(SKKN HAY NHẤT) hướng dẫn học sinh phân loại và giải một số bài toán về số phức

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH PHÂN LOẠI VÀ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ SỐ PHỨC Người thực hiện: Lê Thị Hiền Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh mực (mơn): Tốn THANH HỐ NĂM 2015 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MỤC LỤC Trang A ĐẶT VẤN ĐỀ Lời mở đầu Thực trạng vấn đề nghiên cứu Đối tượng thời gian nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Cơ sở lí thuyết Các dạng tập C KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT 20 Kết 20 Kiến nghị 20 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com A ĐẶT VẤN ĐỀ I LỜI MỞ ĐẦU Tốn học mơn học quan trọng chương trình phổ thơng, chiếm vai trị lớn việc hình thành phát triển trí tuệ, nhân cách người; Tốn học cịn mơn học cơng cụ em học tốt môn học khác Trang bị kiến thức, phương pháp, kĩ phát triển tư duy, trí tuệ cho học sinh mục tiêu hàng đầu mục tiêu dạy học mơn Tốn nói chung chương trình lớp 12 phần Số phức nói riêng Số phức phần quan trọng chương trình tốn THPT phát triển khả tư Toán học cho học sinh, áp dụng nhiều kì thi Tốt nghiệp THPT Đại họcCao đẳng (nay kì thi THPT quốc gia) thời lượng nội dung nội dung đưa vào chương trình phổ thơng từ năm 2008 học sinh cịn lúng túng việc phân dạng lựa chọn phương pháp phù hợp để giải toán số phức Từ kinh nghiệm giảng dạy, tích lũy chuyên môn, phụ đạo học sinh yếu bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 12, luyện thi Tốt nghiệp, Đại họcCao đẳng, lựa chọn phân dạng cho toán Số phức từ đơn giản đến phức tạp có phương pháp giải phù hợp để giúp cho đối tượng học sinh không bị thụ động đa dạng tốn Từ đó, tơi lựa chọn nghiên cứu đề tài "Hướng dẫn học sinh phân loại giải số toán Số phức" với mong muốn giúp học sinh thấy dễ dàng học phần Số phức có thêm tài liệu q trình ôn thi kì thi THPT quốc gia Với kinh nghiệm, lực thời gian nghiên cứu có hạn, tơi mong góp ý đồng nghiệp hội đồng khoa học để đề tài hoàn thiện II THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ Thực trạng Trên thực tế có nhiều năm kì thi vào đại học cao đẳng, kì thi tốt nghiệp THPT có tốn số phức thi Tuy nhiên sau nhiều năm trực tiếp tham gia giảng dạy mơn Tốn lớp 12 trường THPT Triệu Sơn 2, tơi nhận thấy trình độ nhận thức, kĩ thực hành, phương pháp tư duy, số học sinh tốn số phức cịn yếu, số nguyên nhân sau: - Học sinh nắm kiến thức không vững, chưa chủ động học tập cách tích cực, ngại phát giải vấn đề dựa tảng kiến thức cũ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com - Thời lượng dành cho nội dung số phức cịn lại xếp vào cuối chương trình Giải tích 12 - Số phức mảng kiến thức đưa vào chương trình phổ thơng nên tài liệu tham khảo cịn Hiệu vấn đề Các dạng tốn tơi áp dụng giảng dạy cho học sinh trường THPT Triệu Sơn Tôi áp dụng giảng dạy cho học sinh em gặp tốn dạng em giải nhanh thường đạt kết tốt III ĐỐI TƯỢNG VÀ THỜI GIAN NGHIÊN CỨU Đối tượng nghiên cứu - Chỉ chủ yếu đề cập đến phương pháp giải số toán số phức số tập có liên quan - Đối tượng áp dụng để thực học sinh lớp 12 trường THPT Triệu Sơn lớp phụ trách Thời gian nghiên cứu: Nghiên cứu năm học 2009-20010, 20102011, 2012-2013, 2014-2015 IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Nghiên cứu lí thuyết: Nghiên cứu tài liệu sách giáo khoa số sách tham khảo, báo Toán học tuổi trẻ để có hệ thống kiến thức hồn chỉnh số phức sau xếp kiến thức cần dùng theo trình tự logic mơn học Phân chia toán thành dạng để học sinh dễ vận dụng nắm bắt phương pháp - Nghiên cứu thực tế: Sau có nghiên cứu lí thuyết sử dụng sáng kiến kinh nghiệm vào dạy tự chọn nâng cao buổi bồi dưỡng ơn thi đại học Thơng qua đánh giá mức độ hứng thú tiếp thu học sinh kết cho thấy phương pháp hiệu cho em giải toán phần LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I CƠ SỞ LÝ THUYẾT Định nghĩa số phức: Một số phức biểu thức dạng a + bi a b số thực số i thỏa mãn Kí hiệu: z = a + bi i: đơn vị ảo a: phần thực b: phần ảo Chú ý: - Số phức có phần ảo gọi số thực - Số phức có phần thực gọi số ảo (hay số ảo) - Số vừa số thực vừa số ảo - Tập hợp số phức kí hiệu Hai số phức nhau: Hai số phức , gọi nếu: Khi ta viết Biểu diễn hình học số phức Một số phức z = a + bi biểu diễn hình học điểm M(a; b) mặt phẳng Oxy Ngược lại điểm M(a; b) biểu diễn số phức z = a + bi Gốc toạ độ O: biểu diễn số Trục Ox : Trục thực Trục Oy : Trục ảo Môđun số phức: Độ dài vectơ gọi môđun số phức z kí hiệu Số phức liên hợp: Cho số phức z = a + bi Ta gọi a - bi số phức liên hợp z kí hiệu Phép cộng số phức: Tổng hai số phức số phức Phép trừ số phức: Hiệu hai số phức tổng z với -z', tức Phép nhân số phức: Tích hai số phức số phức Tổng tích hai số phức liên hợp: Cho số phức Ta có 10 Phép chia hai số phức: Nếu LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 11 Căn bậc hai số phức: Cho số phức w Mỗi số phức z thỏa mãn gọi bậc hai w 12 Phương trình bậc hai: Cho phương trình bậc hai , A, B, C số phức A ≠ Xét biệt thức * Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt: Với bậc hai * Nếu = (1) có nghiệm kép: 13 Acgumen số phức: Cho số phức z Gọi M điểm mặt phẳn phức biểu diễn số phức z Số đo (rad) góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM gọi acgumen z 14 Dạng lượng giác số phức Định nghĩa: Dạng z = r(cos + i sin ), r >0 gọi dạng lượng giác số phức Còn dạng gọi dạng đại số số phức z 15 Công thức Moa-vrơ: Khi r = 1, ta có: II CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP Giải phương trình tập số phức 1.1 Phương trình bậc nhất, bậc hai phương trình quy bậc hai Bài 1: (Trích đề thi Đại học khối D năm 2012) Giải phương trình sau tập số phức (1) Giải: Ta có Đáp số: z1 = -2 - i, z2 = -1 - 2i Bài 2: (Trích đề thi Cao đẳng khối A,B, D năm 2012) Cho số phức z thoả mãn (1) Tìm toạ độ điểm biểu diễn z mặt phẳng toạ độ Oxy Giải: Đáp số: Vậy tọa độ điểm biểu diễn z mặt phẳng toạ độ Oxy thỏa mãn yêu cầu toán LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bài 3: (Trích đề thi Cao đẳng khối A, B, D năm 2009) Giải phương trình sau tập số phức: (1) Giải: ĐK: (2) Phương trình (2) có Do đó: Đáp số: Bài 4: Giải phương trình sau tập số phức Giải: Đáp số: Vậy phương trình có nghiệm Chú ý: Khi gặp phương trình dạng ta đưa phương trình dạng Bài 5: Gọi hai nghiệm phức phương trình (1) Tìm số phức m cho Giải: Phương trình (1) có Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Khi theo định lí Vi-et ta có Mặt khác: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Vậy m = 3; Chú ý: Bài học sinh thường giải thiếu nghiệm thực Bài 6: Giải phương trình sau tập số phức: a) b) xem m số c) Hướng dẫn a) Đặt ta phương trình * Với * Với Vậy phương trình có nghiệm b) Đặt c) Đặt Chú ý: Khi gặp phương trình dạng để phương trình w tìm z Bài 7: Giải phương trình: ta đặt , giải phương trình tìm tập số phức Giải: Dễ thấy z = khơng phải nghiệm phương trình chia hai vế phương trình cho ta Đặt ta phương trình * Với * Với LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Đáp số: Bài 8: Giải phương trình sau tập số phức Hướng dẫn: Chia hai vế phương trình cho đặt đặt Đáp số: Bài 9: Giải phương trình sau tập hợp số phức: Hướng dẫn: Chia hai vế phương trình cho Đáp số: Bài 10: Giải phương trình sau tập số phức: (1) biết phương trình có nghiệm thực Giải: Gọi nghiệm thực phương trình (1) a, ta có Do (1) Phương trình (2) có Do Đáp số: phương trình (1) có nghiệm 1.2 Tìm số phức z cách giả sử z = a + bi Bài tốn: Tìm số phức z thỏa mãn phương trình (1) Ta