Đặc điểm hình học của những hình cùng diện tích và việc nhận dạng phân số

TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Trần Đức Thuận _ ĐẶC ĐIỂM HÌNH HỌC CỦA NHỮNG HÌNH CÙNG DIỆN TÍCH VÀ VIỆC NHẬN DẠNG PHÂN SỐ TRẦN ĐỨC THUẬN * TĨM TẮT Trong chương trình Tốn tiểu học, diện tích vừa có vai trị đối tượng kiến thức cần dạy học, vừa có vai trị cơng cụ hỗ trợ hình thành kiến thức khác, có phân số Bài viết trình bày kết nghiên cứu đặc điểm hình học hình có diện tích với việc nhận dạng phân số Phân số “một phần ba” lựa chọn để khảo sát Từ khóa: đặc điểm hình học, diện tích, phân số, công cụ, đối tượng ABSTRACT Geometric characteristics of equivalent areas and the identification of fractions In mathematics program for elementary students, area has two roles: object of knowledge taught and learnt, and tools supporting other knowledge, including fractions This article presents the results of research on the geometric characteristics of equavalent areas and the identification of fractions Fraction "one third" was selected for this research Keywords: geometric characteristics, area, fraction, tool, object Đặt vấn đề Trong luận án Dạy học chủ đề phân số trường tiểu học thơng qua hoạt động giải tốn, Dương Hữu Tịng (2014) ([7], tr 80) đề cập đến mơ hình diện tích cách tiếp cận “số phần / tồn thể” Cơng trình diện tích, hình vẽ cơng cụ hữu ích giúp hình thành khái niệm phân số Những hình ban đầu thường chia thành nhiều phần hình dạng (và hiển nhiên diện tích) tơ màu phần nhỏ theo cách lựa chọn đặc biệt: thẳng hàng thẳng cột Dạng tốn cho học sinh tự tơ màu phần tư hình vng ([7], tr 110) đưa đến phần diện tích học sinh tơ màu có đặc điểm khơng đặc biệt giáo viên mong đợi Bài báo tìm hiểu trường hợp học sinh tự tô màu “một phần ba” với cơng cụ didactics Tốn Lí thuyết Nhân học, Lí thuyết tình huống, Hợp đồng didactic (tham khảo [1]) Sơ nét nội dung Diện tích Phân số sách Toán tiểu học Việt Nam 2.1 Diện tích Diện tích đưa vào giảng dạy từ lớp 3, Diện tích hình [4, tr.150] nhằm giúp học sinh làm quen với khái niệm diện tích, dù khơng có định nghĩa thức diện tích đưa Các đơn vị đo diện tích giới thiệu lớp (cm2), lớp (dm2, m2, km2), lớp (dam2, hm2, mm2) * ThS, Trường Đại học Sư phạm TPHCM; Email: thuantd@hcmup.edu.vn 49 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 7(85) năm 2016 _ Các quy tắc (bằng lời) tính diện tích hình chữ nhật, hình vng hình thành lớp Các cơng thức tính diện tích hình tứ giác đặc biệt thiết lập lớp (hình bình hành, hình thoi), lớp (hình tam giác, hình thang) Cơng thức tính diện tích hình trịn giới thiệu lớp 2.2 Phân số Việc dạy học phân số tiểu học chia thành hai giai đoạn Giai đoạn chuẩn bị lớp 2, có phần hai, phần ba Giai đoạn thức tập trung chủ yếu lớp với hình thành phân số (phân số có tử bé mẫu số), mối liên hệ phân số phép chia số tự nhiên (nhằm bổ sung phân số có tử số lớn mẫu số), so sánh phân số, quy đồng mẫu số, rút gọn phân số, quy tắc thực phép tính cộng, trừ, nhân, chia phân số… Ở lớp 5, học sinh ôn tập phân số sau chuyển sang học số thập phân Do mục tiêu báo nhắm đến việc nhận dạng phân số tương ứng với phần diện tích tơ màu nên phần phân tích tập trung vào việc hình thành khái niệm phân số có tử số nhỏ mẫu số a) Một phần đơn vị lớp 2, lớp Với chuỗi phần đơn vị, sách