Chuyen de LUONG GIAC

Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Luyện thi Đại học 2012 Giáo viên LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 1 Chủ đề HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I LÝ THUYẾT 0 Giới thiệu tổng quan về các hàm số lượng giác Î £.Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Luyện thi Đại học 2012 Giáo viên LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 1 Chủ đề HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I LÝ THUYẾT 0 Giới thiệu tổng quan về các hàm số lượng giác Î £.Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Luyện thi Đại học 2012 Giáo viên LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 1 Chủ đề HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I LÝ THUYẾT 0 Giới thiệu tổng quan về các hàm số lượng giác Î £.

Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Luyện thi Đại học 2012 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Chủ đề: I- LÝ THUYẾT: Giới thiệu tổng quan hàm số lượng giác: "x Ỵ R : - £ sin x £ 1, - £ cosx £ tang sin "x Ỵ R : sin ( x + k 2p ) = sin x cos ( x + k 2p ) = cos x "x Ỵ D : tan ( x + kp ) = tan x cot ( x + kp ) = cot x * Các giá trị đặc biệt: sin x = Û x = kp sin x = -1 Û x = - p + k 2p p + kp cosx = Û x = k 2p p tanx = Û x = kp tanx = Û x = + kp p p 10 cotx = Û x = + kp 11 cotx = Û x = + kp 4 cosx = Û x = O cotang a cos sin x = Û x = p + k 2p cosx = -1 Û x = p + k 2p p + kp p 12 cotx = -1 Û x = - + kp tanx = -1 Û x = - - Hàm số y = sin x: * TXĐ: D = R * Hàm số y = sin x hàm số lẽ Đồ thị: - -p * Tập giá trị: "x Ỵ R : - £ sin x £ * Tuần hoàn với chu kỳ: T = 2p y p O p p x 2 Hàm số y = cos x: * TXĐ: D = R * Hàm số y = cos x hàm số chẵn Đồ thị: * Tập giá trị: "x Ỵ R : - £ cosx £ * Tuần hoàn với chu kỳ: T = 2p y -p - p p O p x -1 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Trang Tổ Toán THPT Phong Điền Luyện thi Đại học 2012 Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Hàm số y = tan x: ìp ü * Tập giá trị: "x Ỵ D : tan x Ỵ R * TXĐ: D = R \ í + kp , k Ỵ Z ý ợ2 ỵ * Hm s y = tan x l hàm số lẽ Đồ thị: * Tuần hoàn với chu kỳ: T = p y x O Hàm số y = cot x: * TXĐ: D = R \ { kp , k Ỵ Z} * Hàm số y = cot x hàm số lẽ Đồ thị: * Tập giá trị: "x Ỵ D : co t x Ỵ R * Tuần hồn với chu kỳ: T = p y O x TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Dạng toán 1: *Nhắc lại: M ột số dạng tìm Tập xác định hàm số thường gặp: ì A( x ) ³ 1) f ( x ) = A( x ) §iỊu kiƯn: í ỵ§ iỊu kiƯn A( x ) cã nghÜa ì A( x ) ị Tổng quát: ( x ) = n A( x ) Điều kiện: ợĐ iỊu kiƯn A( x ) cã nghÜa ì A( x ) Ỵ R 2) f ( x ) = A( x ) Điều kiện: ợĐ iều kiện A( x ) cã nghÜa ì A( x ) Ỵ R Þ Tỉng qu¸t: ( x ) = n+1 A( x ) Điều kiện: ợĐ iều kiện A( x ) cã nghÜa ì B( x ) ¹ A( x ) 3) f ( x ) = §iỊu kiƯn: B( x ) ợĐ iều kiện A( x ), B( x ) cã nghÜa Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Trang Tổ Toán THPT Phong Điền Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Luyện thi Đại học 2012 π + k Điều kiện: sinu ( x ) Û u ( x ) ¹ kπ 4) f ( x ) = tan k u ( x ) §iỊu kiƯn: cosu ( x ) ¹ Û u ( x ) ¹ 5) f ( x ) = cot k u ( x ) Bài tập 1: (Mức độ bản) Tìm TXĐ hàm số sau: pư ổ a) y = tan10 ỗ x - ÷ b) y = tan x - cot x - sin x 4ø è tan x sin x + d) y = - sin x - cos x Hư ớng dẫn: pö p p 3p p pü ỉ ì 3p a) §k: cos ỗ x - ữ x - ¹ + kp Û x ¹ + k VËy D = R \ í + k ý 4ứ 2ỵ ố ợ8 ỡcos2 x ¹ p ì pü b) §k: í Û sin x ¹ Û x ¹ kp Û x ¹ k VËy D = R \ ík ý ợ 4ỵ ợsin x c) y = ìcos x ¹ p ìp ü c) §k: í Û cos x ¹ Û x ¹ + kp VËy D = R \ í + kp ý ợ2 ỵ ợsin x ỡ sin x + ³0 ìsin x + "x ẻ R ù d) Đk: - cos x Do í ỵ1 - cos x "x ẻ R ùợcos x Nên điều kiện là: cos x x k 2p VËy D = R \ {k 2p } Bài tập 2: (Mức độ trung bình) Tìm TXĐ hàm số sau: 3 a) y = b) y = c) y = 2 sin x - cos x 2sin x - cos x - cos3 x Hư ớng dẫn: 3 =a) y = 2 sin x - cos x cos2x p p p pỹ ỡp Đk: cos2x x ¹ + kp Û x ¹ + k VËy D = R \ í + k ý 2ỵ ợ4 p ỡ x + k 2p ï 5p ï ìp ü b) §k: 2sin x ¹ Û sin x ¹ Û í VËy D = R \ í + k 2p , + k 2p ý ợ6 ỵ ù x 5p + k 2p ùợ ỡ x ¹ kp ì3 x ¹ x + k 2p ï ỡ pỹ c) Đk: cos3 x cos x Û í p VËy D = R \ ík ý ợ 4ỵ ợ3 x - x + k 2p ùợ x k Dng toỏn 2: TèM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT- GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HSLG Phương pháp: Bước 1: Sử dụng kỹ biến đổi để có BĐT kết luận GTLN- GTNN Bước 2: Chỉ rõ GTLN- GTNN xãy trường hợp nào? Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Trang Tổ Tốn THPT Phong Điền Chun đề PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Luyện thi Đại học 2012 Bài tập 1: (Mức độ bản) Tìm GTLN- GTNN hàm số sau: a) y = - cos2 x b) y = 3sin 2 x - c) y = cos2 x + d) y = cos3 x - Hư ớng dẫn: a) "x Ỵ R : - £ cos2 x £ Û ³ -4 cos2 x ³ -4 Û -2 £ - cos2 x £ Þ -2 £ y £ p + kp R vµ y = -2 đạt - cos2 x = -2 Û cos2 x = Û x = kp Vậy max y = đạt - cos2 x = Û cos2 x = -1 Û x = R b) "x Ỵ R : £ sin 2 x £ Û £ 3sin 2 x £ Û -4 £ 3sin 2 x - £ -1 Þ -4 £ y £ -1 VËy max y = -1 đạt 3sin 2 x - = -1 Û sin 2 x = Û cos2 x = Û x = R vµ y = -4 đạt 3sin 2 x - = -4 Û sin 2 x = Û x = k R p p p +k c) "x Ỵ R : £ cos2 x £ Û £ cos2 x £ Û £ cos2 x + £ Û £ cos2 x + £ Þ1£ y £ VËy max y = đạt cos2 x + = Û cos2 x = Û sin x = Û x = k R y = đạt cos2 x + = Û cos2 x = Û x = R d) "x Ỵ R : £ cos3 x £ p p +k p Û £ cos3 x £ Û -4 £ cos3 x - £ -2 Þ -4 £ y £ -2 VËy max y = -2 đạt cos3 x - = -2 Û cos3 x = Û sin x = Û x = k R y = -4 đạt cos3 x - = -4 Û cos3 x = Û cos3 x = Û x = R Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Trang p p p +k Tổ Toán THPT Phong Điền Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Luyện thi Đại học 2012 Bài tập 2: (Mức độ trung bình) Tìm GTLN- GTNN hàm số sau: a) y = 2sin x - cos2x b) y = sin x + cos x + pư ỉ c) y = cosx + cos ỗ x - ữ 3ứ ố H ng dẫn: a) y = 2sin x - cos2x Ta cã: y = 2sin x - cos2x Û y = - 2cos2x vµ tiÕp tơc nh­ bµi tËp trªn 1 b) y = sin x + cos4 x + Û y = - sin 2 x + = - sin 2 x vµ tiÕp tơc nh­ bµi tËp trªn 2 pư pư p pư ỉ ỉ ỉ c) y = cosx + cos ỗ x - ữ = 2cos ỗ x - ữ cos = 3cos ỗ x - ữ ị - Ê y Ê 3ø 6ø 6ø è è è vµ tiÕp tục tập Bi 3: (Mc khá) Tìm GTLN- GTNN hàm số sau: a) y = sin x - cos x + b) y = 2sin x ( sin x - 4cos x ) c) y = 3sin x + 5cos x - 8sin xcosx - d) y = + cos x sin x + cos x + Hư ớng dẫn: Chú ý: Điều kiện để phương trình y = a sin t +b cos t có nghiệm là: a + b ³ c a) y = sin x - cos x + Û sin x - cos x = y - (*) Miền giá trị hàm số "y Ỵ R cho phương trình sau: sin x - cos x = y - có nghiệm x Ỵ R Û + ³ ( y - 2) Û y2 - y £ Û £ y £ Vậy max y = đạt sin x - cos x = R 2p pö p p ổ sin ỗ x - ữ = Û x - = + k 2p Û x = + k 2p 6ø è vµ y = đạt sin x - cos x = -2 R pư p p p ỉ sin ỗ x - ữ = -1 x - = - + k 2p Û x = - + k 2p 6ø è Hư ớng khác: ỉ pư ỉ sin x - cos x ữ + = 2sin ỗ x - ÷ + Hướng 2: y = sin x - cos x + = ỗ 6ứ è è ø vµ tiÕp tơc nh­ bµi tập Hng 3: Theo BĐT Bunhicopski: ( sin x - cos x ) £ ( + 1) ( sin x + cos x ) = Þ ( y - ) £ Û -2 £ y - £ Û £ y £ vµ tiÕp tơc nh­ bµi tËp trªn Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Trang Tổ Tốn THPT Phong Điền Chun đề PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Luyện thi Đại học 2012 æ - cos x ö b) y = 2sin x ( sin x - 4cos x ) Û y = 2sin 2 x - 8sin x cos x = ỗ ữ - 4sin x è ø Û y = -4sin x - cos x + vµ tiÕp tơc nh­ tập ổ - cos2x ổ + cos2x ö c) y = 3sin x + 5cos2 x - 8sin xcosx - Û y = ỗ ữ +5 ỗ ữ - 4sin x - 2 è ø è ø vµ tiếp tục tập + cos x Û y (sin x + cos x + ) = + cos x Û y sin x + ( y - 1)cos x = - y sin x + cos x + 2 Với điều kiện có nghiệm y + ( y - 1) ³ ( - y ) vµ tiếp tục tập BI TP T LUYN: Bài tập 1: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: + 4cos x 1) y = + 4cosx 2) y = - 8sin x.cos x 3) y = 4) y = 2sin x - cos2x pư ỉ 5) y = - sin x 6) y = cosx + cos ỗ x - ữ 7) y = cos x + 2cos2x 8) y = - 2sin x.cos x 3ø è d) y = Bài tập 2: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: 2) y = a sin x + bcosx ( a + b > ) 1) y = sin x - 4sin x - 3) y = 3sin x + 5cos x - 8sin xcosx - 4) y = 2sin x - 4cos x + 8sin xcosx - 5) y = sin x + cos x BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài tập: Tìm tập xác định hàm số: x 1) y = sin x 2) y = cos 6) y = sin x + cos x 3) y = sin x 4) y = cos x -1 x +1 pö cot x sin x + ổ 6) y = cot ỗ x - ÷ 7) y = 8) y = 4ø cosx - cosx + è 9) y = cosx + 10) y = 11) y = 12) y = tan x + cot x 2 sin x - cos x cos x - cos3 x Dạng tốn 3: XÁC ĐỊNH TÍNH CHẴN LẺ CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Phương pháp: Bước 1: Tìm tập xác định D hàm số y = f ( x) , lúc đó: + Nếu D i xng (tc l "x ẻ D ị - x Ỵ D ), ta thực bước + Nếu D không tập đối xứng ( $x Î D Þ - x Ï D ), ta kết luận hàm số y = f ( x) không chẵn không lẻ Bước 2: Xác định f (- x ) Lúc đó: é f (- x ) = f ( x ) : Hµm sè y = f ( x ) hàm chẵn f (- x ) = - f ( x ) : Hµm số y = f ( x ) hàm lẻ ë Lưu ý: Về mặt hình học: Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung Oy làm trục đối xứng Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc toạ độ O làm tâm đối xứng 5) y = 2cosx Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Trang Tổ Toán THPT Phong Điền Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Luyện thi Đại học 2012 Nhận xét: Với hàm số lượng giác bản, ta có: a Hàm số y = cos x hàm số chẵn b Hm số y = sin x, y = tan x, y = cot x hàm số lẽ Bi tập 1: Xác định tính chẵn, lẻ hàm số: ỉ 3p a) y = + xcos3x b) y = + cosx sin ỗ c) y = x sin x - 2x ÷ è ø Hư ớng dẫn: a) TXĐ: D = R Ta cú: "x ẻ D ị - x ẻ D y ( - x ) = + ( - x ) cos3 ( - x ) = - xcos3x ¹ y ( x ) d) y = x - sin x cos2x vµ y ( - x ) - y ( x ) ị Hàm số đà cho hàm không chẵn không lẻ R ỉ 3p b) y = + cosx sin ỗ - x ữ = - cos x cos x è ø TXĐ: D = R Ta cú: "x ẻ D ị - x Î D y ( - x ) = - cos ( - x ) cos ( - x ) =1 - cosx cos x = y ( x ) ị Hàm số đà cho hàm chẵn trªn R c) TXĐ: D = R Ta có: "x ẻ D ị - x ẻ D y ( - x ) = ( - x ) sin ( - x ) = - x sin x = - y ( x ) ị Hàm số đà cho hàm lẻ R pỹ ỡp d) TXĐ: D = R \ í + k ý Ta cú: "x ẻ D ị - x ẻ D 2ỵ ợ4 ( - x ) - sin ( - x ) = - x3 + sin x = - x3 - sin x = - y x ị Hàm số đà cho hàm lẻ D y ( -x) = ( ) cos2 ( - x ) cos2x cos2x BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài tập: Xác định tính chẵn, lẻ hàm số: x - sin x cos2x 1) y = xcos3x 3) y = x sin x 4) y = 5) y = cos2x x + cosx 9) y = sin 2000 x + cos2x 6) y = x - sin x 7) y = - cosx 8) y = - cosx sin 2010 x + 2010 x2 12) y = x sin x 11) y = 10) y = sin x + tan x cosx Dạng tốn 4: XÁC ĐỊNH TÍNH TUẦN HỒN CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Phương pháp: Chứng minh hàm số y = f ( x) tuần hoàn Xét hàm số y = f ( x) , tập xác định D, ta dự đốn có số thực dương T0 cho: ìï"x Ỵ D : x - T0 Ỵ D x + T0 ẻ D (1) (2) ùợ f ( x + T0 ) = f ( x ) Chứng minh T0 chu kỳ hàm số ( nghĩa T0 dương nhỏ thoả mãn hệ (1) (2)) Thực phản chứng Bước 1: Giả sử có số T cho < T < T0 thoả mãn tính chất (1) (2): "x Ỵ D : f ( x + T ) = f ( x ) ị Mâu thn víi gi¶ thiÕt < T < T0 Bước 2: Mâu thuẩn chứng tỏ T0 số dương nhỏ thoả mãn (2) Kết luận: Vậy T0 chu kỳ hàm số y = f ( x) Xét tính tuần hồn các hàm số lượng giác, ta sử dụng số kết quả: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Trang Tổ Toán THPT Phong Điền Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Luyện thi Đại học 2012 a Hàm số y = sin x, y = cos x tuần hoàn với chu kỳ 2p b Hàm số y = tan x, y = cot x tuần hoàn với chu kỳ p M rộng: (cm) 2p a p d Hàm số y = tan ( ax + b ) , y = cot ( ax + b ) (a > 0) tuÇn hoµn víi chu kú a Định lý: Cho cặp hàm số f ( x ), g( x ) tuần hồn tập M có chu kỳ l a b a với ẻ Q Khi đó, hàm số: F( x ) = f ( x ) + g( x ), G ( x ) = f ( x )g( x ) tuần hoàn b M H ệ quả: Hàm số F( x ) = mf ( x ) + ng( x ) tuần hoàn với chu kỳ T bội chung nhỏ a vµ b Bài tập 1: Chứng minh hàm số sau hàm số tuần hồn tìm chu kỳ nó: pư pử pử ổ ổ ổ 1) y = 2sin ỗ x + ữ 2) y = -cos ỗ x - ữ + 3) y = tan ỗ x + ÷ 4) y = cos2 x 4ø 3ø 4ø è ố ố ổx pử 5) y = cos ỗ + ÷ 6) y = sin x + cosx 7) y = sin xcosx 8) y = 4sin x è ø 9) y = sin x c Hàm số y = sin ( ax + b ) , y = cos ( ax + b ) (a > 0) tuần hoàn với chu kỳ SAI LM ĐÂU? Xét tốn: Tìm chu kỳ hàm số: f ( x) = sin ( ax + b ) ; (a ¹ 0) ( Trắc nghiệm Nghuyễn Văn Nho ĐHSP2006 nhiều sách khác) Một học sinh giải sau: Bước 1: Gọi T chu kỳ hàm số cho Bước 2: Lúc đó: f ( x + T ) = f ( x) Û sin éë a ( x + T ) + b ùû = sin ( ax + b ) Û sin ( ax + b + aT ) = sin ( ax + b ) (*) Bước 3: Do hàm số y = sinx tuần hoàn với chu kỳ T = 2p 2p Từ (*) Û aT = 2p Û T = a 2p Vậy chu kỳ hàm số cholà T = (ycbt) a Bài giải học sinh chưa? Nếu chưa sai bước nào? *Lưu ý: Nhìn tổng thể giải chất sai Sai chưa hiểu rõ chu kỳ hàm số Nhắc: T gọi chu kỳ hàm số y = f ( x) khi: + f ( x + T ) = f ( x) (*) + T số dương nhỏ thoả (*) Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Trang Tổ Toán THPT Phong Điền Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Luyện thi Đại học 2012 Như giải trên, a > Vậy trường hợp tổng quát sao? Ta giải sau: TH1: a > giải TH2: a < Thực phép biến đổi: sin ( ax + b ) = -sin ( - ax - b ) Lúc ta đưa toán TH1 Bài tập: Tìm chu kỳ hàm số sau: ỉ 2x ö a) y = cos ( x - ) c) y = tan ỗ b) y = cot ( -3 x + 1) c) - 1÷ è ø y = sin ( -4 x + ) Bài toán: Cho hàm số f ( x) = a sin ux + b sin vx , a, b, u, v số thực khác u a) Chứng minh rằng: Nếu hàm số y = f ( x) tuần hồn số hữu tỉ v u