Một điều tra khoa học luận về các khái niệm độ dài, diện tích, thể tích

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH TẠP CHÍ KHOA HỌC HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION JOURNAL OF SCIENCE KHOA HỌC GIÁO DỤC EDUCATION SCIENCE ISSN: 1859-3100 Tập 15, Số (2018): 29-39 Vol 15, No (2018): 29-39 Email: tapchikhoahoc@hcmue.edu.vn; Website: http://tckh.hcmue.edu.vn MỘT ĐIỀU TRA KHOA HỌC LUẬN VỀ CÁC KHÁI NIỆM ĐỘ DÀI, DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH Trần Đức Thuận1*, Nguyễn Chí Thành2 Khoa Giáo dục Tiểu học - Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh Khoa Sư phạm - Trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội Ngày nhận bài: 22-02-2018; ngày nhận sửa: 09-4-2018; ngày duyệt đăng: 23-4-2018 TÓM TẮT Thực tiễn dạy học nghiên cứu nhiều vấn đề liên quan đến khái niệm độ dài, diện tích, thể tích Một điều tra khoa học luận đại lượng hình học thực cách tổng hợp cơng trình nghiên cứu khoa học luận có, nghiên cứu thêm lịch sử tốn học số giáo trình hình học Bài báo phạm vi tác động, toán gắn liền, đối tượng liên quan, cách tiếp cận đại lượng hình học Năm chướng ngại gắn với đại lượng hình học xác định, liên quan đến khái niệm vơ hạn, đặc trưng kép hình - số, miền hình, khái niệm nhau, định nghĩa đại lượng Từ khóa: khoa học luận, đại lượng hình học, độ dài, diện tích, thể tích ABSTRACT An epistemological investigation of concepts of length, area, volume Practical teaching and research have shown many issues related to the concepts of length, area, volume An epistemological investigation of geometric quantities was made by synthesizing existing epistemological studies, studying books of mathematical history and geometry The paper presents the scope of impact, problems involved, related objects and approaches to geometric quantities We also defined five obstacles associated with geometric quantities which are related to the infinite, interior domain, concept of equality, definition of geometric quantities Keywords: epistemological, geometric quantities, length, area, volume Đặt vấn đề Thực tiễn dạy học đại lượng hình học cho thấy số sai lầm mà học sinh tiểu học thường gặp, kể đến nhầm lẫn đơn vị đo đại lượng hình học; vận dụng khơng xác cơng thức để tính chu vi, diện tích, thể tích Việc vận dụng cơng thức tính thể tích vào giải toán thực tế liên quan đến thể tích số khối hình cụ thể gây khó khăn định với giáo viên tiểu học tương lai (Trần Đức Thuận, 2017a), với nhiều học sinh giáo viên tiểu học (Trần Đức Thuận, 2017b) Những vấn đề liệt kê bắt nguồn từ quan niệm người dạy, người học khái niệm độ dài, diện tích, thể tích Theo Annie Bessot, Comiti, Lê * Email: thuantd@hcmup.edu.vn 29 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 15, Số (2018): 29-39 Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến (2009, tr 91), “phân tích khoa học luận lịch sử” nhắm đến việc làm rõ “những quan niệm gắn liền với tri thức” Vì vậy, để xác định quan niệm chướng ngại gắn với đại lượng hình học, báo trình bày kết điều tra khoa học luận khái niệm độ dài, diện tích, thể tích cách “nghiên cứu điều kiện cho phép nảy sinh tri thức khoa học tiến triển tri thức” thông qua số tài liệu lịch sử Toán học cơng trình nghiên cứu didactique có liên quan Sơ nét hình thành tiến triển khái niệm độ dài, diện tích, thể tích lịch sử Lịch sử phát triển lồi người chia thành giai đoạn: cổ đại, trung đại, cận đại đại Theo