Tốn có Một phần hai, Một phần ba, Một phần tư, Một phần năm liền sau Bảng chia cho số tương ứng Tốn khơng thiết kế thành riêng biệt Toán mà giới thiệu phần sáu, phần bảy, phần tám, phần chín thơng qua tập Các Một phần hai, Một phần ba, Một phần tư, Một phần năm lớp có cấu trúc giống với ba tập nhận dạng hình sau phần hình thành kiến thức mới: Hình Hình thành khái niệm phần ba ([3], tr 114) Phần hình thành khái niệm “một phần ba” ([3], tr 114) ghi rõ: “Chia hình vng thành ba phần Lấy phần, phần ba hình vng” Tuy nhiên, lớp lớp giới thiệu khái niệm phần có tập liên quan đến phần Điều có nghĩa giáo viên cần giải thích cho học sinh biết phần trình chia hình kế thừa vốn hiểu biết, kinh nghiệm sống sẵn có học sinh b) Phân số có tử nhỏ mẫu lớp Phân số có tử số nhỏ mẫu số thức hình thành lớp 4, qua Phân số ([5], tr 114) Cụm từ “chia hình… thành… phần nhau” tiếp tục sử dụng, khai thác vốn kinh nghiệm sẵn có học sinh 50 Trần Đức Thuận TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ Hình Hình thành khái niệm phân số ([5], tr 114) Giả thuyết nghiên cứu Với m < n, ta có quy tắc hành động ứng với hai kiểu nhiệm vụ ngược nhau: - Kiểu nhiệm vụ tô màu m hình trắng: chia hình lớn thành n phần (gấp, n kẻ đường phụ…)  chọn tô màu m phần - Kiểu nhiệm vụ nhận dạng phần tơ màu có m hình: n Chia thành phần? Khác n n Các phần nhau? Khác Bằng Tô màu phần? Khác m m Có Khơng Từ phân tích cách hình thành phân số có tử số nhỏ mẫu số sách giáo khoa, giả thuyết nghiên cứu H hình thành: H: “Đặc điểm hình học hình chia, phần diện tích tơ màu ảnh hưởng đến việc nhận dạng phân số”, nghĩa là: tồn quy tắc hợp đồng: R: “Người nhận dạng phân số trách nhiệm chia lại hình ban đầu”, máy photocopy bảo tồn đường kẻ mực, khơng bảo tồn nếp gấp hình gốc Thực nghiệm 4.1 Mục tiêu: Kiểm chứng giả thuyết H quy tắc hợp đồng R nêu 4.2 Nội dung thực nghiệm: Nội dung thực nghiệm toán cải biên từ hình A, tập “Một phần ba” ([3], tr 114): 51 Số 7(85) năm 2016 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ Hình Bài tập 1, Một phần ba ([3], tr 114) Nội dung thực nghiệm: trả lời câu hỏi Nam tơ màu hình nào? phương thức đánh dấu vào lựa chọn tương ứng (Có/Khơng) giải thích Lí lựa chọn trường hợp sau: Hình A Hình D Hình B Hình C Hình E Các biến giá trị lựa chọn: - Câu hỏi toán: sử dụng câu hỏi dạng tập ([3], tr 114) Đã tô màu hình nào? thay câu hỏi dạng tập ([3], tr 114) Hình có số ô vuông tô màu? Câu hỏi thực nghiệm khơng có từ “số” nhằm hạn chế tính tốn - Đặc điểm hình: tất hình chữ nhật lớn có kích thước, tơ màu phần ba diện tích khác biệt cách tơ đường kẻ phụ Chỉ riêng hình E có cách tơ màu khác biệt với hình trước Các hình A, B, C, D tơ màu giống hệt nhau, khác cách chia hình chữ nhật, nghĩa đặc điểm hình học hình khác Hình A chia thành 02 phần không Các phiếu photo khiến nếp gấp hình A khơng bảo tồn Hình B chia thành 03 phần diện tích; với 01 hình chữ nhật tơ 02 hình 52 Trần Đức Thuận TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ vng khơng tơ Hình C chia thành 03 hình chữ nhật Hình D, hình E chia thành 12 hình vng tơ màu 04 hình vng 4.3 Phân tích tiên nghiệm  Các chiến lược nhận dạng phần tô màu xuất Để nhận dạng “một phần ba”, chiến lược nhận dạng xoay quanh cách giới thiệu khái niệm “một phần ba” sách giáo khoa: “hình chia