15 đề đáp án HSG TOÁN 9h

https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THANH MIỆN TRƯỜNG THCS CHI LĂNG BẮC T-02-HSG9-CLB-PGDTM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MƠN TỐN LỚP Thời gian làm 150 phút (Đề thi gồm câu, trang) Câu 1:( điểm) 125 125 − −3 + + 27 27 số nguyên a) Chứng minh  x + y3 = z  b) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 3xy + z = z x = 3+ 9+ Câu 2:( điểm) 1 1 + + = a) Chứng minh a, b, c số thỏa mãn: a + b + c = 2014 a b c 2014 số phải 2014 b) Cho số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = Chứng minh rằng: x + yz + y + zx + z + xy ≥ + xy + yz + zx Câu 3: ( điểm) a) Gpt: ( 5−2 6) x + (5+2 6) x = 10 x4 y + = 2 b) Cho a, b, x, y số thực thỏa mãn x + y = a b a + b x10 y10 + = 5 a b ( a + b) chứng minh rằng: Câu 4: ( điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính BC điểm A thuộc đường trịn Kẻ AH vng góc với BC Gọi M, N theo thứ tự điểm cung AB AC Kẻ phân giác góc AHB AHC, đường phân giác theo thứ tự cắt BN E CM F Gọi giao điểm BN CM K Chứng minh rằng: a) AK vuông góc EF b) Tứ giác BEFC nội tiếp đường trịn Câu 5: ( điểm)  x2014 + y2014 =  2013 2013 2014 y − 2014 x (x + y + xy + 2014)  x − y = Tìm x; y biết: ( ) https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THANH MIỆN TRƯỜNG THCS CHI LĂNG BẮC T-02-HSG9-CLB-PGDTM Câu HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) Đáp án a) Ta có x = 3+ 9+ điểm 125 125 + 3− 9+ 27 27  125 125 125  3+ 9+ 3+ 9+ + 3− 9+  27 27 27 +  ⇒ x3 =  125 ÷ 3 − + ÷ 27   ÷.x ÷  = - 5x ⇔ x + 5x - = Giải PT ta x = Vậy x số nguyên 3  x + y = z  3xy + z = z  x + y3 = z  x + y3 + 3xy = z ⇔  ) x ⇔( 2 + y − z ) x + y + z − xy + yz + zx x ⇔( 2 + y − z ) ( x − y ) + ( y + z ) + ( z + x )  = ⇔ x + y - z = ⇔ x + y = z thay vào PT (1) ta x3 + y3 =(x + y)2 ⇔ x2 - xy + y2 = x + y (vì x + y > 0) ⇔ y2 - (x + 1)y + x2 - x = (3) Để HPT có nghiệm ngun PT (3) có nghiệm ⇔ ∆ = (x + 1)2 - 4(x2 - x) ≥ ⇔ - 3x2 + 6x + ≥ ⇔ - 3( x - 1)2 ≤ Vì x nguyên dương nên x = x = Với x = ⇒ y = y = Vì y > ⇒ y = ⇒ z = Với x = ⇒ y2 - 3y + = ⇔ y = y = Nếu y = ⇒ z = Nếu y = ⇒ z = Vậy HPT có nghiệm : (1; 2; 3); (2; 1; 3); (2; 2; 4) 0.25 0,25 ( 1) ( 2) b) (2) ⇔ (x + y)3 - z3 + 3xyz - 3xy(x + y) = ( 0.5 1 1 + + = a) Từ giả thiết ⇒ a b c a + b + c 1 1 1   + ÷+  + ÷= ⇒  a b  c a +b+c  a+b a+b + =0 c( a + b + c) ⇒ ab ⇒ ( a + b )  c ( a + b + c ) + ab  = ⇒ ( a + b )  ca + cb + c + ab  = ⇒ ( a + b ) [ c (a + c) + b(a + c ) ] = a + b = b + c =  ⇒ (a + b)(b + c)(c + a) = ⇒ c + a = Nếu a + b = ⇒ c = 2014 0.25 0.25 0.25 0.25 0,25 0.25 0.25 0,25 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Nếu b + c = ⇒ a = 2014 Nếu c + a = ⇒ c = 2014 x + yz ≥ x + yz b Chứng minh BĐT (1) (1) ⇔ x + yz ≥ x2 + 2x yz + yz ⇔ ≥ x + yz ⇔ x + y + z ≥ x + yz ⇔ y + z ≥ yz ⇔ ⇒ x + yz ≥ x + yz ( ) y− z ≥0 Vậy BĐT (1) chứng minh ⇒ y + zx ≥ y + zx ; z + xy ≥ z + xy x + yz + y + zx + z + xy ≥ x + y + z + xy + yz + zx ⇒ x + yz + y + zx + z + xy ≥ + xy + yz + zx 0,25 0, Tương tự: ( 5− 6) ( 5+ 6) =1 ( − ) = t ( t > 0) ⇒ PT ⇔ t + t = 10 ⇔ t 0,25 25 0,25 a) Ta thấy x