(SKKN HAY NHẤT) phát triển tư duy, óc sáng tạo và hứng thú học toán cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển từ một bài toán

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: “PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƢ DUY, ĨC SÁNG TẠO VÀ HỨNG THÚ HỌC TỐN CHO HỌC SINH THÔNG QUA VIỆC KHAI THÁC, PHÁT TRIỂN MỘT BÀI TOÁN” LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI a Cơ sở lí luận Dạy tốn hoạt động nghiên cứu toán học học sinh giáo viên bao gồm day khái niệm, dạy định lý, giải tốn , giải tốn cơng việc quan trọng Bởi giải tốn q trình suy luận nhằm khám phá quan hệ lôgic cho chưa biết (giữa giả thiết kết luận) Mỗi tốn có nhiều cách giải, cách giải định hướng suy luận riêng nên đứng trước toán học sinh thường đâu? phải làm nào? Quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi tốn khó, khó dạy thầy khó học trị Mặt khác dạy hết cho học sinh tất tập em làm hết tập Vì để tạo mối liên hệ tập, hướng dẫn cho học sinh giải toán, giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh biết khai thác, mở rộng kết toán đơn giản khai thác toán gốc để xây dựng toán liên quan Điều giúp học sinh rèn luyện tư lơgic óc, sáng tạo, tự tìm tịi, suy nghĩ tốn có cách giải hay Ngồi cịn tạo điều kiện cho giáo viên học sinh không thiết phải mua nhiều tài liệu thực tế có nhiều đầu sách có nội dung gần giống Mặt khác muốn học giỏi tốn u cầu học sinh cần nắm kiến thức đứng trước toán phải có cách nhìn,cách tiếp cận, đánh giá giải vấn đề toán cách triệt để không đơn giải cho xong Bởi việc tìm lời giải tốn nhiều khơng phải khó tốn sách giáo khoa Vì thế, học sinh học sinh giỏi thường mang tâm lý xem nhẹ toán sách giáo khoa, thực đằng sau tốn có điều hấp dẫn, lý thú Quá trình phải toán đơn giản đến phức tạp để rèn luyện lực tư cho học sinh Như nhà toán học Đề Các nói: “Mỗi vấn đề mà tơi giải trở thành ví dụ mẫu mực dùng để giải vấn đề khác” Từ giúp em có sở khoa học phân tích, định hướng tìm lời giải cho tốn khác đặc biệt củng cố cho em lòng tin vào khả giải tốn Để rèn luyện kỹ giải tốn cho học sinh, ngồi việc trang bị tốt hệ thống kiến thức rèn luyện kỹ giải tập,Nhiệm vụ người thầy việc cung cấp kiến thức, rèn luyện kỹ cho học sinh cịn có nhiêm vụ quan trọng rèn luyện lực tư cho học sinh trình giảng dạy Nếu người thầy dừng lại giải xong toán khơng thể khơi dậy học sinh óc tị mị, tính sáng LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com tìm tịi khám phá điều lý thú ẩn sau tốn, khơng thể phát triển lực tư học sinh làm cho tiết học trở nên nhạt nhẽo nhàm chán Nếu sau toán, người thầy hướng dẫn học sinh khai thác sâu kết Từ tìm chuỗi tốn từ dễ đến khó khơng rèn luyện lực tư sáng tạo cho học sinh mà gây hứng thú làm cho học trở nên hấp dẫn hơn, giúp cho kiến thức học sinh có tính hệ thống, mở rộng sâu Trong trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, nhận thấy biện pháp tốt hữu hiệu để bồi dưỡng lực tư theo định hướng đổi phương pháp dạy học Bộ Giáo Dục Đào tạo: "Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh, phù hợp với đặc điểm chung lớp học, mơn học ”(Trích “Một số vấn đề đổi phương pháp dạy học trường THCS"Bộ Giáo dục Đào tạo ) b Cơ sở thực tiễn Trong năm học gần đây, thấy việc đổi phương pháp dạy học mang lại số hiệu định Trong trình giảng dạy, người giáo viên biết cách sử dụng phương pháp dạy học nhằm phát huy tính tích cực chủ động, lực tư duy, óc sáng tạo cho học sinh Qua thực tiễn nghiên cứu nhận thấy việc dạy học theo định hướng khai thác phát triển toán cách làm hay, phù hợp với xu chung, góp phần vào việc đổi phương pháp dạy học, rèn luyện kiến thức, kĩ năng, óc sáng tạo bồi dưỡng lực tư cho học sinh cịn gây hứng thú, ham thích học tốn cho em Tuy nhiên, thực tế giảng dạy giáo viên đề tài có trước đây, thường trọng đến việc khai thác phát triển tốn hình học mà chưa thực quan tâm đến đại số nói chung bất đẳng thức nói riêng Trong chương trình tốn THCS, bất đẳng thức nội dung khó quan trọng, thường có mặt đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT, thi học sinh giỏi cấp đề thi tuyển sinh ĐH, CĐ sau Nhưng tâm lí chung học sinh có cảm giác “sợ” “ngại va chạm” dạng tốn Thực chất do: - Các em chưa nắm bất đẳng thức bản, tính chất bất đẳng thức - Chưa biết kết nối, xâu chuỗi bất đẳng thức với thành hệ thống LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com - Chưa có kĩ quy lạ quen, đưa nặng nhẹ, chuyển đổi toán phức tạp cồng kềnh thành toán đơn giản - Chưa biết cách biến đổi từ toán gốc để đưa tốn mới, tổng qt hóa, đặc biệt hóa, - Chưa thực u thích mơn học Vậy ngun nhân chủ yếu thực trạng gì? - Thứ nhất, toán bất đẳng thức q đa dạng phức tạp khơng có phương pháp chung để giải - Thứ hai, số giáo viên chưa thực có kiến thức tổng hợp bất đẳng thức chưa đào sâu nghiên cứu kĩ nội dung - Thứ ba, dạy Đại số nói chung bất đẳng thức nói riêng, giáo viên thường dạy theo cách phân dạng dạy tập cách rời rạc, riêng lẻ mà chưa biết khai thác, phát triển toán gốc xâu chuỗi tạo thành hệ thống tập có lơgíc chặt chẽ với - Thứ tư, chưa rèn cho học sinh kĩ cần thiết quy lạ quen, tổng quát hóa, đặc biệt hóa, - Thứ năm, trình giảng dạy chưa tạo hứng thú, u thích học tốn cho học sinh Để góp phần khắc phục tình trạng phát huy tối đa lực tư học sinh, tạo niềm say mê, u thích học tốn, nội dung bất đẳng thức Tôi xin đưa đề tài: “Kinh nghiệm phát triển lực tư duy, óc sáng tạo tạo hứng thú học toán cho học sinh thơng qua việc khai thác, phát triển tốn” để đồng nghiệp tham khảo, bổ sung góp ý MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Nghiên cứu đề xuất số giải pháp kinh nghiệm phát triển lực tư duy, óc sáng tạo tạo hứng thú học tốn cho học sinh thơng qua việc khai thác, phát triển toán bất đẳng thức NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU - Xác định sở lí luận thực tiễn vấn đề phát triển lực tư duy, óc sáng tạo tạo hứng thú học tốn cho học sinh thơng qua việc khai thác, phát triển toán LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com - Phân tích thực trạng q trình dạy học nhằm mục tiêu phát triển lực tư duy, óc sáng tạo tạo hứng thú học tốn cho học sinh THCS - Đề xuất số giải pháp thông qua việc khai thác phát triển toán bất đẳng thức nhằm mục tiêu phát triển lực tư duy, óc sáng tạo tạo hứng thú học toán cho học sinh THCS PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Phương pháp lí luận: Căn vào chủ trương, sách Đảng Nhà nước, Bộ Giáo dục Đào tạo công tác “Đổi phương pháp dạy học nhằm mục tiêu phát triển lực tư duy, tính tích cực, tự giác, tính chủ động sáng tạo học sinh, phù hợp với đặc điểm chung lớp học, mơn học…”(Trích “Một số vấn đề đổi phương pháp dạy học trường THCS"- Bộ Giáo dục Đào tạo ) - Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: quan sát, điều tra, tổng hợp kinh nghiệm vấn đề “Kinh nghiệm phát triển lực tư duy, óc sáng tạo tạo hứng thú học tốn cho học sinh thơng qua việc khai thác, phát triển toán” ĐIỂM MỚI CỦA ĐỀ TÀI - Đề tài đề cập đến nội dung quan trọng nhiều giáo viên chưa thực khai thác thực - Đề tài đưa giải pháp có tính hệ thống, logic, khoa học để dạy học nhằm phát triển lực tư duy, óc sáng tạo tạo hứng thú học toán cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển toán - Các giải pháp đề tài đưa trải nghiệm qua thực tế điều chỉnh phù hợp theo đối tượng học sinh năm học nên có tính hợp lí, dễ dàng thực CẤU TRÚC CỦA ĐỀ TÀI Phần I: Đặt vấn đề Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Điểm đề tài Phần II: Nội dung LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phần III: Kết luận Hiệu đề tài Nhận định áp dụng sáng kiến kinh nghiệm khả mở rộng đề tài Bài học kinh nghiệm đề xuất LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com PHẦN II: NỘI DUNG Hệ thống bất đẳng thức phong phú đa dạng, nhiên khơng phải tốn đặt có ý nghĩa thực sự, ta nên quan tâm nhiều đến bất đẳng thức để lại cho ý nghĩa định Chúng ta tốn chương trình THCS lại sở cho nhiều tốn khó sau này: Bài 1: Với a, b số không âm, chứng minh rằng: a3  b3  ab(a  b) (*) (Đề thi HSG huyện Đô Lương- lớp năm học 2011 – 2012) Hướng dẫn: Đối với toán này, học sinh dễ dàng thực theo nhiều cách Cách chứng minh bất đẳng thức quen thuộc học sinh THCS biến đổi tương đương: Cách 1: a3  b3  ab(a  b)  (a  b)(a  ab  b )  ab(a  b)   (a  b)(a  2ab  b )   (a  b)(a  b)2  Bất đẳng thức với a, b không âm Đẳng thức xảy  a = b Cách 2: Ngồi cách làm học sinh lớp ta chứng minh tốn cách sử dụng bất đẳng thức quen thuộc: a  b2  2ab Ta có: a  b  2ab  a  ab  b  ab  (a  b)(a  ab  b )  ab(a  b)  a3  b3  ab(a  b) Đẳng thức xảy  a = b Cách 3: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ta có ab(a  b)  a 2b  ab2 Để xuất hạng tử a2b ab2 vế phải ta thấy bất đẳng thức xảy dấu a = b Bởi vậy, ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cách sau: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a  a  b3  3a 2b a  b3  b3  3ab  3(a  b3 )  3ab(a  b)  a  b3  ab(a  b) Đẳng thức xảy  a = b Nhận xét: Như toán ta chứng minh a3  b3  ab(a  b) , với suy nghĩ tích cực giáo viên tự hướng dẫn học sinh tự đặt câu hỏi: Bài tốn có đặc biệt? Liệu tốn phát triển hay khơng? Có thể tổng qt hóa tốn hay khơng? Từ kết tốn học sinh suy nghĩ để tổng qt hóa tốn theo định hướng là: tổng quát hóa theo hướng tăng bậc tổng quát hóa theo hướng tăng số số hạng hay mạnh tổng quát hóa nâng bậc số số hạng Để làm điều đó, trước hết ta cần hướng dẫn cho học sinh cách mò mẫm dự đốn có chủ đích: Hƣớng thứ nhất: Tổng qt hóa theo cách tăng dần số mũ giữ nguyên số số hạng: Nhận xét 1: Ta có: a3  b3  ab(a  b) , vấn đề đặt vế trái có kết nào? a n  b n (n>2) liệu ta - Với n = ta có kết - Với n = 4, làm tương tự cách tốn ta nhận thấy: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số khơng âm, ta có: a  a  a  b  4a3b a  b  b  b  4ab3 Cộng vế bất đẳng thức chiều, ta được: 4(a  b4 )  4ab(a  b )  (a  b4 )  ab(a  b ) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Đẳng thức xảy  a = b Vậy ta có tốn: Bài 2: Với a, b số không âm, chứng minh rằng: a  b4  ab(a  b2 ) - Với n = 5, ta tiếp tục biến đổi theo định hướng trên: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số