Baltar (1996, tr 17), bối cảnh lịch sử thời trung đại không tạo tiến đáng kể cho khoa học nói chung, tốn học nói riêng Các khái niệm độ dài, diện tích, thể tích nảy sinh tiến triển chủ yếu giai đoạn: cổ đại, cận đại đại 2.1 Độ dài, diện tích, thể tích thời cổ đại Luận án Anwandter-Cuellar (2012, tr 45 - 46) có đề cập đến việc phân biệt đại lượng số, hình học số học thời cổ đại: Nếu số lượng rời rạc - đếm - số; ngược lại, số lượng liên tục - đo - đại lượng Các số đại lượng tạo thành lớp tách rời độc lập, kết nghiên cứu tương ứng khác giản lược […] Hình học nghiên cứu đại lượng, số học nghiên cứu số Các khái niệm độ dài, diện tích, thể tích nảy sinh từ nhu cầu đo đạc, tính tốn nơng nghiệp xây dựng Khái niệm diện tích gắn liền với tốn: tính diện tích, so sánh diện tích, cầu phương hình (Baltar, 1996, tr 14) Khái niệm thể tích gắn liền với tốn: tính thể tích, so sánh thể tích, gấp đôi khối lập phương Các văn minh cổ đại Ai Cập, Babylon, Trung Hoa, Hi Lạp… đạt nhiều thành tựu đáng kể có liên quan tốn Phân tích thành tựu tốn học thời kì cổ đại, Baltar (1996, tr.16) khẳng định “ở Ai Cập, Babylon, Trung Hoa, có bước chuyển từ hình sang số khái niệm diện tích”, người Hi Lạp có cách “tiếp cận hình học khái niệm diện tích”, “bài tốn diện tích đặt phạm vi hình khơng có bước chuyển sang số” Nhận xét Baltar mở rộng cho khái niệm độ dài, thể tích người Ai Cập, Babylon, Trung Hoa cổ đại tìm cơng thức, quy tắc tính chu vi, diện tích, thể tích nhiều hình thường gặp, đề cập cơng trình Katz (2009) Người Hi Lạp cổ đại đạt bước tiến xa, rực rỡ xây dựng hình học thành khoa học suy diễn theo tư tưởng phương pháp tiên đề mà “Cơ bản” Euclide tác phẩm kinh điển Những tiên đề Euclide đưa cho phép giải nhiều tốn độ dài, diện tích, thể tích, có tốn so sánh diện tích, thể tích số hình, cầu phương hình đa giác theo quan điểm hình học khơng có số đo xuất toàn tác phẩm Phương pháp vét cạn Eudoxus Euclide sử dụng để chứng 30 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Trần Đức Thuận tgk minh nhiều kết diện tích, thể tích, phương pháp vét cạn không cung cấp cách khám phá công thức để bắt đầu Bằng cách chứng minh A > B B > A đưa đến mâu thuẫn, Euclide kết luận A = B Với cách chứng minh này, Euclide sử dụng hình nội tiếp (ngoại tiếp), nghĩa hình hình học chứng minh tỉ lệ diện tích (thể tích) khơng hồn tồn tách biệt, mà hình chứa hình (Katz, 2009, tr 84-85) Các khái niệm độ dài, diện tích, thể tích đóng góp vào tiến triển toán học thời cổ đại Vấn đề đo đạc độ dài góp phần phát triển hình học, lượng giác Chẳng hạn, kiến thức hai tam giác đồng dạng sử dụng để đo bề rộng sông (Katz, 2009, tr 158) Độ dài, diện tích cịn sử dụng cơng cụ để giải nhiều phương trình bậc hai Trong xu hướng này, số dương gắn với độ dài, bình phương gắn với diện tích (Katz, 2009, tr 8) Như số nhà toán học giai đoạn trước, Euclide dùng hình học, đặc biệt độ dài, diện tích, thể tích tính chất, để tìm số kết thuộc phạm vi số học đại số dạng hình học (các đẳng thức đại số, tỉ lệ thức ) Tuy nhiên, khái niệm độ dài, diện tích khơng định nghĩa 2.2 Độ dài, diện tích, thể tích thời cận đại Những nhà tốn học kỉ XVII thừa hưởng nhiều quy tắc tính diện tích, thể tích từ thời cổ đại Tuy nhiên, cách chứng minh phương pháp vét cạn thể cách thức xác định diện tích hình giới hạn đường cong hay thể tích khối tròn xoay Ý tưởng rõ ràng truyền lại từ thời Hi Lạp số miền cần phải chia thành miền nhỏ mà diện tích, thể tích chúng