NỘI DUNG
CƠ SỞ LÍ LUẬN
1 Tư duy khái quát hóa
Khái quát hoá là quá trình suy nghĩ nhằm dự đoán một sự kiện chung dựa trên các sự kiện đã biết từ những trường hợp cụ thể Điều này có nghĩa là chuyển từ một tập hợp đối tượng nhỏ hơn sang một tập lớn hơn, thông qua việc nêu bật các đặc điểm chung của những phần tử trong tập hợp ban đầu.
Khái quát hoá là dùng trí óc tách ra cái chung trong các đối tượng, sự kiện hoặc hiện tượng
1.2 Các dạng khái quát hoá Để khái quát được một vấn đề, một sự kiện, một sự vật, một hiện tượng ta có thể đi bằng nhiều con đường khác nhau Từ những tri thức đã biết, dự đoán kiến tạo những tri thức mới dựa trên những hiểu biết vững chắc là điều tất yếu của việc lĩnh hội và tích luỹ kiến thức Đó cũng chính là những con đường để đi đến khái quát hoá.
- Các dạng khái quát hoá thường gặp trong môn toán:
1) Khái quát hoá từ cái riêng lẻ đến cái tổng quát đã biết.
2) Khái quát hoá từ cái riêng lẻ đến cái tổng quát chưa biết.
3) Khái quát hoá từ cái tổng quát đến cái tổng quát hơn đã biết.
4) Khái quát hoá từ cái tổng quát đến cái tổng quát chưa biết.
- Sơ đồ: Những dạng khái quát hoá thường gặp trong môn Toán
2 Một số dạng bài tập về phân số
2.1 Chuẩn kiến thức, kĩ năng
- Biết khái niệm hai phân số bằng nhau.
- Biết các khái niệm hỗn số, số thập phân, phần trăm.
- Hiểu và vận dụng đúng tính chất cơ bản của phân số trong tính toán với phân số.
- Biết tìm giá trị phân số của một số cho trước.
- Biết tìm một số biết giá trị một phân số của nó.
- Biết tìm tỉ số của hai số.
- Biết biểu diễn biểu đồ phần trăm dưới dạng cột, dạng ô vuông và nhận biết được biểu đồ hình quạt.
- Làm đúng dãy các phép tính với phân số và số thập phân trong trường hợp đơn giản.
2.2 Kiến thức cơ bản về chủ đề phân số a Định nghĩa
Khái quát hóa từ cái riêng lẻ đến cái tổng quát
Khái quát hóa từ cái tổng quát đến cái tổng quát hơn
Khái quát hóa tới cái tổng quát đã biết
Khái quát hóa tới cái tổng quát chưa biết
+ Người ta gọi a b (a, b Z, b0) là một phân số, trong đó a là tử số, b là mẫu số.
+ Phân số a b là phân số tối giản nếu a , b nguyên tố cùng nhau.
+ Số đối của phân số a b kí hiệu là a b
+ Số nghịch đảo: Hai số được gọi là nghịch đảo của nhau nếu tích của chúng bằng 1. b Tính chất
+ a a : n bb : n (nƯ(a,b)) c Một số quy tắc về phân số.
Muốn rút gọn phân số ta chia cả tử và mẫu của phân số cho 1 ước chung ( 1
) của chúng để được phân số đơn giản hơn.
* Quy tắc qui đồng mẫu số với mẫu dương:
B1: Tìm BCNN của các mẫu.
B2: Tìm thừa số phụ của các mẫu.
B3: Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng.
* Quy tắc so sánh phân số.
Để so sánh hai phân số không cùng mẫu, ta cần chuyển đổi chúng thành hai phân số có cùng một mẫu dương Sau đó, ta so sánh các tử số với nhau; phân số nào có tử số lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
* Quy tắc cộng hai phân số:
+ Quy tắc cộng hai phân số cùng mẫu: a b a b m m m
+ Quy tắc cộng hai phân số không cùng mẫu:
B1: Quy đồng mẫu số hai phân số.
B2: Cộng tử với tử mẫu giữ nguyên.
