Thông tin tài liệu
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH YÊN BÁI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN YÊN BÁI NĂM HỌC 2022-2023 Mơn thi: TỐN CHUN Thời gian làm : 150 phút ĐỀ THI CHÍNH THỨC x 2x − x x − + + x −1 x −2 x −3 x + P= Câu (1,5 điểm) Cho biểu thức a) với x ≥ 0, x ≠ 1, x ≠ Rút gọn biểu thức P P −P=0 b) Tìm tất giá trị x để Câu (3,0 điểm) 1) Cho phương trình x: số m x − 5mx − 4m = (m tham số) Tìm tất giá trị tham để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn x12 + 5mx2 + 16m − = x + y = y − xy x − y + = xy 2) Giải hệ phương trình : Câu (3,5 điểm) Cho tam giác nhọn cạnh AC ABC ( AB < AC ) AB E F Gọi Đường tròn tâm O đường kính BC cắt H giao điểm BE CF, I trung điểm AH a) b) c) d) Chứng minh tam giác Chứng minh AH IE IHE cân tiếp tuyến đường tròn cắt BC EF D ( O) M Chứng minh IC cắt đường tròn (O) N (khác C) Chứng minh IF = IM ID B, M , N thẳng hàng Câu (1,0 điểm) Chứng minh với số tự nhiên n, số Tìm tất cặp số nguyên dương ( a; b ) B = 9.52 n + 13.3n cho ab chia hết cho 22 ước a2 + b Câu (1,0 điểm) Cho số dương 1) a , b, c 1 + + = a b c thỏa mãn Chứng minh b + 2a c + 2b a + 2c + + ≥3 ab bc ca Cho 2) X tập hợp gồm 26 số nguyên dương đôi khác nhau, số không lớn x, y 100 Chứng minh X tồn hai số hợp cho { 5;10;15} x− y thuộc tập ĐÁP ÁN x 2x − x x − + + x −1 x −2 x −3 x + P= Câu (1,5 điểm) Cho biểu thức Rút gọn biểu thức P c) P= x ( x 2x − x x − + + x −1 x −2 x−3 x + ) ( x − 1) + x − x ( x − 1) ( x − ) ( x − 2) = = ( x − 1) ( x − ) x − = x −2 +2 x −2 = x x − 2x + x − + 2x − x x − ( P −P=0 Tìm tất giá trị x để d) Ta có : P −P=0⇔ ⇒ với x ≥ 0, x ≠ 1, x ≠ x −1 2 − =0⇔ x −1 x −1 = x −1 > ⇔ x −1 > ⇒ x > Kết hợp với điều kiện suy x > 1, x ≠ x −1 )( x −1 x −2 ) Câu (3,0 điểm) 1) Cho phương trình x: m tham số x − 5mx − 4m = (m tham số) Tìm tất giá trị để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn x + 5mx2 + 16m − = Phương trình x − 5mx − 4m = ( 1) có hai nghiệm phân biệt 16 m ⇔ 25 ( *) m > ⇔∆>0 Mặt khác, Mà x1 , x2 x1 Theo định lý Viet, ta có : nghiệm phương trình (1) nên: thỏa mãn x12 + 5mx2 + 16m − = ( 3) x12 − 5mx1 − 4m = ⇔ x12 = 5mx1 + 4m ( ) , nên thay (2) vào (3) ta có : 5mx1 + 4m + 5mx2 + 16m − = ⇔ 5m ( x1 + x2 ) + 20m − = m= ⇔ 5m.5m + 20m − ⇔ 5m + 4m − = ⇔ (tm(*)) m = −1 Vậy m = ; m = −1 2) Giải hệ phương trình : x1 + x2 = 5m x1 x2 = −4m x + y = y − xy x − y + = xy ( x + y ) − xy = y − xy ( x + y ) = y + xy x + y = y − xy ⇔ ⇔ x − y + = xy xy = x − y + xy = x − y + x + y = −1 2 ( x + y ) = y + x − y + ( x + y ) − ( x + y ) − = ⇔ ⇔ ⇔ x + y = xy = x − y + xy = x − y + xy = x − y + y = − x − x + y = −1 xy = x − y + x + x + = 0(VN ) ⇔ ⇔ x + y = y = −x + x = ⇔ x = y = xy = x − y + Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 0; ) Câu (3,5 điểm) Cho tam giác nhọn cạnh AC E AB điểm e) ABC ( AB < AC ) Chứng minh tam giác AEHF IE = IH ⇒ ∆IHE IHE BE cân nội tiếp đường trịn đường kính Suy I tâm đường tròn Suy giao điểm AH Chứng