biết (Katz, 2009, tr 514) Từ kỉ XVII, học thiên văn học phát triển mạnh Độ dài đường conic (parabol, elip, hyperbol), diện tích hình giới hạn đường conic, thể tích khối tròn xoay đặc biệt quan tâm Nhiều thành tựu liên quan đại lượng hình học gắn với tên tuổi nhà khoa học có tiếng lĩnh vực học, thiên văn học, lĩnh vực thuộc chuyên ngành Vật lí học Phương pháp tính diện tích, thể tích đáng ý thời cận đại phương pháp vi phân infinitesimals Kepler (Katz, 2009, tr 514-515), phương pháp vô ước indivisible Galileo mà Cavalieri, Torricelli góp phần hồn thiện phát triển Galileo sử dụng phương pháp vô ước indivisible để chứng minh thể tích “tơ súp” (giới hạn mặt bán cầu mặt trụ có đáy) với thể tích hình nón có đáy chiều cao (Katz, 2009, tr 515) Trong hình minh họa, “tơ súp” Galileo tính thể tích khối trịn xoay nhận phần tơ màu (phần thừa hình vng so với phần tư hình tròn) quay tròn quanh trục CF Điều đáng lưu ý đây, “tơ súp” có hình dạng vật chứa thể tích Galileo quan niệm khác biệt với thể 31 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 15, Số (2018): 29-39 tích hình trụ có chiều cao CF đáy hình trịn đường kính AB, khơng tính khối bán cầu đường kính AB Hình Mặt cắt đứng “tơ súp” Galileo tính thể tích Nổi bật thời cận đại việc Cavalieri, học trò Galileo, người hồn thiện lí thuyết phương pháp vơ ước indivisible để giải tốn so sánh, tìm tỉ số diện tích, thể tích hai hình Cavalieri xem hình phẳng tạo thành từ nhiều đoạn thẳng song song (các indivisible hình phẳng), hình khối tạo thành từ nhiều thiết diện phẳng (hình phẳng) song song (các indivisible hình khối) Tỉ số diện tích hai hình phẳng tìm thơng qua tỉ số độ dài indivisible Tỉ số thể tích hai khối tìm thơng qua tỉ số diện tích indivisible Torricelli, học trị khác Galileo, trình bày nghịch lí xuất lựa chọn indivisible Giải pháp Torricelli trở phương pháp vi phân infinitesimals, cụ thể xem xét đoạn thẳng indivisible thực tế có độ dày (Katz, 2009, tr 516-517) Phương pháp vô ước indivisible cơng cụ có giá trị để tính diện tích, thể tích, gây nhiều tranh luận chướng ngại chất vô hạn, phần tử indivisible, tính liên tục Những tốn tính diện tích, thể tích thời kì góp phần thúc đẩy đời phát triển phép tính vi - tích phân Tuy nhiên, khái niệm độ dài, diện tích, thể tích chưa định nghĩa 2.3 Độ dài, diện tích, thể tích thời đại Giai đoạn đại, toán học đạt nhiều thành tựu to lớn Phép tính tích phân trở thành cơng cụ hữu hiệu để giải tốn tính độ dài, diện tích, thể tích Bài tốn gấp đơi khối lập phương, cầu phương hình trịn Wantzel (1837) Lindemann (1882) chứng minh thực thước kẻ com-pa phạm vi hình học Cuối kỉ XIX, hàng loạt hệ tiên đề xuất cho cấu trúc toán học khác Các khái niệm nhóm, trường, khơng gian vectơ, tập hợp số nguyên dương, số thực tiên đề hóa Các khái niệm độ dài, diện tích, thể tích nhiều nhà tốn học quan tâm xây dựng Trong phạm vi giới hạn báo, khái niệm độ dài, diện tích, thể tích xem xét phạm vi hình học Euclide Những cơng trình nghiên cứu có hai cách tiếp cận sau đây: 2.3.1 Cách tiếp cận hình học Cách tiếp cận hình học đại lượng tìm thấy tác phẩm “Cơ sở hình học” Hilbert (1899), “Geometry: Euclid and beyond” Hartshorne (2000) 32 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Trần Đức Thuận tgk Không gắn với cơng thức đại số, chúng tơi khơng tìm thấy cơng trình Hilbert (1899), Hartshorne (2000) định nghĩa độ dài đoạn thẳng, ngoại trừ nhóm tiên đề tương đẳng (bằng nhau) đoạn thẳng, góc, hình