khơng âm, ta có: a5  a  a  b5  b5  5a 3b a5  a  b5  b5  b5  5a 2b3 Cộng vế bất đẳng thức chiều, ta được: 5(a5  b5 )  5a 2b (a  b)  a  b5  a 2b ( a  b) Đẳng thức xảy  a = b Ta có tốn 3: Bài 3: Với a, b số không âm, chứng minh rằng: a  b  a b ( a  b) - Với n = Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số không âm, ta có: a  a  a  a  b6  b6  6a 4b a  a  b  b  b  b  6a b Cộng vế bất đẳng thức chiều, ta được: 6(a  b6 )  6a 2b2 (a  b2 )  a  b  a 2b ( a  b ) Đẳng thức xảy  a = b Nên ta có tốn sau: Bài 4: Với a, b số không âm, chứng minh rằng: a  b  a 2b ( a  b ) - Tương tự, với n = 7, n = 8, ta chứng minh bất đẳng thức sau: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bài 5: Với a, b số không âm, chứng minh rằng: a7  b7  a3b3 (a  b) Bài 6: Với a, b số không âm, chứng minh rằng: a8  b8  a3b3 (a  b2 ) Từ kết hướng đường đến tổng quát thật sáng sủa - Với n số chẵn, đặt n = 2k (k N, k>1), ta có: - Áp dụng bất đẳng thức Canchy cho 2k số hạng sau: a k   a k  b k   b k  2k a k 1b k 1 k 1 so hang k 1so hang a   a  b   b k  2k a k 1b k 1 2k 2k 2k k 1 so hang k 1so hang Cộng vế bất đẳng thức chiều, ta có: 2k.(a k  b2 k )  2k.(a k 1.b k 1  a k 1.b k 1 )  a k  b2 k  (a k 1.bk 1  a k 1.bk 1 )  a k  b2 k  a k 1.b k 1 (a  b ) Từ ta có tổng quát 1: Tổng quát 1: Bài 7: Với a, b số không âm, k số tự nhiên Chứng minh rằng: a k  b2 k  a k 1.bk 1 (a  b2 ) - Với n số lẻ, đặt n = 2k+1 (k  N, k>1), ta có: a k 1   a k 1  b k 1   b k 1  (2k  1).a k 1b k k 1 so hang a k 1   a k so hang k so hang k 1 b k 1   b k 1  (2k  1).a k b k 1 k 1 so hang Cộng vế bất đẳng thức chiều, ta có: (2k  1).(a k 1  b k 1 )  (2k  1).(a k 1.b k  a k b k 1 )  a k 1  b k 1  (a k 1.b k  a k b k 1 )  a k 1  b k 1  a k b k (a  b) Từ ta có tổng quát 2: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Đây toán khó, vừa gặp tập học sinh khó tìm định hướng lời giải Tuy nhiên, em nắm bất đẳng thức a3  b3  ab(a  b) việc suy nghĩ để làm xuất a3 + b3 + abc đơn giản cách cộng vào hai vế bất đẳng thức với tích abc, ta có: a3  b3  abc  ab(a  b)  abc  a  b3  abc  ab(a  b  c) 1  3  a  b  abc ab(a  b  c) Tương tự ta có: 1 b  c  abc bc (a  b  c ) 1  3 c  a  abc ca (a  b  c )  Suy ra: 1 1 1  3     3 a  b  abc b  c  abc c  a  abc ab(a  b  c ) bc (a  b  c ) ca (a  b  c ) 1 1 abc  3  3     a  b  abc b  c  abc c  a  abc a  b  c abc abc Nhận xét: Khi giải tốn 26 việc đưa toán tương tự với số dương a, b, c, d khơng cịn khó khăn Bài 27: Với số dương a, b, c, d Chứng minh 1 1  4    4 4 4 a  b  c  abcd b  c  d  abcd c  d  a  abcd d  a  b  abcd abcd 4 Chứng minh: a4 + b4 + c4  abc(a + b + c)  a4 + b4 + c4 + abcd  abc(a + b + c+d)  1 d  = a  b  c  abcd abc(a  b  c  d ) abcd (a  b  c  d ) 4 b4 + c4 + d4  bcd(b + c + d)  b4 + c4 + d4 + abcd  bcd(a + b + c+d)  1 a  = b  c  d  abcd bcd (a  b  c  d ) abcd (a  b  c  d ) 4 c4 + d4 + a4  cda(c + d + a)  c4 + d4 + a4 + abcd  cda(a + b + c + d) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com  1 b =  c  d  a  abcd cda(a  b  c  d ) abcd (a  b  c  d ) 4 d4 + a4 + b4  dab(d + a + b)  d4 + a4 + b4 + abcd  dab(a + b + c + d)  1 c  = d  a  b  abcd dab(a  b  c  d ) abcd (a  b  c  d ) 4 Cộng vế bất đẳng thức ta chứng minh đượcbài toán 1 1  4    4 4 4 a  b  c  abcd b  c  d  abcd c  d  a  abcd d  a  b  abcd abcd 4 Nhận xét: Tương tự ta đưa toán tổng quát với n số dương: a1, a2, a3, , an