MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH LỚP 8 NHỚ, HIỂU, VẬN DỤNG ĐƯỢC 7 HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ VÀO GIẢI TOÁN I ĐẶT VẤN ĐỀ 1 Lý do Xuyên suốt quá trình học đại số, kỹ năng vận dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ.
MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH LỚP NHỚ, HIỂU, VẬN DỤNG ĐƯỢC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ VÀO GIẢI TOÁN I ĐẶT VẤN ĐỀ Lý - Xuyên suốt trình học đại số, kỹ vận dụng " đẳng thức đáng nhớ" công cụ bản, sử dụng nhiều biến đổi biểu thức đại số … - Trong trình giảng dạy môn đại số lớp 8, nhận thấy học sinh kỹ nhớ, hiểu, vận dụng " đẳng thức đáng nhớ" yếu, chưa linh hoạt… dẫn đến vận dụng kỹ phân tích đa thức thành nhân tử, rút gọn biểu thức, tìm x, GTLN, GTNN… cịn chưa thành thạo sai sót… Do kết mơn tốn lớp qua kỳ thi thường không cao chủ yếu học sinh yếu kỹ làm - Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ giải khó khăn, vướng mắc học tập nên thân trăn trở tìm hiểu ngun nhân từ xin đưa số giải pháp giúp học sinh lớp nhớ, hiểu, vận dụng đảng thức đáng nhớ vào giải toán Điểm mới: - Thông qua giải pháp giúp hs học thuộc nhớ đẳng thức qua hoạt động giải trí ( hát, trò chơi, vẽ ) cách logic - Giúp hs ham học mơn tốn, khơng thấy mơn tốn khơ khan khó học - Định hướng rõ tác dụng hàng đẳng thức để giải dạng tập - Rèn kỹ trải nghiệm sáng tạo học sinh học toán II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Cơ sở lý luận: -Trong toán học, đẳng thức nghĩa loạt đẳng thức có liên quan tới hợp lại thành đẳng thức - "7 đẳng thức đáng nhớ" bảy công thức, cơng thức có hai vế: vế dạng tích, vế cịn lại dạng tổng: (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 A2 – B2 = (A – B) (A + B) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2) A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2) - Trong đó: A, B số, dạng chữ (đơn thức, đa thức), A, B biểu thức 1|trang - Thực chất việc vận dụng "7 đẳng thức đáng nhớ" thực biến đổi theo hai chiều: - Biến đổi từ tích thành tổng việc áp dụng công thức mà không cần thực phép nhân nhiều phức tạp Kỹ sử dụng nhiều tốn rút gọn biểu thức, tính nhẩm, tính hợp lý giá trị biểu thức, tìm x - Biến đổi từ tổng thành tích kỹ sử dụng nhiều tốn tính nhẩm, tìm x phương pháp quan trọng để phân tích đa thức thành nhân tử sau từ phục vụ cho phép tốn phân thức đại số, giải loại phương trình chương sau Thực trạng - Học sinh trung bình - yếu chưa nhớ, hiểu, vận dụng công thức " đẳng thức đáng nhớ", nhận dạng công thức dạng số, dạng chữ đơn giản, chủ yếu đẳng thức hiệu hai bình phương, chưa nhận dạng cơng thức tồn dạng chữ số hỗn hợp, dạng bình phương biểu thức phức tạp - Nhớ sai đẳng thức Nguyên nhân chủ yếu xác định thừa số thứ nhất, thứ hai, viết thiếu lũy thừa… Đồng thời, em lúng túng việc vận dụng đẳng thức vào giải tập Tốn liên quan đến rút gọn, phân tích đa thức thành nhân tử… - Có học sinh nhận dạng đẳng thức nhiên chưa vận dụng linh hoạt đẳng thức theo hai chiều biết vận dụng linh hoạt đẳng thức thực phép tính, phép biến đổi biểu thức… cịn sai sót dấu thực phép nhân, sử dụng quy tắc bỏ ngoặc đằng trước có dấu trừ, quy tắc chuyển vế tốn tìm x… Các giải pháp tiến hành: 3.1 Hướng dẫn học sinh học thuộc, nhớ hiểu đẳng thức: - Yêu cầu học sinh phát biểu thành lời theo hai chiều từ tích thành tổng tổng thành tích - Đưa tình tạo điều kiện cho học sinh ghi nhớ công thức phát triển công thức theo chiều tư thuận Bước để học sinh tự làm thơng qua trị chơi - Giáo viên giúp học sinh hồn thiện tư theo chiều ngược lại - Để học sinh thấy lợi ích cơng thức trên, giáo viên cho học sinh tính nhanh số phép tính đơn giản - Sau học xong HĐT, giáo viên cách nhớ cho học sinh qua việc so sánh HĐT cụ thể sau: * Cách đọc biểu thức: (A – B)2: Bình phương hiệu 2|trang A2 – B2 : Hiệu hai bình phương (A + B)3 : Lập phương tổng A3 + B3 : Tổng hai lập phương (A – B)3 : Lập phương hiệu A3 – B3 : Hiệu hai lập phương * Sự giống nhau, khác HĐT: (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (A – B)2 = A2 – 2AB + B2 + Giống nhau: Vế phải có hạng tử giống + Khác nhau: Dấu hạng tử 2AB (A + B)3 = A3 + A2B + 3A B2 + B3 (A – B)3 = A3 – A2B + 3A B2 – B3 * Giống nhau: Vế phải có hạng tử giống * Khác nhau: công thức (A + B) dấu “+ , + , + , + ” cơng thức (A - B)3 tì dấu “ + , – , + , – “ (quy tắc đan dấu) A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) Cùng dấu cộng Bình phương thiếu hiệu 3 A – B = (A – B)(A2 + AB + B2) Cùng dấu trừ Bình phương thiếu tổng * Mối quan hệ HĐT (A – B)2 = (B – A)2 (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 = A2 – 2AB + B2 + 4AB = (A – B)2 + 4AB Vậy: (A + B)2 = (A – B)2 + 4AB (A + B)3 = A3 + A2B + 3A B2 + B3 = A3 + B3 + 3AB(A + B) Vậy: (A + B)3 = A3 + B3 + 3AB(A + B) - Tương tự ta cịn có mối quan hệ khác như: A2 + B2 = (A + B)2 – 2AB A2 + B2 = (A – B)2 + 2AB A3 – B3 = (A –B)3 + 3AB(A – B) - Học thuộc đẳng thức phương pháp đôi bạn tiến, thông qua hát đẳng thức, tập tắc nghiệm 3.2 Học sinh vận dụng đẳng thức để giải tập: Dạng 1: Vận dụng trực tiếp HĐT: Từ tổng thành tích, từ tích thành tổng Bài 1: Tính 1 a) x 2 b) (2m + 3n)2 c) (2y – x)( x2 + 2xy + 4y2) d) (a + b + c)2 3|trang Giải 2 1 1 1 a) x = x2 – 2.x + = x2 – x + 2 2 b) (2m + 3n)2 = (2m)2 + 2.2m.3n + (3n)2 = 4m2 + 12mn + 9n2 c) (2y – x)( x2 + 2xy + 4y2) = (2y – x)[( 2y)2 + 2yx + x2)] = (2y)3 -– x3 = 8y3 – x3 d) (a + b + c)2 = [(a + b) + c]2 = (a + b)2 + 2(a + b)c + c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac Lưu ý: + Một số học sinh chưa nhận