tam giác chứng minh quan hệ tương đẳng hai đoạn thẳng Hilbert (1899) xác lập Hartshorne (2000, tr 196) lưu ý thuật ngữ “bằng nhau” mà Euclide sử dụng tương ứng với “tương đẳng đoạn thẳng, góc”, “cùng diện tích”, “cùng thể tích” Các hình sử dụng xây dựng khái niệm diện tích có khác biệt tác phẩm Hilbert (1899) Hartshorne (2000) Dù Hilbert (1899) có định nghĩa miền trong, miền ngồi đa giác, phần xây dựng khái niệm diện tích, hình đa giác xét có cạnh Khái niệm diện tích Hartshorne (2000, tr 196-197) xây dựng hình có cạnh miền hình Cách Hartshorne giải thích thuật ngữ “hình chóp”, “hình lăng trụ”, “hình hộp” cho thấy đa diện không khối đặc, không bao gồm miền Hai nửa hình hộp tương đẳng với chồng lên không gian chiều (Hartshorne, 2000, tr 226-227) Diện tích đa giác Hilbert (1899) Hartshorne (2000, tr 197) xây dựng từ khái niệm đa giác đồng phân (équydécomposables), đa giác đẳng diện (đồng phân qua phần bù) (superficie égale; équicomplémentaires; égal par complément) Hai hình khơng chồng lấn chúng khơng có điểm chung Hai hình P P’ đồng phân hình viết dạng hợp không chồng lấn tam giác: P  T1  T2   Tn P '  T1'  T2'   Tn' , đó: với i, hai tam giác Ti Ti ' tương đẳng Hai hình P P’ đẳng diện tồn hình Q Q’ cho: P P’ không chồng lấn; Q Q’ không chồng lấn; Q Q’ đồng phân; P  Q P ' Q ' đồng phân Quan hệ đồng phân, đẳng diện chứng minh quan hệ tương đương (thỏa đồng thời tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu) tập hợp đa giác Những mệnh đề đồng phân, đẳng diện (đồng phân qua phần bù) hình bình hành, hình tam giác mà Hilbert (1899), Hartshorne (2000) trình bày, chứng minh cho phép thực kĩ thuật tách-ghép (dissection) phạm vi hình học để tạo hình đồng phân với hình cho, chứng minh định lí Pythagore, so sánh diện tích hai đa giác, thiết lập cơng thức tính diện tích số hình đa giác: (1) (1) (2) (2') (1) (1') (2) (2') (1') (2) (2') (1') Hình Các hình đồng phân dùng để thiết lập cơng thức tính diện tích Theo Hartshorne (2000, tr 199), tương đương khái niệm đồng phân đẳng diện (đồng phân qua phần bù) mặt phẳng Hilbert thỏa mãn tiên đề song song (P) tiên đề Archimède (A) chứng minh cách sử dùng hàm độ đo diện tích với giá trị trường số học đoạn thẳng Tuy nhiên, để có sở so sánh nửa 33 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 15, Số (2018): 29-39 hình nhau, so sánh tồn thể với phận, so sánh cạnh hai hình vng nhau, Hartshorne (2000, tr 201) phải bổ sung tiên đề Zolt (Z): Tiên đề Z Nếu Q hình nằm hình P, P – Q có phần khác rỗng, P Q không đẳng diện Khi xem xét lại kết thể tích “Cơ bản” Euclide, Hartshorne (2000, tr.227-228) nhận thấy lí thuyết thể tích hình hộp, hình lăng trụ hồn tồn tương tự với lí thuyết diện tích, chuyển đổi ý tưởng từ mặt phẳng vào không gian chiều Tuy nhiên, tình hồn tồn khác thể tích hình chóp Hartshorne (2000, tr.230) cho để thiết lập lí thuyết thể tích túy hình học, cần cho phép quy trình giới hạn phương pháp vét cạn định nghĩa, khái niệm tách-ghép (dissection), phần bù Sự cần thiết phương pháp vét cạn nội dung toán thứ ba 23 toán kỉ XX Hilbert trình bày Đại hội Tốn học Paris năm 1900 Theo Pressiat (2001, tr.292): Bài toán thứ ba Hilbert bao hàm chứng minh phương pháp đồng phân đồng phân qua phần bù không đủ để chứng minh cơng thức tính thể tích hình chóp trường hợp tổng quát, biện minh cho cần thiết sử dụng phương pháp không (như phương pháp vét cạn) sử dụng vô hạn, để thiết lập lí thuyết thể tích đa diện Năm 