Bài 28: Với n số dương a1, a2, a3 an 1 1  n   n  n n n a  a   a n 1  a1 an a   a n  a1 an a n   a n 2  a1 an a1.a2 an n n Chứng minh Ta có: a1n  a2n   ann1  a1.a2 an 1 (a1  a2   an 1 )  a1n   ann1  a1.a2 an  a1.a2 an 1 (a1  a2   an )  a   a n n n 1  a1 an  an  a1 an 1 ( a1   an ) a1 an ( a1   an ) a2n  a3n   ann  a2 a3 an (a2  a3   an )  a2n  a3n   ann  a1.a2 an  a2 a3 an (a1  a2   an )  a1 1   n a  a   a n  a1 an a2 a3 an  a1  a2   an  a2 an (a1   an ) n n …… ann  a1n   ann  an a1 an  (an  a1   an  )  ann  a1n   ann2  a1 an  an a1 an 2 (an  a1   an ) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com  an 1 1   n a  a   an 2  a1.a2 an an a1.an 2 (a1  a2   an ) a1.a2 an (a1  a2   an ) n n n Cộng vế với vế ta có điều cần chứng minh 1 1  n   n  n n n a  a   a n 1  a1 an a   a n  a1 an a n   a n 2  a1 an a1.a2 an n n Nhận xét: Đặc biệt hóa tốn 26 trường hợp abc = 1, ta có tốn mới: Bài 29: Cho a, b, c ba số dương abc = Chứng minh rằng: 1  3  1 a  b  b  c  c  a3  ( ĐH Thủy Lợi năm 1999) Nhận xét: Từ 29, thay đổi hình thức tốn tốn tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức ta có tốn hay: Bài 30: Cho x, y, z ba số dương xyz = Tìm giá trị lớn biểu thức: A 1  3  3 x  y 1 y  z 1 z  x 1 (Đề thi HSG tỉnh Nghệ An - Bảng A năm học 2009 – 2010) Thoạt đầu nhìn vào tốn học sinh chưa thể có định hướng để giải Nhưng dựa vào mắt xích việc giải tốn khơng cịn khó khăn Nhận xét: Từ bất đẳng thức cho trước ta có nhiều cách biến đổi để tạo bất đẳng thức phương pháp đổi biến ví dụ Việc thay đổi biến số hàm số đơn giản làm tập trở nên khó che dấu chất thật toán Kĩ thuật đổi biến khó vấn đề khó tìm Giờ tiếp tục ta thử đặt x  a , y  b3 , z  c ta lại có tốn mới: Bài 31: Cho x, y, z số thực dương xyz = Chứng minh rằng: 1   1 x  y 1 y  z 1 z  x 1 Nhận xét: Đây toán nhìn gọn gàng đẹp, lại khơng cho ta ý tưởng để giải tốn Vì việc đổi biến làm che dấu chất toán Nhưng ta đặt x = a3, y = b3, z = c3 ta đưa toán 29 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nhận xét: Với a, b, c số dương a  b3  ab(a  b)  a  b3  a 2b  ab  a  a 2b  ab  b3  2a  a  a 2b  ab  b3  2a  2a  2ab  a 2b  b3  (a  ab  2a 2b)  2a  (2a  b)(a  b )  a(a  b) mà a ( a  b)   2a  (2a  b)(a  b )  a3 2a  b b  a 2 a b 2 Tương tự ta có: b3 c b 2 b c c a c 2 a c Cộng vế bất đẳng thức chiều ta có: a3 b3 c3 a bc    2 2 2 a b b c c a Từ ta có toán mới: Bài 32: Cho a, b, c ba số dương Chứng minh rằng: a3 b3 c3 abc    2 2 2 a b b c c  a Hướng dẫn: Cách 1: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com a  b3  ab(a  b)  a  b3  a 2b  ab  a  a 2b  ab  b3  2a  a  a 2b  ab  b3  2a  2a  2ab  a 2b  b3  (a  ab  2a 2b)  2a  (2a  b)(a  b )  a(a  b) ma a (a  b)   2a  (2a  b)(a  b ) a3 2a  b b   a a b 2 Tương tự ta có: b3 c b 2 b c c a c 2 a c Cộng vế bất đẳng thức chiều ta có: a3 b3 c3 a bc    2 2 2 a b b c c a Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: a3 a(a  b2 )  ab2 ab2 ab2 b   a   a  a 2 2 2 a b a b a b 2ab Tương tự: b3 c b 2 b c c a c 2 a c Cộng vế ba bất đẳng thức chiều, ta có kết cần chứng minh Đẳng thức xảy  a = b = c Nhận xét: Từ kết toán ta cho a + b + c = 3, ta có toán mới: Bài 33: Cho a, b, c số thực dương a + b + c = LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P a3 b3 c3   a  b2 b2  c c  a (Đề thi HSG tỉnh Nghệ An năm học 2011 – 2012) Hướng dẫn: Ta có: a  b3  ab(a  b)  a  b3  a 2b  ab  a  a 