* Quy tắc trừ hai phân số: a c a c b d b ( )d
2.3 Dạng bài tập về phân số
+ Bài toán so sánh phân số
+ Bài toán tính tổng dãy số viết theo quy luật
+ Bài toán rút gọn phân số
+ Một số bài toán thực tế về phân số
3 Vai trò của loại bài tập về phân số trong việc rèn ruyện tư duy KQH
Hoạt động chủ yếu của toán học là giải toán, và việc dạy học giải bài tập đóng vai trò quan trọng trong chất lượng dạy học môn toán Bài tập toán không chỉ chiếm tỷ lệ lớn trong nội dung học tập mà còn ngày càng được chú trọng hơn trong bối cảnh ngành giáo dục đang đổi mới phương pháp giáo dục và đào tạo.
Bài tập toán ở trường THCS đóng vai trò quan trọng trong việc giúp học sinh nắm vững kiến thức, phát triển tư duy và hình thành kỹ năng toán học Đặc biệt, bài tập về phân số có khả năng phát triển tư duy cho học sinh, giúp các em ứng dụng toán học vào thực tiễn một cách hiệu quả.
THỰC TRẠNG VÀ NHỮNG MÂU THUẪN
2 Thuận lợi và khó khăn c Thuận lợi
Phân số là một trong ba mảng kiến thức quan trọng trong chương trình toán THCS, bên cạnh số và đại số Các bài toán về phân số rất đa dạng và phong phú, thể hiện tính trừu tượng và quy luật Nhờ những đặc điểm này, bài toán về phân số đóng vai trò quan trọng trong việc rèn luyện tư duy khái quát hóa cho học sinh.
- Học sinh có ý thức hợp tác tốt trong việc triển khai đề tài d Khó khăn
Khả năng khái quát hoá của học sinh THCS hiện nay còn hạn chế, đặc biệt trong việc áp dụng vào các bài toán và tài liệu học tập môn Toán Điều này tạo ra mâu thuẫn với yêu cầu ngày càng cao của bộ môn Toán và chương trình giảng dạy trong nhà trường.
- Thời gian thực hiện đề tài còn ít, nên khó có thể giúp học sinh phát triển hết khả năng của mình.
2 Thành công và hạn chế a Thành công
Học sinh phát triển tư duy sáng tạo thông qua kiến thức về số học khi có khả năng tư duy độc lập, thực hiện các thao tác tư duy liên tục và đặc biệt là tư duy trừu tượng Sự phát triển của tri giác có chủ định, khả năng quan sát nâng cao cùng với ngôn ngữ phong phú và chính xác tạo điều kiện thuận lợi cho quá trình lĩnh hội tri thức.
- Giúp học sinh có phản ứng nhanh nhạy, giải nhanh, chính xác khi gặp các dạng bài tập về phân số b Hạn chế
- Chỉ áp dụng tốt với học sinh khá giỏi.
Các bài toán về phân số trong chương trình toán THCS thường khó và phức tạp Để giải quyết những bài toán này, học sinh cần thực hiện nhiều thao tác tư duy như phân tích và tổng hợp, đồng thời kết hợp so sánh và tương tự hoá Hơn nữa, việc hệ thống hoá, cụ thể hoá và trừu tượng hoá cũng rất quan trọng, giúp học sinh luyện tập nhìn nhận bài toán từ nhiều góc độ khác nhau.
3 Phân tích, đánh giá các vấn đề về thực trạng mà đề tài đặt ra
3.1 Rèn luyện tư duy KQH qua dạy giải các bài toán về phân số a Bài toán so sánh phân số
Bài tập so sánh phân số rất phong phú và đa dạng, với nhiều thể loại và cách giải khác nhau Việc áp dụng các kiến thức đa dạng trong giải toán giúp học sinh rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp, so sánh và khái quát hóa Do đó, các bài toán này có tác dụng lớn trong việc phát triển tư duy toán học cho học sinh.
Một số phương pháp giải bài tập so sánh phân số:
Phương pháp 1: Đưa về so sánh hai phân số cùng mẫu hoặc cùng tử
Phương pháp 2: So sánh đến phần bù đơn vị.
Phương pháp 3: So sánh với 1.
Phương pháp 4: So sánh với phân số trung gian.