minh tứ giác f) F Gọi Đường trịn tâm O đường kính BC cắt H ( AEHF ) ( 1) cân Chứng minh IE AH tiếp tuyến đường tròn ( O) CF, I trung BE ⊥ AC , CF ⊥ AB ⇒ AH ⊥ BC Mà ∆IAE , ∆OCE cân nên nên ∠ACB + ∠HAC = 90° ( ) ∠ACB = ∠OEC , ∠HAC = ∠AEI ( 3) ∠AEI + ∠OEC = 90° Từ (2) (3) suy hay Suy IE tiếp tuyến đường trịn (O) AH g) Vì IE M Chứng minh tiếp tuyến đường tròn (O) nên ∠FEI = ∠MFI ( IE = IF ) ; ∠FBE = ∠FDH Mà Suy Từ h) cắt BC EF D ∠IEO = 90° ∠FDH = ∠MFI ⇒ ∆IFM ∽ ∆IDF IF = IM ID » ∠FEI = ∠FBE = sd FE ÷ (tứ giác BDHF nội tiếp) IF ID = ⇒ IF = IM ID ( ) IM IF IC cắt đường tròn (O) N (khác C) Chứng minh B, M , N thẳng hàng Chứng minh tương tự câu b ta có IF tiếp tuyến đường tròn (O) ∆IFN ∽ ∆ICF ⇒ Suy Từ (4) (5) suy Mà IF IN = ⇒ IF = IC IN ( ) IC IF IC.IN = IM ID ⇒ ∆IMN ∽ ∆ICD ∠ADC = 90° ⇒ ∠INM = 90° Lại có BN ⊥ IC nên B, M , N hay MN ⊥ IC thẳng hàng Câu (1,0 điểm) Chứng minh với số tự nhiên n, số B = 9.52 n + 13.3n chia hết cho 22 Ta có : B = 9.52 n + 13.32 n = 9.25n + 13.3n = 22.25n − 13.25n + 13.3n = 22.25n − ( 13.25n − 13.3n ) = 22.25n − 13 ( 25n − 3n ) M22 Vì (a n − b n ) M( a − b ) với số tự nhiên n B = 9.52 n + 13.3n Vậy, với số tự nhiên n, số ( a; b ) Tìm tất cặp số nguyên dương a Gọi UCLN b d, suy (a chia hết cho 22 cho a = a1d , b = b1d với ab ước ( a1; b1 ) = a2 + b Theo đề ta có : + b ) Mab ⇒ ( a12 d + b1d ) Md a1b1 ⇒ ( a12 d + b1 ) Mda1b1 ⇒ a12 d M b1 b1 Mda1 mà ( a1 , b1 ) = nên a1 = 1, d = b1 ⇒ 2d Md ⇒ d ∈ { 1; 2} ⇒ ( a, b ) = ( 1;1) , ( 2; ) Câu (1,0 điểm) 3) Cho số dương a, b, c thỏa mãn 1 + + = a b c Chứng minh b + 2a c + 2b a + 2c + + ≥3 ab bc ca Đặt 2 2 1 = x, = y; = z ⇒ x + y + z = a b c b + 2a = x2 + y = ab Tương tự : (x 2 Khi : + y + z ) 3 ( 2z + y ) c + 2b ≥ ( 2) ; bc ≥ ( x + 2y) = ( x + y ) ( 1) 3 ( x + z ) a + 2c ≥ ( 3) ca Cộng (1), (2), (3) ta có : ( x + y + z ) b + 2a c + 2b a + 2c + + ≥ = 3(dfcm) ab bc ca 4) Cho X tập hợp gồm 26 số nguyên dương đôi khác nhau, số không lớn 100 Chứng minh X tồn hai số thuộc tập hợp { 5;10;15} Chia 26 số nguyên tập hợp X thành đoạn x, y cho x− y [ 1; 20] , [ 21; 40] , [ 41;60] ; [ 61;80 ] ; [ 81;100 ] Vì 26 số chia đoạn nên theo ngun lý Dirichlet có đoạn có số Vì số chiaa dư 0,1,2,3,4 Nên số có số x,y có số dư chia x − y M5 ( 1) Mà đoạn hiệu hai số lớn 19 nên Từ ( 1) , ( ) ⇒ x − y ∈ { 5;10;15} x − y ≤ 19 ( ) ... 3(dfcm) ab bc ca 4) Cho X tập hợp gồm 26 số nguyên dương đôi khác nhau, số không lớn 100 Chứng minh X tồn hai số thuộc tập hợp { 5 ;10; 15} Chia 26 số nguyên tập hợp X thành đoạn x, y cho x− y [ 1;... 2b a + 2c + + ≥3 ab bc ca Cho 2) X tập hợp gồm 26 số nguyên dương đôi khác nhau, số không lớn x, y 100 Chứng minh X tồn hai số hợp cho { 5 ;10; 15} x− y thuộc tập ĐÁP ÁN x 2x − x x − + + x −1 x −2... tự nhiên n, số ( a; b ) Tìm tất cặp số nguyên dương a Gọi UCLN b d, suy (a chia hết cho 22 cho a = a1d , b = b1d với ab ước ( a1; b1 ) = a2 + b Theo đề ta có : + b ) Mab ⇒ ( a12 d + b1d ) Md
Ngày đăng: 10/10/2022, 06:32
Xem thêm:
