bay từ A đến B bị gió cản nên thời gian bay phải nhiều so với thời gian bay từ B đến A (do gió đẩy) Tìm vận tốc gió (Đề thi vào lớp 10 chun Tốn trường THPT chuyên Quang Trung, Bình Phước năm học 2009 - 2010) Hướng dẫn giải – đáp số3 Gọi vận tốc gió x (km/h), < x < 280 Thời gian bay từ A đến B gian bay từ B đến A x2 1920x 78400 960 960 (h) Ta có phương trình: 280 x 280 x 960 280 x 960 (h) Thời 280 x biến đổi thành x 40 x 1960 Nghiệm x = 40 thỏa mãn điều kiện đầu Vậy vận tốc gió 40km/h 19.27 Hai người cơng nhân làm cơng việc 18 xong Nếu người thứ làm người thứ hai làm 12 hồn thành 50% cơng việc Hỏi lảm riêng người hồn thành cơng việc bao lâu? (Đề thi vào lớp 10 trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội, nám học 2009 - 2010) Hướng dẫn giải – đáp số Gọi thời gian làm xong cơng việc người thứ x (x > 0) người làm cơng việc x Một người thứ hai làm x 12 18 x x 18 cơng việc Theo ta có phương trình: x 36 Người thứ làm 36 xong cơng việc Người thứ hai làm 1: 18 36 36 (giờ) xong công việc 19.28 Một nhóm cơng nhân đặt kế hoạch sản xuất 200 sản phẩm Trong ngày đầu họ thực mức đề ra, ngày lại họ làm vượt mức ngày 10 sản phẩm nên hoàn thành kế hoạch sớm ngày Hỏi theo kế hoạch ngày nhóm cơng nhân cần sản xuất sản phẩm? (Đề thi vào lớp 10 trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội, năm học 2011 - 2012) Hướng dẫn giải – đáp số Gọi suất dự kiến x (sản phẩm/ngày) x N * Thời gian hoàn thành theo kế hoạch 200 (ngày) Bốn ngày đầu họ làm 4x sản phẩm Những ngày sau suất (x + 10) x sản phầm/ngày số ngày hồn thành số sản phẩm cịn lại 200 x Theo ta có phương x 10 trình: 200 x 200 x x 10 Biến đổi phương trinh thành x2 30x 1000 x 20 x 50 20 x x N * Vậy suất dự kiến 20 sản phẩm/ngày 19.29 Một người xe đạp từ A đến B cách 36 km Khi từ B trở A người tăng vận tốc thêm 3km/h, thời gian thời gian 36 phút Tính vận tốc người xe đạp từ A đến B (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên tinh Bắc Ninh, năm học 2013 - 2014) Hướng dẫn giải – đáp số Gọi vận tốc người xe đạp từ A đến B x (km/h), x > Ta có phương trình 36 x 36 x 36 Biến đổi thành x 60 x 12 x 15 3x 180 0 Nghiệm x = 12 thỏa mãn điều kiện Vậy vận tốc người xe đạp từ A đến B 12 km/h 19.30 Cho quãng đường AB dài 120km Lúc sáng xe máy từ A đến B Đi quãng đường xe bị hỏng phải dừng lại sửa 10 phút tiếp đến B với vận tốc nhỏ vận tốc lúc đầu 10km/h Biết xe máy đến B lúc 11giờ 40 phút trưa ngày Giả sử vận tốc xe máy quãng đường ban đầu không thay đổi vận tốc xe máy qng 4 đường cịn lại khơng thay đổi Hỏi xe máy bị hỏng lúc giờ? (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên ĐHSP Hà Nội, năm học 2014 - 2015) Hướng dẫn giải – đáp số Nếu C vị trí xe máy bị hỏng AC = 90km; CB = 30km Gọi vận tốc (km/h) xe máy từ A đến C x, x > 10 vận tốc xe máy từ 90 30 C đến B x 10 (km/h) Xe máy quãng đường AC hết x5 (h) CB hết (h) x 10 Thời gian sửa xe máy 10 phút = 40 phút = x 30 3x h Thời gian xe hết quãng đường AB (kể sửa xe) 14 h Biến đổi thành 3x2 110x 20 Nghiệm x 600 30 thỏa mãn điều kiện Thời gian từ A đến C 90 : 30 h Thời điểm bị hỏng xe lúc 10 sáng ngày 19.31 Một xe tải từ A đến B với vận tốc 40km/h Sau xe tải xuất phát thời gian xe khách xuất phát từ A với vận tốc 50km/h khơng có thay đổi duổi kịp xe tải B Nhưng sau nửa quãng đường AB xe khách tăng vận tốc lên 60km/h nên đến B sớm xe tải 16 phút Tính quãng đường AB (Đề thi tuyển vào lớp 10 chuyên ĐHSP TP Hồ Chí Minh, năm học 2015-2016) Hướng dẫn giải – đáp số Gọi quãng đường AB dài x km, x > Thời gian xe tải hết quãng đường AB Thời gian dự kiên xe khách từ A đến B so với xe tải x 40 Ta có phương trình x (h) Thời gian xuất phát sau xe khách 50 x x Thời gian xe khách thực tế 50 50 x 40 x 100 x 120 15 x 40 x (h) 40 x 50 x x h h ; 16 phút = 15 60 160 thỏa mãn điều kiện Vậy quãng đường AB dài 160 km ... hoàn thành số sản phẩm lại 200 x Theo ta có phương x 10 trình: 200 x 200 x x 10 Biến đổi phương trinh thành x2 30x 1000 x 20 x 50 20 x x N * Vậy suất dự kiến 20 sản phẩm/ngày 19.29 Một người xe