thường thực theo bước: Bước 1: Giả sử (a, b ) Bước 2: Thay vào phương trình (1) sử dụng định nghĩa hai số phức để lập hệ phương trình từ tìm a, b Bước 3: Kết luận Bài 1: (Trích đề thi Đại học khối D năm 2011) Tìm số phức z , biết Giải: Giả sử (a, b ) Ta có LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Đáp số: z = - i Bài 2: (Trích đề thi Đại học khối A năm 2011) Tìm tất số phức z, biết Hướng dẫn: Giả sử (a, b ) Đáp số: z = 0, Bài 6: (Trích đề thi Đại học khối B năm 2011) Tìm số phức z, biết Hướng dẫn: Giả sử (a, b ) Đáp số: Bài 4: (Trích đề thi Đại học khối D năm 2010) Tìm số phức z thỏa mãn: số ảo Hướng dẫn: Giả sử (a, b ) Đáp số: Bài 5: Tìm số phức z thỏa mãn phương trình: Giải: ĐK: z ≠ Giả sử (a, b Lấy (2) chia cho (3) ta (1) , ) Thay vào (2) ta Vậy số phức cần tìm là: Bài 6: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện Đáp số: Bài 7: (Trích đề thi Đại học khối B năm 2009) Tìm số phức z thỏa mãn: Đáp số: , Tìm phần thực, phần ảo môđun số phức LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chú ý: Cho số phức (a, b a: phần thực số phức z b: phần ảo số phức z z số thực b=0 z số ảo a=0 Số 0: vừa số thực, số ảo Môđun số phức z: ) Trong , với M điểm biểu diễn z O gốc tọa độ Bài 1: (Trích đề thi Cao đẳng năm 2011) Cho số phức z thoả mãn Tìm phần thực phần ảo số phức Giải: Vậy số phức Ta có có phần thực phần ảo Bài 2: (Trích đề thi Đại học khối D năm 2012) Cho số phức z thoả mãn Tìm môđun số phức Đáp số: z = + 2i, w = + 3i, Bài 3: (Trích đề thi Cao đẳng năm 2012) Gọi phương trình Tính hai nghiệm phức Giải: Ta có Vậy Bài 4: (Trích đề thi Đại học khối A năm 2012) Cho số phức z thoả mãn Tìm mơđun số phức Đáp số: z = + i, w = + 3i, Bài 5: (Trích đề thi Đại học khối A năm 2011) Tìm mơđun số phức z, biết Đáp số: Bài 6: (Trích đề thi Cao đẳng năm 2011) Cho số phức z thoả mãn Tính mơđun số phức z Đáp số: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bài 7: Tìm phần thực số phức: thỏa mãn: Đáp số: nên phần thực số phức z -512 Bài 8: (Trích đề thi Đại học khối A năm 2010) Tìm phần ảo số phức z, biết Đáp số: nên phần ảo Bài 9: (Trích đề thi Đại học khối A năm 2010) Cho số phức z thoả mãn Tìm mơđun số phức Đáp số: z = -4 + 4i, Bài 10:(Trích đề thi Đại học khối A năm 2009) Gọi hai nghiệm phức phương trình Tính giá trị biểu thức Đáp số: Bài 11: (Trích đề thi Cao đẳng năm 2009) Cho số phức z thỏa mãn Tìm phần thực phần ảo z Đáp số: z có phần thực phần ảo Bài 12: Cho Tính Đáp số: Giả sử Ta có hai số phức liên hợp thoả mãn số thực (a, b ), Mặt khác Từ giả thiết ta có Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Bài tốn: Tìm tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện cho trước Cách giải: Giả sử Từ điều kiện tốn, tìm mối quan hệ x y từ suy tập hợp số phức z thoả mãn điều kiện toán LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 3.1 Tập hợp điểm biểu diễn số phức đường thẳng Bài 1: Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện sau Giải: Giả sử Theo Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn yêu cầu toán đường thẳng có phương trình Bài 2: Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện Đáp số: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn yêu cầu toán đường thẳng có phương trình Bài 3: Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn Đáp số: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn yêu cầu tốn phần đường thẳng có phương trình với 3.2 Tập hợp điểm biểu diễn số phức đường trịn Bài 1: (Trích đề thi Đại học khối B năm 2010) Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn Giải: Giả sử Theo Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn yêu cầu toán đường trịn tâm bán kính Bài 2: (Trích đề thi Đại học khối D năm 2009) Trong mặt phẳng toạ độ phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện Đáp số: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn u cầu tốn đường trịn tâm bán kính R=2 Bài 3: Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện sau a) b) số ảo Đáp số: a) Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn yêu cầu toán đường trịn tâm I(1; -3) bán kính R = LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com b) Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn u cầu tốn đường trịn tâm bán kính 3.3 Tập hợp điểm biểu diễn số phức hình trịn Bài 1: Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện sau a) b) Đáp số: a) Giả sử Theo Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn u cầu tốn hình trịn tâm , bán kính (kể biên) b) Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn u cầu tốn hình trịn tâm bán kính ( khơng kể biên) 3.4 Tập hợp điểm biểu diễn số phức đường cônic Bài 1: Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện Đáp số: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn yêu cầu toán parabol Bài 2: Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện Giải: Trong mặt phẳng phức giả sử điểm M, biểu diễn số phức z, -3, Dễ thấy: biểu diễn số phức , biểu diễn số phức Với nằm trục thực Ox Khi điều kiện Vậy tập hợp điểm M elip (E) có trục lớn 10 trục bé 8, phương trình elip (E) Tìm số phức có mơđun lớn nhất, nhỏ Bài tốn: Tìm số phức z có mơđun lớn nhất, nhỏ thoả mãn điều kiện cho trước Cách giải: Bước 1: Tìm tập hợp A điểm biểu diễn z thoả mãn điều kiện cho trước LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bước 2: Tìm số phức z tương ứng với điểm lớn nhỏ (với O gốc tọa độ) cho khoảng cách OM 4.1 Tập hợp A đường thẳng Chú ý: Trong trường hợp tốn thường u cầu tìm số phức có mơđun nhỏ ta cần tìm điểm cho đoạn OM ngắn Ta có cách để tìm điểm M: Cách 1: M hình chiếu vng góc O đường thẳng biểu thị tập A Cách 2: Từ phương trình đường thẳng biểu thị tập A rút y theo x (hoặc rút x theo y) thay vào cơng thức tính OM tìm giá trị nhỏ hàm số bậc vừa có Bài 1: (Minh họa cho cách 1) Biết số phức z thoả mãn số thực Tìm giá trị nhỏ môđun số phức z Giải: Giả sử , Ta có: u số thực Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z để u số thực đường thẳng Gọi M(x; y) điểm biểu diễn số phức z Mà nên nhỏ M hình chiếu O lên đường thẳng Gọi d đường thẳng qua O vng góc với Ta có d: Khi M= d Toạ độ M nghiệm hệ phương trình: Vậy Bài 2: (Minh họa cho cách 2) Biết số phức z thoả mãn Tìm số phức z có mơđun nhỏ Giải: ĐK: Giả sử (1) (*) (1) (t/m (*)) Vậy tập hợp điểm biểu diễn z để Gọi M(x; y) biểu diễn số phức đường thẳng Do nên LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mà Vậy Bài 3: Cho số phức z thoả mãn Tìm số phức z biết đạt giá trị nhỏ Gợi ý: Tập hợp điểm biểu diễn số phức đường thẳng Ta có Vậy thoả mãn 4.2 Tập hợp A đường tròn Chú ý: Trong trường hợp tốn thường u cầu tìm số phức có mơđun nhỏ số phức có mơđun lớn nhất, ta cần tìm điểm cho đoạn OM ngắn đoạn ON dài Ta có cách để tìm điểm M, N: Cách 1: M, N giao đường thẳng OI với đường tròn biểu thị tập A (I tâm đường tròn biểu thị tập A) Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cơp-xki Cách 3: Lượng giác hóa Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện Tìm số phức z có mơđun nhỏ nhất, lớn Giải Cách 1: Giả sử (1) (1) Vậy tập hợp điểm M(x; y) biểu diễn số phức thoả mãn điều kiện (1) đường trịn (C) có tâm , bán kính Điểm M(x; y) biểu diễn số phức z có mơđun nhỏ ( mơđun lớn nhất) giao điểm đường thẳng OI với đường tròn (C) cho độ dài đoạn OM nhỏ ( lớn nhất) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Dễ thấy phương trình đường thẳng OI: y = 2x Tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình: Vậy Cách 2: Giả sử (1) (2) Ta có (2) Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cơp-xki ta có (2) Vậy Cách 3: Giả sử (1) Đặt Ta có LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Đặt , ta có Mà Vậy Khi Khi Bài 2: Biết số phức z thoả mãn (1) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn môđun số phức z Đáp số: , Bài 3: Biết số phức z thoả mãn: số ảo Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mô đun số phức z Đáp số: 4.3 Dùng phương pháp hàm số Bài 1: Cho số phức z thoả mãn biểu thức Giải: Giả sử Theo mà Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ , Ta có Vậy với liên tục đoạn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ta có Vậy: , Bài 2: Cho số phức z thoả mãn Giải: Giả sử Theo mà Tìm giá trị lớn , Ta có Dễ thấy hàm số liên tục đoạn Ta có Vậy Dạng lượng giác số phức Chú ý: Cách tìm dạng lượng giác số phức : Tìm = OM (M điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z) Tìm Và ( acgumen z); số thực cho số đo góc lượng giác tia đầu Ox tia cuối OM Bài 1: (Trích đề thi Đại học khối B năm 2012) Gọi hai nghiệm phức phương trình viết dạng lượng giác Đáp số: Bài 2: Cho số phức Đáp số: Hãy viết dạng lượng giác số phức LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bài 3: Cho số phức Hãy viết số phức dạng lượng giác biết thỏa mãn: Đáp số: , Bài 4: (Trích đề thi Đại học khối B năm 2011) Tìm phần thực phần ảo số phức Hướng dẫn: Sử dụng dạng lượng giác số phức ta Vậy z có phần thực phần ảo Bài 5: Giải phương trình sau tập số phức Giải: Giả sử (r > 0) Lại có r > Suy Vậy Bài 6: Trong số phức z thoả mãn điều kiện acgument Giải: Giả sử (a, b ) Ta có số phức có (1) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mặt khác (2) Từ (1) (2) suy Bài 7: Cho nghiệm phức phương trình Tính giá trị biểu thức Giải: Ta có Mặt khác Do C KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Kết nghiên cứu Tôi sử dụng kiến thức vào giảng dạy cho lớp 12C9 12C6 năm học 2009-2010, 12A7 12A10 năm học 2010-2011, 12C4 năm học 2012-2013, 12B1 năm học 2014-2015 (Trường THPT Triệu Sơn 2) Đa số em tiếp thu vận dụng tốt việc giải tập Các em cảm thấy tự tin nắm vấn đề chìa khố để giải vấn đề Kiến nghị, đề xuất Qua trình giảng dạy, tơi có đề nghị với cấp quản lí tạo điều kiện cho giáo viên có buổi hội thảo, sinh hoạt chuyên môn đổi phương pháp, trao đổi chuyên môn kinh nghiệm, thảo luận vấn đề cịn vướng mắc Vì kinh nghiệm, lực có hạn thời gian nghiên cứu chưa nhiều nên sáng kiến kinh nghiệm chưa thể nêu hết vấn đề, mong đóng góp đồng nghiệp hội đồng khoa học để đề tài hoàn chỉnh áp dụng vào giảng dạy có hiệu cao XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hoá, ngày 20 tháng 05 năm 2015 CAM KẾT KHÔNG COPY Lê Thị Hiền LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com TÀI LIỆU THAM KHẢO Giải tích 12 - Nhà xuất giáo dục Bài tập Giải tích 12 - Nhà xuất giáo dục Giải tích 12 (nâng cao) - Nhà xuất giáo dục Bài tập Giải tích 12 (nâng cao) - Nhà xuất giáo dục Tạp chí Toán học Tuổi trẻ Bộ đề luyện thi thử đại học mơn Tốn - Nguyễn Văn Nho, Nguyễn Văn Thổ - Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội năm 2012 Đề thi đại học - cao đẳng qua năm LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... gọi số thực - Số phức có phần thực gọi số ảo (hay số ảo) - Số vừa số thực vừa số ảo - Tập hợp số phức kí hiệu Hai số phức nhau: Hai số phức , gọi nếu: Khi ta viết Biểu diễn hình học số phức Một. .. số phức: Độ dài vectơ gọi môđun số phức z kí hiệu Số phức liên hợp: Cho số phức z = a + bi Ta gọi a - bi số phức liên hợp z kí hiệu Phép cộng số phức: Tổng hai số phức số phức Phép trừ số phức: ... tốn Từ đó, tơi lựa chọn nghiên cứu đề tài "Hướng dẫn học sinh phân loại giải số toán Số phức" với mong muốn giúp học sinh thấy dễ dàng học phần Số phức có thêm tài liệu q trình ôn thi kì thi