Phương pháp 5: Sử dụng các tính chất:
* Phân tích bài toán tìm lời giải
Dễ nhận thấy tổng S1 gồm 10 số hạng có giá trị giảm dần, do đó để so sánh S1 với 1 ta nghĩ đến cách tách 1 thành tổng của 10 số hạng 1
10 Như vậy bài toán quy về so sánh các phân số có cùng tử số là 1.
10 10 Cộng vế với vế ta có:
Bài toán được giải quyết nhờ vào việc tách 1 thành tổng của 10 phân số 1
Do các số hạng trong tổng S1 đều là các phân số có mẫu nhỏ hơn hoặc bằng 10, việc tăng số hạng của S1 cho phép ta tách một số hạng thành tổng của các phân số có mẫu bằng tổng các số hạng của S1, từ đó giúp giải quyết bài toán mới một cách tương tự.
Bằng phương pháp giải trên ta có thể giải quyết các bài toán sau:
(Gợi ý: so sánh từng số hạng của S2 với
(Gợi ý: so sánh từng số hạng của S3 với
* Hoạt động khái quát hóa
Tổng số hạng của S1 không ảnh hưởng đến cách giải quyết bài toán, vì vậy khi mở rộng tổng lên n số hạng, chúng ta có thể hình thành bài toán tổng quát.
n Cộng vế với vế của các bất đẳng thức ta có: n
KQH đi từ cái riêng lẻ đến cái tổng quát chưa biết (dạng D1.2)
* Phân tích tìm lời giải:
Biểu thức A1 là tổng của các phân số có cùng tử và mẫu là bình phương của các số tự nhiên liên tiếp (có dạng 1 2 k ).
Từ đây ta nghĩ đến việc so sánh từng hạng tử 1 2 k củaA1 với 1
(k 1).k nhằm so sánh A1 với tổng trung gian 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 3
Từ sự phân tích trên ta có lời giải như sau:
4. Bằng phương pháp giải trên ta có thể giải quyết được các bài toán sau:
Khi thay đổi số hạng đầu của tổng A ta có các bài toán sau: 1
7. Khi thay đổi số hạng đầu và số hạng cuối của A ta có bài toán sau:1
* Hoạt động khái quát hóa
Từ các bài toán 2.1 và 2.2, chúng ta nhận thấy rằng việc so sánh phân số phụ thuộc vào số hạng đầu, trong khi không bị ảnh hưởng bởi số hạng cuối của tổng Khi tổng có số hạng đầu là 1 2 a, phân số để so sánh sẽ được xác định là 1 a 1 Điều này dẫn đến một bài toán tổng quát mới.
Bài toán TQ: So sánh n 2 2 2
KQH đi từ cái tổng quát đến cái tổng quát hơn chưa biết (dạng D2.2)
* Phân tích tìm lời giải bài toán
B là tổng các phân số tử số bằng 1 mẫu là lập phương của các số tự nhiên1 liên tiếp
Từ đây ta nghĩ đến việc so sánh từng hạng tử 1 3 k của B 1 với
(k 1).k.(k 1) nhằm so sánh A1 với tổng trung gian
2 1.2 2.3 2.3 3.4 3.4 99.100 Tổng này có các phần tử triệt tiêu được và bằng 1 1( 1 )
Từ sự phân tích trên ta có lời giải như sau:
* Phân tích lời giải bài toán
Trong bài tập này, các số hạng của tổng B1 đều có dạng 1 3 k Nhờ vào việc đánh giá từng số hạng 1 3 k của tổng B 1 với 1
(k 1).k.(k 1) ta có thể so sánh tổng
2 1.2 2.3 2.3 3.4 3.4 99.100 Tổng này gồm các hạng tử trái dấu có thể triệt tiêu và bằng
Với phương pháp giải này ta có thể giải quyết được các bài toán sau:
* Hoạt động khái quát hóa
Từ sự phân tích bài toán 2.7 và xét các bài toán tương tự 2.7.1, 2.7.2 ta đi đến bài toán TQ:
Bài toán TQ: So sánh n 1 3 1 3 1 3 1 3
KQH đi từ cái riêng lẻ đến cái tổng quát chưa biết (dạng D1.2)
Thay đổi số hạng đầu của tổng ta có bài toán tương tự sau:
40 Thay đổi số hạng đầu và cuối của tổng ta được bài toán:
Từ các bài toán 3.2, 3.3 và 3.4, chúng ta nhận thấy rằng việc so sánh phân số phụ thuộc vào số hạng đầu và không bị ảnh hưởng bởi số hạng cuối của tổng Tổng có số hạng đầu là yếu tố quyết định trong quá trình so sánh này.
