Về một dạng định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên và định lí không gian con schmidt đối với siêu mặt di động

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI VỀ MỘT DẠNG ĐỊNH LÍ CƠ BẢN THỨ HAI CHO ĐƯỜNG CONG NGUN VÀ ĐỊNH LÍ KHƠNG GIAN CON SCHMIDT ĐỐI VỚI SIÊU MẶT DI ĐỘNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI VỀ MỘT DẠNG ĐỊNH LÍ CƠ BẢN THỨ HAI CHO ĐƯỜNG CONG NGUN VÀ ĐỊNH LÍ KHƠNG GIAN CON SCHMIDT ĐỐI VỚI SIÊU MẶT DI ĐỘNG Chuyên ngành: Hình học Tôpô Mã số: 9.46.01.05 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: Hà Nội 2022 LỜI CAM ĐOAN Tơi cam đoan kết trình bày luận án trung thực đăng tải tạp chí Tốn học uy tín nước quốc tế đồng tác giả cho phép sử dụng luận án chưa cơng bố cơng trình khác Nghiên cứu sinh ii LỜI CẢM ƠN Lời xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới GS người thầy tận tình hướng dẫn bảo động viên hỗ trợ suốt q trình học tập nghiên cứu Tơi xin trân trọng cảm ơn Phòng Sau đại học Khoa Toán-Tin Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội Sở GD-ĐT Thanh Hóa Trường THPT chuyên Lam Sơn tạo điều kiện thuận lợi để tơi chuyên tâm học tập nghiên cứu Đặc biệt xin chân thành cảm ơn thầy cô bạn nghiên cứu sinh Bộ mơn Hình học Tơ pơ có trao đổi góp ý bổ ích học thuật đồng nghiệp Ban giám hiệu tổ Toán trường chuyên Lam Sơn động viên trợ giúp tơi cơng việc để tơi sớm hồn thành luận án Cuối tơi xin gửi tặng thành đạt đến gia đình người thân thay lời cảm ơn cho hy sinh vất vả suốt trình học tập nghiên cứu Tác giả iii MỤC LỤC Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Danh mục quy ước kí hiệu vi MỞ ĐẦU 1 Tổng quan 1.1 Định lí thứ hai 1.2 Định lí khơng gian Schmidt Định lí thứ hai đường cong nguyên có đạo hàm cầu triệt tiêu tập tạo ảnh mục tiêu 11 2.1 Một số kiến thức chuẩn bị 11 2.1.1 Các hàm Lí thuyết Nevalinna 11 2.1.2 Toán tử Wronski Bổ đề đạo hàm Logarit cho ánh xạ chỉnh hình 13 2.1.3 Họ siêu mặt vị trí tổng quát đa tạp xạ ảnh số khái niệm liên quan 15 2.1.4 Đạo hàm cầu ánh xạ chỉnh hình 16 2.1.5 Họ chuẩn tắc ánh xạ chỉnh hình tính Brody đường cong nguyên 16 2.2 Định lí thứ hai Định lí Picard cho đường cong ngun khơng gian xạ ảnh với đạo hàm cầu triệt tiêu tập tạo ảnh siêu mặt mục tiêu 17 2.2.1 Trọng Nochka ứng với hệ vectơ 17 iv 2.2.2 Định lí thứ hai kiểu Nochka cho siêu mặt Định lí Picard 18 2.2.3 Một tiêu chuẩn Brody cho đường cong nguyên 28 2.3 Định lí thứ hai cho đường cong nguyên đa tạp xạ ảnh có đạo hàm triệt tiêu tập ảnh ngược siêu mặt mục tiêu 30 2.3.1 Một số bổ đề 30 2.3.2 Một dạng định lí thứ hai khơng ngắt bội 30 Định lí khơng gian Schmidt siêu mặt di động giao đa 38 tạp đại số xạ ảnh 3.1 Một số kiến thức chuẩn bị 38 3.1.1 Định giá trường số 38 3.1.2 Chuẩn hóa định giá cơng thức tích 40 3.1.3 Độ cao Logarit hàm 41 