Đặt - 10t + = 0.25 t = −  ⇔ t = + ( 5−2 6) - Nếu t = − ⇒ - Nếu t = + ⇒ b) Ta có (x2 + y2)2 = ( 5− 6) x = (5−2 6) = ( 5− 6) x = 5+ 0.25 ⇒ x=2 −1 = ( 5− 6) −2 2 x4 y ( x + y ) + = ⇒ a b a + b ⇔ b(a + b)x4 + a(a + b)y4 = ab(x4 + 2x2y2 + y4) ⇒ x = -2 0.25 0.25 ⇔ b2x4 + a2y4 - 2abx2y2 = ⇔ (bx2 - ay2)2 = ⇔ bx2 - ay2 = x10 y10 x2 y x2 + y = = 5 = = = a b ( a + b) ⇒ a b a+b a+b ⇒ 0.5 A M I N K E B P H L F C O https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ a) Từ giả thiết suy BN CM tia phân giác của góc ABH góc ACH VÌ HE HF phân giác góc AHB góc AHC nên E, F tâm đường tròn nội tiếp tam giác AHB AHC suy AE, AF phân giác góc · BAH góc CAH ⇒ EAF = 45 0.25 0.5 · · · Gọi L giao BL AF ⇒ ABE + BAE = AEL = 45 ⇒ ∆AEL vuông cân L · 0.25 ⇒ AEL = 90 ⇒ EL ⊥ AF Tương tự: CF ⊥AE ⇒ K trực tâm tam giác AEF ⇒ AK ⊥ EF 0.5 b) Ta có tứ giác EILF nội tiếp ⇒ L· EF = L¶IF Vì BL CI phân giác góc ABH góc ACH AI AL tương ứng vng góc với CI BL ⇒ I L trung điểm AP AO ¶ = IAH · ⇒ IL // OP hay BC ⇒ IL ⊥ AH ⇒ LIF · · · · · · Mà IAH = ICH ⇒ LEF = ICH hay LEF = FCB ⇒BEFC nội tiếp Điều kiện: x, y ≥ Nhìn nhận phương trình (2) ta thấy: - Nếu x > y thì: VT > 0, VP < suy ra: VT > VP ⇒ PT (2) vô nghiệm - Nếu y > x thì: VT < 0, VP > suy ra: VT < VP.⇒ PT (2) vô nghiệm - Nếu x = y đó: VT = VP = Kết hợp với (1) (Chú ý:x, y ≥ ) ta được: x= y= 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 2014 BỘ ĐỀ ĐÁP ÁN HSG MƠN TỐN CẤP HUYỆN, TỈNH FILE WORD Zalo 0946095198 200 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 6=100k; 70 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k 270 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 7=140k; 70 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k 225 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 8=110k; 60 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k 35 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN HÀ NỘI=40k 320 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN HUYỆN=160k; 257 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN CẤP TỈNH=130k 64 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN HÀ NỘI=50k; 77 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN (2020-2021)=80k; 95 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN CÁC HUYỆN CỦA TỈNH VĨNH PHÚC=100k TRƯỜNG THCS GIO SƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN TOAN Thời gian:150 phút Câu 1: (6 đ) Cho biểu thức: x x −3 P= x−2 x −3 − 2( x − 3) x +1 a)Rút gọn P + x+3 3− x https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ b)Tính giá trị P với x = 14 - c) Tìm giá trị nhỏ P Câu (4đ) a )Giải phương trình x − + x − + 11 + x + x − = 1 b) Cho số dương x, y có tổng Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x + y Câu 3.(4đ) a Cho số dương a, b, c thoả mản a + b + c = Chứng minh: a+ b + b + c + c + a > 2 b Cho (x+ x + )(y+ y + ) = Tìm giá trị biểu thức P = x + y Câu 4( đ ): Cho a, b, c độ dài cạnh BC, CA, AB tam giác ABC Chứng minh rằng: A a Sin ≤ 2 bc Câu : ( 3đ) Cho hình vuông ABCD Gọi E điểm cạnh BC Qua A kẻ tia Ax vng góc với AE Ax cắt CD F Trung tuyến AI tam giác AEF cắt CD K Đường thyawngr qua E song song với AB cắt AI G Chứng minh : a) AE = AF tứ giác EGKF hình thoi b) ∆ AEF ~ ∆ CAF vàAF2 = FK.FC c) Khi E thay đổi BC chứng minh : EK = BE + DK chu vi tam giác EKC không đổi Đáp án biểu điểm Câu 1.