1900, Dehn giải toán Kết liên quan đến bất biến, gọi bất biến Dehn đa diện: “Nếu hai đa diện đồng phân, chúng có bất biến Dehn nhau.” Định lí Dehn chứng tỏ khơng thể xây dựng lí thuyết thể tích dựa khái niệm đồng phân Việc sử dụng khái niệm đồng phân qua phần bù không hiệu Đồng phân đồng phân qua phần bù đa diện tính chất tương đương Sydler (1940) chứng minh cho không gian Euclide số chiều 3, Hadwiger chứng minh cho số chiều n Zylev (1965) trình bày cách chứng minh (Pressiat, 2001, tr.292-293) Những phân tích cho thấy đại lượng hình học tiếp cận phạm vi hình học Tuy nhiên, sử dụng hình học khơng đủ để xây dựng lí thuyết đại lượng hình học, đặc biệt khái niệm diện tích, khái niệm thể tích hình Hình xem xét có bao gồm phần hay khơng bao gồm phần khơng có thống tác phẩm 2.3.2 Cách tiếp cận gắn với số Ngay tác phẩm Hilbert (1899), Hartshorne (2000), cách tiếp cận gắn với số xuất Với mơ hình hình học giải tích, tác giả trình bày cơng thức xác định độ dài đoạn thẳng AB, khoảng cách hai điểm A B, xây dựng đại số đoạn thẳng Sau chứng minh tích cạnh đáy đường cao khơng phụ thuộc việc chọn cạnh đáy, Hilbert (1899) đưa định nghĩa: “Một nửa tích đáy nhân với chiều cao tam giác  độ đo diện tích tam giác , kí hiệu F()” 34 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Trần Đức Thuận tgk Hilbert chứng minh với đa giác, tổng độ đo diện tích khơng phụ thuộc vào cách phân hoạch Từ đó, độ đo diện tích F(P) đa giác định nghĩa tổng độ đo diện tích tam giác thu từ phép phân hoạch đa giác cho thành hữu hạn tam giác (Hilbert, 1899, tr 42) Tổng quát hơn, Hartshorne (2000, tr 205) định nghĩa diện tích thơng qua độ đo hàm diện tích sau: Định nghĩa: Một độ đo hàm diện tích mặt phẳng Hilbert ánh xạ  từ tập hợp P gồm tất hình (đa giác) vào tập hợp G nhóm giao hốn, thứ tự cho: (1) Với hình tam giác T, ta có (T) > G (2) Nếu T T’ hình tam giác tương đẳng (bằng nhau) (T) = (T’) (3) Nếu hai hình P Q khơng chồng lấn, thì: (PQ) = (P) + (Q) Ta gọi (P) diện tích hình P, tương ứng với độ đo hàm diện tích  cho Sau định nghĩa diện tích thơng qua độ đo hàm diện tích, Hartshorne (2000) chứng minh nhiều mệnh đề đáng ý đồng phân, đẳng diện, hàm diện tích, tiên đề Zolt (Z); định lí Bolyai-Gerwein; định nghĩa diện tích hình tam giác, diện tích hình đa giác Theo đó, mặt phẳng Hilbert thỏa tiên đề song song (P) tiên đề Archimède (A), có hàm độ đo diện tích , phát biểu sau tương đương: (1) Hình P Q đồng phân; (2) Hình P Q đẳng diện (đồng phân qua phần bù); (3) Hình P Q có số đo diện tích: (P) = (Q) Hartshorne (2000, tr 221) nhắc đến tốn cầu phương hình trịn, định nghĩa diện tích hình trịn, đặt vấn đề xây dựng độ đo hàm diện tích xác định tất miền phẳng giới hạn đoạn thẳng cung đường tròn Một cách tiếp cận đại sử dụng tích phân xác định để định nghĩa diện tích Tương tự với cách tiếp cận khái niệm diện tích từ độ đo, Hartshorne (2000, tr 226) có cách tiếp cận khái niệm từ hàm thể tích v: Giả sử làm việc trường F hàm thể tích v cho trước cho: khối đa diện P tương ứng với phần tử không âm v(P)  F; hình tương đẳng có thể tích; có tính chất cộng tính hợp khơng chồng lấn miền Như vậy, vấn đề định nghĩa độ dài, diện tích, thể tích trở thành toán xác định hàm độ đo tương ứng từ tập hợp đối tượng hình học đo sang tập hợp số thực với tính chất bản: khơng âm, cộng tính, bất biến qua phép dời hình Pressiat (2001, tr 286) có đề cập đến cách thiết lập hàm độ đo diện tích cách quy tắc xác định giá trị a s ( F )  lim n2 n tương ứng với hình phẳng F bị giới hạn, cầu phương được, an n  10 số hình vng lưới vng Rn nằm hoàn toàn F Bằng cách sử dụng giới hạn, xây dựng độ đo tương ứng, khái niệm độ dài, diện tích, thể tích định nghĩa cách chặt chẽ 35 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 15, Số (2018): 29-39 Kết luận đặc trưng khoa học luận gắn với đại lượng hình học Nghiên cứu lịch sử tiến triển khái niệm độ dài, diện tích, thể tích cho phép rút số đặc trưng đáng lưu ý sau: 3.1 Phạm vi tác động đại lượng hình học Các đại lượng hình học có phạm vi tác động rộng, xuất từ đời sống thực tiễn đến nhiều ngành khoa học tốn học, vật lí học… Ngay tốn học, khái niệm độ dài, chu vi, diện tích, thể tích xuất nhiều chun ngành hẹp như: số học, đại số, lượng giác, giải tích, hình học tuyệt đối, hình học Euclide, hình học phi Euclide, hình học phi Archimède 3.2 Những tốn gắn liền với đại lượng hình học Sự đời tiến triển đại lượng hình học gắn liền với toán xác định số đo; so sánh; dựng hình Với độ dài, xác định độ dài đoạn thẳng, độ dài đường cong đường tròn, parabol; so sánh độ dài hai đường; dựng đường có độ dài cho trước độ dài với đường khác Với diện tích, xác định số đo diện tích hình; so sánh diện tích hai hình; dựng hình mới, đặc biệt hình vng (bài tốn cầu phương) diện tích với hình cho Với thể tích, xác định số đo thể tích hình; so sánh thể tích hai hình; dựng hình với thể tích cho (ví dụ tốn gấp đơi khối lập phương) 3.3 Những đối tượng có liên quan đại lượng hình học Các khái niệm độ dài, chu vi, diện tích, thể tích có liên quan đến nhiều tri thức toán học khác như: đoạn thẳng, đường gấp khúc, đường tròn, đường conic, đường cong, đa giác, hình đa giác, đa diện, khối đa diện, tương đẳng, đồng phân, đồng phân qua phần bù; vô hạn, giới hạn, độ đo, ánh xạ, tích phân xác định, biểu thức lượng giác, tỉ lệ, tỉ lệ thức, (hằng) đẳng thức, phương trình, phương pháp vét cạn, phương pháp tiên đề… Những toán độ dài, thể tích, diện tích thúc đẩy đời phát triển phép tính vi - tích phân, lí thuyết độ đo Ngược lại, đời lí thuyết độ đo mang lại định nghĩa chặt chẽ khái niệm độ dài, diện tích, thể tích cơng cụ tích phân cho phép xác định số đo độ dài, diện tích, thể tích hình Các hình sử dụng xây dựng đại lượng hình học khơng hồn tồn thống tác giả khác Chẳng hạn, xây dựng khái niệm diện tích, Hilbert (1899) sử dụng đa giác (chỉ gồm cạnh, khơng có miền trong), Hartshorne (2000) sử dụng hình đa giác với cạnh miền 3.4 Những cách tiếp cận đại lượng hình học Các khái niệm độ dài, diện tích, thể tích tiếp cận hồn tồn hình học tiếp cận gắn với số Các tiên đề, khái niệm đồng phân, đồng phân qua phần bù cho phép tiếp cận phạm vi hình học độ dài đoạn thẳng, diện tích hình đa giác, thể tích hình lăng trụ, hình hộp để giải nhiều tốn so sánh, dựng hình mà khơng cần sử dụng số 36 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Trần Đức Thuận tgk Tuy nhiên, để định nghĩa độ dài, diện tích, thể tích hình cách tiếp cận gắn với số thuận lợi hơn, đặc biệt tiếp cận từ lí thuyết độ đo Việc chuyển sang số khơng cho phép giải tốn xác định số đo mà cịn giải nhiều tốn so sánh diện tích, dựng hình với công cụ hỗ trợ quy tắc, công thức tính, phép tính tích phân… Xu hướng chuyển đổi quan niệm từ phạm vi hình học sang phạm vi số tất yếu, phù hợp với tiến trình lịch sử 3.5 Một số chướng ngại gắn với đại lượng hình học 3.5.1 Chướng ngại gắn với khái niệm vơ hạn Lịch sử hình thành lí thuyết độ đo nói chung, lí thuyết độ dài, diện tích, thể tích nói riêng, nhà tốn học gặp khơng khó khăn, trở ngại liên quan đến khái niệm vơ hạn Người xưa tính độ dài đường parabol, chu vi đường trịn, diện tích hình trịn, thể tích nhiều khối trịn xoay phương pháp vét cạn, phương pháp vô ước indivisible Tuy nhiên, họ xây dựng lí thuyết độ dài, diện tích, thể tích phạm vi hình học cho hình đa giác phẳng, hình lăng trụ, hình hộp mà khơng thể giải tốn cầu phương hình trịn, gấp đơi khối lập phương để đưa lí thuyết diện tích, thể tích cho tất đối tượng hình học mà khơng cần chuyển sang phạm vi số, không dùng đến khái niệm vô hạn 3.5.2 Chướng ngại gắn với đặc trưng kép hình - số đại lượng hình học Chưa cần đến việc định nghĩa với lí thuyết độ đo cho đại lượng độ dài, diện tích, thể tích, từ thời cổ đại, người xưa gắn đối tượng hình học với số Sự đời phép tính vi tích phân, lí thuyết độ đo tạo mơi trường thuận lợi cho thống trị quan niệm gắn đại lượng với số Tuy nhiên, ứng với đại lượng, ta có nhiều đối tượng hình học khác Chẳng hạn ta có diện tích hình phẳng, diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật, diện tích mặt cầu, diện tích mặt cong Ngược lại, ứng với đối tượng, ta xem xét nhiều đại lượng khác Chẳng hạn, với hình phẳng, ta có đại lượng độ dài cạnh, chu vi đại lượng diện tích; với hình khối khơng gian, ta có đại lượng độ dài cạnh, chiều cao, diện tích thể tích Nếu chọn khối lập phương đơn vị làm ví dụ, ta có độ dài cạnh khối lập phương đơn vị (đơn vị đo chiều dài), diện tích mặt bên khối lập phương đơn vị (đơn vị đo diện tích), thể tích khối lập phương đơn vị (đơn vị đo thể tích) Như thế, đặc trưng kép hình - số bất đối xứng, bất cân gây nên nhầm lẫn khái niệm độ dài, diện tích, thể tích, đại lượng hình học tiếp cận gắn với số 3.5.3 Chướng ngại gắn với miền hình Khi xây dựng khái niệm diện tích, thể tích, đối tượng hình học tương ứng khơng hoàn toàn đồng theo quan điểm nhà toán học khác Chẳng hạn, Hilbert xây dựng khái niệm diện tích gắn với đa giác (chỉ có cạnh, khơng có miền trong), Hartshorne xây dựng khái niệm diện tích gắn với hình đa giác (có cạnh miền trong) Với khái niệm thể tích, hình đa diện quan niệm 37 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 15, Số (2018): 29-39 có mặt bên (thậm chí có cạnh) mà khơng có miền trong, quan niệm gồm mặt bên miền Những quan niệm khác hình tính khơng tính miền hình trở thành chướng ngại gắn với đại lượng hình học 3.5.4 Chướng ngại gắn với “hai hình nhau” Trong tác phẩm “Cơ bản” Euclide, thuật ngữ “bằng nhau” tương ứng với độ dài, diện tích thể tích (cực số) Hai hình hình dạng kính thước, sai khác phép dời hình (cực hình) gọi hai hình “tương đẳng” Tuy nhiên, ngày “hai hình nhau” thường hiểu “hai hình tương đẳng” “hai hình có diện tích” Hai nghĩa thuật ngữ “bằng nhau” khơng đồng nhất, hai hình tương đẳng chắn có diện tích, hai hình có diện tích đẳng hợp, đẳng hợp qua phần bù mà không tương đẳng với Trong không gian, hai hình có thể tích khơng tương đẳng với nhau, chí khơng đồng phân với khơng đặc số Dehn Ngồi ra, Hartshorne đề cập, hình khối khơng gian, chẳng hạn hai nửa hình hộp, cách đặt chồng lên để kiểm tra hai hình khối khơng khả thi Trong đó, mơ hình đoạn thẳng, đường, hình phẳng thực dời hình, đặt chồng lên để kiểm tra chúng Cách hiểu khơng đồng thuật ngữ “hai hình nhau”, hạn chế kĩ thuật kiểm tra “hai hình nhau” khơng gian trở thành chướng ngại việc dạy học khái niệm diện tích, thể