dạng tích có dạng HĐT nên thực phép nhân đa thức với đa thức để tính Thực tập vận dụng HĐT theo chiều tích -> tổng để phá ngoặc thu gọn đơn thức đồng dạng + Học sinh thường qn khơng thực đóng ngoặc biểu thức phân số đơn thức có từ thừa số trở lên đa thức 1 12 + Chẳng hạn câu a học sinh không viết mà viết , câu b học sinh 2 2 không viết (2m) mà viết 2m dẫn đến sai chất vấn đề + Ở câu d để vận dụng HĐT phải nhóm số hạng (Khi gặp bình phương nhiều số hạng) Bài toán dành cho học sinh , giỏi Tương tự câu d ta tính kết sau: (a – b + c)2 = a2 + b2 + c2 – 2ab – 2bc + 2ac (a – b – c)2 = a2 + b2 + c2 – 2ab + 2bc – 2ac Bài : Viết tổng sau dạng tích: a) – 6x + 9x2 + b) – 9x2 +6x – c) 8x3 – 6yx2 + 12x2y – y3 Giải a) – 6x + 9x2 + = 9x2 – 6x + = (3x)2 – 2.3x.1 + 12 = (3x – 1)2 b) – 9x2 +6x – = -(9x2 – 6x + 1) = – (3x – 1)2 c) 8x3 – 6yx2 + 12x2y – y3 = (2x)3 – (2x)2y + 3.(2x) y2 – y3 = (2x – y)3 Lưu ý : + Ở câu a, c số học sinh chưa nhận HĐT "ẩn" biểu thức này, khéo léo biến đổi thêm bước để xá định A B xuất HĐT + Một số trường hợp biểu thức chưa dạng HĐT mà phải đổi vị trí hạng tử câu a, c + Để xuất HĐT phải đổi dấu hạng tử cách đưa hạng tử vào ngoặc mà trước ngoặc dấu “–” câu b + Tuy nhiên lúc đề rõ việc dựa vào HĐT mà câu hỏi khác chẳng hạn: Viết tổng thành tích, tính, tính nhanh, thêm hạng tử vào biểu thức để có HĐT, điền biểu thức thích hợp vào ô vuông,… mấu chốt cho 4|trang biểu thức dạng tích tìm cách biến đổi dạng tổng, cho đa thức tìm cách biến đổi dạng tích * Phương pháp: - Nhận dạng HĐT, xác định biểu thức thứ nhất, biểu thức thứ hai viết kết theo cơng thức học - Thực phép tính hạng tử cho gọn Dạng : Tính giá trị biểu thức Ví dụ: Tính giá trị biểu thức: a) x2 – 4y2 x = 70, y = 15 b)742 + 242 – 48.7 Giải a) x2 – 4y2 = x2 – (2y)2 = (x + 2y)(x – 2y)Thay x = 70, y = 15 ta có : giá trị biểu thức: (70 + 2.15)(70 - 2.15) = 100.40 = 4000 b) 742 + 242 – 48.74 = 742 + 242 – 2.24.74 = (74 – 24) = 502 = 2500 * Lưu ý : + Cho học sinh xác định A B2 câu a hay A B câu b khai triển theo HĐT sau số vào tốn hợp lí Khơng nên thay trực tiếp dùng máy tính để tính * Phương pháp : - Dựa vào HĐT biến đổi biểu thức cho theo chiều từ tích thành tổng, từ tổng thành tích - Thay số (đối với đa thức) * Mở rộng : - Đối với học sinh giỏi giáo viên đưa số tập tính giá trị biểu thức chứa hai biến Ví dụ: a, Cho x – y = Tính giá trị biểu thức A = x(x + 2) + y(y – 2) – 2xy + 37 - Ở tập vận dụng phương pháp tính giá trị biểu thức không làm Vậy giáo viên gợi ý cho học sinh biến đổi biểu thức A để xuất lũy thừa x – y Giải: A = x(x + 2) + y(y – 2) – 2xy + 37 = x2 + 2x + y2 -2y - 2xy + 37 = (x2 – 2xy + y2) + (2x – 2y) + 37 = (x – y)2 + 2(x – y) + 37 Thay x – y = ta có : A = 72 + 2.7 + 37 = 100 b, Cho x + y = x2 + y2 = Tính x3 + y3 - Ta có x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2), để tính x3 + y3 phải tính xy Giáo viên gợi ý học sinh dựa vào kiện đề theo đẳng thức tìm cách tính xy Giải: Từ x + y = suy (x + y)2 = 5|trang x2 + 2xy + y2 = 2xy = - xy = Ta có x + y = (x + y)(x - xy + y ) = 3(5 – 2) = 3.3 = 3 2 Lưu ý: + Trên sở tập làm tập tương tự chẳng hạn cho biết x – y, x + y tính x3 – y3 … Dạng 3: Rút gọn biểu thức Ví dụ: Rút gọn biểu thức sau: a) (x + 3)(x2 3x + 9) – (54 +x3) b) (2x + y)(4x2 – 2xy +y2) – (2x – y)(4x2 + 2xy + y2) c) (2x – 1)2 – (2x + 2)2 d) (a + b)3 – 3ab(a + b) Giải: a) (x + 3)(x2 - 3x + 9) – (54 +x3) = x3 + 33 – 54 – x3 = 27 – 54 = –27 * Lưu ý: + Câu a thay câu hỏi “Chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc vào x” ( kết câu a sau rút gọn số) b) (2x + y)(4x2 – 2xy +y2) – (2x – y)(4x2 + 2xy + y2) = (2x)3 + y3 – [(2x)3 – y3] = 8x3 + y3 – 8x3 + y3 = y3 * Lưu ý : + Kết câu b không phụ thuộc vào biến x, thay câu hỏi : “Chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc vào x” + Học sinh thường khơng đóng ngoặc kết tích hai đa thức trước tích dấu “–” không viết – [(2x)3 – y3] mà viết – (2x)3 – y3 dẫn đến rút gọn sai c) (2x – 1)2 – (2x + 2)2 = 4x2 – 4x + – (4x2 + 8x + 4) = 4x2 – 4x + – 4x2 – 8x – = –12x – * Lưu ý : Biểu thức có dạng HĐT “Hiệu hai bình phương” nên có cách thứ sau: (2x – 1)2 – (2x + 2)2 = [(2x – 1) + (2x + 2)][ (2x – 1) – (2x + 2)] = (2x – + 2x + 2)(2x – – 2x – 2) = (4x + 1)(–3) = –12x – + Giáo viên hỏi thêm: * Tính giá trị biểu thức x = đưa tốn tính giá trị biểu thức * Nếu cho –12x – = tìm x = ? đưa tốn tìm x d) (a + b)3 – 3ab(a + b) = a3 + a2b + 3a b2 + b3 -3a2b – 3ab2 = a3 + b3 * Lưu ý : + Có thể đưa toán chứng minh đẳng thức: (a +b)3 –3ab(a + b) =a3 + b3 2 6|trang + Thực chất chứng minh đẳng thức toán rút gọn biết kết qua tập giáo viên cung cấp cho học sinh cách chứng minh đẳng thức Thông thường ta biến đổi vế phức tạp để kết vế lại * Phương pháp: - Xem xét xem hạng tử tích đa thức có tạo thành HĐT hay khơng ? Nếu có vận dụng HĐT theo chiều tích thành tổng - Thực phép tính bỏ dấu ngoặc thu gọn đơn thức đồng dạng Dạng : Tìm x Ví dụ : Tìm x, biết : a) x2 – 2x + = 25 b) x3 – 3x2 = -3x +1 Giải a) x2 – 2x + = 25 (x – 1)2 = 52 => (x – 1)2 – 52 = => (x – + 5)( x – – 5) = => (x + 4)(x – 6) = x + = x – = Vậy x = – ; x = b) x3 – 3x2 = -3x +1 x3 – 3x2 + 3x – = => (x – 1)3 = x – =0 Vậy x = * Lưu ý: + Giáo viên cần nhắc học sinh với tốn tìm x sau rút gọn hai vế ta có bậc biến từ bậc hai trở lên tìm cách biến đổi để xuất HĐT theo chiều từ tổng thành tích từ vận dụng tích chất lũy thừa để tìm x * Phương pháp : Tổng quát * A = k2 (k R) => A – k2 = (A – k)(A + k) = => A – k = A + k = => A = k A = – k * (A + B) = A + B = Dạng : Chứng minh giá trị biểu thức dương, ln