b) Ngược lại số hữu tỉ hàm số y = f ( x) tuần hoàn v Chứng minh: a) Giả sử hàm số y = f ( x) tuần hồn với chu kì T Ta có: "x : f ( x + T ) = f ( x) Cho x = , ta có: f ( T ) = f (0) Û a sin uT + bcosvT = b (1) Cho x = -T , ta có: f ( -T ) = f (0) Û - a sin uT + bcosvT = b (2) ìcosvT = ìvT = k 2p vT k 2p v k2 Từ (1) (2) suy : ớ ị = = ẻ Q (.p.c.m) uT mp u m ỵsin uT = ỵuT = mp v m 2p m 2p n = b) Giả sử = Ỵ Q với m, n số nguyên khác Chọn T = u n u v 2p m 2p n ỉ ỉ Khi đó: f ( x + T ) = a sin u ỗ x + ữ + bcosv ỗ x + ÷ u ø v ø è è = a sin ( ux + 2p m ) + b cos ( vx + 2p n ) = a sin ( ux ) + b cos ( vx ) = f ( x) Vậy hàm số y = f ( x) tuần hoàn (đ.p.c.m) Định lý: Cho cặp hàm số f ( x ), g( x ) tuần hoàn tập M có chu kỳ a a vµ b víi Ỵ Q Khi đó, hàm số: F( x ) = f ( x ) + g( x ), G ( x ) = f ( x )g( x ) tuần hoàn b M H ệ quả: Hàm số F( x ) = mf ( x ) + ng( x ) tuần hoàn với chu kỳ T bội chung nhỏ a vµ b Ví dụ minh họa 1: Xác định chu kì hàm số sau: pư pư ỉ ổ 1) y = tan ỗ x + ữ 2) y = 2cos ỗ x + ữ 3) y = sin x + sin x 6ø 3ø è è 1 x x 4) y = sin x + sin x + sin x 5) y = tan - 3tan 6) y = cosx + 2cos x 3 Giải: 4) Ta có: Hàm số y = sin x tuần hồn chu kì 2p Hàm số y = sin x tuần hồn chu kì p Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Trang Tổ Toán THPT Phong Điền Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Luyện thi Đại học 2012 Suy ra, hàm số y = sin x + sin x tuần hồn với chu kì T = 2p 2p Hàm số y = sin 3x tuần hồn chu kì 1 Vậy hàm số y = sin x + sin x + sin x tuần hồn với chu kì 2p Ví dụ minh họa 2: Cho hàm số f ( x) = cos x Chứng minh hàm số khơng tuần hồn phải Giải: Giả sử hàm số cho tuần hoàn phải Khi có tồn số dương T cho: "x ³ : cos x + T = cos x (1) Cho x = , ta có: cos T = Û T = k 2p Cho x = T , ta có: cos 2T = cos T = Û 2T = m 2p (2) k Lập tỉ số (1) , ta được: = Ỵ Q Mâu thuẩn Vậy hàm số khơng tuần hồn phải (2) m Ví dụ minh họa 3: 5x Tìm tất số nguyên n khác để hàm số: y = f ( x) = cos nx.sin tuần hoàn với chu kì n 3p Giải: Giả sử hàm số cho tuần hồn với chu kì 3p Lúc đó, ta có: 5( x + 3p ) 5x "x : f ( x + 3p ) = f ( x) Û cos n( x + p ).sin = cos nx.sin n n 15p 15p Thay x = ta được: sin =0Û = kp Û 15 = kn Tức n ước 15, n n đó: n Ỵ { ±1; ± 3; ± 5; ± 15} Đảo lại: "n Ỵ { ±1; ± 3; ± 5; ± 15} thì: f ( x) = cos n( x + p ).sin 5( x + 3p ) 5x = cos nx.sin n n 15 số nguyên lẻ nên : n cos n( x + p ) = cos(nx + np ) = - cos nx Thật vậy, 3n 5( x + 3p ) 5x ổ x 15p = sin ỗ + ÷ = - sin n n ø n è n Do giá trị n cần tìm n Ỵ { ±1; ± 3; ± 5; ± 15} (y.c.b.t) BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài tập: Xác định chu kỳ hàm số: pư pư ỉ ỉ 3) y = sin x + sin x 1) y = tan ỗ 3x + ữ 2) y = 2cos ỗ x + ữ 6ứ 3ứ è è 1 x x 6) y = cosx + 2cos x 4) y = sin x + sin x + sin 3x 5) y = tan - 3tan 3 sin Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Trang 10 Tổ Toán THPT Phong Điền Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Luyện thi Đại học 2012 (1 - sinx ) (1 + sinx ) (cosx - 1) - 2(1 + sinx) = Û (1 + sinx) é (1 - sinx ) (cosx - 1) - 2ù = (1) Û ê ú sinx + cosx sinx + cosx ë û é1 + sinx = ésinx = -1 Ûê Ûê ë(1 - sinx ) (cosx - 1) = ( sinx + cosx ) ë -1 + cosx + sinx - sinxcosx = ( sinx + cosx ) ésinx = -1 Ûê ë( sinx + cosx ) - sinxcosx + = (Phương trình ®èi xøng) 2cos4 x 14) (Dự bị 03) cotx = tanx + sin2 x ì pü Gợi ý: TXĐ: D = R \ ớk ý ợ 2ỵ 2cos4 x cosx sinx 2cos4 x Û = sin x sinx cosx sin x cos2 x - sin x 2cos4 x cos2x 2cos4 x 2cos2x 2cos4 x Û = Û = Û = sinx.cosx sin x sinx.cosx sin x sin2x sin x Û 2cos4 x = cos2x Û ( 2cos2 2x - 1) = cos2x (1) Û cotx - tanx = écos2x = (Tháa ®k) Û 2cos 2x - cos2x - = Û ê êcos2x = - (Tháa ®k) ë 15) (ĐHB-04) 5sinx - = 3(1 - sinx)tan x p Gợi ý: TXĐ: D = R \ íì + kp ýỹ ợ2 ỵ sin x sin x (1) Û 5sinx - = 3(1 - sinx) Û 5sinx - = 3(1 - sinx) cos x (1 - sinx)(1 + sinx) sin x Û 5sinx - = Û ( 5sinx - ) (1 + sinx ) = 3sin x (1 + sinx) 16) (ĐHD-04) (2cosx - 1)(2sinx + cosx) = sin2 x - sinx Gợi ý: TXĐ: D = R (1) Û (2cosx - 1)(2sinx + cosx) = 2sinx.cosx - sinx Û (2cosx - 1)(2sinx + cosx) = sinx(2cosx - 1) Û (2cosx - 1) [ (2sinx + cosx) - sinx ] = é 2cosx - = Û (2cosx - 1)(sinx + cosx) = Û ê ësinx + cosx = 17) (ĐHA-05) cos 3xcos2 x - cos x = Gợi ý: TXĐ: D = R Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Trang 53 Tổ Toán THPT Phong Điền Chuyên đề LƯỢNG GIÁC + cos6x + cos2 x (1) Û cos2 x = Û cos6x.cos2 x - = 2 Û ( cos8x + cos4x ) - = Û cos8x + cos4x - = Luyện