thành phần tơ màu phần” ([3], tr 114) Nhóm chiến lược giữ nguyên cách chia hình (SG-) Chiến lược SG-0: chia thành n hình (khơng thiết nhau), chọn hình “một phần n” Sự phần chia không quan tâm Chiến lược SG-Đ: tuân theo định nghĩa (thuần hình học), quy trình nhận dạng mục nêu mà khơng có phân chia lại hình Khi đó, hình khơng chia thành phần (Hình A, Hình D, Hình E), phần chia khơng hình dạng (Hình B) nhận câu trả lời “Khơng” Chiến lược SG-S: vận dụng tính tốn số học kiến thức rút gọn phân số, hai phân số nhau: 1  ; cách tìm phân số số, cụ thể: 12 ô 12 3 vuông ô vuông để trả lời “Có” cho Hình D, E Nhóm chiến lược thay đổi cách chia hình (ST-) Chiến lược ST-Đ: quan tâm đến phần (diện tích) tơ màu, tự điều chỉnh cách chia nhỏ hình (thay đổi / thêm / bớt đường kẻ phụ) để hình ban đầu chia thành phần với 01 phần tô màu, sau trả lời dựa vào phần giới thiệu khái niệm ([3], tr 114) Khi đó, Hình A, B, C, D nhận câu trả lời “Có”  Dự kiến câu trả lời xuất Bảng Dự kiến câu trả lời xuất Chiến lược SG-0 SG-Đ SG-S ST-Đ Hình A Khơng Khơng Hình B Có Khơng Hình C Có Có Có Có Có Hình D Khơng Khơng Có Có Hình E Khơng Khơng Có Khơng Hình A chia thành 02 phần khơng Dự đốn khả “Khơng” chọn nhiều Hình B chia thành 03 phần diện tích, với 01 hình chữ nhật tơ màu 02 hình vng khơng tơ màu Dự đốn chọn “Khơng” nhiều Hình C chia thành 03 hình chữ nhật Dự đốn khả “Có” chọn nhiều Hình D, Hình E chia thành 12 hình vng tơ màu 04 hình vng Dự đốn khả “Có” chọn nhiều nhờ chiến lược SG-S 53 Số 7(85) năm 2016 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ 4.4 Kết thực nghiệm, phân tích hậu nghiệm Kết khảo sát với 78 giáo viên tiểu học (GV), 94 học sinh tiểu học (HS) 100 sinh viên ngành giáo dục tiểu học (SV) sau: Bảng Các câu trả lời đối tượng tham gia khảo sát Đối tượng 78 GV 94 HS 100 SV Hình A C K Hình B C K Hình C C K SL 22 56 23 53 78 % 28,2% 71,8% 29,5% 69,7% 100% SL 11 83 46 47 92 % 11,7% 88,3% 48,9% 50,0% 97,9% SL 25 75 28 72 100 % 25,0% 75,0% 28,0% 72,0% 100% 0,0% 2,1% 0,0% Hình D C K Hình E C K 75 72 96,2% 3,8% 92,3% 7,7% 46 48 31 63 48,9% 51,1% 33,0% 67,0% 72 28 62 38 72,0% 28,0% 62,0% 38,0% Có 02 giáo viên 01 học sinh không đưa câu trả lời cho hình B Biểu đồ Biểu đồ thể tỉ lệ % trả lời “Có” tơ màu phần ba hình 100.0% 90.0% 80.0% 70.0% 60.0% GV 50.0% HS 40.0% SV 30.0% 20.0% 10.0% 0.0% Hình A Hình B Hình C Hình D Hình E Bảng thống kê Biểu đồ cho thấy: Trong số hình có phần diện tích tơ màu, chí tơ màu giống hệt nhau, hình có đặc điểm hình học phù hợp với cách giới thiệu khái niệm phần ba Hình C tạo điều kiện cho gần toàn người khảo sát đưa câu trả lời đúng, đạt tỉ lệ xấp xỉ 100% Việc thiếu vắng đường kẻ phụ Hình A, đường kẻ phụ tạo hình diện tích khác hình dạng Hình B gây nhiều khó khăn cho người nhận dạng Ở ba nhóm giáo viên, học sinh, sinh viên, tỉ lệ khẳng định “Có tơ màu phần ba” 50%, chí 30% Dù đặc điểm hình học Hình D, Hình E khơng trùng với cách giới thiệu khái niệm, xuất vng đơn vị nhìn chung tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho câu trả lời “Có tơ màu phần ba”, tỉ lệ giáo viên thừa nhận “Có” đạt 90%, tỉ lệ sinh viên thừa nhận 54 Trần Đức Thuận TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ “Có” đạt 60% Sự xuất lưới ô vuông đơn vị tạo điều kiện cho tỉ lệ học sinh trả lời “Có” Hình