Chương 3 biến ngẫu nhiên rời rạc và phân phối xác suất

Slide 1 Chương 3 BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT §1 Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên • Biến ngẫu nhiện là gì, có mấy loại • Thế nào là phân phối xác suất; Thực chất tìm phân p.

Chương BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT §1 Luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên • Biến ngẫu nhiện gì, có loại • Thế phân phối xác suất; Thực chất tìm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc làm • Thế hàm phân phối xác suất tích lũy biện ngẫu nhiên rời rạc • Cách tìm phân phối xác suất hàm biến ngẫu nhiên • Các phân phối xác suất rời rạc thông dụng: Nhị thức; Siêu bội; Nhị thức âm; Poisson §1 Luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Khái niệm biến ngẫu nhiên (BNN) a) Biến ngẫu nhiên hàm xác định không gian mẫu ( phép thử) nhận giá trị với xác suất Ví dụ 1) Một xí nghiệp có máy hoạt động.Số máy hỏng ngày làm việc xí nghiệp (BNN) 2) Nhiệt độ ngày tương lai TP Hồ Chí Minh (BNN) 3) Giá chứng khốn thị trường (BNN) b) Có loại biến ngẫu nhiên (BNN) Kí hiệu X(Ω) tập giá trị BNN.Dựa vào tập giá trị ta chia BNN thành loại + BNN rời rạc X(Ω) hữu hạn đếm + BNN liên tục X(Ω) khoảng BNN nhiều chiều ( vec tơ ngẫu nhiên) Các BNN (X1, X2, …, Xn) xét đồng thời gọi BNN n chiều Biến ngẫu nhiên nhiều chiều gọi liên tục( rời rạc) tất BNN thành phần liên tục ( rời rạc) Luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên (BNN) 1) Phân phối xác suất BNN rời rạc Cho BNN rời rạc X có tập giá trị X(Ω)=(x1,x2,…,xn) P(X=xi)= p i + Bảng phân phối xác suất X X x1 X2 … xn pi p1 P2 … pn Với :  p(x)=1 xX(Ω) + Tính XS: P(a  X  b)=  xi [ a ;b ] pi Ví dụ Mộp hộp có 10 sản phẩm có phế phẩm Lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ hộp để kiểm tra Gọi X số phế phẩm có sản phẩm lấy a) Lập bảng phân phối XS X b) Tính XS biến cố: + P( -2 ≤ X ≤ 1,3) + P( -2 ≤ X < 0) + P(0,5 ≤ X ) Ví dụ Có kiện hàng vận chuyển tới người tiêu dùng ( kiện có 10 sp) Biết số kiện có số sản phẩm bị lỗi cho bảng sau Kiện hàng Số SP lỗi 2 Lấy ngẫu nhiên kiện hàng, a) từ lấy ngẫu nhiên sản phẩm để kiểm tra, gọi X số lỗi sản phẩm lấy Tìm phân phối XS X b) Nếu lẫy ngẫu nhiên sản phẩm để kiểm tra, gọi X số sản phẩm lỗi Tìm phân phối xác suất X 2) Hàm phân phối tích lũy ( cdf) BNN rời rạc Định nghĩa Hàm phân phối BNN X hàm số F(x)=P(X ≤ x)= p xi  x i Ví dụ Trở Ví dụ Tìm hàm phân phối tích lũy số sản phẩm hỏng Ví dụ Cho BNN rời rạc X có bảng phân phối XS X P 0,2 0,5 Tìm hàm phân phối XS X 0,3 §2 Các số đặc trưng BNN • Nó gì, cách tìm, ý nghĩa • Tính chất chúng Mốt (Mode) BNN X Kí hiệu ModX + Trường hợp rời rạc: Mod giá trị BNN có XS lớn Mod X=xi ↔ pi=max(pj) Ví dụ Cho BNN X có bảng PPXS: X -1 P 0,2 0,1 0,4 0,3 Tìm ModX + Ý nghĩa: Mốt giá trị mà BNN nhiều khả nhận nhất; đáng tin Kì vọng (trung bình BNN) a) Định nghĩa Kì vọng BNN rời rạc X, kí hiệu EX,là số EX= xi pi Ý nghĩa: Kì vọng BNN giá trị trung bình BNN b) Tính chất kì vọng 1) E(C)=C 2) E(X±Y)=EX ± EY 3) E(cX)=cEX 4) Nếu X, Y độc lập: E(XY)=EXEY 5) E[h(X)] = xi ∈𝑫 𝒉(xi )pi Phương sai BNN rời rạc a.