3.1.4 Họ siêu phẳng siêu mặt di động tập số 43 3.2 Định lí khơng gian Schmidt siêu mặt di động giao đa tạp đại số xạ ảnh 45 3.2.1 Một số bổ đề 46 3.2.2 Chứng minh Định lí 3.2.1 63 Kết luận kiến nghị 68 Danh mục cơng trình cơng bố liên quan đến luận án 70 71 TÀI LIỆU THAM KHẢO v DANH MỤC CÁC QUY ƯỚC VÀ KÍ HIỆU Các kí hiệu sau thống tồn luận án Pn(C): không gian xạ ảnh phức n chiều ∥z∥ = |z1|2 + · · · + |zm|2 ∥f ∥ = |f0|2 + · · · + |fn|2 1/2 1/2 với z = (z1 zm) ∈ Cm với (f0 : · · · : fn) ∈ Pn(C) biểu diễn rút gọn f o(r): vô bé bậc cao r r → +∞ O(r): vô lớn bậc với r r → +∞ O(1): hàm bị chặn r log+x = max{log x 0} x > “ ∥ P ”: có nghĩa mệnh đề P với r ∈ [0 +∞) nằm tập Borel E [0 +∞) thoả mãn dr < +∞ #S: lực lượng tập hợp S BCN N {d1 dq }: bội số chung nhỏ số nguyên dương d1 dq deg D: bậc đa thức xác định siêu mặt D PM (k): không gian xạ ảnh M -chiều trường k Mk : tập tất lớp tương đương định giá trường k ∥.∥v : chuẩn hóa định giá v k h(x): độ cao logarit x với x ∈ k λHj v : hàm Weil ứng với siêu phẳng Hj định giá v NS (Hj x): hàm đếm (tương ứng với hàm đếm lí thuyết Nevanlinna) f #: đạo hàm cầu f Hol(X Y ): tập ánh xạ chỉnh hình từ X vào Y E: Hàm độ dài đa tạp X vi Mở đầu Lí chọn đề tài Lí thuyết phân bố giá trị hay cịn gọi Lí thuyết Nevanlinna hình thành từ nghiên cứu Nevanlinna [24] phân bố giá trị hàm phân hình biến phức cơng bố vào năm 1925 Các kết Nevanlinna nhanh chóng nhiều nhà tốn học mở rộng sang trường hợp chiều cao nhiều biến như: A Bloch [6] xem xét vấn đề với đường cong chỉnh hình đa tạp Abel; Cartan [7] mở rộng kết Nevanlinna tới trường hợp đường cong nguyên không gian xạ ảnh phức; H Weyl J Weyl [44] Ahlfors [4] đưa cách tiếp cận hình học; Stoll [37 38] mở rộng sang trường hợp ánh xạ phân hình từ khơng gian parabolic vào đa tạp xạ ảnh Nội dung Lí thuyết Nevanlinna đưa mối quan hệ hàm đặc trưng (đo lan tỏa ảnh ánh xạ) với hàm đếm giao điểm ảnh ánh xạ với mục tiêu Cốt lõi Lí thuyết Nevanlinna nằm hai định lí thường gọi Định lí thứ Định lí thứ hai Ở Định lí thứ đưa chặn cho hàm đặc trưng hàm đếm Định lí thứ hai đưa chặn cho hàm đặc trưng tổng hàm đếm ứng với mục tiêu Với Định lí thứ ta nhìn hệ Công thức Jensen ngày có hiểu biết thỏa đáng Tuy nhiên với Định lí thứ hai thiết lập cho không nhiều trường hợp Trước thập kỷ 80 kỷ 20 Định lí thứ hai thiết lập chủ yếu cho trường hợp mà mục tiêu siêu phẳng không gian xạ ảnh phức Sang thập kỷ 80 số nhà toán học phát mối liên hệ sâu sắc Lí thuyết Nevanlinna với Lí thuyết xấp xỉ Diophantine mà khởi đầu từ cơng trình Osgood [27] cơng bố năm 1981 sau Vojta nhiều chuyên gia khác thuộc hai lĩnh vực tiếp tục làm rõ thêm Năm 1987 báo [43] Vojta lập bảng tương ứng khái niệm kết thuộc hai lĩnh vực mà ngày thường gọi từ điển Vojta Theo Định lí thứ hai tương ứng với Định lí khơng