1 a thì phân số đem so sánh sẽ là 1 1
2 (a 1).a Từ đây ta có bài toán TQ sau:
* Hoạt động khái quát hóa
Bài toán TQ: So sánh
(Trong đó a, k, n là các số tự nhiên; a > 1)
KQH đi từ cái tổng quát đến cái tổng quát hơn chưa biết (dạng D2.2)
* Hoạt động phân tích tìm lời giải
Khi so sánh hai phân số có tử và mẫu là lũy thừa của 10, với số mũ ở tử nhỏ hơn số mũ ở mẫu 1 đơn vị, ta có thể nhân A và B với 10 Điều này giúp tách 10A và 10B thành tổng của các số, từ đó tạo ra các phân số có cùng tử để dễ dàng so sánh.
Cách 2: Ngoài cách trên để so sánh A và B ta có thể nghĩ đến việc áp dụng tính chất: a < 1 a < a + m b b b + m và có được lời giải như sau:
* Hoạt động phân tích đề và lời giải của bài toán
Hai phân số đem so sánh có tử và mẫu đều chứa những số hạng là lũy thừa của
10 Trong đó số mũ ở tử nhỏ hơn số mũ ở mẫu 1 đơn vị Nhờ vào việc nhân cả A và
Bằng cách sử dụng 10 để tạo ra các phân số có cùng tử, chúng ta có thể dễ dàng giải quyết bài toán Phương pháp này không làm ảnh hưởng đến số mũ của các lũy thừa 10 trong hai phân số so sánh, cho phép áp dụng để giải quyết các bài toán tương tự với số mũ lớn hơn trong cơ số 10.
Bằng cách tăng số mũ trong lũy thừa 10 của A, B ta có bài toán tương tự sau:
Bài toán 4.1: So sánh A và B với:
Nếu thay đổi độ chênh lệch giữa số mũ của các lũy thừa ở tử và mẫu của hai phân số A, B ta được bài toán tương tự:
Bài toán 4.2: So sánh A và B với:
Nếu thay đổi độ chênh lệch giữa số mũ của các lũy thừa trong hai phân số
A, B ta được bài toán tương tự:
Bài toán 4.3: So sánh A và B với:
* Hoạt động khái quát hóa
Từ việc phân tích lời giải bài toán 2.8 và việc xét các bài toán tương tự 4.1, 4.2, 4.3 Ta nghĩ đến việc xét bài toán tổng quát sau:
Bài toán TQ: So sánh A và B với: n n+a
KQH đi từ cái riêng lẻ đến cái tổng quát chưa biết (dạng D1.2)
Khi thay đổi cơ số 10 của các lũy thừa trong A và B, câu hỏi đặt ra là liệu bài toán có còn đúng hay không Để làm rõ vấn đề này, chúng ta sẽ xem xét các bài toán liên quan.
[2]: Bài 398 - tr5; 461(14) - tr33; 473(15) - tr34; 474(15), 475(15), 478(15) - tr35. [3]: Bài 264(11) - tr18; 276(10), 282(11), 283(11) - tr32; 284(11) - tr33.
[15]: Bài 6 - tr5; bài 11 - tr8; bài 16 - tr9; bài 32 - tr16; bài 73 - tr35.
Bài toán tính tổng dãy phân số theo quy luật là một dạng toán phổ biến trong hệ thống bài tập về phân số, chứa đựng quy luật nhất định Phân tích để tìm ra quy luật là tiền đề quan trọng để giải quyết bài toán Qua đó, học sinh (HS) phát triển tư duy logic, năng lực phân tích, tổng hợp và khả năng khái quát hóa Đồng thời, HS cũng được huy động vốn kiến thức đã học để nhận diện, phân tích và tìm ra quy luật bản chất trong bài toán.
* Phân tích tìm lời giải bài toán:
Tính tổng S1 theo phương pháp thông thường bằng cách quy đồng mẫu số gặp nhiều khó khăn Tuy nhiên, các số hạng trong tổng S1 đều là phân số có dạng 1/(k(k + 1)), với tử số là 1 và mẫu số là tích của hai số tự nhiên liên tiếp.