D, Hình E nhiều so với Hình B, Hình A Đặc biệt, có giáo viên (chiếm 9,0%), 13 học sinh (chiếm 13,8%), sinh viên (chiếm 7,0%) có thay đổi phương án trả lời Hình A; với giáo viên, 12 học sinh, sinh viên thay đổi câu trả lời từ “Có” sang “Khơng” Với hình B, có thay đổi câu trả lời giáo viên (chiếm 3,8%), 13 học sinh (chiếm 13,8%), sinh viên (chiếm 9,0%); giáo viên, 12 học sinh, sinh viên định chọn “Khơng” sau lựa chọn “Có” ban đầu Tổng số câu trả lời có thay đổi phương án Hình D 22 Hình E 12, hầu hết đổi từ “Khơng” sang “Có” Đặc điểm hình học “bất thường” hình lựa chọn khảo sát gây lúng túng cho người nhận dạng, dù học sinh, sinh viên hay chí giáo viên Có lẽ, nhiều người nhận dạng thay đổi câu trả lời họ nhận phải có lời giải thích phù hợp theo chiến lược khơng lựa chọn “Có” / “Khơng” dựa vào trực giác, cảm tính Bảng Các chiến lược trả lời 78 giáo viên tiểu học tham gia khảo sát Chiến lược SG-0 SG-Đ SG-S ST-Đ Khơng rõ Tổng Hình A 52 20 78 Hình B 53 12 78 Hình C 73 0 78 Hình D 64 78 Hình E 70 78 Tổng 14 184 134 40 18 390 Chiến lược trả lời xác định dựa vào phần giải thích Lí lựa chọn Kết cho thấy: Hầu hết giáo viên (trung bình 76,1%) dựa vào hình mẫu sách Tốn ([2], tr.114), chiến lược SG-Đ, để trả lời cho Hình A, B, C Tuy nhiên, có xuất vng đơn vị (Hình D, E), chiến lược tính tốn số học SG-S hầu hết (85,9%) giáo viên sử dụng Chỉ có trung bình khoảng 17,1% giáo viên gợi ý thêm / bớt đường kẻ phụ, tạo ba phần trường hợp Hình A, B, D để kết luận phần ba hình chữ nhật tô màu (chiến lược ST-Đ) Một số giáo viên thêm: Học sinh cần tô màu hàng ngang, không tô màu khác hàng Bảng Các chiến lược trả lời 94 học sinh tiểu học tham gia khảo sát Chiến lược SG-0 SG-Đ SG-S ST-Đ Không rõ Tổng Hình A 43 30 12 94 Hình B 34 44 4 94 Hình C 36 43 94 Hình D 25 18 25 17 94 Hình E 24 18 27 23 94 Tổng 162 153 66 20 69 470 55 Số 7(85) năm 2016 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ Học sinh có xu hướng dựa vào cách giới thiệu dựa vào cách giới thiệu khái niệm để trả lời (153 lượt học sinh theo chiến lược SG-Đ) Tuy nhiên, có đến 162 lượt học sinh không ý đến phần sau chia (chiến lược SG-0), đưa đến lời giải thích chưa thật xác Sự thiếu quan tâm đến tính “bằng nhau” phần cho phép giải thích ngun nhân có đến gần 50% học sinh chọn phương án “Có” cho trường hợp Hình B Như vậy, giáo viên cần ý đến việc hướng dẫn học sinh kiểm tra lại phần sau chia Sự xuất lưới ô vuông tạo điều kiện cho 52 lượt học sinh thực chiến lược SG-S Hình D, E Điều đáng ý 14 lượt học sinh cố gắng thực tính tốn số học Hình A, B, C Chỉ có 20 lượt học sinh (chiếm tỉ lệ trung bình 5,3%) thực chia lại kẻ phụ để hình thành ba phần (chiến lược ST-Đ) Hình A, B, D, E Bảng Các chiến lược trả lời 100 sinh viên giáo dục tiểu học tham gia khảo sát Chiến lược SG-0 SG-Đ SG-S ST-Đ Không rõ Tổng Hình A 74 24 100 Hình B 10 72 16 100 Hình C 98 0 100 Hình D 26 59 13 100 Hình E 32 62 100 Tổng 13 302 121 55 500 Số lượt sinh viên chia lại hình cách thêm / bớt đường kẻ phụ (chiến lược ST-Đ) 55 lượt, chiếm tỉ lệ trung bình 13,8% Hầu hết sinh viên bám sát định nghĩa để trả lời, thể qua 302 lượt (chiếm tỉ lệ 60,4%) lựa chọn chiến lược SG-Đ Sự xuất lưới vng đơn vị Hình D, E tạo điều kiện cho 121 lượt sinh viên chọn chiến lược SG-S để tính tốn số học, xác định cần tô