gian Schmidt Lí thuyết xấp xỉ Diophantine Khơng có tương đồng khái niệm kết hai lí thuyết cịn có bổ trợ lẫn phương pháp giải vấn đề Sự bổ trợ qua lại làm cho hai lí thuyết đạt thành tựu bật giai đoạn từ đầu kỷ 21 đến thiết lập nhiều Định lí thứ hai Định lí khơng gian Schmidt cho trường hợp mục tiêu siêu mặt Tiêu biểu kết Corvaja-Zannier [10] Evertse-Ferretti [15 16] Ru [31 32] Dethloff-Trần Văn Tấn [12 11] Dethloff-Trần Văn Tấn-Đỗ Đức Thái [13] Sĩ Đức Quang [29] Trong dịng chảy sơi động chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu: Về dạng Định lí thứ hai cho đường cong ngun Định lí khơng gian Schmidt siêu mặt di động Mục đích nghiên cứu Trước tiên luận án thiết lập Định lí thứ hai cho đường cong nguyên đa tạp đại số có đạo hàm cầu triệt tiêu tập tạo ảnh mục tiêu ứng dụng việc xây dựng tính Brody đường cong Tiếp theo luận án thiết lập Định lí khơng gian Schmidt ứng với họ siêu mặt di động giao đa tạp đại số xạ ảnh Đối tượng phạm vi nghiên cứu Luận án nghiên cứu Định lí khơng gian Schmidt Định lí thứ hai đường cong Brody toán họ chuẩn tắc ánh xạ chỉnh hình Đề tài luận án nghiên cứu phạm vi Lí thuyết xấp xỉ Diophantine Lí thuyết Nevanlinna cho đường cong nguyên không gian xạ ảnh Phương pháp nghiên cứu Các vấn đề đặt luận án giải cách kế thừa phát triển phương pháp Hình học đại số Lí thuyết xấp xỉ Diophantine Giải tích phức Hình học phức Ý nghĩa khoa học thực tiễn Các kết đạt luận án làm gia tăng tri thức Lí thuyết Nevanlinna Lí thuyết xấp xỉ Diophantine ứng dụng Định lí thứ hai việc nghiên cứu họ chuẩn tắc ánh xạ chỉnh hình đường cong Brody Sinh viên học viên cao học nghiên cứu sinh nghiên cứu theo hướng sử dụng luận án tài liệu tham khảo trình học tập nghiên cứu Cấu trúc luận án Luận án trình bày thành ba chương Trong chương thứ dành để phân tích tìm hiểu kết nghiên cứu tác giả nước liên quan đến nội dung đề tài Hai chương cịn lại trình bày kiến thức chuẩn bị chứng minh chi tiết kết đề tài Chương I Tổng quan Chương II Định lí thứ hai đường cong nguyên có đạo hàm cầu triệt tiêu tập tạo ảnh mục tiêu Chương III Định lí khơng gian Schmidt siêu mặt di động giao đa tạp đại số xạ ảnh Luận án viết dựa theo kết nghiên cứu tác giả đồng tác giả công bố ba báo đăng tạp chí khoa học nước quốc tế Nơi thực luận án Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Mặt khác (N0 + d∥I ∥ − d∥I0∥) − d∥I ∥ = N0 − d∥I0∥ ≥ n0 N − ∥I ∥ ≥ n0 (để ý I ∈ τN0 ) nên theo Bổ đề 3.2.11 ta có mI = mIN0+d∥I ∥−d∥I0∥ = mIN Do từ (3.18) ta có m ≥ mI = mIN Bởi tính nhỏ m ta thu mIN = m với I ∈ τN0 (3.19) dimRA Q IA Q(V )N = dimk I (V )N (3.20) Bây ta chứng minh Thật lấy {P1 Ps} sở k - không gian vectơ I (V )N Rõ ràng IRA Q (V )N không gian vectơ RA Q sinh I (V )N Do {P1 Ps} hệ sinh IA Q(V )N Vì để có (3.20) ta cần chứng minh t1 ts ∈ RA