Để tính tổng S1, ta có thể phân tích mỗi số hạng thành hiệu của các phân số, giúp triệt tiêu với các phân số ở số hạng liền kề Công thức tổng quát là Mà: 1 = -1 1 k.(k + 1) k k+1 Phương pháp này giúp đơn giản hóa quá trình tính toán tổng.
1 = - 1 1 9.10 9 10 Cộng vế với vế ta có:
* Phân tích lời giải bài toán
CÁC BIỆN PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1 Mục tiêu của giải pháp, biện pháp
Bài viết giúp học sinh có cái nhìn tổng quát về các bài toán, từ những ví dụ cụ thể đến việc hình thành bài toán tổng quát Qua đó, học sinh sẽ nắm được phương pháp giải chung cho từng dạng toán, từ đó nâng cao khả năng tư duy và giải quyết vấn đề.
Giải pháp được thực hiện nhằm minh họa khả năng thực thi và hiệu quả của việc rèn luyện tư duy KQH cho học sinh trung học cơ sở thông qua bài toán phân số.
2 Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp
Chương III của sách Toán 6 (Tập 2) – NXBGD 2009 do Phan Đức Chính làm Tổng chủ biên và Tôn Thân, Phạm Gia Đức là Chủ biên, bao gồm 2 tiết ôn tập về phân số.
Nội dung thử nghiệm cho từng tiết học đã được biên soạn thành giáo án dựa trên SGK Toán 6 (tập 2) hiện hành, kèm theo một số bài tập bổ sung liên quan đến chương III (Phân số) nhằm rèn luyện tư duy cho học sinh.
Thử nghiệm tôn trọng và tuân theo phân phối chương trình cũng như nội dung sách giáo khoa hiện hành Bài tập được lựa chọn phù hợp với đối tượng học sinh và mục tiêu giáo dục đề ra Mỗi tiết soạn tương ứng với một tiết dạy theo quy định của chương trình giáo dục THCS, nhằm đáp ứng đầy đủ yêu cầu và trang bị kiến thức, kỹ năng cơ bản cho học sinh.
3 Điều kiện thực hiện giải pháp, biện pháp
Thực nghiệm được thực hiện ở giữa học kỳ II năm học 2013 – 2014 tại lớp 6A2, 6A4 trường THCS Bắc lý – Hiệp Hòa - Tỉnh Bắc Giang
4 Kết quả khảo nghiệm, giá trị khoa học của vấn đề nghiên cứu
- Chất lượng đầu vào của lớp thử nghiệm và lớp đối chứng tương đương nhau.
- Độ đồng đều đầu ra của lớp thử nghiệm hơn lớp đối chứng.
- Chất lượng đầu ra của lớp thử nghiệm tốt hơn lớp đối chứng
Chất lượng đầu vào giữa lớp thử nghiệm và lớp đối chứng Điểm số Nhóm thử nghiệm 6A2 (X) Nhóm đối chứng 6A4 (Y)
Tần số xuất hiện Tổng số điểm Tấn số xuất hiện Tổng số điểm
Chất lượng đầu vào giữa lớp thử nghiệm và lớp đối chứng Điểm số
Nhóm thử nghiệm 6A2 (X) Nhóm đối chứng 6A4 (Y) Tần số xuất hiện Tổng số điểm Tấn số xuất hiện Tổng số điểm
Hiệu quả áp dụng
Trong quá trình dạy học giải toán, đặc biệt là các bài tập về phân số, giáo viên không chỉ rèn luyện khả năng kết hợp và phân tích cho học sinh mà còn phát triển các yếu tố tư duy sáng tạo Điều này khuyến khích học sinh nâng cao lòng ham mê học tập và ý thức vươn lên trong quá trình học tập.
Thông qua thực nghiệm, học sinh thể hiện sự hứng thú khi giải các bài tập về phân số, cho thấy ý thức tìm tòi và khám phá những lời giải hay cũng như tìm kiếm lời giải tổng quát cho bài toán Kết quả thực nghiệm minh chứng cho tính khả thi của biện pháp rèn luyện tư duy KQH cho học sinh THCS thông qua việc giải bài tập số học về phân số, từ đó nâng cao hiệu quả dạy học.