âm Ví dụ 1: Chứng minh giá trị biểu thức sau dương với giá trị biến a) A = 4x2 + 4x + b) B = 2x2 – 2x + Giải a) A = 4x2 + 4x + = (2x)2 + 2.2x.1 +1 +1 = (2x + 1) + Đến có hai cách lập luận Cách 1: Nhận xét: (2x + 1)2 với x > với x Nên (2x + 1)2 + > với x Cách 2: Nhận xét : (2x + 1)2 với x (2x + 1)2 + với x (2x + 1)2 + 1> với x Vậy giá trị biểu thức A dương với giá trị biến 7|trang b) Gợi ý: tìm cách biến đổi biểu thức B xuất HĐT bình phương hiệu 1 1 ) = 2(x2 – 2x + – + ) 4 2 2 = 2(x – ) + 2 B = 2x2 – 2x + = 2(x2 – x + = 2[(x – ) + ] Các bước làm tương tự câu a * Mở rộng: câu a từ cách giáo viên hỏi thêm: + Biểu thức A có giá trị ? ( x = – ) + Với x – A có giá trị ? ( A > 1) 2 Từ giáo viên dẫn dắt giá trị nhỏ A x= – Đó tốn tìm giá trị nhỏ biểu thức * Phương pháp: tìm GTNN (Giá trị nhỏ nhất) f(x): Biến đổi f(x) = a(x + b)2 + m ( a > 0, b m số) Nhận xét f(x): (x + b)2 > với x a(x + b)2 > với x a(x + b)2 + m > m với x Dấu "=" xảy (x + b)2 = x = m b Từ kết luận giá trị nhỏ f(x) Lưu ý: +Với m > thực xong bước nhận xét chứng minh giá trị biểu thức dương + Đối với biểu thức chứa biến cách tìm giá trị nhỏ chứng minh giá trị biểu thức ln dương hồn tồn tương tự Ví dụ 2: Chứng minh giá trị biểu thức sau âm với giá trị biến B = – 15 – x2 + 6x Giải: B = –15 –x2 + 6x = –x2 + 6x – – = – (x2 – 6x + 9) – = – (x – 3)2 – = x 3 Nhận xét : (x – 3)2 + với x x 3 với x Vậy giá trị biểu thức B âm với giá trị biến * Mở rộng : Giáo viên hỏi thêm : + Với giá trị x B có giá trị – 6? (x = 3) + Với x B có giá trị nào? (B < – 6) + Giáo viên chốt lại x = giá trị lớn B – , từ dẫn dắt đến tốn tìm giá trị lớn * Muốn tìm GTLN ( giá trị lớn nhất) f(x) biến đổi : Biến đổi f(x) = m – a(x + b)2 ( a > 0, b m số) 8|trang Nhận xét f(x): (x + b)2 với x m – a(x + b)2 m với x Dấu "=" xảy (x + b)2 = x= m b Từ kết luận GTLN f(x) * Lưu ý: Nếu m < thực xong bước nhận xét chứng minh giá trị biểu thức âm với x Kết sau áp dụng: Hầu hết học sinh nhớ, hiểu, vận dụng thành thạo HĐT theo chiều, học sinh có kỹ làm tương dối tốt, khơng cịn nhầm lẫn dấu, tính tốn … nắm phương pháp giải dạng tập, nhớ sai lầm thường mắc phải giải tập Tuy nhiên 1-2 học sinh thực yếu kỹ làm chưa chắn, việc vận dụng đẳng thức chưa linh hoạt, chưa nhớ, hiểu, nhầm lẫn thức Vấn đề tơi tiếp tục có kế hoạch kèm cặp thêm trình dạy để nâng cao chất lượng học toán cho em Bài học kinh nghiệm: - Học cách khoa học: Chúng ta khoan nghĩ Hằng đẳng thức thật “khó nhớ”, tạo tâm lý thoải mái tiếp cận với đẳng thức Thực nhóm đẳng thức theo tính chất giống nhau, nhớ đẳng thức dễ dàng suy luận đẳng thức cịn lại Bên cạnh đó, học thuộc phát biểu lời giải pháp hiệu - Thường xuyên luyện tập: Không đẳng thức, muốn “không quên” kiến thức nào, phải thường xuyên vận dụng Nên tìm hiểu chất đẳng thức