Định nghĩa Phương sai BNN X số, kí hiệu VX hay VarX xác định sau: VX = E( X- EX)2 Ta thường tính phương sai theo cơng thức VX = EX2 – (EX)2 Với EX2 = xi2 pi b Ý nghĩa phương sai:Phương sai đặc trưng cho độ phân tán giá trị BNN quanh giá trị trung bình c Tính chất 1) V(C) =0 2) V(CX)= C2VX 3) Nếu X, Y độc lập: V(X+Y)= V(X)+V(Y); V(X-Y)= V(X)+V(Y) d Độ lệch chuẩn ( Sai số chuẩn)của BNN σX = 𝑉𝑋 Ví dụ Cho BNN X có bảng phân phối XS: a) b) c) d) X -1 P 0,2 0,1 0,4 0,3 Tìm EX Tính EX2 Tính phương sai X Tính EY VY với Y=3X - §3 Một số phân phối xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc thông dụng Phân phối nhị thức a) Dãy phép n thử Bernouli: dãy phép thử thỏa mãn điều kiện sau 1) Độc lập 2) Trong phép thử có biến cố A A’ xuất 3) Xác suất xuất A phép thử nhau, nghĩa với phép thử P(A) = p ( Suy P(A’)=q ) Ví dụ: Dãy phép thử Bernoulli 1) Một máy sản xuất sản phẩm.Xác suất lần máy sản xuất phế phẩm 0,08.Cho máy sản xuất 15 sản phẩm 2) Một hộp có 10 SP có Ph.Phẩm.Lấy ngẫu nhiên có hồn lại SP 12 SP 3) Có hộp sản phẩm.Mỗi hộp có 10 SP có Ph.Phẩm.Lấy ngẫu nhiên hộp SP 4) Một nhân viên công ty bảo hiểm chọn ngẫu nhiên hộ gia đình để bán gói bảo hiểm cơng ty Theo kinh nghiệm người nhân viên biết: tỷ lệ hộ gia đình mua gói bảo hiểm cơng ty 10% b) Định nghĩa.BNN rời rạc X gọi có PP nhị thức với tham số n,p; kí hiệu X ̴ B(n,p) hay Bin( n, p) tập giá trị X(Ω)={0,1,2,…,n} P(X=k)= 𝑪𝒌𝒏 𝒑𝒌 𝒒𝒏−𝒌 ,q=1-p c) Bài toán phân phối nhị thức Nếu X số lần xuất biến cố A dãy n phép thử Bernoulli với P(A)=p X có phân phối nhị thức d) Số đặc trưng: X ̴ B(n,p) EX=np ; VX= npq; ModX=k, np – q ≤ 𝒌 ≤ np +p Ví dụ Thống kê nhà xuất cho kết khoảng 20% số in ấn bị mắc lỗi Gọi X số sách bị lỗi 15 in ấn chọn ngẫu nhiên 1) Tính xác suất 15 có bị mắc lỗi 2) Tìm trung bình số bị mắc lỗi 15 Phân phối nhị thức âm a) Bài tốn Tìm X số phép thử Bernoulli với P(A)=p tối thiểu cần làm để có r lần xuất biến cố A ( cần làm X phép thử Bernoulli để có r lần xuất biến cố A) b) Định nghĩa BNN rời rạc X gọi có phân phối nhị thức âm với tham số r nếu: X(Ω) = { r, r+1, r+2, ….} 𝒓 𝒒𝒎−𝒓 ,q=1-p P( X=m)= 𝑪𝒓−𝟏 𝒑 ( *) 𝒎−𝟏 • Kí hiệu: X ~ NB(r, p) 𝒓 𝒓𝒒 c) Số đặc trưng: EX = ; VX= 𝟐 , q=1-p 𝒑 𝒑 d) Phát biểu tương đương: Y số phép thử Bernoulli có A’ ( A đối) đến xuất biến cố A thứ r dừng ( vật có có r-1 phép thử có biến cố A Y phép thử có “A đối” đến phép thử có A dừng, nghĩa có r lần xuất biến cố A)thì X có phân phối nhị thức âm với tham số r Y(Ω) = { 0, 1, 2, ….} 𝒓 𝒒𝒌 ,q=1-p (**) P( Y=k)= p( k, r, p ) =𝑪𝒓−𝟏 𝒑 𝒌+𝒓−𝟏 Chú ý: Từ (*), (**) ta có: m= k+r hay X=Y + r ( Y= X – r ; k=m – r ) X: số thí nghiệm cần làm để Y: số thí nghiệm thất bại có r lần thành cơng có thí nghiệm X= Y + r thành cơng thứ r Y= X - r X(Ω) = { r, r+1, r+2, ….} P( X=m)= 𝑪𝒓−𝟏 𝒎−𝟏 EX = 𝒓 𝒑 ; VX= Y(Ω) = { 0, 1, 2, ….