( 6đ) Điều kiện xác định biểu thức P : x≥0; x≠ a) Rút gọn: x x −3 2( x − 3) x+3 − − x +1 x −3 P = ( x + 1)( x − 3) (0,5 ) x x − − 2( x − 3) − ( x + 3)( x + 1) = ( x − 3)( x + 1) (0,5 ) x x − − x + 12 x − 18 − x − x − x − ( x − 3)( x + 1) = x( x + 8) − 3( x + 8) x x − x + x − 24 x+8 = ( x − 3)( x + 1) = ( x − 3)( x + 1) = x + (0,5 ) (0,5 ) https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ b) x = 14 - = ( )2 - 2.3 + = ( - 3)2 ⇒ 14 − + x =3- (1,0 ) 22 − 58 − 11 Khi P = − + = − = 58 − 11 Vậy với x = 14 - th× P = c) x+8 P= x +1 = x −1+ x +1 = x −1+ x +1 = (0,5 ) (0,5 ) x +1+ −2≥2 9−2=4 x +1 x + 1; x +1) ( Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho số dương x +1 = x + ⇔ x = (thoả mản điều kiện) Dấu"=" xảy ⇔ Vậy minP = 4, x = 0,5 (0,5 ) Câu 2(4đ) a, x − + x − + 11 + x + x − = ⇔ x−5+4 x −5 + + ⇔ (2 + x − 5) + x − + 2.4 x − + 16 = (4 + x − 5) (0,5 ) =4 (0,5 ) ⇔ + x − + 4+ x − = (x ≥ 5) ⇔ x − = -2 Vô lý (0,5 ) (0,5 ) Vậy phương trình cho vơ nghiệm b, 1 x+ y + = = x y xy xy A= (0,5 Để A nhỏ ⇔ xy lớn với x > 0; y > ; x + y = ta ln có ( x + y ) ≥ ⇔ x + y ≥ xy Vậy xy lớn x = y =2,5 (1 ) Khi Min A = Câu 3.(4đ) a), Do a , b, c > từ giả thiết ta có : (0,5 ) a+ b < ⇒ a+ b< a+ b a + b < a + b + c = => Tương tự ta có a + c < c+ a Cộng vế với vế (1), (2), (3) ta có ( ) 2( a + b + c) < a + b + b + c + a + c hay ( ĐPCM) (1 ) b + c < b+ c 0,25 2 b) Xét biểu thức (x+ x + )(y+ y + ) = (1) 0,5 (2) (3) (1 ) 0.5 0,5 0.25 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Nhân vế (1) với (x- x + ) ≠ ta được: 2 -3(y+ y + ) = 3(x- x + ) -(y+ y +3 0,5 ) = (x- x + ) (2) Nhân vế (1) với (y- y + ) ≠ ta được: 2 -3(x+ x + ) = 3(y- y + ) y2 + -(x+ x + ) = (y) (3) Lấy (2) cộng với (3) ta được: -(x+y) = x+y => x+y = Vậy A = x+y = 0,5 0,5 0,5 Câu 3đ) Kẻ Ax tia phan giác góc BAC, kẻ BM ⊥ Ax CN ⊥ Ax Từ hai tam giác vuông AMB ANC, ta có: A BM A = AB => BM = c.sin Sin MAB = Sin A CN A SinNAC = sin = AC => CN = b.sin A Do BM + CN = sin (b+c) Mặt khác ta có BM + CN ≤ BD + CD = BC = a A A => sin (b+c) ≤ a, sin < 1 ≤ Do b+c ≥ bc nên b + c bc a A Hay sin ≤ bc ( đpcm) Câu (3,đ): a)(1đ) ∆ ABE = ∆ ADF (c.g.c) ⇒ AE = AF ∆ AEF vuông cân A nên AI ⊥ EF ∆ IEG = ∆ IEK (g.c.g) ⇒ IG = IK Tứ giác EGFK có đường chéo cắt trung điểm đường vng góc nên EGFK hình thoi 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ b)(1 đ) Ta có : KAF = ACF = 450 , ggóc F chung AF KF = ⇒ AF = KF CF ∆ AKI ~ ∆ CAF (g.g) ⇒ CF AF c)(1 đ)Tứ giác EGFK hình thoi ⇒ KE = KF = KD+ DF = KD + BE Chu vi tam giác EKC KC + CE + EK = KC + CE + KD + BE = 2BC ( không đổi) ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP PHÒNG GD – ĐT THANH MIỆN TRƯỜNG THCS NGƠ QUYỀN Mà ĐỀ T-02-HSG9-NQ-PGDTM MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút (Đề gồm 05 câu, 01 trang) Câu (2 điểm) 1 f ( x ) − 5f  ÷ = x x