màu ô vuông xác định hai phân số Đáng ý, có sinh viên thực chia Hình B thành hình chữ nhật thực rút gọn “hai phần sáu” thành “một phần ba” Một số sinh viên sau tìm cần tơ màu vng Hình D, E có lưu ý thêm cần tơ màu hàng ngang, không tô màu khác hàng Nhìn chung, người tham gia nhận dạng sử dụng chiến lược SG-Đ trường hợp đầu chuyển sang chiến lược SG-S có xuất ô vuông đơn vị Tỉ lệ thực chia lại hình thấp, trường hợp khác thường (A, B, D, E) gây lúng túng cho người nhận dạng, cho phép hợp thức hóa quy tắc hợp đồng R giả thuyết nghiên cứu H Kết luận Kết nghiên cứu báo số điểm đáng lưu ý sau:  Diện tích cơng cụ, phương tiện hữu ích dạy học phân số  Sách giáo khoa Toán Việt Nam sử dụng khái niệm “hai phần nhau” 56 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Trần Đức Thuận _ khơng có giới thiệu thức “hai phần nhau”, “hai hình nhau” Kết khảo sát cho thấy 34% lượt học sinh tham gia thực nghiệm không ý đến việc kiểm tra phần, 3% lượt giáo viên tương lai không đề cập đến việc kiểm tra phần Giáo viên cần nhắc nhở học sinh lưu ý việc kiểm tra phần sau chia hình thành phần  Người học khơng có trách nhiệm phân chia lại hình ban đầu Do đó, đặc điểm hình học hình chia, phần diện tích tô màu ảnh hưởng đến việc nhận dạng phân số Những hình chia sẵn thành phần nhau, xuất lưới ô vuông đơn vị tạo điều kiện dễ dàng nhận dạng  Nếu sử dụng tập cho phép học sinh tự tô màu, giáo viên nên chia sẵn thành phần hình C, lưu ý học sinh vẽ đường kẻ phụ, tô màu thẳng hàng thẳng cột, tránh trường hợp lệch cột Hình E  Nhiều học sinh tiểu học tham gia khảo sát chưa học phân số nhau, quy tắc rút gọn phân số nên tỉ lệ học sinh tiểu học có xu hướng tính tốn số học, rút gọn phân số thấp so với sinh viên, giáo viên; 14% (học sinh) so với 24% (sinh viên) 34% (giáo viên) Có thể nhờ tính tốn số học, rút gọn phân số để nhận kết mà tỉ lệ giáo viên, sinh viên linh hoạt chia lại hình (10%) để hợp thức hóa kết phạm vi hình học cao so với học sinh (4%) TÀI LIỆU THAM KHẢO Annie Bessot - Claude Comiti, Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến (2009), Những yếu tố Didactic Toán, Nxb Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh Đỗ Đình Hoan (chủ biên) (2005), Tốn 1, Nxb Giáo dục Đỗ Đình Hoan (chủ biên) (2005), Toán 2, Nxb Giáo dục Đỗ Đình Hoan (chủ biên) (2005), Tốn 3, Nxb Giáo dục Đỗ Đình Hoan (chủ biên) (2006), Tốn 4, Nxb Giáo dục Đỗ Đình Hoan (chủ biên) (2008), Tốn 5, Nxb Giáo dục Dương Hữu Tòng (2014), Dạy học chủ đề phân số trường tiểu học thông qua hoạt động giải toán, Luận án Tiến sĩ, Trường Đại học Sư phạm TPHCM (Ngày Tòa soạn nhận bài: 07-3-2016; ngày phản biện đánh giá: 09-4-2016; ngày chấp nhận đăng: 22-7-2016) 57 ... phân tích cách hình thành phân số có tử số nhỏ mẫu số sách giáo khoa, giả thuyết nghiên cứu H hình thành: H: ? ?Đặc điểm hình học hình chia, phần diện tích tơ màu ảnh hưởng đến việc nhận dạng phân. .. chia phân số? ?? Ở lớp 5, học sinh ôn tập phân số sau chuyển sang học số thập phân Do mục tiêu báo nhắm đến việc nhận dạng phân số tương ứng với phần diện tích tơ màu nên phần phân tích tập trung vào... lớp với hình thành phân số (phân số có tử bé mẫu số) , mối liên hệ phân số phép chia số tự nhiên (nhằm bổ sung phân số có tử số lớn mẫu số) , so sánh phân số, quy đồng mẫu số, rút gọn phân số, quy