2b  ab  b3  2a  a  a 2b  ab  b3  2a  2a  2ab  a 2b  b3  (a  ab  2a 2b)  2a  (2a  b)(a  b )  a(a  b) mà a ( a  b)   2a  (2a  b)(a  b )  a3 2a  b b  a 2 a b 2 Tương tự ta có: b3 c b 2 b c c a c 2 a c Cộng vế bất đẳng thức chiều ta có: a3 b3 c3 abc    2 2 2 a b b c c a P P Dấu xảy a = b = c = Vậy giá trị nhỏ P a = b = c = Nhận xét: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Với a, b > 0, ta có: a  b3  ab(a  b)  a  ab(a  b)  b3  3a  2a  2a 2b  2ab  a 2b  ab  b3  3a  (a  ab  b )(2a  b)  a3 2a  b  2 a  ab  b Lý luận tương tự ta có: b3 2b  c  2 b  bc  c 3 c 2c  a  2 a  ac  c Cộng vế bất đẳng thức chiều ta có: a3 b3 c3 abc    2 2 2 a  ab  b b  bc  c c  ca  a Ta có tốn 34: Bài 34: Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: a3 b3 c3 abc    2 2 2 a  ab  b b  bc  c c  ca  a Bằng cách biến đổi ta tìm nhiều tốn hay, ví dụ như: Bài 35: Cho a, b, c ba số dương Chứng minh rằng: a2 b2 c2 a bc    b  3c c  3a a  3b Bài 36: Cho a, b, c ba số dương Chứng minh rằng: a3 b3 c3 a  b2  c    a  ab  b2 b2  bc  c c  ca  a a bc Bài 37: Cho a, b, c ba số dương Chứng minh rằng: a3 b3 c3 3(a  b2  c )    bc ca ab a bc Bài 38: Cho a, b, c ba số dương Chứng minh rằng: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com a b3 c    abc bc ca ab (Đề thi olympic toán canađa năm 2002) Với tốn ban đầu tìm toán tổng quát, giá trị n, m ta có nhiều tốn hay, nhờ vào toán tổng quát ta giải nhiều tốn khó mà mày mị theo cách khác phức tạp bế tắc Ví dụ ta vận dụng tốn 2: Với a, b số không âm, chứng minh rằng: a  b4  ab(a  b2 ) (**) để giải nhiều toán hay đề toán thi học sinh giỏi thi vào THPT chuyên chọn: Bài 39: Cho hai số dương a, b Chứng minh a a b  b b a  a b Hướng dẫn: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a  b  a b (a  b) Đây bất đẳng thức (**) cho hai số dương a b nên ta điều phải chứng minh Bài 40: Chứng minh a  b  c  a bc  b ac  c ab Trong a, b, c ba số thực không âm Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có a4 + b4 ≥ a3b + ab3 b4 + c4 ≥ b3c + bc3 a4 + c4 ≥ a3c + ac3 Cộng vế với vế bất đẳng thức ta được: 2(a4 + b4 + c4) ≥ a3(b + c) + b3(a + c) + c3(a + b) (1) Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cơ si cho hai số khơng âm ta có a3(b + c) + b3(a + c) + c3(a + b)  2a bc  2b ac  2c ab (2) Từ (1), (2) suy điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bài 41: Cho ba số dương a, b, c Chứng minh 2 a b c a b  c           b c a b c a Hướng dẫn: a a 1   b b b b 1   c c c 1  a  a Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có      b  b    c  1     c    a  1    c  a Cộng vế với vế bất đẳng thức ta đợc 2 a b  c        3 b c a 3 a b c  a  b  c         b c a  b   c   a  Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có 3 a b c   3 b c a 2 a b c  a   b   c                  (1)  b   c   a   b   c   a  áp dụng kết Bài ta được:  a a a a a          b b b b  b  b b b b b      1    c c c c  c  c c c c c          a a a a  a 3  a  b  c a b c a b c                 b c a b c a b c a       LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mà a b c   3 b c a 3  a  b  c a b c              b  c  a b c a Từ (1), (2) (2) a b c a b c suy ra:            b c a b c a Đẳng thức xảy a = b = c Bài 42: Chứng minh 16 16 16 16 16 16 2x  y 2y  z 2z  x    x4  y4  z4 12 12 12 12 12 12 x x y y y y z z z z x x x, y, z ba số thực dương Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức (**)  x16  y16  x12 y  y12 x  x16 ta có x   y  4 4  x12 y  x y12  x16  y16  x ( x12  x y  y12 ) x16  y16  12  x4 12 x x y y Tương tự: y 16  z 16 z 16  x16  y , 12  z4 12 12 12 y y z z z z x x Cộng vế với vế bất đẳng thức ta điều phải chứng minh Đẳng thức xảy x = y = z Bài 43: Cho a, b, c ba số thực dương Chứng minh rằng: a  1 1  b  c      3(a  b  c ) a b c  Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức: a5 + b5 + c5 ≥ abc(a2 + b2 + c2) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương ta có 1  3 3 abc a b c 1 1   a5  b5  c5       3(a  b2  c ) a b c  Đẳng thức xảy a = b = c Nhận xét : Từ toán 6, a5  b5  a 2b2 (a  b) (a, b số dương), giáo viên biết hướng dẫn học sinh nhìn nhận khai thác tốn ta lại có toán Bài 44: Cho a, b, c ba số dương abc = Chứng minh rằng: ab bc ca  5  1 a  b  ab b  c  bc c  a5  ca (Đề thi toán quốc tế lần thứ 37 năm 1996) Hướng dẫn: Ta có:  a  b5  a 2b ( a  b)  a  b5  ab  a 2b (a  b)  ab 1  5  2 a  b  ab a b (a  b)  ab Do đó: ab ab c2 abc c     5 2 2 2 a  b  ab ab  a b (a  b) c a b c (a  b)  abc a b c ( thay abc = 1) Lí luận tương tự: bc a  b  c  bc a  b  c ac b  5 a  c  ac a  b  c Cộng bất đẳng thức chiều, ta được: ab bc ac c a b  5  5    1 a  b  ab b  c  bc a  c  ac a  b  c a  b  c a  b  c Dấu “=“xảy  a =b =c = LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Các tập tƣơng tự: Bài 45: Cho ba số dương a, b, c Chứng minh rằng: a  b  c  abc ( a  b  c ) Bài 46: Cho a, b, c ba số dương a2 + b2 + c2 = Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 ≥ a + b + c Bài 47: Cho a, b, c, d số thực dơng Chứng minh a2 b2 c2 d a b c d        b2 c2 d a2 b c d a Bài 48: Cho a1, a2,………,an số thực dương (n ≥ 3, n  N) Chứng minh a n a  a   an1  1  n  a2   an a1  a3   an n n     a2   an  n  n   n      n  a a a a a a n   n    Bất đẳng thức toán bất đẳng thức quen thuộc dễ chứng minh Nhưng bất đẳng thức phát triển từ khơng phải học sinh đễ dàng tìm lời giải Rất nhiều tập xuất nhiều kì thi học sinh giỏi thi vào THPT, em chưa định hướng khó khăn gặp dạng tập Trong thực tế giảng dạy áp dụng bồi dưỡng học sinh giỏi em hào hứng với dạng tập vậy, em tự tin gặp tập bất đẳng thức tập liên quan Mặc dù loại tốn rộng khó muốn đưa để thử sức em nhằm phát huy hết tiềm lực mà em vốn có, ngồi cịn giúp ích em nhiều vào bậc học cao Như từ toán đơn giản ban đầu ta sáng tạo nhiều toán với nhiều góc độ khác giúp học sinh phát triển tư sáng tạo em biết nhìn nhận toán theo nhiều định hướng mẻ Tất nhiên ta cịn phát triển tốn theo nhiều định hướng khác thời gian có hạn phạm vi đề tài tơi xin nêu số định hướng Rất mong bạn bè đồng nghiệp góp ý bổ sung để đề tài phát triển LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com PHẦN III KẾT LUẬN HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI: Sau nghiên cứu áp dụng đề tài nhận thấy học sinh đạt hiệu đáng khích lệ : - Học sinh có ý thức hơn, cẩn thận hơn,trình bày lời giải toán khoa học chặt chẽ - Học sinh hứng thú đề tài tôi, em nắm hệ thống kiến thức bất đẳng thức cách vững - Không cịn cảm thấy sợ gặp tốn bất đẳn thức - Các em có định hướng suy nghĩ tìm tịi sáng tạo - Biết cách chuyển tốn khó đưa toán đơn giản (Bài toán gốc) để giải “chìa khóa” cho em làm nhiều toán khác - Cách suy nghĩ, định hướng học tốn có thay đổi cách tích cực - Các em có phương pháp học tập cách chủ động tích cực