a) Tìm f(3) với x ≠ ta có b) Phân tích biểu thức M thành nhân tử với M = (a + b + c)3 – (a + b – c)3 – (b + c – a)3 – (c + a – b)3 Câu (2 điểm) a) Giải phương trình ( x + 3) ( x - 3) = x + ( x + 1) ( y + 1) =  2 b) Giải hệ phương trình  x + y + x + y = − xy Câu (2 điểm) a) Cho số nguyên dương a1; a2; ; a900 thỏa mãn 1 + + + = 60 a1 a2 a 900 Chứng minh tồn hai số b) Giải phương trình nghiệm nguyên x(x + 1)(x + 3)(x + 4) = y2 Câu (3 điểm) · Cho tam giác ABC cân B có ABC = 40 O trung điểm cạnh AC, kẻ OK vng góc với AB (K ∈ AB) Điểm E thay đổi cạnh AB, điểm F thay đổi cạnh BC cho khoảng · cách từ O đến EF OK 200 < AOE < 900 a) Tính số đo góc EOF b) Chứng minh tam giác AEO đồng dạng với tam giác COF c) Xác định vị trí điểm E để AE + CF nhỏ Câu (1 điểm) a b c a+b b+c + + ≥ + +1 Cho số dương a, b, c Chứng minh b c a b + c a + b Hết -8 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP PHỊNG GD – ĐT THANH MIỆN TRƯỜNG THCS NGƠ QUYỀN Mà ĐỀ T-02-HSG9-NQ-PGDTM Câu điểm MƠN: TỐN (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Đáp án Điểm a ( điểm) 0,5 điểm 1 f ( x ) − 5f  ÷ = x x Cho x = 3, x = ta   1 1 f ( 3) − 5f  ÷ = f ( ) − 5f  ÷ =       =>   f   − 5f ( 3) = 5f   − 25f ( 3) =  ÷      ÷ 9  86 => −24f (3) = 43 => f (3) = − 108 2 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm b (1 điểm) Chứng minh (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 = 3(x + y)(y + z)(z + x) Áp dụng với x = a + b – c, y = b + c – a, z = a + c – b M = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 = 3(x + y)(y + z)(z + x) Thay trở lại M = 24abc a) điểm ( x + 3) ( x - 3) = 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm x+9 Điều kiện x ≥ - x + = a ( a ≥ ) => a − x = Đặt Ta 0,25 điểm https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ a − x = => x − a − a + x =   x − a = => ( x - a ) ( x + a + 1) = x = a =>  x + a + = x = a đươc phương trình x2 – x – = với x ≥ nghiệm x1 = x1 = 0,25 điểm + 37 − 37 ; x2 = 2 + 37 thỏa mãn x ≥ có x + a + = phương trình x2 + x – = với x ≤ - nghiệm x1 = x2 = có KL nghiệm b) điểm −1 + 33 −1 − 33 ; x2 = 2 −1 − 33 thỏa mãn – ≤ x ≤ - 0,25 điểm ( x + 1) ( y + 1) =  2  x + y + x + y = − xy ( x + 1) ( y + 1) =  xy + ( x + y ) =   2 ( x + y ) + ( x + y ) − xy =  x + y + x + y = − xy 0,25 điểm b + a = b = - a   a + a − b = a + 2a − = Đặt x + y = a, xy = b, ta có Giải hệ (a, b) = (2; 3), (- 4; 9) x + y =  - Với (a = 2; b = 3) ta hệ  xy = hệ vô nghiệm x + y = -  - Với (a = - 4; b = 9) ta hệ  xy = hệ vơ nghiệm Vậy hệ phương trình vơ nghiệm a) điểm Giả sử ≤ a1 < a2 < a3 < … < a900 ta có ≥ i với i = 1; 2; … ;900 2 = < =2 b+ b-1 Mà b b ( 0,25 điểm 0,25 điểm b− b-1 ) Nên ( = 2( 0,25 điểm với b ≥ 0,25 điểm 1 1 1 + + + ≤ + + + a1 a2 a 900 900 0; v>0 Câu 3: (2 điểm) Giải hệ phơng trình x + + x + + x + =   x + y + x + y = 80 y −1 + y − + y − C©u 4: (2,5 điểm) Cho đờng tròn (O) đờng kính BC=2R điểm A thay đổi (O) (A không trùng với B, C) Đờng phân giác góc A tam giác ABC cắt (O) K (K khác A) Hạ AH vuông góc với BC a) Đặt AH=x Tính diện tích S tam giác AHK theo R x Tìm x cho S đạt giá