thi Đại học 2012 écos4x = Û 2cos 4x - + cos4x - = Û 2cos 4x + cos4x - = Û ê êcos4x = - (lo¹i) ë 18) (ĐHB-05) + sinx + cosx + sin2 x + cos2 x = 2 Gợi ý: TXĐ: D = R (1) Û (1 + sin2 x ) + ( sinx + cosx ) + cos2 x = Û ( sinx + cosx ) + ( sinx + cosx ) + ( cosx + sinx ) ( cosx - sinx ) = Û ( sinx + cosx ) éë( sinx + cosx ) + + ( cosx - sinx ) ùû = ésinx + cosx = Û ( sinx + cosx ) ( 2cosx + 1) = Û ê ë 2cosx + = pư ỉ pư ỉ 19) (ĐHD-05) cos4 x + sin x + cos ỗ x - ữ sin ỗ 3x - ữ - = 4ứ ố 4ø è Gợi ý: TXĐ: D = R pö ổ pử ổ ổ (1) ỗ1 - sin 2x ữ + sin ỗ x - ữ cos ỗ x - ữ - = 4ø 4ø è ø è è ù pö ổ 1ộ ổ ỗ1 - sin 2x ữ + ờsin ỗ 4x - ữ + sin2x ú = 2ø è ø 2ë è û 1 1 ổ ỗ1 - sin 2x ÷ - cos4x + sin2x = Û - sin 2x - (1 - 2sin 2x ) + sin2x = 2 2 è ø pư ỉ 20) (Dự b 05) 2cos3 ỗ x - ữ - 3cosx - sinx = 4ø è Gợi ý: TXĐ: D = R é p ứ ỉ (1) Û ê 2cos ỗ x - ữ ỳ - 3cosx - sinx = øû è ë Û ( sinx + cosx ) - 3cosx - sinx = ( Ph­¬ng trình đẳng cấp bậc 3) cos3 x + sin3 x + 3cos2 x sin x + 3cos x sin x - 3cos x - sin x = ìïcos x = Ûí ïỵsin x - sin x = ìïcos x ¹ hay í 3 ỵï1 + 3tan x + 3tan x + tan x - - 3tan x - tan x - tan x = Û sin x = hay tan x = Û x = Giáo viên: LÊ BÁ BẢO p p + kp hay x = + kp Trang 54 Tổ Toán THPT Phong Điền Chuyên đề LƯỢNG GIÁC x Luyện thi Đại học 2012 æ è 21) (Dự bị 05) 4sin - 3cos2 x = + 2cos ỗ x - 3p ữ ứ Gi ý: TXĐ: D = R é 3p ù ỉ (1) Û (1 - cosx ) - 3cos2 x = + ờ1 + cos ỗ 2x ữ ø úû è ë Û - 3cos2 x = 2cosx - sin2 x Û sin2 x - 3cos2 x = 2cosx pư pư ỉ ỉ ỉp sin2 x cos2 x = cosx sin ỗ 2x - ữ = cosx sin ỗ 2x - ữ = sin ỗ - x ữ 2 6ứ 6ứ ố è è2 ø 22) (Dự bị 04) sin4 xsin7 x = cos3xcos6 x Û Gợi ý: TXĐ: D = R 1 ( cos11x - cos3x ) = ( cos9x - cos3x ) 2 Û cos11x - cos3x = cos9x - cos3x Û cos11x = cos9x 23) (Dự bị 04) - sinx + - cosx = (1) Û Gợi ý: TXĐ: D = R (1) Û (1 - sinx ) + - sinx - cosx + (1 - cosx ) = Û (1 - sinx ) (1 - cosx ) = ( sinx + cosx ) - (*) Đặt t = sinx + cosx Þ - £ t £ ì1 £ t £ ï t2 -1 = t -1 Û í ỉ Lúc đó: (*)tt: - t t2 -1 2 ÷ = ( t - 1) ù4 ỗ1 - t ứ î è ì1 £ t £ ï ïì1 £ t £ ï ét = Ûí Û í 2 ïỵ4 - 4t - 2(t - 1) = t - 2t + ï3t + 2t - = ờờ = (loại) t ùợ ë pư ỉ t = 1: sinx + cosx = 2sin ỗ x + ữ = 4ø è cos2 x - ỉp 24) (Dự b 05) tan ỗ + x ữ - 3tan x = cos x è2 ø ì pü Gợi ý: TX: D = R \ ớk ý ợ 2ỵ -2sin x (1) Û - cot x - 3tan x = Û - cot x - 3tan x = -2tan x cos x p Û - cot x = tan x Û = tan x Û tan x = -1 Û tanx = -1 Û x = - + kp tanx 2 25) (Dự bị 05) sinxcos2 x + cos x(tan x - 1) + 2sin x = Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Trang 55 Tổ Toán THPT Phong Điền Chuyên đề LƯỢNG GIÁC p Gợi ý: TXĐ: D = R \ íì + kp ýü ỵ2 Luyn thi i hc 2012 ỵ sin x - cos x + 2sin x = cos x 2 Û sinx + sin x - cos x = Û sinx + sin x - (1 - sin x ) = (1) Û sinx (1 - 2sin x ) + cos x ésinx = -1 Û 2sin x + sinx - = Û ê êsinx = ë sinx ỉ 3p 26) (Dự bị 05) tan ç - x ÷ + =2 è ø + cosx ì1 + cosx ¹ Û sinx ¹ Û x ¹ kp sin x ¹ î sinx cosx sinx (1) Û cot x + =2Û + =2 + cosx sinx + cosx Û cosx (1 + cosx ) + sin x = 2sinx (1 + cosx ) Gợi ý: ĐK: í 27) (Dự bị 05) sin x + cos x + 3sin x - cos x - = Û + cosx = 2sinx (1 + cosx ) Û 2sinx = Û sinx = Gợi ý: TXĐ: D = R (1) Û 2sin x.cos x + ( 2cos x - 1) + 3sin x - cos x - = Û 2sin x.cos x + 2cos x + 3sin x - cos x - = Û 2cos x + ( 2sin x - 1) cos x + 3sin x - = (*) D = ( 2sin x - 1) - ( 3sin x - 3) = 4sin x - 20sin x + 25 = ( 2sin x - ) 2 é - 2sin x + ( 2sin x - ) = -1 êcos x = (*) Û ê - 2sin x - ( 2sin x - ) ê = - sin x êëcos x = =0 - 2sinx p ì ïï x ¹ + k 2p - 2sinx ¹ Û í ï x 3p + k 2p ùợ 28) (HA-06) Gợi ý: ĐK: ( cos x + sin x ) - sinxcosx Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Trang 56 Tổ Toán THPT Phong Điền Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Luyện thi Đại học 2012 6 2 (1) Û 2(cos x + sin x) - sinxcosx = Û (1 - 3sin xcos x ) - sinxcosx = ỉ Û ỗ1 - sin 2 x ữ - sin x = Û - sin 2 x - sin x = 2 è ø ésin x = Û 3sin x + sin x - = Û ê êsin x = - (lo¹i) ë p Ta cã: sin x = Û x = + kp 5p §èi chiÕu với điều kiện ta có nghiệm phương trình là: x = + k 2p 2+3 29) (Dự bị 06) cos3xcos3 x - sin3xsin x = Gợi ý: Dùng công thức nhân ba 3cosx + cos3x 3sinx - sin3x + - sin3 x = 4 2+3 Û cos3 x ( 3cosx + cos3x ) - sin3 x ( 3sinx - sin3x ) = 2+3 Û ( cos x + sin x ) + ( cosxcos3x - sinxsin3 x ) = (1) Û cos3 x p é = + kp x ê 2+3 2 Û + 3cos2x = Û 3cos2x = Û cos2x = Ûê 2 ê x = - p + kp ëê pö ổ 30) (D b 06) 2sin ỗ x - ÷ + 4sinx + = 6ø è Gợi ý: TXĐ: D = R p ỉ ỉ pử (1) ỗ sin2 xcos - cos2 xsin ÷ + 4sinx + = Û ç sin2 x - cos2 x ÷ + 4sinx + = 6ø è è ø Û 3sin2 x - cos2 x + 4sinx + = Û 3sinxcosx + (1 - cos2 x ) + 4sinx = Û 3sinxcosx + 2sin x + 4sinx = Û 2sinx ( ) 3cosx + sinx + = ésinx = ésinx = Ûê Ûê ë 3cosx + sinx + = ë 3cosx + sinx = -2 31) (ĐHD-06) cos3 x + cos2 x - cosx - = Gợi ý: TXĐ: D = R (1) Û ( cos3 x - cosx ) - (1 - cos2 x ) = Û 2sin x sin x - 2sin x = ésin x = Û 2sin x ( sin x - sin x ) = Û ê ësin x = sin x Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Trang 57 Tổ Toán THPT Phong Điền Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Luyện thi Đại học 2012 32) (Dự bị 06) cos x + sin x + 2sin x = Gợi ý: TXĐ: D = R 3 (1) Û cos3 x + sin x = - 2sin x Û ( cosx + sinx ) (1 - cosxsinx ) = cos2x Û ( cosx + sinx ) (1 - cosxsinx ) = cos2 x - sin x Û ( cosx + sinx ) (1 - cosxsinx ) = ( cosx + sinx ) ( cosx - sinx ) Û ( cosx + sinx ) ëé(1 - cosxsinx ) - ( cosx - sinx ) ûù = écosx + sinx = Ûê ë1 - cosxsinx + sinx - cosx = (Phương trình phản xứng) 33) (D b 06) 4sin x + 4sin x + 3sin2 x + 6cosx = Gợi ý: TXĐ: D = R (1) Û 4sin x ( sinx + 1) + 6cosx ( sinx + 1) = Û ( sinx + 1) ( 4sin x + 6cosx ) = ésinx = -1 Û ( sinx + 1) éë (1 - cos x ) + 6cosx ùû = Û ê ë -4cos x + 6cosx + = xư ỉ 34) (ĐHB-06) cotx + sinx ỗ1 + tanx.tan ữ = 2ứ ố ì ïsinx ¹ ï p Gợi ý: ĐK: ícos x ¹ Û sin2x ¹ Û x ¹ k ù x ùcos ợ x sin cos x sinx =4 (1) Û + sinx + sinx sinx cos x cos x x sinx.2sin cos x = Û cot x + sinx + sinx (1 - cos x ) = Û + sinx + sinx cos x cos x sinx - sinx cos x Û cot x + sinx + = Û cot x + sinx + tan x - sinx = Û cot x + tan x = cos x Û = Û sin2x = sin2x x xư ỉ xư ỉ cos x.cos +sinx.sin ữ sin ỗ ỗ x sinx 2ø ÷ = sinx è Hoặc: Biến đổi sinx(1 + tanx.tan ) = sinx ỗ1 + ữ x x ỗ cos x cos ữ cos x.cos 2ứ ố xử ổ x cos ỗ x - ữ cos sinx 2ø è = sinx = sinx = x x cos x cos x.cos cos x.cos 2 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Trang 58 Tổ Toán THPT Phong Điền Chuyên đề LƯỢNG GIÁC 35) (Dự bị 06) ( 2sin x - 1) tan p ỵ2 2 x + ( 2cos x - 1) = Luyện thi Đại học 2012 Gợi ý: TXĐ: D = R \ ớỡ + kp ýỹ ỵ ộcos2x = (1) Û -cos2x.tan 2 x + 3cos2x = Û cos2x ( - tan 2 x + 3) = Û ê ë tan x = 36) (Dự bị 06) cos2 x + (1 + 2cosx)(sinx - cosx) = Gợi ý: TXĐ: D = R (1) Û ( cos x - sin x ) + (1 + 2cosx)(sinx - cosx) = Û (cosx - sinx)(cosx + sinx) + (1 + 2cosx)(sinx - cosx) = Û (cosx - sinx) [ (cosx + sinx) - (1 + 2cosx)] = Û (cosx - sinx) ( sinx - cosx - 1) = écosx = sinx Ûê ësinx - cosx = x xử ổ 37) (HD-07) ỗ sin + cos ÷ + 3cosx = 2 2ø è Gợi ý: TXĐ: D = R x x x + 2sin cos + cos 2 2 Û sin x + 3cosx = Û sin x + (1) Û sin x + 3cosx = Û + sin x + 3cosx = 2 pử ổ cosx = sin ỗ x + ÷ = 2 3ø è 38) (ĐHB-07) 2sin 2 x + sin7 x - = sinx Gợi ý: TXĐ: D = R (1) Û sin7 x - sinx - (1 - 2sin 2 x ) = Û 2cos xsin3x - cos x = Û cos x ( 2sin3x - 1) = écos x = Ûê ë 2sin3x - = 39) (ĐHA-07) (1 + sin x)cosx + (1 + cos x)sinx = + sin2 x Gợi ý: TXĐ: D = R (1) Û cosx + sin xcosx + sinx + cos2 xsinx - (1 + sin x ) = Û ( sinx + cosx ) + sinxcosx ( sinx + cosx ) - ( sinx + cosx ) = Û ( sinx + cosx ) éë1 + sinxcosx - ( sinx + cosx ) ùû = ésinx + cosx = Ûê ë1 + sinxcosx - ( sinx + cosx ) = (Phương trình đối xøng) 1 = 2cot2 x 40) (Dự bị 07) sin2 x + sinx 2sinx sin2 x Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Trang 59 Tổ Toán THPT Phong Điền Chun đề LƯỢNG GIÁC ìsinx ¹ p Û sin2x ¹ Û x ¹ k Gợi ý: ĐK: í ợsin2x Luyn thi i hc 2012 (1) Û - cos22x - cosxcos2x = 2cos2x sin2x ¹ é cos2 x = Û ê êë2 cos x + cos x + = ( v« nghiƯm ) p p p Û cos2x = Û x = + kp Û x = + k 5x p x p 3x 41) (D b 07) sin ổỗ - ửữ - cosổỗ - ö÷ = cos è2 4ø è 4ø Gợi ý: TXĐ: D = R ỉ 5x p é p ỉ x p ứ 3x (1) Û sin ç - ÷ - sin ê - ç - ÷ ú = cos è 4ø ë è øû 3x ỉ 5x p ỉ 3p x ỉ 5x p ỉ x 3p sin ỗ - ữ - sin ỗ - ữ = cos sin ỗ - ữ + sin ç è 4ø è 2ø è 4ø è2 3x 3x pư pư ỉ 3x p ổ ổ 2sin ỗ - ữ cos ỗ x + ÷ - cos = Û -2cos cos ỗ x + ữ 4ứ 2 4ứ ố 2ø è è 3x ÷ - cos = ø 3x cos = 3x é cos =0 ê ù pö 3x é ổ - cos 2cos ỗ x + ữ + ú = Û ê ë 4ø è ê 2cos ỉ x + p + = ỷ ỗ ữ ờở 4ứ ố p 42) (D b 07) 2 sin ổỗ x - ửữ cos x = è 12 ø Gợi ý: TXĐ: D = R p é ỉ (1) p ù ờsin ỗ x - ữ - sin ú = 12 ø 12 û ë è p p ổ sin ỗ x - ÷ - sin = 12 ø 12 è p p p p p ổ sin ỗ x - ÷ = sin + sin = sin cos 12 ø 12 12 è 5p p p ổ sin ỗ x - ữ = cos = sin 12 ø 12 12 è p 5p p 7p Û 2x - = + k 2p hay x - = + k 2p 12 12 12 12 p p Û x = + kp hay x = + kp ( k Ỵ Z ) ( (k ỴZ) 43) (Dự bị 07) 2cos2 x + sin x cos x + = sin x + cos x ) Gợi ý: TXĐ: D = R Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Trang 60 Tổ Toán THPT Phong Điền Chuyên đề LƯỢNG GIÁC (1) Û 2cos2 x + Û 3cos2 x + ( Û( Û cos x ) ( ( ) ( ) Luyện thi Đại học 2012 cos x sin x + sin2 x + cos2 x = 3(sin x + cos x ) ) cos x sin x + sin2 x = 3(sin x + cos x ) +2 ( cos x + sin x ) cos x sin x + sin2 x = 3(sin x + cos x ) ) = 3(sin x + cos x ) Û (sin x + cos x )(sin x + cos x - 3) = ésin x + cos x = ê Û êësin x + cos x = (V« nghiƯm do: 12 + = < 32 ) sin x cos x + = tanx - cot x 44) (Dự bị 07) cos x sin x ì pü Gợi ý: TX: D = R \ ớk ý ợ 2ỵ sin x sin x + cos x cos x cos x - sin x (1) Û = cos x sin x sin x cos x é x = k 2p cos x cos x Û = Û cos x = cos x Û ê ê x = k 2p cos x sin x cos x sin x Đối chiếu với điều kiện ta nghiệm phương trình là: 2p 2p x= + k 2p ; x = + k 2p 3 45) (Dự bị 07) (1 - tan x ) (1 + sin x ) = + tan x p ỵ2 Gợi ý: TXĐ: D = R \ ớỡ + kp ýỹ ỵ cos x - sin x cos x + sin x ( sin x + cos x ) = cos x cos x Û ( sin x + cos x ) éë( cos x - sin x ) ( sin x + cos x ) - 1ùû = (1) Û ésin x + cos x = (Tháa ®k) Û ( sin x + cos x ) ( cos x - 1) = Û ê (Tháa ®k) ëcos x - = 1 ổ 7p + = 4sin ỗ - x÷ 46) (ĐHA-08) 3p sinx ỉ è ø sin ỗ x ữ ứ ố ỡ pỹ Gi ý: TX: D = R \ ớk ý ợ 2ỵ Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Trang 61 Tổ Toán THPT Phong Điền Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Luyện thi Đại học 2012 p 1 ỉ Û + = 4sin ç 2p - - x ÷ sinx cosx è ø 1 pư 1 ỉ Û + = -4sin ỗ x + ữ + = -4 ( sin x + cosx ) sinx cosx 4ø sinx cosx è sin x + cosx Û + 2 ( sin x + cosx ) = Û ( sin x + cosx ) + 2 sin x.cosx = sin x.cosx é tan x = -1 ésin x + cosx = Ûê Ûê êsin x = - ë1 + 2 sin x.cosx = êë ( ) 47) (ĐHB-08) sin x - 3cos3 x = sinxcos x - 3sin xcosx Gợi ý: TXĐ: D = R ( ) ( (1) Û sin x + 3sin xcosx - ( ) Û sin x sinx + 3cosx - cos x ) 3cos3 x + sinxcos x = ( ) ( ) 3cosx + sinx = Û sinx + 3cosx ( sin x - cos x ) = ésinx + 3cosx = é tan x = - Ûê Û ê êësin x - cos x = ëcos2x = 48) (ĐHD-08) 2sinx (1 + cos2 x ) + sin2 x = + 2cosx Gợi ý: TXĐ: D = R (1) Û 2sinx.2cos x + 2sinxcosx - (1 + 2cosx ) = Û 2sinxcosx ( 2cosx + 1) - (1 + 2cosx ) = é cosx = é 2cosx + = ê Û ( 2cosx + 1) ( 2sinxcosx - 1) = Û ê Û ê = x x 2sin cos ë ësin2 x = 49) (Dự bị 08) tan x = cot x + 4cos 2 x ì pü Gợi ý: TXĐ: D = R \ ớk ý ợ 2ỵ sin x cos x sin x - cos x = 4cos 2 x Û = 4cos 2 x cos x sin x cos x sin x -2cos x ỉ Û = 4cos 2 x 2cos x ỗ + 2cos x ữ = sin x è sin x ø écos x = (Tháa ®k) écos x = Ûê Ûê ê + 2cos x = ë 2sin x cos x = -1 (Tháa ®k) ë sin x (1) Û ỉ ố 50) (D b 08) sin ỗ x - pử pử ổ ữ = sin ỗ x - ÷ + 4ø 4ø è Gợi ý: TXĐ: D = R Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Trang 62 Tổ Toán THPT Phong Điền Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Luyện thi Đại học 2012 pư pư ỉ ỉ (1) Û sin ỗ x - ữ = sin ỗ x - ÷ + Û sin x - cos x = sin x - cos x + 4ø 4ø è è Û ( cos x - sin x ) - cos x - (1 - sin x ) = Û ( cos x - sin x ) - ( cos x - sin x ) - ( cos x - sin x ) = Û ( cos x - sin x ) - ( cos x - sin x ) ( cos x + sin x ) - ( cos x - sin x ) = Û ( cos x - sin x ) ëé1 - ( cos x + sin x ) - ( cos x - sin x ) ûù = é tan x = écos x - sin x = Û (cos x - sin x )(1 - 2cos x ) = Û ê Ûê êcos x = x = 2cos ë ë pö pö ổ ổ 51) (D b 08) 2sin ỗ x + ữ - sin ỗ x - ữ = 3ứ 6ø è è Gợi ý: TXĐ: D = R pư pư ỉ ỉ ỉ pư pư p ỉ (1) 2sin ỗ x + ữ = sin ỗ x - ữ + 2sin ỗ x + ữ = sin ỗ x - ữ + sin 3ø 6ø 3ø 6ø è è è è ép ỉ pư pư pư p ứ ỉ ỉ ỉ 2sin ỗ x + ữ = 2sin x.cos ỗ x - ữ 2sin ỗ x + ữ = 2sin x.sin - ỗ x - ữ ỳ 3ứ 6ø 3ø øû è è è ë2 è é p ứ pư ỉ 2p ỉ ỉ = 2sin x.sin ỗ - x ữ = 2sin x.sin ờp - ç x + ÷ ú = 2sin x.sin ç x + ÷ øû 3ø è ø è è ë x 52) (Dự bị 08) 3sin x + cos x + sin x = 4sin x cos 2 Gợi ý: TXĐ: D = R (1) Û 3sin x + cos x + sin x = 2sin x (1 + cos x ) Û 3sin x + cos x + sin x = 2sin x + sin x Û 3sin x + cos x = 2sin x Û cos x + sin x = ésin x = Û -2sin x + sin x + = Û ê êsin x = - ë 53) (Dự bị 08) ( sin x + cos x ) + cos x + sin x = Gợi ý: TXĐ: D = R æ (1) ỗ1 - sin 2 x ÷ + (1 - 2sin 2 x ) + sin x = Û - 2sin 2 x + (1 - 2sin 2 x ) + sin x = è ø ésin x = -1 Û -4sin x + sin x + = Û ê êsin x = (Lo¹i) ë (1 - 2sin x ) cos x = 54) (ĐHA-2009) (1 + 2sin x ) (1 - sin x ) Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Trang 63 Tổ Toán THPT Phong Điền Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Luyện thi Đại học 2012 p ì ï x ¹ + k 2p ï ì1 + 2sin x ¹ 5p ï Û íx ¹ + k 2p Gợi ý: ĐK: í sin x ợ ù ù x kp