} P( Y=k)= p( k, r, p ) 𝒓 𝒒𝒌 , 𝒑𝒓 𝒒𝒎−𝒓 , =𝑪𝒓−𝟏 𝒑 𝒌+𝒓−𝟏 q=1-p q=1-p 𝒓𝒒 𝒑𝟐 , q=1-p EY = 𝒓𝒒 𝒑 ; VY= 𝒓𝒒 𝒑𝟐 , q=1-p Ví dụ Xác suất thành cơng lần làm thí nghiệm 0.8 Tiến hành thí nghiệm độc lập thí nghiệm thành cơng dừng Tính xác suất để số thí nghiệm cần thiết phải làm a) Đúng thí nghiệm b) Ít thí nghiệm c) Nhiều thí nghiệm Giải Gọi X số thí nghiệm cần thiết cần phải tiến hành X ~ NB(3, 0.8) ĐS a) 0.04096; b) 0.05792; c) 0.98304 ( Y số thí nghiệm cần làm có thí nghiệm thành công thứ 3: Y ~ NB(3, 0.8) a) Đúng 3; b) 3; c) nhiều 3) BT 1) Xác suất xạ thủ bắn trúng bia lần 0.8 Xạ thủ bắn viên trúng bia dừng Tính xác suất xạ thủ dừng sau bắn thứ 2) Một hộp có 10 lọ thuốc có lọ phẩm chất.Người ta kiểm tra lọ thuốc có hồn lại phát lọ phẩm chất dừng.Gọi X số lần kiểm tra.Tìm phân phối xác suất X a) Tính xác suất cần phải làm lần b) Tính trung bình phương sai X Phân phối Poisson • Định nghĩa BNN rời rạc X gọi có phân phối Poisson với tham số λ (λ >0) nếu: X(Ω) = { 0, 1, ….} 𝒌 𝝀 e- λ 𝒌! P( X=k)= p( k, λ) = • Kí hiệu: X ~ P(λ) b)Ý nghĩa Phân phối Poisson phân phối XS số kiện ngẫu nhiên xuất khoảng thời gian (a, b) có tính chất: + Các kiện xuất khoảng thời gian rời độc lập với + Số lần xuất kiện tỷ lệ với khoảng thời gian Các số đặc trưng ModX=k với λ-1 ≤ 𝒌 ≤ λ; EX=λ ; VX= λ Ví dụ Số phương tiện giao thông qua trạm kiểm soát khoảng thời gian phút BNN có PP poisson với tham số λ=3 1) Tính XS quãng thời gian có phương tiện giao thơng qua trạm 2) Tính XS qng thời gian có khơng phương tiện giao thông qua trạm 3) Số phương tiện giao thông nhiều khả số phương tiện giao thông trung bình qua trạm quãng thời gian ? 4) Tính XS quãng thời gian phút có phương tiện giao thơng qua trạm Phân phối Siêu bội a) Bài toán Một đám đơng C có N phần tử gồm loại.Trong có NA phần tử có tính chất A.Lấy ngẫu nhiên n phần tử từ đám đông (n≤ NA) Gọi X số phần tử có tính chất A có n phần tử lấy ra.Tìm phân phối xác suất X Giải X(Ω)= { 0, 1, ……n} CkNA Cn-k N-NA P(X=k)= CnN b) Định nghĩa Biến ngẫu nhiên rời rạc X gọi có phân phối siêu bội với tham số N, NA , n (n≤ NA),kí hiệu X ~ H(n, NA,N) nếu: Tập giá trị X {0, 1,….,n} xác suất tương ứng CkNA Cn-k N-NA P(X=k)= CnN c) Các số đặc trưng: EX = np với p= NA /N; VX= npq(N-n)/ (N-1) ; q=1-p Ví dụ Trong 20 tờ giấy báo thuế có tờ mắc sai sót Lấy ngẫu nhiên tờ giấy báo thuế để kiểm tra a) Tính xác suất có tờ mắc sai sót b) Tính xác suất có khơng q tờ mắc sai sót c) Gọi X số tờ mắc sai sót tờ lấy ra.Tìm trung bình phương sai X BT Luyện tập Một khách hàng mua ngẫu nhiên sản phẩm từ hộp có sản phẩm loại A, sản phẩm loại B 1)Lập bảng phân phối xác suất số sản phẩm loại A mà khách mua 2)Một sản phẩm loại A giá 15 ngàn, sản phẩm loại B giá 10 ngàn a)Lập bảng phân phối xác suất số tiền khách phải trả Y mua ngẫu nhiên sản phẩm từ hộp Từ tìm khả khách khơng mua sản phẩm cịn lại 26 ngàn b)Tìm số tiền khách phải trả nhiều khả số tiền trung bình khách phải trả mua ngẫu nhiên sản phẩm từ hộp  ...§1 Luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Khái niệm biến ngẫu nhiên (BNN) a) Biến ngẫu nhiên hàm xác định không gian mẫu ( phép thử) nhận giá trị với xác suất Ví dụ 1) Một xí nghiệp... ngẫu nhiên) Các BNN (X1, X2, …, Xn) xét đồng thời gọi BNN n chiều Biến ngẫu nhiên nhiều chiều gọi liên tục( rời rạc) tất BNN thành phần liên tục ( rời rạc) Luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên. .. có bảng phân phối XS: a) b) c) d) X -1 P 0,2 0,1 0,4 0 ,3 Tìm EX Tính EX2 Tính phương sai X Tính EY VY với Y=3X - ? ?3 Một số phân phối xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc thông dụng Phân phối nhị