trị lớn 2 b) Chøng minh r»ng A thay ®ỉi, tổng AH + HK đại lợng AH = không đổi Tính số đo góc B tam giác ABC biết HK Câu 5: (1 điểm) T×m sè d chia P = 32 n + 3n + cho 13 (n ∈ N ) C¸n coi thi không giải thích thêm đáp án đề khảo sát đội tuyển toán Phòng giáo dục yên lạc Trờng THCS trung kiên Câu Nội dung trình bày a) Rút gọn đợc A = x điểm b) Giải phơng trình: Ta có điểm Câu Thời gian làm bài: 150 phút Điểm x + + x − = x ⇔ x + x − 1( x + + x − 1) = x ⇔ 3 3 3 x = x − x = x ⇔ x − x = ⇔  x = ±  2 3 VËy tËp nghiƯm cđa ph¬ng trình đà cho Câu S = 0; ;  2   3 a) Tõ x + y − y + = ⇒ x = −1 − 2( y − 1) ≤ −1 ⇒ x ≤ −1 (1) 45 0,5 ®iĨm https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ x2 = tõ x + x y − y = ta cã (2) Tõ (1) vµ (2) ⇒ x = −1 ⇒ y = Khi ®ã ta cã B=0 2 2y ≤ ⇒ x2 ≤ y +1 hay − ≤ x ≤ 0,5 ®iĨm 0,25 ®iĨm 0,25 ®iĨm   C = (u + v )1 + 2  + uv b) ta có áp dụng BĐT Bunhiac«pxki ta cã = (u + v ) ≤ 2(u + v ) ⇒ u + v ≥ 1 ≥ ⇒ 2 ≥ 16 uv L¹i cã (u + v) ≥ 4uv nªn uv 25 25 ⇒ A ≥ (1 + 16) + = ⇒ MinA = ⇔u=v= 2 2 0,25 ®iĨm - §KX§: x ≥ −1; y ≥ Ta thÊy: + NÕu x + > y − th× x+3>y-3; x+5>y-1 ⇒ x +1 + x + + x + > y − + y − + y − (1) + NÕu x+1 ; x ≠ x ta thÊy với (theo BĐT Cô-Si)suy Q= x = P §iĨm ®iĨm ®iĨm ®iĨm 7±3 < Q < Vì Q nguyên nên Q=1 (t/m) Ta thÊy: nÕu ( x1 , x2 , , x2005 ) nghiệm hệ x1 , x2 , , x2005 phải dấu khác ®ång thêi ( − x1 ,− x2 , , − x2005 ) cịng lµ ⇒x= nghiƯm cđa hƯ Do ®ã ta xÐt víi trêng hỵp x1 , x2 , , x2005 dơng - áp dụng BĐT Cô-Si ta cã: (1) C©u xi + ≥2 xi (i=1, 2, 3, ,2005) Từ phơng trình hệ (1) ta đợc xi xi (2) Mặt khác : cộng vế với vế phơng trình hệ ta đợc x1 + x2 + + x2005 = 1 + + + x1 x2 x2005 0,5 ®iĨm 0,5 ®iĨm 0,5 ®iĨm (3) Tõ (2) vµ (3) suy : x1 = x2 = = x2005 = VËy hƯ ®· cho cã hai nghiƯm lµ x1 = x2 = = x2005 = 0,5 điểm Và x1 = x2 = = x2005 = Câu Gọi H trung điểm BE Ta có: HK đờng trung bình hthang OEBI ⇒ HK // OE // BI Mµ: OE AB HK BE BKE cân K BEK = KBE (1) Mặt khác ABK = ∠ACK (2) 49 0,5 ®iĨm ®iĨm https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Tõ (1) vµ (2) ⇒ ∠KEB = ∠KBE = ∠KCA ⇒ tø giác EACK nội tiếp (đpcm) ( AC + BD) AB CD AB AB S ABCD = = ≥ = R (1) 2 Ta cã KỴ MH ⊥ AB 1 S AMB = MH AB ≤ MO AB = R 2 Ta có (2) Câu 0,5 điểm 2 Từ (1) vµ (2) S ACM + S BDM = S ABCD − S AMB ≥ R − R = R 0,5 ®iĨm ⇒ Min ( S ACM + S BDM ) = R M điểm trung ®iĨm cđa cung AB a2 b2 +1+ a + +1+ b + −2 1− a 1− b a+b Ta cã 1 ⇔M = + + −2 1− a 1− b a + b M = C©u 0,5 điểm áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có: 1   + +  [ (1 − a ) + (1 − b) + (a + b)] ≥ (1 + + 1) 1− a 1− b a + b  1 9 ⇒ + + ≥ ⇒ MinM = − = ⇔ a = b = 1− a 1− b a + b 2 0,5 ®iĨm 0,5 điểm 50 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ đề khảo sát số đội tuyển toán Phòng giáo dục yên lạc Trờng THCS trung kiên =====*****===== Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1: x − ax − =0 Cho phơng trình (*) (a tham số) a) Giải phơng tr×nh (*) víi a = − b) Gäi x1 , x2 hai nghiệm phơng trình (*) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = ( x1 − x2 )  1 +  x1 − x2 + −  x1 x2  Câu 2: Cho p số nguyên tố Chøng minh