tích 3.5.5 Chướng ngại gắn với định nghĩa đại lượng Khi nghiên cứu khoa học luận đại lượng, Chambris (2008) Anwandter-Cuellar (2012), nhận thấy đại lượng có đặc trưng phức tạp, thiếu chặt chẽ, mơ hồ, việc định nghĩa đại lượng dạy học nhiệm vụ khó khăn Thậm chí, vào cuối kỉ XIX, đại lượng biến khỏi tốn học, tham gia lĩnh vực vật lí học Sự biến đại lượng hình học tốn học vắng mặt lí thuyết thức đại lượng khiến khái niệm đại lượng chức tốn học cịn bị lẫn lộn Theo Chambris (2008, tr 126): Định nghĩa đại lượng khơng cố định Khơng có định nghĩa toán học chuẩn (hay phổ biến) cho “đại lượng” định nghĩa cho “không gian vectơ” Các tiên đề giữ lại để xác định “đại lượng”, tính chất thu được, thay đổi từ định nghĩa sang định nghĩa khác Kết nghiên cứu Anwandter-Cuellar Chambris cho thấy định nghĩa đại lượng nói chung, đại lượng hình học nói riêng, chướng ngại dạy học  Tuyên bố quyền lợi: Các tác giả xác nhận hồn tồn khơng có xung đột quyền lợi 38 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Trần Đức Thuận tgk TÀI LIỆU THAM KHẢO Anwandter-Cuellar, N (2012) Place et rôle des grandeurs dans la construction des domaines mathématiques numérique, fonctionnel et géométrique et de leurs interrelations dans l'enseignement au collège en France Thèse pour obtenir le grade de Docteur de l’Université Montpellier Baltar, P M (1996), Enseignement et apprentissage de la notion d'aire de surfaces planes: une étude de l'acquisition des relations entre les longueurs et les aires au collège Thèse pour obtenir le titre de Docteur de l’Université Joseph Fourier - Grenoble Bessot, A., Comiti, C., Lê Thị Hoài Châu, & Lê Văn Tiến (2009) Những yếu tố Didactic Tốn Hồ Chí Minh: NXB Đại học Quốc gia TPHCM Chambris, C (2008) Relations entre les grandeurs et les nombres dans les mathématiques de l'école primaire Évolution de l'enseignement au cours du 20e siècle Connaissances des élève actuels Thèse pour obtenir le grade de Docteur de l’Université Paris-Diderot Hartshorne, R (2000) Geometry: Euclid and beyond, New York: Springer Hilbert, D (1899) The Foundations of Geometry (English version 2005 by Townsend, E J.) Retrieved from http://www.gutenberg.org/ Katz, V J (2009) A History of Mathematics (3rd ed.) Boston: Pearson Education Inc Pressiat, A (2001) "Grandeurs et mesures: Evolution des organisations mathematiques de reference et problemes de transposition" Actes de la 11e École d’Été de Didactique des Mathématiques, 283-297 Trần Đức Thuận (2017a) “Quan niệm sinh viên Khoa Giáo dục Tiểu học thể tích vật thể” Tạp chí Khoa học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, 14 (4/2017), 12-19 Trần Đức Thuận (2017b) “Khái niệm Thể tích dạy học Tốn tiểu học: Một nghiên cứu lựa chọn thể chế ảnh hưởng nó” Kỉ yếu Hội thảo Quốc tế Didactic Toán lần thứ Hồ Chí Minh: NXB Đại học Sư phạm TPHCM, 269-278 39 ... tốn tính diện tích, thể tích thời kì góp phần thúc đẩy đời phát triển phép tính vi - tích phân Tuy nhiên, khái niệm độ dài, diện tích, thể tích chưa định nghĩa 2.3 Độ dài, diện tích, thể tích thời... cho khoa học nói chung, tốn học nói riêng Các khái niệm độ dài, diện tích, thể tích nảy sinh tiến triển chủ yếu giai đoạn: cổ đại, cận đại đại 2.1 Độ dài, diện tích, thể tích thời cổ đại Luận. .. quan niệm chướng ngại gắn với đại lượng hình học, báo trình bày kết điều tra khoa học luận khái niệm độ dài, diện tích, thể tích cách “nghiên cứu điều kiện cho phép nảy sinh tri thức khoa học