ï ỵ (1) Û (1 - 2sin x ) cos x = (1 + 2sin x ) (1 - sin x ) Û cos x - 2sin x cos x = (1 - sin x + 2sin x - 2sin x ) Û cos x - sin x = ( sin x + - 2sin x ) Û cos x - sin x = ( sin x + cos x ) Û sin x - cos x = - sin x - cos x Û 1 pư pư ỉ ỉ sin x - cos x = - sin x cos x sin ỗ x - ữ = - sin ỗ x + ÷ 2 2 6ø 3ø ố ố pử pử ổ ổ sin ỗ x - ữ = sin ỗ -2 x - ữ 6ứ 3ø è è 55) (ĐHB-2009) sin x + cos x sin x + cos3x = ( cos x + sin x ) Gợi ý: TXĐ: D = R (1) Û sin x + cos x sin x + cos3 x = 2(cos x + sin x) Û ( sin x - 2sin x ) + cos x sin x + cos3 x = 2cos x Û sin x (1 - 2sin x ) + cos x sin x + cos3 x = 2cos x Û ( sin x cos x + cos x sin x ) + cos3 x = 2cos x Û sin x + cos3 x = 2cos x Û pö pö æ æ æp ö sin x + cos3 x = cos x sin ỗ x + ữ = cos x sin ỗ x + ữ = sin ỗ - x ữ 2 3ø 3ø è è è2 ø 56) (ĐHD-2009) cos5 x - 2sin x cos x - sin x = Gợi ý: TXĐ: D = R (1) Û cos5 x - ( sin x + sin x ) - sin x = Û cos5 x - sin x = 2sin x ỉp Û cos5 x - sin x = sin x sin ỗ - x ÷ = sin x 2 è3 ø 57) (ĐH A- 2010) (1 + sinx + cos2 x ) sin çỉ x + + tanx p ỵ2 è pư ÷ 4ø = cosx Gợi ý: TXĐ: D = R \ íì + kp ýü Giáo viên: LÊ B BO ỵ Trang 64 T Toỏn THPT Phong in Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Luyện thi Đại học 2012 pö æ (1) Û (1 + sinx + cos2 x ) 2sin ỗ x + ữ = cosx (1 + tanx ) 4ø è sinx + cosx Û (1 + sinx + cos2 x ) ( sinx + cosx ) = cosx Û (1 + sinx + cos2 x ) ( sinx + cosx ) = sinx + cosx cosx Û ( sinx + cosx ) ëé(1 + sinx + cos2 x ) - 1ûù = Û ( sinx + cosx ) ( sinx + cos2 x ) = é ê tan x = -1 (Tháa) é tan x = -1 ésinx + cosx = ê Ûê Ûê Û êsinx = (Lo¹i) 2 sin x + sin x + = ësinx + cos2 x = ë ê êsinx = - (Tháa) ë 58) (ĐH B- 2010) ( sin2x + cos2 x ) cosx + 2cos2 x - sinx = Gợi ý: TXĐ: D = R (1) Û sin2xcosx + cos2 xcosx + 2cos2 x - sinx = Û ( 2sin xcosx - sinx ) + ( cos2 xcosx + 2cos2 x ) = Û sin x ( sin x - 1) + cos2 x ( cosx + ) = Û - sin x ( cosx - sinx ) + ( cosx - sinx ) ( cosx + sinx ) ( cosx + ) = Û ( cosx - sinx ) ëé- sin x ( cosx - sinx ) + ( cosx + sinx ) ( cosx + ) ûù = Û ( cosx - sinx ) ( - sin xcosx + sin x + cos x + 2cosx + sin xcosx + 2sin x ) = é tan x = écosx - sinx = Ûê Û ( cosx - sinx ) ëé1 + ( cosx + sinx ) ûù = Û ê pö ổ ởcosx + sinx = -1 ờờ sin ỗ x + ÷ = -1 4ø è ë 59) ( ĐH D-2010) sin2x - cos2 x + 3sinx - cosx - = Gợi ý: TXĐ: D = R (1) Û 2sinxcosx - cosx + ( 2sin x - 1) + 3sinx - = Û cosx ( 2sinx - 1) + sinx ( 2sinx - 1) + 4sinx - = é 2sinx - = Û ( 2sinx - 1) ( cosx + sinx + ) = Û ê ëcosx + sinx + = (V« nghiƯm) 60) (Dự bị B1 2010) cos2 x + 2cosx + sinx = cosx ( cos2 x - sin2x ) ỉp ỉp ö é p pù 61) (Dự bị B2 2010) cos ç + x ÷ cos ç - x ÷ + sin x ( cos2 x + 1) = với x Ỵ ê - ; ú è4 ø è4 ø ë 4û + sin2x + cos2 x = 2sinxsin2x + cot x Gợi ý: ĐK: sin x ¹ Û x ¹ kp 62) ( ĐH A-2011) Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Trang 65 Tổ Toán THPT Phong Điền Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Luyện thi Đại học 2012 (1) Û (1 + sin2x + cos2 x ) sin x = 2sin xcosx 2 Û + sin2x + cos2 x = 2cosx ( sinx ¹ ) Û sin2x + (1 + cos2 x ) - 2cosx = Û 2sinxcosx + (1 + cos2 x ) - 2cosx = ( ) Û 2sinxcosx + 2cos x - 2cosx = Û cosx sinx + cosx - = p é êcosx = Û x = + kp Ûê êsinx + cosx = Û 2sin ỉ x + p = Û sin ỉ x + p = x = p + k 2p ỗ ữ ç ÷ êë 4ø 4ø è è 63) ( ĐH B-2011) sin2xcosx + sinxcosx = cos2x + sinx + cosx Gợi ý: TXĐ: D = R sin2xcosx + sinxcosx = cos2x + sinx + cosx (1) Û sinx (1 + cos2x ) + sinxcosx = cos2x + sinx + cosx Û cos2x ( sinx - 1) + cosx ( sinx - 1) = Û ( sinx - 1) ( cos2x + cosx ) = p é sin x = Û x = + k 2p ê Ûê êcos2x = -cosx = cos ( p - x ) Û x = p + k 2p 3 ëê sin2x + 2cosx - sinx - 64) ( ĐH D-2011) =0 tan x + p ì ï x ¹ + kp ìcos x ¹ ï ù ùợ tan x - ù x - p + mp ùợ Gi ý: TXĐ: í (1) Û sin2x + 2cosx - sinx - = Û 2cosx ( sinx + 1) - ( sinx + 1) = ésinx = -1 ( loại đk cosx ) ( sinx + 1) ( 2cosx - 1) = Û ê êcosx = ë p é = + k '2p x ê Ta xét: cosx = Û ê ê x = - p + k '2p êë p Đối chiếu điều kiện, ta có nghiệm phương trình là: x = + k 2p B- TÌM NGHIỆM THUỘC KHOẢNG: 1) (ĐHA-02) Tìm nghiệm thuộc khoảng ( 0; 2p ) của: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Trang 66 Tổ Toán THPT Phong Điền Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Luyện thi Đại học 2012 cos3 x + sin3 x ổ ỗ sinx + ữ = cos2 x + + 2sin2 x ø è 2) (ĐHD-02) Tìm x thuộc đoạn [ 0;14] nghiệm : cos3 x - 4cos2 x + 3cosx - = Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Trang 67 Tổ Toán THPT Phong Điền