r»ng ( p!) − p p Câu 3: a) Tìm số A có hai chữ số cho bốn mệnh đề sau có hai mƯnh ®Ị ®óng, hai mƯnh ®Ị sai 1) A chia hÕt cho 2) A chia hÕt cho 23 3) A+7 số phơng 4) A-10 số phơng b) Cho x, y >0 thoả mÃn điều kiÖn   x ≥ y ≥  xy 15 Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc C©u 4: B= 51 1 + x y https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Cho tam gi¸c ABC cã AB=2AC, phân giác AD Gọi r , r1 , r2 lần lợt bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác ABC, ACD ABD P nửa AD = Pr    + −P  r1 r2  chu vi tam gi¸c ABC Chøng minh : Câu 5: Bên đờng tròn (O,R) vẽ đợc hay không 25 đờng tròn R bán kính mà đờng tròn đôi không cắt HÕt -C¸n bé coi thi không giải thích thêm đề thi olympic tháng 11 Phòng giáo dục yên lạc Trờng THCS trung kiên Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) =====*****===== Câu 1: (2 điểm) Cho số dơng x, y, z thoả mÃn điều kiÖn  xy + x + y =   yz + y + z =  zx + z + x = 15 Tính giá trị biểu thức P=x+y+z Câu 2: (3 điểm) a) Giải phơng trình (x + b) Giải hệ phơng trình )( ) x + x + x + 18 = 168 x  x − yz =   y − xz =  z − xy =  C©u 3: (1,5 ®iÓm) Chøng minh r»ng 1 1 1 + + ≥ + + a + 3b b + 3c c + 3a a + 2b + c b + 2c + a c + 2a + b Trong a, b, c số dơng Đẳng thức xảy ? Câu 4: (2,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A có đỉnh A, B cố định đỉnh C thay đổi nửa đờng thẳng At vuông góc với AB A Gọi I tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC P, Q, R lần lợt tiếp điểm đờng tròn với cạnh AC, BC, AB Đờng thẳng PQ AI cắt D a) Chứng minh rằng: B, D, Q, R nằm đờng trßn 52 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ b) Chøng minh r»ng C thay đổi nửa đờng thẳng At, đờng thẳng PQ đI qua điểm cố định câu 5: (1,5 điểm) Cho góc vuông xAy điểm B, C khác A di động tia Ax, Ay tơng ứng Tìm giá trị nhỏ biểu thức BC AB + AC - HÕt C¸n bé coi thi không giải thích thêm Phòng giáo dục yên lạc đáp án đề thi olympic tháng 11 Môn: Toán Trờng THCS trung kiên =====*****===== Câu Câu Câu Nội dung trình bày xy + x + y = ⇒ x ( y + ) + ( y + 1) = ⇔ ( x + 10( y + 1) = Tõ T¬ng tù cã: yz + y + z = ⇔ ( y = 1)( z + 10 = zx + z + x = 15 ⇔ ( x + 1)( z + 1) = 16 Nh©n vÕ víi vÕ cđa ba đẳng thức ta đợc ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) = 4.9.16 ⇒ ( x + 1)( y + 1)( z + 1) = 2.3.4 = 24 (Do x,y,z>0) §iĨm 0,5 ® 0,5 ® ⇒ z +1 = ⇔ z = y +1 = ⇔ y = 2 x +1 = ⇔ x = 3 0,5 ® 43 + +5 = Khi P=x+y+z= a) ĐK: x ≥ 0,5 ® pt ®· cho ⇔ ( )( )( x + 6) x +1 ( x +2 ⇔ x+6 x +3 ( )( x −1 ) x = = 168 x 0,5 ® = 169 x ⇔ x + x + = 13 x ⇔ )( ) (Do x ≥ vµ x ≥ ) x −6 =  x −1 = ⇔ ⇔  x − = 0,5 ® x =  x = 36  Vậy tập nghiệm phơng trình đà cho S = {1;36} 53 0,5 ® https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ b) LÊy pt thø trừ pt thứ hai ta đợc phơng trình x − y + z ( x − y ) = ⇔ ( x − y )( x + y + z ) = (*) Tõ (*) suy x − y ≠ 0; x + y + z ≠ LÊy pt thø hai trõ pt thứ ba ta đợc pt y z + x( y − z ) = ⇔ ( y − z )( x + y + z ) = ⇔ y − z = (Do x + y + z ≠ ) ⇔ y = z ⇒ y ( y − z ) = ⇔ y = (Do x ≠ y ) tõ ®ã cã x = ⇔ x = ±1 hệ đà cho có nghiệm: (1,0,0); (-1,0,0) Câu 1 + ≥ Víi x, y >0 ta cã x y x + y DÊu “=” x¶y x = y Vì a, b, c >0 nên áp dụng BĐT ta lần lợt có 1 + ≥ = a + 3b b + 2c + a (a + 3b) + (b + 2c + a ) a + 2b + c (1) 1 + ≥ b + 3c c + 2a + b b + 2c + a (2) 1 + ≥ c + 3a a + 2b + c c + 2a + b (3) Céng vÕ víi vế ba BĐT (1), (2), (3) ta đợc đpcm a + 3b = b + 2c + a  b + 3c = c + 2a + b ⇔ a = b = c c + 3a = a + 2b + c DÊu “=” x¶y  a) Chứng minh B, D, Q, R thuộc đờng tròn 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,5 đ 1,5 đ Câu Ta có AR=AP (t/c tt cắt nhau) IR=IP (I tâm ) Suy AI lµ trung trùc cđa RP ⇒ DR=DP ⇒ DPR cân D RDQ = DRP + DPR = 2∠DPR = ∠RIQ 0 Mµ ∠RIQ + ∠B = 180 ⇒ ∠RDQ + ∠B = 180 ⇒ ®pcm b) dễ thấy D thuộc đờng tròn ngoại tiếp tứ giác BRIQ nên BDI = 900 BDA vuông cân D (D thuộc nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng thẳng At) D điểm cố định Vậy đờng thẳng PQ qua điểm D cố định (đpcm) 54 1đ https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ ( ) áp dụng BĐT Bunhia côp- xki cho cặp số 1; ; ( AB, AC ) ( AB + AC ) ( ) ≤ AB + AC = BC 0,5 ® ⇒ AB + AC ≤ BC C©u ⇒ BC ≥ AB + AC DÊu “=” x¶y 1® AB AC AC = ⇔ = ⇔ cot gC = ⇔ ∠C = 300 AB Vậy GTNN biểu thức đà cho 1/2 tam giác ABC vuông A góc C 300 Phòng giáo dục huyện Yên lạc Trờng thcs trung kiên =====*** ===== đề thi khảo sát đội tuyển Môn: Toán Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Phần I: Trắc nghiệm (3 điểm) Câu 1: Cho hình vuông cạnh a Lấy đờng chéo hình vuông làm cạnh đáy ta dựng tam giác có diện tích diện tích hình vuông Chiều cao tam giác ứng với cạnh đáy là: A a B 2 D a C 2a n n E a + 1 +  − 1 −    +   f ( n) = 10   10   C©u 2: Cho Ta cã f(n+1)-f(n-1) b»ng: f (n) A B f(n) C 2f(n)+1 D f (n) E f ( n) − [ ] 55 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Câu 3: Một đờng tròn nội tiếp tam giác cạnh có độ dài 8, 13 17 Tiếp điểm ứng với cạnh có độ dài chia đoạn thành hai đoạn có độ dài r s ( víi r < s) ThÕ th× tØ sè r:s lµ: A 2:3 B 2:5 C 1:2 D 1:3 E 3:4 Câu A Phần x + x + 13 4: Víi x ≥ gi¸ trị nhỏ biểu thức 6(1 + x) là: 25 13 B 12 C D II: Tù ln (7 ®iĨm)  x + y + z =  3 5: T×m tÝch xyz biÕt  x + y + z = Câu Câu 6: a) Giải phơng trình ( )( x + 8x + = x + x + 1 + y − y 34 E )  x − + y − =  b) Xác định m để hệ sau có nghiệm x + y = 3m Câu 7: Cho tam giác ABC vuông cân A, trung tuyến AD M điểm thay đổi đoạn AD Gọi N P theo thứ tự hình chiếu vuông góc M xuống AB AC, H hình chiếu vuông góc N PD a) Chứng minh ba điểm B, M, H thẳng hàng b) Xác định vị trí điểm M để tam giác AHB có diện tích lín nhÊt c) Chøng minh r»ng M thay ®ỉi, đờng thẳng HN qua điểm cố định Câu 8: Giả sử a, b, c số không âm thoả mÃn điều kiện: a+b+c =4 Chứng minh r»ng: ≤ a + b + b + c + c + a ≤ - HÕt C¸n bé coi thi không giải thích thêm Phòng giáo dục yên lạc Trờng THCS trung kiên =====*****===== Phần Trắc nghi ệm Câ u đáp án đề khảo sát đội tuyển toán Thời gian làm bài: 150 phút Nội dung trình bày A B D C 56 §iĨ m https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Do x + y + z = ⇒ x ≤ 1; y ≤ 1; z ≤ 2 3 Mặt khác ta có ( x + y + z ) − ( x + y + z ) = ⇔ x (1 − x) + y (1 − y ) + z (1 − z ) =  