CHUYÊN đề 15 LIÊN hệ PHÉP CHIA có dư với PHÉP CHIA hết (41 trang)

1 CHUYÊN ĐỀ.LIÊN HỆ PHÉP CHIA CÓ DƯ VỚI PHÉP CHIA HẾT BÀI TOÁN ƯỚC VÀ BỘI ƯỚC CHUNG (ƯCLN) VÀ BỘI CHUNG (BCNN) A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT I KIẾN THỨC CẦN NHỚ Ước Bội số nguyên Với a, b  Z b  Nếu có số nguyên q cho a = b.q ta nói a chia hết cho b Ta cịn nói a bội b b ước a Nhận xét - Nếu a = b.q ta nói a chia cho b q viết a : b  q - Số bội số nguyên khác Số ước số nguyên - Các số -1 ước số nguyên Liên hệ phép chia có dư với phép chia hết Nếu số tự nhiên a chia cho số tự nhiên b số dư k số (a – k) ⋮ b Ước chung hai hay nhiều số ước tất số Ước chung số a, b, c kí hiệu ƯC(a, b, c) Bội chung hai hay nhiều số bội tất số Bội chung số a, b, c kí hiệu là: BC(a, b, c) Ước chung lớn Bội chung nhỏ * Ước chung lớn hai hay nhiều số số lớn tập hợp ước chung số * Bội chung nhỏ hai hay nhiều số số nhỏ khác không tập hợp bội chung số II.BÀI TẬP VẬN DỤNG Dạng 1: Tìm số tự nhiên n để thỏa mãn điều kiện chia hết (số cho số tự nhiên, số nguyên) Bài tập Tìm số tự nhiên n để (3n + 14) chia hết cho (n + 2) Hướng dẫn Ta có 5n + 14 = 5.(n + 2) + Mà 5.(n +2) chia hết cho (n +2) Do (5n + 14) chia hết cho (n +2)  chia hết cho (n + 2)  (n + 2) ước  (n +2)  1 ; ; 4  n  0 ; 2 Vậy với n 0; 2 (5n + 14) chia hết cho (n +2) Bài tập Tìm số tự nhiên n để n  15 số tự nhiên n3 Hướng dẫn Để n  15 số tự nhiên (n + 15) chia hết cho (n + 3) n3  [(n + 15) - (n + 3)] chia hết cho (n + 3)  12 chia hết cho (n +3)  (n + 3) Ư(12) = 1; 2; 3; 4; 6; 12  n  0; 1; 3; 9 Vậy với n  0; 1; 3; 9thì n  15 số tự nhiên n3 Bài tập 3.Tìm số tự nhiên n để 3n + chia hết cho n – Hướng dẫn Để 3n  4n n n 1 1.(3n 4) 3.(n 1) n n n n hay n – Vậy với n = n = 3n + n–1 Bài tập Tìm số tự nhiên cho 4n - chia hết cho 2n - Hướng dẫn Ta có 4n-5 = 2( 2n-1) - Để 4n-5 chia hết cho 2n-1 chia hết cho2n-1 Với 2n-1=1 => n=1 Với 2n-1=3 => n=2 n = 1;2 Bài tập 5.Tìm số tự nhiên n để n2 + 3n +  n + Hướng dẫn n2 + 3n +  n + n (n + 3) +  n +   n + => n +  Ư(6) = {1; 2; 3; 6} => n = 0; n = Bài tập Tìm a  N để a + bội a – Hướng dẫn Để a +1 bội a -1 nên => a – ∈ Ư(2) = {-1,1,2} a 1 a 1 số nguyên  1 a 1 a 1 a 1 Ư(7) => a ={0,2,3} (thỏa mãn a ∈ N) Bài tập 7.Tìm số nguyên n để:  n2  2n chia hết cho n  Hướng dẫn Ta có  n2  2n = + n(n – 2) =>  n2  2n ⋮ (n – 2) ⋮ (n – 2) => n – ∈ Ư(5) = {-5, -1, 1, 5} => n ∈ {- 3, 1, 3, 7} n 1 Bài tập 8.Tím tất số nguyên n để phân số n  có giá trị số nguyên Hướng dẫn n 1  n  số nguyên (n+1) (n-2) Ta có (n+1) =  (n  2)  3 Vậy (n+1)  (n - 2)  (n-2) (n-2)  Ư(3) = 3; 1;1;3 => n  1;1;3;5 Bài tập Cho A = n 1 Tìm n nguyên để A số nguyên n4 Hướng dẫn A= n 1 n 45 =  1 n4 n4 n4 Với n nguyên, A nhận giá trị nguyên   n + hay n +  Ư(5) Lập luận tìm n = -9, -5, -3, Bài tập 10.Tìm số nguyên n để phân số 4n  có giá trị số nguyên 2n  Hướng dẫn Ta có: 4n  4n   n(2n  1)  7 =  n 2n  2n  2n  2n  Vì n nguyên nên để 4n  nguyên nguyên 2n  2n  => 2n –  Ư(7) = {–7; –1; 1; 7}  2n  {– 6; 0; 2; 8}  n  {– 3; 0; 1; 4} Vậy với n  {– 3; 0; 1; 4} 4n  có giá trị số nguyên 2n  Bài tập 11.Tìm số tự nhiên n để biểu thức sau số tự nhiên: B = 2n  5n  17 3n   n2 n2 n2 Hướng dẫn B= 2n  5n  17 3n 2n   5n  17  3n 4n  19     n2 n2 n2 n2 n2 B= 4n  19 4(n  2)  11 11   4 n2 n2 n2 Để B số tự nhiên 11 số tự nhiên n2  11  (n+2)  n +  Ư(11) = 1; 11 Do n + > nên n + = 11  n = Vậy n = B  N Dạng Tìm số nguyên dương biết số yếu tố có kiện ưcln bcnn * Nếu biết ƯCLN(a, b) = K a = K.m b = K.n với ƯCLN(m; n) = (là diều kiện số m, n cần tìm) , từ tìm a b * Nếu biết BCNN (a, b) = K ta gọi ƯCLN(a; b) = d a = m.d b = n.d với ƯCLN(m; n) = (là diều kiện số m, n cần tìm) , từ tìm a b Bài tập Tìm hai số nguyên dương a, b biết a + b = 128 ƯCLN(a, b) = 16 Hướng dẫn Giả sử a ≤ b Ta có ƯCLN(a, b) = 16 => a = 16m ; b = 16n với m, n thuộc Z+ ; ƯCLN(m, n) = ; m ≤ n Ta có: a + b = 128 => 16(m + n) = 128 => m + n = Vì ƯCLN(m, n) = nên: Trường hợp 1có: m = 1, n = => a = 16, b = 112 Trường hợp có: m = 3, n = => a = 48, b = 80 Bài tập Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 216 ƯCLN(a, b) = Hướng dẫn Giả sử a ≤ b Do ƯCLN (a, b) = => a = 6m ; b = 6n với m, n thuộc Z+ ; ƯCLN (m, n) = ; m ≤ n Ta có ab = 6m.6n = 36mn => ab = 216 => mn = Vì ƯCLN (m, n) = nên: Trường hợp có: m = 1, n = => a = 6, b = 36 Trường hợp có: m = 2, n = => a = 12, b = 18 Bài tập Tìm hai số nguyên dương a, b biết a/b = 2,6 ƯCLN (a, b) = Hướng dẫn ƯCLN(a, b) = => a = 5m ; b = 5n với m, n thuộc Z+ ; ƯCLN(m, n) = Ta có: a/b = m/n = 2,6 => m/n = 13/5 , mà ƯCLN(m, n) = => m = 13 n = => a = 65 b = 25 Bài tập Tìm a, b biết a + b = 42 BCNN (a, b) = 72 Hướng dẫn Gọi d = ƯCLN(a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; ƯCLN(m, n) = Khơng tính tổng qt, giả sử a ≤ b => m ≤ n Do : a + b = d(m + n) = 42 (1) BCNN (a, b) = mnd = 72 (2) => d ước chung 42 72 => d thuộc {1 ; ; ; 6} Lần lượt thay giá trị d vào (1) (2) để tính m, n => Chỉ có trường hợp d = => m + n = mn = 12 => m = n = (thỏa mãn điều kiện m, n) Vậy d = a = 3.6 = 18 , b = 4.6 = 24 Bài tập Tìm a, b biết a - b = 7, BCNN (a, b) = 140 Hướng dẫn Gọi d = ƯCLN(a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; ƯCLN(m, n) = Do : a - b = d(m - n) = BCNN (a, b) = mnd = 140 (1’) (2’) => d ước chung 140 => d thuộc {1 ; 7} Thay giá trị d vào (1’) (2’) để tính m, n ta kết : d = => m - n = mn = 20 => m = 5, n = (thỏa mãn điều kiện ƯCLN(m, n) = 1) Vậy d = a = 5.7 = 35 ; b = 4.7 = 28 Bài tập Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 180, BCNN (a, b) = 60 Hướng dẫn Ta có ƯCLN(a, b) = ab/BCNN (a, b) = 180/60 = Tìm (a, b) = 3, toán đưa dạng Bài tập Kết : a = 3, b = 60 a = 12, b = 15 Bài tập Tìm a, b biết a/b = 4/5 BCNN (a, b) = 140 Hướng dẫn Đặt ƯCLN(a, b) = d Vì , a/b = 4/5 , mặt khác ƯCLN(4, 5) = nên a = 4d, b = 5d Lưu ý BCNN(a, b) = 4.5.d = 20d = 140 => d = => a = 28 ; b = 35 Bài tập Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 216 ƯCLN (a,b) = Hướng dẫn Giả sử a ≤ b Do (a, b) = => a = 6m ; b = 6n với m, n thuộc Z+ ; ƯCLN(m, n) = ; m ≤ n Vì : ab = 6m.6n = 36mn => ab = 216 => mn = Vì ƯCLN(m, n) = nên: Trường hợp có m = 1, n = => a = 6, b = 36 Trường hợp có m = 2, n = => a = 12, b = 18 Bài tập Tìm hai số tự nhiên a b, biết: BCNN(a,b) = 300; ƯCLN(a,b) =15 a +15= b Hướng dẫn + Vì ƯCLN(a, b) = 15, nên tồn số tự nhiên m n khác 0, cho: a = 15m; b = 15n (1) ƯCLN(m, n) = (2) + Vì BCNN(a, b) = 300, nên theo trên, ta suy :  BCNN 15m; 15n   300  15.20  BCNN  m; n   20 (3) + Vì a + 15 = b, nên theo trên, ta suy :  15m  15  15n  15. m  1  15n  m 1  n (4) Trong trường hợp thoả mãn điều kiện (2) (3), có trường hợp : m = 4, n = thoả mãn điều kiện (4) Vậy với m = 4, n = 5, ta số phải tìm : a = 15 = 60; b = 15 = 75 Bài tập 10 Tìm hai số a,b biết bội chung nhỏ a; b 420, ƯCLN(a;b) = 21 a + 21 = b Hướng dẫn + Vì ƯCLN(a, b) = 21, nên tồn số tự nhiên m n khác 0, cho: a = 21m; b = 21n ƯCLN(m, n) = (1) (2) + Vì BCNN(a, b) = 420, nên theo trên, ta suy ra:  BCNN  21m; 21n   420  21.20  BCNN  m; n   20 (3) + Vì a + 21 = b, nên theo trên, ta suy ra:  21m  21  21n  21. m  1  21n  m 1  n Trong trường hợp thoả mãn điều kiện (2) (3), có Trường hợp: m = 4, n = m = 2, n = thoả mãn điều kiện (4) (4) Vậy với m = 4, n = m = 2, n = ta số phải tìm là: a = 21.4 = 84; b = 21.5 = 105 Bài tập 11 Tìm hai số tự nhiên biết: Hiệu chúng 84, ƯCLN chúng 28 số khoảng từ 300 đến 440 Hướng dẫn Gọi hai số phải tìm a b ( a, b  N* , a > b) Ta có: ƯCLN(a, b) = 28 nên a = 28k b = 28q Trong k, qN*và k, q nguyên tố Ta có : a - b = 84  k - q = Theo ra: 300 ≤ b < a ≤ 440  10 < q < k q = 11và k = 14 Ta có : a = 28 11 = 308 ; b = 28 14 = 392 Vậy hai số phải tìm 308 392 Dạng 3: Liên hệ phép chia có dư với phép chia hết, bcnn, ưcln * Nếu số tự nhiên a chia cho số tự nhiên b số dư k => a – k ⋮ b * Nếu a ⋮ b a ⋮ c mà ƯCLN(a, b) = => a chia hết cho tích b.c (a, b, c ∈ N) * Nếu a ⋮ b a ⋮ c mà a số nhỏ => a = BCNN(a, b) (a, b, c ∈ N) * Nếu a ⋮ b m ⋮ b mà b lớn => b = Ư CLN(a, m) (a, b, m ∈ N) Bài tập 1: Một số tự nhiên chia cho dư 5, chia cho 13 dư Nếu đem số chia cho 91 dư bao nhiêu? Hướng dẫn Gọi số a Vì a chia cho dư 5, chia cho 13 dư  a  7; a  13 mà ƯCLN(7,13) = nên a  7.13  a+9=91k  a = 91k - = 91k - 91+ 82 = 91(k - 1) + 82 (k  N) Vậy a chia cho 91 dư 82 Bài tập 2: Tìm số tự nhiên a biết chia 355 cho a ta số dư 13 chia 836 cho a có số dư Hướng dẫn Theo đề chia 355 cho a ta số dư 13 nên ta có 355  a.m  13 với m  N * a  13 hay a.m  342  18.19 (1) chia 836 cho a ta số dư => Ta có 836  a.n   a.n  828  18.46 với n  N * (2) Từ (1) (2) suy a  18 số tự nhiên cần tìm Bài tập 3: Một số chia cho dư 3, chia cho 17 dư 12, chia cho 23 dư Hỏi số chia cho 2737 dư bao nhiêu? Hướng dẫn Gọi số cho A Theo ta có: A = 7.a + = 17.b + 12 = 23.c + Mặt khác: A + 39 = 7.a + + 39 = 17.b + 12 + 39 = 23.c + + 39 = 7.(a + 6) = 17.(b + 3) = 23.(c + 2) Như A+39 đồng thời chia hết cho 7,17 23 Nhưng Ư CLN(7,17,23) = => (A + 39)  7.17.23 nên (A+39)  2737 => A+39 = 2737.k => A = 2737.k - 39 = 2737.(k-1) + 2698 Do 2698 < 2737 nên 2698 số dư phép chia số A cho 2737 Bài tập 4: Tìm số tự nhiên lớn có chữ số, cho chia cho dư chia cho 31 dư 28 Hướng dẫn: Gọi số cần tìm a ( a  N,100  a  999 ) Vì a chia cho dư chia cho 31 dư 28 nên: a  a   8 a  a   64 a  65      a  28 31 a  28  31 31 a  31 a   62 31 a  65 31 Vì (8, 31) = nên a + 65 (8.31) hay a + 65 248  a = 248k – 65 (k  N*) Vì a số có chữ số lớn nên k = 4, a = 248.4 – 65 = 927 Vậy số cần tìm 927 Bài tập 5: Tìm số tự nhiên nhỏ có chữ số biết số chia cho 4,6,7 dư Hướng dẫn ọi số cần tìm a điều kiện a  N,a  100 Vì a chia cho 4, 6, dư  a  4,6,7 Mà a nhỏ => a – nhỏ => a- = BCNN(4,6,7) Mà ƯCLN(4, 6, 7) = => BCNN(4,6,7) = 4.7.6 = 168  a   168  a  171 Vậy số cần tìm 171 Bài tập 6: Tìm số tự nhiên nhỏ cho chia cho 11 dư 6, chia cho dư 1và chia cho 19 dư 11 Hướng dẫn ọi số cần tìm a ta có: (a - 6) 11 ; (a - 1) ; (a - 11) 19 => (a - + 33) 11 ; (a - + 28) ; (a - 11 +38 ) 19 => (a +27) 11 ; (a +27) ; (a +27) 19 Mà a nhỏ => a + 27 nhỏ => a + 27 = BCNN(11, 4, 9) Do ƯCLN (4 ; 11 ; 19) = => BCNN(11, 4, 9) = 11.4.9 = 396 => a + 27 = 396 => a = 369 Bài tập 7: Tìm số tự nhiên a nhỏ cho: a chia cho dư 3, a chia cho dư Hướng dẫn Ta có: a = 5q + ; a = 7p + Xét a +17 = 5q + 20 = 7p + 21 => a 17 chia hết cho => a 17 bội chung Vì a số tự nhiên nhỏ nên a +17 = BCNN(5,7) = 35 => a = 18 Bài tập 8: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết số chia cho 3, cho 4, cho 5, cho dư 2, cịn chia cho dư Hướng dẫn Gọi số tự nhiên a, ta có a – = BC(3; 4; 5; 6) Mà BC( 3; 4; 5; 6) = 60; 120; 180; 240; … Nên a nhận giá trị 62; 122; 182; 242 … Mặt khác a số nhỏ chia cho dư tức (a – 3) số nhỏ chia hết cho => a = 122 (vì a = 62 62 – = 59 khơng chia hét cho 7) Bài tập 9: Học sinh khối xếp hàng; xếp hàng 10, hàng 12, hàng15 dư học sinh Nhưng xếp hàng 11 vùa đủ Biết số học sinh khối chưa đến 400 học sinh.Tính số học sinh khối 6? Hướng dẫn Gọi số Hs khối a (3 x = 235 Số HS lớp 6A (235 - 26) : 11 + = 20 HS Số HS lớp 6B (235 - 25) : 10 + = 22 HS Bài tập 12: Số học sinh khối trờng cha đến 400 bạn, biết xếp hàng 10; 12; 15 dư xếp hàng 11 khơng dư Tính số học sinh khối trường Hướng dẫn Gọi số học sinh a (a  Z*) Ta có a -  BC(10; 12; 15) a - = 60k (k  N*)  a = 60k + k a 63 123 183 243 303 363 423 Ta xem k a < 400 a với giá trị 11 Trong giá trị trên, có a = 363 < 400 a 11 27 Vậy 777 ƯCLN A B Bài 41 Tìm số tự nhiên x, y cho:  2x  1 y  5  12 Lời giải Ta có 2x  1; y  ước 12 mà 12  1.12  2.6  3.4  2x    x  0; y  17 Do 2x  lẻ    2x    x  1; y  Vậy  x; y    0;17  ; 1;9  Bài 42 Cho A         19  20 a) A có chia hết cho 2, cho 3, cho khơng ? b) Tìm tất ước A Lời giải a) A  1  2    4    6   19  20   1   1   1    1  10. 1  10 Vậy A 2, A , A không chia hết cho b) Các ước A: 1, 2, 5, 10 Bài 43 Tìm hai số tự nhiên a b, biết: BCNN  a, b   300; UCLN  a, b   15 a  15  b Lời giải Từ liệu đề cho, ta có : Vì ƯCLN (a,b)=15 nên tồn số tự nhiên m n khác 0, cho: a  15m;b  15n (1) UCLN  m, n   (2) Vì BCNN  a, b   300, nên theo trên, ta suy  BCNN 15m,15n   300  15.20  BCNN  m, n   20 (3) Vì a  15  b, nên theo ta suy ra:  15m  15  15n  15  m  1  15n  m   n (4) Trong trường hợp thỏa mãn điều kiện    3 , có trường hợp m  4; n  thỏa mãn điều kiện   Vậy với m  4, n  ta số phải tìm là: a  15.4  60;b  15.5  75 Bài 44 Cho ababab số có chữ số Chứng tỏ số ababab bội Lời giải Ta có: ababab  ab.10000  ab.100  ab  10101ab 3(do 10101 3) 28 Bài 45 Tìm hai số tự nhiên a, b thỏa mãn điều kiện: a  2b  48  a, b   3 a, b  114a  2b  48 Lời giải a  2b  48  a 2; 3 a, b   a, b   a  a a  2b  48  a  48  a 6;12;18;24;30;36;42 a 12 18 24 30 36 42 b 21 18 15 12 3 12 42 36 90 24 90 36 42 129 114 273 84 114 114 129  a, b   a, b   a, b    a, b   a  12; b  18 Vậy   a  36; b  Bài 46 174   a, b   a Tìm số tự nhiên thỏa mãn: BCNN  UCLN  174 Lời giải  a, b  a, b  174;3a  b  114  b 3; a, b Mà 3a  b  114  3a  114  a  38 a 12 15 18 21 24 27 30 33 36 b 105 96 87 78 69 60 51 42 33 24 15  a, b  6 6 6  a, b  105 96 261 156 345 180 357 168 297 120 165 36 Tổng 108 112 264 162 348 186 360 174 300 126 168 42 Bài 47 Tìm số tự nhiên a, b thỏa mãn điều kiện: a  2b  49 a, b   a, b   56 Lời giải ọi  a, b   d a  2b  49  49 d; a, b  d  56  56 d   56,49  d  d 0;7 29 Nếu d   ab  a, b  a, b   56  a, b  55  ab  55 A 55 11 B 55 11 Thay vào a  2b  49 giá trị không thỏa mãn Nếu d   ab  a, b  a  7a'; b  7b';  a', b'    a' b'  a'  1; b'   a  7, b  49(ktm) a'  7, b'   a  49, b  7(ktm) Vậy khơng có hai số a, b thỏa mãn điều kiện đề Bài 48 Tìm hai số tự nhiên a, b có hai chữ số a.b  448 UCLN (a, b)  Lời giải a  4k Vì UCLN(a, b)    ,  k,l    b  4l Do a.b  448   4k   4l   448  16kl  448  kl  28 Mà 28  1.28  4.7 Ta có trường hợp sau: a  Nếu k   l  28   (ktm)  b  112 Bài 49 Tìm hai số tự nhiên a b, biết: BCNN  a, b   300; UCLN  a, b   15 a  15  b Lời giải Từ liệu đề cho, ta có : Vì UCLN (a,b)=15 nên tồn số tự nhiên m n khác 0, cho: a  15m; b  15n (1) UCLN  m,n   (2) Vì BCNN  a, b   300, nên theo trên, ta suy  BCNN 15m,15n   300  15.20  BCNN  m,n   20 (3) Vì a  15  b, nên theo ta suy ra:  15m  15  15n  15  m  1  15n  m   n (4) Trong trường hợp thỏa mãn điều kiện    3 , có trường hợp m  4;n  thỏa mãn điều kiện   30 Vậy với m  4,n  ta số phải tìm là: a  15.4  60; b  15.5  75 Bài 50 Tìm hai số tự nhiên biết tổng chúng 84 UCLN chúng Lời giải ọi hai số tự nhiên phải tìm a, b  a  b  a  6a' Ta có:  a, b      a', b'  1 a', b'   b  6b'  Do a  b  84   a' b'   84  a' b'  14 Chọn cặp số a', b' nguyên tố có tổng 14  a'  b'  ta có trường hợp sau: a'  1; b'  13  a  6, b  78 a'  3; b'  11  a  18; b  66 a'  5; b'   a  30; b  54 Bài 51 Tìm Ư CLN  2n  1;3n  1 Lời giải Gọi d UCLN  2n  1  3n  1   2n  1   3n  1 d  d   UCLN(2n  1;3n  1)  Bài 52 Tìm n  * biết n  30 để số 3n  4;5n  có ước chung lớn Lời giải Gọi d ước chung 3n  4;5n  1 d  * 3n  d Ta có    3n     5n  1 d  17 d  d  1;17 5n  d Để 3n+4 5n+1 có ước chung lớn 1, ta phải có 3n  17  3n   34 17   n  10  17  n  10 17  n  10  17k,Do n  ,n  30  10  n  10  20  k  0;1 Với k   n  10(tm) k   n  27(tm) Vậy n  10;27 31 Bài 53 (Đề HSG 2019-2020) Chứng minh với số tự nhiên n ƯCLN (21n + 4; 14n + 3) = Lời giải Gọi d ƯCLN (21n + 4; 14n + 3) Suy ra: 21n  d 14n  d  2.(21n  4) d 3.(14n  3) d  3.(14n  3)  2.(21n  4) d 1 d  d 1 Vậy ƯCLN (21n + 4; 14n + 3) = Bài 54 (Đề HSG huyện Thiệu Hóa năm 2015-2016) Cho a b hai số nguyên dương không chia hết cho Biết BCNN(a, b) = 630 ƯCLN(a, b) = 18 Tìm hai số a b Lời giải ƯCLN  a, b   18 nên a = 18x; b = 18y x, y nguyên tố +) a.b= ƯCLN(a, b) x BCNN(a, b) = 18.630 18x.18y = 18.630  xy = 630 : 18 = 35 +) Vì a, b hai số nguyên dương không chia hết cho nên x, y hai số nguyên dương không chia hết cho nhau:  x.y = 35 = 5.7  x = 5; y = x = 7; y = Vậy a = 90; b = 126 a = 126; b = 90 Bài 55 (Đề HSG 2019-2020) Cho: A = – + – + … + 99 – 100 A có ước tự nhiên? Bao nhiêu ước nguyên? Lời giải A có ước tự nhiên có 12 ước nguyên Bài 56 (Đề HSG 2019-2020) Số tự nhiên n có 54 ước Chứng minh tích ước n n27 Lời giải Gọi d1 ; d2 ; d3 ;….; d54 ước n theo thứ tự (trong d1 ; d2 ; d3 ;….; d54 đơi khác nhau) Ta có n = d1.d54 = d2.d53 = d3.d52 = … = d27.d28 (có 27 tích cặp số) => Tích ước n là: 32 (d1.d54 ).(d2.d53 ) (d3.d52 ).… (d27.d28) = n.n.n n = n27 27 so n Bài 57 (Đề HSG huyện Tam Dương năm 2018-2019) Tìm hai số tự nhiên biết tổng chúng 84 ƯCLN chúng Lời giải ọi hai số tự nhiên phải tìm a b (giả sử a b) Ta có: (a, b) = nên a = 6a’; b = 6b’ (a’, b’) = (a’, b’ N) Do a + b = 84 nên 6(a’+ b’) = 84 a’+ b’ = 14 Chọn cặp số a’, b’ nguyên tố có tổng 14 (a’ b’), ta có trường hợp: a’= 1; b’ = 13 a = 6; b = 78 a’ = 3; b’ = 11 a = 18; b = 66 a’ = 5; b’ = a = 30; b = Bài 58 Tìm số tự nhiên nhỏ cho chia số cho dư 1; chia cho dư 2; chia cho dư 3; chia cho dư chia hết cho 11 Lời giải Gọi số phải tìm x Theo ta có x + chia hết cho 3, 4, 5,  x + bội chung 3, 4, 5, Mà BCNN(3; 4; 5; 6) = 60 nên x + = 60.n Do x = 60.n – 2; (n = 1; 2; 3… ) Mặt khác x 11 nên cho n = 1; 2; 3… Ta thấy n = x = 418 11 Vậy số nhỏ phải tìm 418 Bài 59 Số học sinh khối trờng cha đến 400 bạn, biết xếp hàng 10; 12; 15 d nhng xếp hàng 11 khơng d Tính số học sinh khối trường Lời giải ọi số học sinh a (a  Z*) Ta có a -  BC(10; 12; 15) a - = 60k (k  N*)  a = 60k + K A 63 123 183 243 303 363 423 Ta xem với giá trị k a < 400 a 11 33 Trong giá trị trên, có a = 363 < 400 a 11 Vậy số học sinh cần tìm 363 học sinh Bài 60 Có 68 người tham quan hai loại xe: loại 12 chỗ ngồi loại chỗ ngồi Biết số người vừa đủ với số ghế ngồi Hỏi loại có xe? Lời giải ọi x số xe 12 chỗ ngồi, y số xe chỗ ngồi ( x,y  N* ) Theo ta có: 12.x + 7.y = 68 Vì 12.x 4; 68 nên 7.y mà (7,4) = Suy y Hơn x  N* nên y   y = y = Với y = ta thấy 12x + 7.4 = 68  x  10 khơng thỏa mãn Với y = x = Thỏa mãn Vậy có xe loại 12 chỗ ngồi, xe loại chỗ ngồi Bài 61 Cho hai số tự nhiên có tổng 162 ƯCLN chúng 18 Tìm hai số Lời giải ọi hai số tự nhiên phải tìm a b, giả sử a  b Vì ƯCLN(a, b) = 18 nên tồn số tự nhiên m n khác 0, cho: a = 18m; b = 18n ƯCLN(m, n) = 1, m  n (1) Ta có a  b  18m  18n  162  m  n  (2) Từ (1) (2) suy ta chọn cặp số nguyên tố m, n có tổng m  n sau: m N a B 18 144 36 126 72 90 Vậy hai số tự nhiên cần tìm là: 18 144; 36 126; 72 90 Bài 62 Tìm hai số tự nhiên a b biết : BCNN(a,b)=180; ƯCLN(a,b) = 12 Lời giải Ta có: ab = 180.12 = 2160 34 iả sử a  b Vì ƯCLN(a,b)= 12 nên a=12m, b=12n với (m,n)=1 m  n Suy : 12m.12n = 2160  m.n = 15 Ta có bảng sau: m n a b 15 12 180 36 60 Bài 63 Tìm hai số tự nhiên a b, biết: BCNN(a,b) = 420; ƯCLN(a,b)=21 a +21 = b Lời giải Từ liệu đề cho, ta có : + Vì ƯCLN(a, b) = 21, nên tồn số tự nhiên m n khác 0, cho: a = 21m; b = 21n (1) ƯCLN(m, n) = (2) + Vì BCNN(a, b) = 420, nên theo trên, ta suy :  BCNN  21m; 21n   420  21.20  BCNN  m; n   20 (3) + Vì a + 21 = b, nên theo trên, ta suy :  21m  21  21n  21  m  1  21n  m 1  n (4) Trong trường hợp thoả mãn điều kiện (2) (3), có Trường hợp : m = 4, n = m = 2, n = thoả mãn điều kiện (4) Vậy với m = 4, n = m = 2, n = ta số phải tìm : a = 21 = 84; b = 21 = 105 Bài 64 Tìm hai số tự nhiên a b, biết: BCNN(a,b)=300; ƯCLN(a,b)=15 a+15=b Lời giải Từ liệu đề cho, ta có : + Vì ƯCLN(a, b) = 15, nên tồn số tự nhiên m n khác 0, cho: a = 15m; b = 15n (1) ƯCLN(m, n) = (2) + Vì BCNN(a, b) = 300, nên theo trên, ta suy :  BCNN 15m; 15n   300  15.20  BCNN  m; n   20 (3) + Vì a + 15 = b, nên theo trên, ta suy : 35  15m  15  15n  15  m  1  15n  m 1  n (4) Trong trường hợp thoả mãn điều kiện (2) (3), có trường hợp : m = 4, n = thoả mãn điều kiện (4) Vậy với m = 4, n = 5, ta số phải tìm : a = 15 = 60; b = 15 = 75 Bài 65 Tìm số tự nhiên nhỏ có chữ số biết số chia cho 4,6,7 dư Lời giải ọi số cần tìm a điều kiện a  N,a  100 Vì a chia cho 4, 6, dư  a  4,6,7  a –  BC  4;6;7  = B 84 = 0; 84;168; 252;   a  87;171; 255;  a số tự nhiên có ba chữ số  a  BCNN  4,6,7   a  84 Vì a  100  a   97 , a số nhỏ có chữ số  a   168  a  171 Vậy số cần tìm 165 Bài 66 Tìm số tự nhiên có chữ số, biết chia số cho số 30 ; 39 ; 42 số dư 11 ; 20 ; 23 Lời giải ọi số tự nhiên phải tìm x - Từ giả thiết suy (x+19)  30 (x+19)  39 (x+19)  42 nên x+ 19 bội chung 30; 39 42 - Tìm BCNN (30; 39; 42) = 5460 suy (x + 19) = k.5460  k  N  - Vì x số tự nhiên có chữ số suy x  9999 suy (x+19)  10018  x + 19 = 5460  x = 5441 Bài 67 Tìm số tự nhiên lớn có chữ số, cho chia cho dư chia cho 31 dư 28 Lời giải ọi số cần tìm a ( a  N,100  a  999 ) Vì a chia cho dư chia cho 31 dư 28 nên: a  a   8 a  a   64 a  65      a  28 31 a  28  31 31 a  31 a   62 31 a  65 31 36 Vì (8, 31) = nên a + 65 (8.31) hay a + 65 248  a = 248k – 65 (k  N*) Vì a số có chữ số lớn nên k = 4, a = 248.4 – 65 = 927 Vậy số cần tìm 927 Bài 68 Tìm số tự nhiên nhỏ cho chia cho 11 dư 6, chia cho dư 1và chia cho 19 dư 11 Lời giải Tìm số tự nhiên nhỏ cho chia cho 11 dư 6, chia cho dư 1và chia cho 19 dư 11 ọi số cần tìm a ta có: (a-6) 11 ; (a-6 +33) 11 ; (a +27) (a-1 + 28) (a-1) ; ; 11 ; (a +27) ; (a-11 +38 ) (a-11) 19 19 (a +27) 19 Do ; 11 ; 19 số nguyên tôt nhau, nên a +27 nhỏ BCNN (4 ;11 ; 19 ) Từ tìm : a = 809 Bài 69 Tìm hai số tự nhiên a b, biết: BCNN(a,b)=300; ƯCLN(a,b)=15 a+15=b Lời giải Từ liệu đề cho, ta có : + Vì ƯCLN(a, b) = 15, nên tồn số tự nhiên m n khác 0, cho: a = 15m; b = 15n (1) ƯCLN(m, n) = (2) + Vì BCNN(a, b) = 300, nên theo trên, ta suy :  BCNN 15m; 15n   300  15.20  BCNN  m; n   20 (3) + Vì a + 15 = b, nên theo trên, ta suy :  15m  15  15n  15. m  1  15n  m 1  n (4) Trong trường hợp thoả mãn điều kiện (2) (3), có trường hợp : m = 4, n = thoả mãn điều kiện (4) Vậy với m = 4, n = 5, ta số phải tìm : a = 15 = 60; b = 15 = 75 Bài 70 (Đề HSG 2019-2020) Tìm cặp số tự nhiên thỏa mãn: Tổng chúng 240 UCLN chúng 12 Lời giải ọi số phải tìm a, b iả sử a  b UCLN ( a, b)  12 , ta có: a  12a1 , b  12b1 37 Trong UCLN  a1 , b1   Ta có: a  b  240  12  a1  b1   a1  b1  20 Kết hợp với UCLN(a1 , b1 )  1ta có: a1 b1 19 17 13 11 Thay vào ta tính A 12 36 84 108 B 228 204 156 132 Bài 71 (Đề HSG 2019-2020) a) Tìm hai số tự nhiên biết tổng chúng 504 UCLN chúng 42 b) Tìm a  để a  bội a  Lời giải a) Gọi a, b hai số cần tìm, a, b  *,a  b,a  42a ', b  42b'  a ', b'   Vì a  b  a '  b' a  b  504  a ' b'  12 có cặp thỏa mãn 11;1 ;  7;5   a, b    462;42  ;  294;210 b) Để a  bội a  nên n 1 số nguyên  1 n 1 n 1 a   U(2)  1;1;2  a  0;2;3 Bài 72 (Đề HSG 2019-2020) Cho S    32  33   398  399 Chứng minh S bội 20 Lời giải Tổng S có 100 số hạng chia thành 25 nhóm, nhóm số hạng S    32  33   398  399  1   32  33    34  35  36  37     396  397  398  399    20   34  20    396  20   S  20 Bài 73 (Đề HSG 2019-2020) Cho dãy số tự nhiên 1, 2,3, ,50 a) Tìm hai số thuộc dãy cho UCLN chúng đạt giá trị lớn b) Tìm hai số thuộc dãy cho BCNN chúng đạt giá trị lớn Lời giải 38 ọi a b hai số thuộc dãy 1, 2,3, 50 iả sử a  b a) ọi d thuộc ƯC(a,b) a  b d ta chứng minh d  25, thật vậy, giả sử d  25 b  25 ta có: a  50 mà b  25   a  b  25 , xảy a  50 a  b d;d  25   b  25 b) BCNN(a, b)  a.b  50.49  2450 Vậy hai số có BCNN đạt giá trị lớn 50 49 Bài 74 (Đề HSG 2019-2020) Tìm số tự nhiên nhỏ biết chia số cho dư 2, cho dư 3, cho dư 4, cho 10 dư Lời giải Gọi số tự nhiên cần tìm a  a  0,a   Theo ta có: a chia dư  a  a chia dư  a  a chia dư  a  a chia 10 dư  a  10  a   BCNN(3, 4,5,10)  60  a  59 Bài 75 (Đề HSG 2019-2020) Tìm số tự nhiên có chữ số, biết chia số cho số 25; 28;35 số dư 5;8;15 Lời giải Gọi số tự nhiên phải tìm x Từ giả thiết suy  x  20  25  x  20  28  x  20  35  x  20  BC  25;28;35 Tìm BCNN  25;28;35  700  x  20  700.k  k  Vì x   * x có ba chữ số suy x  999  x  20  1019  k   x  20  700  x  680 Bài 76 (Đề HSG huyện ? năm 2019-2020) Học sinh khối xếp hàn; xếp hàng 10, hàng 12, hàng 15 dư học sinh Nhưng xếp hàng 11 vừa đủ Biết số học sinh khối chưa đến 400 học sinh Tính số học sinh khối Lời giải 39 ọi số học sinh khối a   a  400  Vì xếp hàng 10,12,15 dư   a  3 10;12;15  a   BC 10;12;15 ta có BCNN(10;12;15)  60  a   60;120;180;240;300;360;420;   a  63;123;183;243;303;363;423;  ,a 11,a  400  a  363 Vậy số học sinh khối 363 em Bài 77 Tìm số nguyên x cho x  x  Lời giải Ta có: x   x     x    Vì  x   x   x  x   x   x  U (5)  1; 5  x 1; 3;3;7 Bài 78 Tìm số tự nhiên a, b thỏa mãn 5a  7b 29  a, b    6a  5b 28 Lời giải 140a  196b  174a  145b  2a  3b * Vì  a, b   1;  2,3  nên (*) xảy a Và b chia hết cho 2,  a  p, b  2q  p, q   Thay vào (*) ta có: p  6q  p  q Vì  a, b     p;2q    p  q  p  q  Bài 79 Số học sinh trường học xếp hàng, hàng có 20 người 25 người 30 người thừa 15 người Nếu xếp hàng 41 người vừa đủ Tính số học sinh trường đó, biết số học sinh trường chưa đến 1000 Lời giải Gọi số học sinh trường x Theo đề ta suy x  15 chia hết cho 20;25;30  x  15  BC  20, 25,30  BCNN (20, 25,30)  300 x  1000  x 315;615;915 40 Vì x 41  x  615 Vậy số học sinh trường 615 em Bài 80 Cho số 18, 24,72 a) Tìm tập hợp tất ước chung số b) Tìm BCNN số Lời giải a) Tìm Ư(18); Ư(24); Ư(72)  UC (18, 24,72)  1; 2;3;6 b) Ta có: 72  B(18);72  B(24)  BCNN (18;24;72)  72 Vậy a  3; b  Bài 81 Tìm số tự nhiên n để phân số 2n  phân số rút gọn n2 Lời giải Gọi d UCLN  2n  1, n   d  * Ta có: 2n  d , n  d   2n     2n  1 d  d Vì d  * nên d  1;3 Để phân số 2n  rút gọn d  n2  n   3k  n  3k   k  * Vậy với n  3k   k  * phân số 2n  phân số rút gọn n2 Bài 82 Tìm hai số tự nhiên a b, biết: BCNN  a, b   300; UCLN  a, b   15 a  15  b Lời giải Từ liệu đề cho, ta có : Vì UCLN (a,b)=15 nên tồn số tự nhiên m n khác 0, cho: a  15m; b  15n (1) UCLN  m, n   Vì BCNN  a, b   300, nên theo trên, ta suy  BCNN 15m,15n   300  15.20  BCNN  m, n   20 (3) Vì a  15  b, nên theo ta suy ra: (2) 41  15m  15  15n  15  m  1  15n  m   n (4) Trong trường hợp thỏa mãn điều kiện    3 , có trường hợp m  4; n  thỏa mãn điều kiện   Vậy với m  4, n  ta số phải tìm là: a  15.4  60; b  15.5  75 Bài 83 Chứng tỏ rằng: 12n  phân số tối giản 30n  Lời giải Gọi d ước chung 12n  1;30n  ta có: 12n  1   30n    d  d  nên 12n  1;30n  nguyên tố Do 12n  phân số tối giản 30n  Bài 84 Tìm số tự nhiên a b biết: a  b   a, b    a, b  Lời giải  a, b    a, b  a, b , Gọi      a, b  d   a, b   a  d a ', b  d b ' Ta có: ab   a, b  a, b  nên d a '.d b '   a, b   a, b   a '  3; b '  Hay d a '.b '  6d  a '.b '     a '  6; b '  Mặt khác a  b   da ' db '   a  15 TH1: a '  3, b '   d  a ' b '   d    b  10 TH2: a '  6, b '   d  a ' b '   d  5(ktm) Vậy a  15, b  10 ... nhiên nhỏ chia cho dư 2, chia cho dư 3, chia cho dư chia cho dư b) Một số chia cho dư 2, chia cho dư 3, chia cho 167 dư 130 Hỏi số chia cho 2004 số dư ? Lời giải a) Gọi số tự nhiên a ta có:  a... nhiên nhỏ biết chia số cho dư 2, cho dư 3, cho dư 4, cho 10 dư Lời giải Gọi số tự nhiên cần tìm a  a  0,a   Theo ta có: a chia dư  a  a chia dư  a  a chia dư  a  a chia 10 dư  a  10... b = Bài 58 Tìm số tự nhiên nhỏ cho chia số cho dư 1; chia cho dư 2; chia cho dư 3; chia cho dư chia hết cho 11 Lời giải Gọi số phải tìm x Theo ta có x + chia hết cho 3, 4, 5,  x + bội chung 3,