nhớ cơng thức lâu Việc vận dụng đẳng thức đáng nhớ nên theo trình tự Trước tiên bạn nên vận dụng loại đẳng thức để giải tập nhỏ tương ứng Đến nhuần nhuyễn, vận dụng lúc nhiều đẳng thức để giải dạng tập phức tạp - Ghi nhớ giống từ vựng Tiếng Anh: Những cơng thức Tốn học vốn nhàm chán, phải lựa chọn phương pháp cho sinh động, sáng tạo nhằm kích thích ý muốn học hỏi Ở ghi đẳng thức vào tờ giấy ghi nhớ (Sticker) – cách thường sử dụng để học từ vựng Tiếng Anh Những tờ giấy đầy màu sắc thu hút ý người học, việc gặp nhiều lần dù không muốn phải học tốt - Học Hằng đẳng thức qua hát: Người ta hay nói vui có phiên khác đẳng thức hát “Sau tất cả”, viết lại lời mà nội dung nói Hằng đẳng thức Bài hát dễ thương thu hút ý nhiều bạn trẻ, nhờ Hằng đẳng thức khơng cịn khơ cứng làm cho bạn ghi nhớ lâu 9|trang - Phương pháp giảng dạy giáo viên: Thay cung cấp Hằng đẳng thức đáng nhớ, học sinh tiếp cận cách thụ động, giáo viên giúp em cách chứng minh Khi đẳng thức chứng minh tồn tính đắn nó, học sinh dễ dàng chấp nhận Ngồi ra, giáo viên nên tạo tình huống, đưa câu hỏi trắc nghiệm hay trò chơi để tạo điều kiện cho em nắm kiến thức Như vậy, học sinh khơng cịn nhàm chán mà chủ động việc tìm hiểu III KẾT LUẬN - Từ thực tế giảng dạy nhận thấy để học sinh nắm vững “7 đẳng thức đáng nhớ”, vận dụng linh hoạt giải toán giáo viên cần làm bật việc vận dụng theo hai chiều : + Biến đổi từ tích thành tổng (để phá ngoặc) tốn rút gọn, chứng minh đẳng thức, tìm x làm sở cho phép biến đổi phương trình sau + Biến đổi từ tổng thành tích phương pháp để tính nhẩm, tính nhanh, phương pháp quan trọng để phân tích đa thức thành nhân tử sau này; làm sở cho toán rút gọn phân thức, quy đồng mẫu phân thức, giải phương trình tích chương sau + Việc dạy học“7 đẳng thức đáng nhớ" trường THCS làm tốt bước giúp học sinh định hướng kiến thức cần sử dụng, nâng cao kĩ làm cẩn thận, xác + Các tìm Giá trị nhỏ ,giá trị lớn biểu thức đặt với đối tượng học sinh giỏi nên gợi ý em làm giáo viên kiểm tra tập + Trên số ý kiến tơi q trình giảng dạy “7 đẳng thức đáng nhớ" Tôi mạnh dạn nêu mong góp ý đồng nghiệp để công việc dạy học ngày đạt hiệu hơn./ 10 | t r a n g ... phép tốn phân thức đại số, giải loại phương trình chương sau Thực trạng - Học sinh trung bình - yếu chưa nhớ, hiểu, vận dụng cơng thức " đẳng thức đáng nhớ" , nhận dạng công thức dạng số, dạng chữ... vận dụng Nên tìm hiểu chất đẳng thức nhớ cơng thức lâu Việc vận dụng đẳng thức đáng nhớ nên theo trình tự Trước tiên bạn nên vận dụng loại đẳng thức để giải tập nhỏ tương ứng Đến nhuần nhuyễn, vận. .. việc vận dụng đẳng thức vào giải tập Toán liên quan đến rút gọn, phân tích đa thức thành nhân tử… - Có học sinh nhận dạng đẳng thức nhiên chưa vận dụng linh hoạt đẳng thức theo hai chiều biết vận