x (1 − x) =  ⇔  y (1 − y ) =  z (1 − z ) = 2  (do x (1 − x ); y (1 − y ); z (1 − z ) ≥ ) + NÕu x, y, z từ hệ suy x=y=z=1 mâu thuÉn 2 víi x + y + z = VËy ba sè x, y, z ph¶i cã Ýt nhÊt mét sè b»ng suy x.y.z=0 a) Pt ®· cho ⇔ x + 8x + = − y + 4y +1 4 x + 2x +1 (Do x + x + > )  x −1   = − ( y − ) ⇔ +   x +1 (*) Ta thÊy pt (*) cã VT ≥ 5; VP ≤  x =  x −    =  x −1 = y = ⇔  x +  ⇔ ⇔  x = −1 y − =   ( y − ) =  y = Do ®ã VT=VP Tù ln VËy tËp nghiƯm cđa phơng trình đà cho S = { (1;2), (1;2)} b) TXĐ: x 4; y Đặt x − = u; y − = v; (u , v ≥ 0) u + v = u + v =  ⇔  21 − 3m u + v = 3m − uv = Hệ đà cho có dạng Theo định lý Vi-ét đảo ta có u, v hai nghiệm không 21 3m = (**) âm phơng trình Hệ đà cho có nghiệm pt (**) có hai nghiệm không âm 21 3m ∆ ' = −  21 − 3m 13  ⇔ t t = ≥0 ⇔ ≤m≤7  t + t = ≥   13 ≤m≤7 VËy víi hệ đà cho có nghiệm t 4t + 57 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ a) Gọi E giao điểm PD với đt vuông góc với AB B Ta cã ∆CPD=∆BED (g.c.g) ⇒BE=CP (1) L¹i cã AN=AP (tø giác ANMP hv) (2) Từ (1) (2) suy BN=BE suy Gãc NEB=450 + CM gãc BHN=450 Tơng tự Chứng minh góc AHN=450 từ suy gãc AHB=900 + Chøng minh gãc MHA=900 Tõ ®ã suy B, M, H thẳng hàng b) Gọi H hình chiếu H lên AB S AHB = AB.HH ' Do AB không đổi nên SAHB lín nhÊt ta cã HH’ lín nhÊt L¹i cã H thuộc cung tròn đờng kính AB nên HH lớn nhÊt MaxS ABH = BC H trïng D ta có M trùng D c) Theo (a) có HN phân giác góc AHB Gọi I giao điểm HN với đờng tròn đờng kính AB ta có I điểm cung AB suy I cố định (Đpcm) Đặt a + b = x; b + c = y; c + a = z; ( x, y, z > 0) 2 2 áp dụng BĐT 3( x + y + z ) ≥ ( x + y + z ) dÊu “=” x¶y ⇔x= y=z 2 2 Ta cã x + y + z = ( x + y + z ) ≤ 3( x + y + z ) a + b + b + c + c + a ≤ 3.8 = (1) DÊu “=” x¶y ⇔ a=b=c= Mặt khác a + b ⇔ ≤ a + b ≤ Hay Nªn ta cã a+b ( ) a + b − ≤ ⇔ a + b ≤ a + b (2) T¬ng tù ta cã b + c ≤ b + c (3) b+c ≤ b+c (4) Céng vÕ víi vÕ cđa (2), (3), (4) ta cã ≤ a + b + b + c + c + a (5) DÊu “=” x¶y mét ba sè a, b, c b»ng hai số lại Từ (1) (5) ta cã ®pcm 58 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 59 ... 225 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 8=110k; 60 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k 35 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN HÀ NỘI=40k 320 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN HUYỆN=160k; 257 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN CẤP TỈNH=130k 64 ĐỀ ĐÁP ÁN. .. 225 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 8=110k; 60 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k 35 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN HÀ NỘI=40k 320 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN HUYỆN=160k; 257 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN CẤP TỈNH=130k 64 ĐỀ ĐÁP ÁN. .. BỘ ĐỀ ĐÁP ÁN HSG MƠN TỐN CẤP HUYỆN, TỈNH FILE WORD Zalo 0946095198 200 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 6=100k; 70 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k 270 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 7=140k; 70 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG