Ôn toán

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP -Dạng chuẩn tổng qt: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HỆ SỐ HẰNG (1) p(x) q(x) hàm số cho trước y’ + p(x)*y = q(x) -Nếu chưa dạng chuẩn phải đưa dạng chuẩn y = y1 ∗ ቀʃ -Ta có cơng thức nghiệm tổng quát sau: ୯ሺ୶ሻ ୷ଵ x2y’ + 2xy = sinx VD: Giải phương trình vi phân sau (1) PTVPTT C1 dạng chuẩn hóa có p(x) = 2/x q(x) = sinx/x2 Bước 3: Tính ʃ ௤ሺ௫ሻ ௬ଵ dx + Cቁ & ‫ݕ‬1 = ݁ − ʃ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ݀‫ݔ‬ ଶ ‫ ݕ‬ᇱ + ‫= ݕ‬ ௫ ௦௜௡௫ ௫ଶ Đây ௦௜௡௫ ௫ ଵ : ቀ− ቁ ݀‫ = ݔ‬ʃ − ‫ = ݔ݀ݔ݊݅ݏ ∗ ݔ‬ʃ‫݀ݔ‬ሺܿ‫ݔݏ݋‬ሻ Đặt u = x dv = d(cosx) => du = dx v = cosx => ʃ‫݀ݔ‬ሺܿ‫ݔݏ݋‬ሻ = ‫ ݔݏ݋ܿ ∗ ݔ‬− ʃܿ‫ ݔݏ݋ܿݔ = ݔ݀ݔݏ݋‬− ‫ݔ݊݅ݏ‬ Thay vào công thức nghiệm tổng quát y = y1 ∗ ቀʃ Chú ý: ୷ଵ ଵ dx + Cቁ = − ௫ଶ ∗ ሺ‫ ݔݏ݋ܿݔ‬− ‫ ݔ݊݅ݏ‬+ ‫ܥ‬ሻ ʃudv = u*v - ʃvdu yαy’ + p(x)yβ = q(x) - Thay vào pt cho ta có Z’ + P(x)Z = Q(x) làm tương tự ୞ଵ - - Trong đó: α≠1, α≠0, α=cont Ta đặt Z = yβ => Z’ = y’y β => y’ = Z’/yβ ொሺ୶ሻ - Nếu λ = k1 or k2 Yr = x eλx Q(x) => từ ta tính Yr” Yr’ sau vào phương trình (1) ta hệ số bất định để tìm Q(x) Nếu λ = k1, k2 (nghiệm kép) Yr = x2 eλx Q(x) => từ ta tính Yr” Yr’ sau vào phương trình (1) ta hệ số bất định để tìm Q(x) Nếu λ ≠ k1 & k2 Yr = eλx Q(x) => từ ta tính Yr” Yr’ sau vào phương trình (1) ta hệ số bất định để tìm Q(x) Nếu F(x) = eλx (Pn(x) cosµx + Qm(x) sinµx) ta so sánh ߣ ± ݅ ߤ với ߙ ± ݅ ߚ y’ + p(x)y = yαq(x) Ta biến đổi dạng Z = Z1 ∗ ቀʃ Nếu F(x) = eλxPn(x) ta so sánh λ với k1 k2 - PHƯƠNG TRÌNH BERNOUNI Dạng chuẩn: Nếu ∆ > => ݇1,2 nghiệm Ӯ = C1*ek1x + C2*ek2x Nếu ∆ = => ݇1,2 và nghiệm Ӯ = (C1 + C2*x)*ekx Nếu ∆ < => ݇1,2 nghiệm Ӯ = eαx( C1cosβx + C2sinβx) Bước 2: Tìm nghiệm riêng Yr ௫ଶ ୯ሺ୶ሻ Giải phương trình đặc trưng k2 + Pk + q = gọi phương trình (3) tính hệ số ∆= ܾ2 − 4ܽܿ - Ta có y1 = e-ʃp(x)dx = e-ʃ2/x*dx = e-2lnx = -(1/x2) ∗ ݀‫ = ݔ‬ʃ Phương pháp giải: Bước 1: Giải phương trình tương ứng: Y” + PY’ + QY = gọi phương trình (2) (1) Bước 1: Đưa phương trình chuẩn hóa, đk x≠0 Bước 2: Tính y1 =? Dạng chuẩn hóa: Y” + PY’ + QY = F(X) gọi phương trình (1) Trong P, Q số cho trước, F(X) hàm số cho trước dx + Cቁ Z1 = e-ʃP(x)dx Nếu ߣ ± ݅ ߤ ≠ ߙ ± ݅ ߚ Yr = eλx( Rl(x)cosµx + Sl(x)sinµx) Rl(x) Sl(x) hàm số có bậc cao Pn(x) Qm(x) – bậc ax+b, bậc ax2 + bx + c từ ta tính Yr” Yr’ sau vào phương trình (1) ta hệ số bất định để tìm Rl(x) & Sl(x) Nếu λ=α µ=β Yr = x eλx( Rl(x)cosµx + Sl(x)sinµx) từ ta tính Yr” Yr’ sau vào phương trình (1) ta hệ số bất định để tìm Rl(x) & Sl(x) Nếu F(x) khơng dạng thì: Yr = C1(x) y1 + C2(x) y2 Tìm Z vào Z = yβ nghiệm pt Cần tìm C1(x) C2(x) cách giải hệ pt: C1’(x) y1 + C2’(x) y2 = từ hệ ta tính C1’(x) C2’(x) tính dc C1(x) C2(x) C1’(x) y1’ + C2’(x) y2’ = F(x) Y = Ӯ + Yr Kết luận: Nghiệm phương trình CHUỖI HÀM SỐ ĐỔI THỨ TỰ TÍCH PHÂN ∑ஶ ௡ୀ଴ ܷ݊ሺ‫ݔ‬ሻ Cho chuỗi hàm số có dạng Tiêu chuẩn Đa-lăm-be ଵ ଷି௫ଶ I = ‫ି׬‬ଷ ݀‫׬ ݔ‬ଶ௫ VD: đổi thứ tự tích phân Với miền D giới hạn đường sau: -Khảo sát hội tụ chuỗi hàm điểm nút, ta áp dụng số chuỗi so sánh: x = -3 ; x = 1; y = 2x ; y = 3-x2 α + ∑ஶ ௡ୀ଴ 1/݊ Chọn điểm đặc biệt x=-3 => y = -6 ≤ ߙ ≤ hội tụ với α > + Chuỗi ∑ஶ ௡ୀ଴ 1/݊ chuỗi điều hòa phân kỳ theo tiêu chuẩn tích phân Và với n ta có ଵ ௡ ௡ > ଵ ௡ାଵ dãy đơn điệu giảm D1 -3 D2 y = 3-x2 Nhận xét: Miền D = D1 U D2 ଵ chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Lepnit có Un = 1/n với lim௡→ஶ = ௡ y = 2x X=1 => y = ; x = => y = 3; x=-1 => y = 2 + Chuỗi ∑ஶ ௡ୀ଴ 1/݊ chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn tích phân ଵ Cần đổi qua thứ tự tính x trước y sau D(x) -Giải bất phương trình │D(x)│ < nghiệm x thu khoảng nghiệm chuỗi hàm Phân kỳ với ݂ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ݀‫ݕ‬ Giải: Nếu tồn giới hạn -Xét lim௡→ஶ │ܷ݊ + 1ሺ‫ݔ‬ሻ/ܷ݊ሺ‫ݔ‬ሻ│ =======> n + Chuỗi ∑ஶ ௡ୀ଴ሺ−1ሻ Yr = Yr1 + Yr2 F(x) = F1(x)+F2(X) Xét D1: y: từ y=3-x2 ta có ‫ = ݔ‬±ඥ3 − ‫ݕ‬ y = -6 đến y = Nhận xét nhánh hướng x vào x < nên ‫ = ݔ‬−ඥ3 − ‫ ݕ‬và hướng x ‫ݕ = ݔ‬/2 Xét miền D2: đường vào ‫ = ݔ‬−ඥ3 − ‫ ݕ‬và đường ‫ = ݔ‬ඥ3 − ‫ݕ‬ y = đến y = Vậy ta có cơng thức biến đổi sau: Tiêu chuẩn COSI ೙ Nếu chuỗi đưa dạng lim௡→ஶ ට│ܷ݊ሺ‫ݔ‬ሻ│ Nếu tồn giới hạn ========= D(x) ଶ ௬/ଶ ଷ ඥଷି௬ Id = Id1 + Id2 = ‫ି׬ ݕ݀ ଺ି׬‬ඥଷି௬ ݂ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ݀‫ ݔ‬+ ‫׬‬ଶ ݀‫ି׬ ݕ‬ඥଷି௬ ݂ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ݀‫ ݔ‬ Tương tự ta giải bất phương trình D(x) < ta tìm khoảng nghiệm TÍNH DIỆN TÍCH (câu 2a) Khảo sát hội tụ đầu nút Ví dụ: Tính diện tích miền giới hạn đường y = √‫ ݔ‬+ ; x = x+y+1 = Lời giải: Miền D miền giới hạn đường thẳng y = √‫ ݔ‬+ ; x = y = -x – Ta vẽ trục tọa độ đường trên: Với: x= -1 => y = y x= => y = ±1 ‫ ݔ√ = ݕ‬+ x= -3/4 => y = ±1/2 Do y = √‫ ݔ‬+ > nên lấy phần y > Nhận xét: ta miền D có: D x: x = -1 đến x = -1 Y: Đường y = -x -1 Đường y = √‫ ݔ‬+ Sd = ଴ √௫ାଵ ‫ି׬‬ଵ ݀‫ି׬ ݔ‬௫ିଵ ݀‫ݕ‬ ଴ = ‫ି׬‬ଵሺ√‫ݔ‬ + − ሺ−‫ ݔ‬− 1ሻሻ݀‫ = ݔ‬7/6 x -1 Y=-x-1 CÂU 3a TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI TÍCH PHÂN KÉP PA1: ‫׬‬஼ ܲሺ‫ݔ‬ሻ݀‫ ݔ‬+ ܳሺ‫ݔ‬ሻ݀‫= ݕ‬ ௑௕ ‫׬‬௑௔ ൣܲ൫‫ݔ‬, ݂ሺ‫ݔ‬ሻ൯ + ܳ൫‫ݔ‬, ݂ሺ‫ݔ‬ሻ൯ ∗ ݂ ᇱ ሺ‫ݔ‬ሻ൧݀‫ ݔ‬với x: Xa đến Xb, y =f(x) PA2: ‫׬‬஼ ܲሺ‫ݔ‬ሻ݀‫ ݔ‬+ ܳሺ‫ݔ‬ሻ݀‫= ݕ‬ ௒௕ ‫׬‬௒௔ ሾܲሺ݃ሺ‫ݕ‬ሻ, ‫ݕ‬ሻ + ܳሺ݃ሺ‫ݕ‬ሻ, ‫ݕ‬ሻ ∗ ݃′ሺ‫ݕ‬ሻሿ݀‫ ݕ‬với y: Ya đến Yb, x =g(y) Chú ý: đặt x = rcosφ ; y = rsinφ ; │J│ = r Miền D đường tròn or phần đường tròn ఝଶ ௥ଶሺఝሻ Ta có cơng thức: ‫∬ = ܫ‬஽ ܲሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ݀‫׬ = ݕ݀ݔ‬ఝଵ ݀߮ ‫׬‬௥ଵሺఝሻ ݂ሺ‫߮ݏ݋ܿݎ‬, ‫߮݊݅ݏݎ‬ሻ ∗ │‫ ݎ݀│ݎ‬ Cần dựa vào hình để xác định cận tọa độ cực: VD: φ: từ φ1 đến φ2 r: r1(φ) đến r2(φ) Tính I = ‫׬‬஼ ‫ ݔ݀ݕݔ‬+ ሺ‫ݔ‬2 + 1ሻ݀‫ ݕ‬trong C đoạn thẳng từ điểm A(0;1) đến B (1;4) Lời giải: - Viết phương trình đoạn thẳng qua điểm A(0;1) B (1;4) B PT đoạn thẳng AB có dạng y = ax+b vào điểm => a = b = Y=3x+ VD: Tính I = ‫׬‬஽ ሺ‫ ݕݔ‬− 1ሻ݀‫ ݕ݀ݔ‬với D miền giới hạn x2 + y2 ≤ 4x y>0 D giới hạn đường x2 + y2 ≤ 4x Giải: (x-2)2 + y2 = 22 => đường tròn tâm I(2;0) R=2 Do y>0 nên ta lấy phần dương hình trịn Vậy phương trình đoạn thẳng AB y = 3x+1 => dy = 3dx A Do miền D có dạng hình trịn nên ta đổi qua tọa độc cực, đặt: A(0;1) B (1;4) nên x: chạy từ x=0 đến x=1 ଵ Vậy: ‫׬ = ܫ‬஼ ‫ ݔ݀ݕݔ‬+ ሺ‫ݔ‬2 + 1ሻ݀‫׬ = ݕ‬଴ ሾ‫ ∗ ݔ‬ሺ3‫ ݔ‬+ 1ሻ + ሺ‫ݔ‬2 + 1ሻ ∗ 3ሿ݀‫= ݔ‬11/2 x=rcosφ φ y=rsinφ cosφ= r/4 │J│ = r =>R = 4cosφ Cận cơng thức tích phân sau: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Giải hệ Z’x = Z’y = tìm điểm x, y VD: Z = + 3x2 + 6xy – 12y + 2y3 A = Z”x ; B = Z” xy ; C = Z”y Giải: B2 – AC > cực trị B2 – AC < điểm phải cực trị Giải hệ phương trình Z’x = Z’y = Z’x = 6x + 6y = Z’y = 6x – 12 + 6y = Với A>0 cực tiêu ta tìm điểm M1 (-2;2) M2( 1;-1) Với A cực đại Tính Z”x = = A ; Z”xy = = B Z”y = 12y = C F(m) – F(m0) < cực tiểu Xét biểu thức B2 – AC = 36 – 72y Tại M1(-2;2) thay vào biểu thức B2 – AC = 36 – 72y = 36 – 72*2 < điểm cực trị hàm số A = >0 nên điểm cực tiểu, thay vào tính Z = 1+3*(-2)2+6*(-2)*2-12*2+2*23= -19 Tại M2(1;-1) thay vào biểu thức B2 – AC = 36 – 72y = 36 – 72*-1 > điểm cực trị φ: φ = đến φ = Π/2 r: r1(φ)=0 đến r2(φ) = cosφ từ pt x2 + y2 ≤ 4x thay x=rcosφ y=rsinφ ta r2cos2φ + r2sin2φ = 4cosφ =>r=4cosφ Thay vào cơng thức ta có: ௽/ଶ I = ‫׬‬଴ ሺ‫ݎ‬2ܿ‫ݏ݋‬φsinφ − 1ሻ ∗ │‫݀│ݎ‬φ Chú ý: ௽/ଶ ‫׬‬଴ ௽/ଶ ‫ݏ‬inn xdx = ‫׬‬଴ ‫ ܥ‬osn xdx = ሺ௡ିଵሻ‼ ௡‼ n số lẻ Nếu hàm đối xứng qua ox mà hàm lẻ với y S=0, lúc đót a tính S miền D1 S=2S1 ≤ r ≤ a.cosφ ௽ ሺ௡ାଵሻ‼ ଶ ௡‼ D2 D1 Pt: x2+y2 ≤ ax = n số chẵn D1 Nếu hàm đối xứng qua 0y hàmle ẻ ới x S=0, nên ta tính miền D1 S=2S1 D2 ⬚ ‫׬‬஽ ݀‫ = ݕ݀ݔ‬Π2/2*r2 Pt: x2+y2 ≤ by ≤ r ≤ b.sinφ