sáng tạo - Tạo hứng thú niềm say mê học toán cho em NHẬN ĐỊNH VỀ CÁCH ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM VÀ KHẢ NĂNG MỞ RỘNG ĐỀ TÀI: - SKKN áp dụng cho đối tượng học sinh giỏi cấp THCS học sinh THPT - Có thể thực trình dạy thêm, bồi dưỡng học sinh giỏi, ôn yhi vào lớp 10 THPT - Khi tiến hành áp dụng đề tài nên hướng dẫn học sinh giải toán gốc theo nhiều cách nhìn nhận để mở rộng tốn, tổng qt hóa, đặc biệt hóa, lật ngược vấn đề, - Từ toán gốc sáng tạo toán theo nhiều hướng khác trình biến đổi tương đương, đổi biến - Hướng dẫn cho học sinh cách quy lạ quen biết biến đổi bất đẳng thức cồng kềnh phức tạp bất đẳng thức đơn giản hơn, quen thuộc LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com - Các bất đẳng thức đa dạng phương pháp nhìn khó thực chất ta biết hướng đề tài áp dụng dạy học bất đẳng thức nói riêng mơn tốn nói chung BÀI HỌC KINH NGHIỆM VÀ ĐỀ XUẤT: Giáo viên cung cấp kiến thức vững cho học sinh Khi giải toán (Bài toán gốc) thường giải theo nhiều cách khác Nhìn nhận tốn gốc theo nhiều góc độ khác nhau: tổng qt hóa, đặc biệt hóa, xét tính tương tự, lật ngược vấn đề để sáng tạo tốn thành nhiều tốn khó Rèn luyện cho học sinh gặp tốn có thói quen nghiên cứu bàiốân không đơn giải yêu cầu toán Giúp học sinh biết cách gặp tốn khó nên tìm cách đưa tốn gốc cách biến đổi tương đương đổi biến Và lời khuyên nhà tốn học G.Pơlya nói “Giải tốn nghệ thuật thực hành giống bơi lội, trượt tuyết hay chơi đàn Có thể học nghệ thuật đó, cần bắt chước theo mẫu mực đắn thường xuyên thực hành Nhưng xin nhớ rằng: Nếu bạn muốn tập bơi mạnh dạn nhảy xuống nước, bạn muốn học giỏi tốn bắt tay vào giải đi” Bằng kinh nghiệm rút sau nhiều năm giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, với giúp đỡ tận tình tổ chun mơn, ban Giám Hiệu nhà trường Phịng giáo dục tơi hoàn thành đề tài “Kinh nghiệm phát triển lực tư duy, óc sáng tạo tạo hứng thú học tốn cho học sinh thơng qua việc khai thác, phát triển toán” cho học sinh lớp 8, Trên ví dụ minh hoạ cho phương pháp dạy học rèn luyện lực tư học sinh thông qua việc khai thác toán thân rút số kinh nghiệm để thực phương pháp Tuy nhiên cách trình bày đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót mong cấp chun mơn đồng nghiệp góp ý, bổ sung để đề tài hồn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com TÀI LIỆU THAM KHẢO Giải nhiều cách toán bất đẳng thức Tác giả: Nguyễn Đức Tấn 23 Chuyên đề giải 1001 toán sơ cấp Tác giả: Nguyễn Văn Vịnh Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số Tác giả: Phạm Trọng Thư Tuyển chọn thi học sinh giỏi toán THCS Tác giả: Lê Hồng Đức Sáng tạo bất đẳng thức Tác giả: Phạm Kim Hùng LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... phát triển lực tư duy, óc sáng tạo tạo hứng thú học toán cho học sinh THCS - Đề xuất số giải pháp thông qua việc khai thác phát triển toán bất đẳng thức nhằm mục tiêu phát triển lực tư duy, óc. .. học để dạy học nhằm phát triển lực tư duy, óc sáng tạo tạo hứng thú học toán cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển toán - Các giải pháp đề tài đưa trải nghiệm qua thực tế điều chỉnh... nghiệm phát triển lực tư duy, óc sáng tạo tạo hứng thú học tốn cho học sinh thơng qua việc khai thác, phát triển toán bất đẳng thức NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU - Xác định sở lí luận thực tiễn vấn đề phát triển