Q thỏa mãn t1 · P1 + · · · + ts · Ps ≡ (3.21) t1 = · · · = ts ≡ Ta viết (3.21) dạng   t1   · ·     C··=·   · ·   ts C ∈Mat( M +N N × s RA Q) Nếu hệ có nghiệm khơng tầm thường rank RA Q C < s Khi rank k C (α) < s với α ∈ A tập hữu hạn Lấy a ∈ A cho rank k C (a) < s Khi hệ phương trình tuyến tính  t1    · ·     C (a) ·  ·  =  ·    · ·   ts 60 có nghiệm khơng tầm thường (t1 ts) = (α1 αs) ∈ ks \ {0} Vậy α1 · P1 + · · · + αs · Ps ≡ Điều xảy {P1 Ps} sở k - không gian vectơ I (V )N Vì ta có (3.20) Theo Bổ đề 3.2.10 (3.20) ta có mIN = dimRA Q I ∈τN RA Q[x0 xM ]N k[x0 xM ]N = dimk IA Q(V )N I (V )N = dimk k[x0 xM ]N I (V (k))N Nn + O(N n−1) = deg V · n! (3.22) với N đủ lớn Kết hợp với (3.19) ta có Nn mIN = deg V · n! + O(N n−1) m · #τN0 + (3.23) I ∈τN \τN0 Mặt khác theo Bổ đề 3.2.11 với I ∈ τN \ τN0 ta có mIN ≤ c′ Do từ (3.16) ta có m = deg V · dn Kết hợp với (3.19) ta mIN = deg V · dn với I ∈ τN0 Từ Bổ đề 3.2.12 ta có bổ đề sau Bổ đề 3.2.13 Với s ∈ {1 n} với số nguyên dương N đủ lớn chia hết cho d ta có I =(i1 in)∈τN deg V mIN · is ≥ d · (n + 1)! N n+1 − O(N n) Chứng minh Trước tiên ta thấy I = (i1 in) ∈ τN0 hốn vị I ′ = (iσ(1) iσ(n)) I thuộc τN0 Mặt khác từ Bổ đề 3.2.12 ta có mIN = deg V · dn với I ∈ τN0 Vì từ (3.16) ta có 61 I =(i1 in)∈τN0 I =(i1 in)∈τN0 mIN · i1 = · · · = mIN · in ∥I ∥ n = deg V · dn · I ∈τN0  = deg V · dn ·  I ∈τN  N d ≥ deg V · dn  k=0   ∥I ∥ − n I ∈τN \τN0 n ∥I ∥  k · n k+n−1 − #τN − #τN0 · n−1 k · n k+n−1 − O(N n−1) · n−1 nd N  N d = deg V · dn  k=0  nd N N d = deg V · dn k=1 N n d k+n−1 − O(N n) n − O(N n) = deg V +n n +1 ·d deg V N n+1 − O(N n) ≥ d · (n + 1)! Do với s ∈ {1 n} ta có mIN · is ≥ I =(i1 in)∈τN mIN · is I =(i1 in)∈τN0 ≥ deg V N n+1 − O(N n) d · (n + 1)! Nhắc lại theo (3.22) với số nguyên dương N đủ lớn ta có dimRA Q Nn RA Q[x0 xM ]N + O(N n−1) = HV (N ) = deg V n! IA Q(V )N · Kết hợp Bổ đề 3.2.10 Bổ đề 3.2.13 ta có bổ đề sau Bổ đề 3.2.14 Với số nguyên dương N đủ lớn chia hết cho d tồn đa thức φ1 φHV (N ) RA Q[x0 xM ]N cho chúng lập nên 62 ột sở RA Q-không gian vectơ m IA Q(V )N RA Q[x0 xM ]N HV (N ) φj − (Q1 · · · Qn) deg V ·N n+1 d·(n+1)! −u(N ) · P ∈ IA Q(V )N j =1 u(N ) hàm thỏa mãn u(N ) ≤ O(N n) P ∈ RA Q[x0 xM ] đa thức có bậc N · HV (N ) − n · deg V · N n+1 deg V · N n+1 + O(N n) + u(N ) = (n + 1)! (n + 1)! 3.2.2 Chứng minh Định lí 3.2.1 Chứng minh Theo Bổ đề 3.1.9 tồn tập số vô hạn A ⊂ Λ quán ứng với họ siêu mặt Q Theo Nhận xét 3.2.2 ta giả sử đa thức Qj có bậc d ≥ hệ số chúng thuộc trường RA Q Theo Nhận xét 3.1.10 B tập A B quán ứng với Q RB Q ⊂ RA Q chứng minh ta chuyển từ tập A sang tập chứa vô hạn phần tử dùng kí hiệu A Từ giả thiết với a ∈ RA Q v ∈ Mk ta có log+∥a(α)∥v = h(a(α)) ≤ o(h(x(α))) log∥a(α)∥v ≤ (3.24) v∈Mk với α ∈ A Theo Bổ đề 3.2.4 tồn tập vơ hạn A mà ta kí hiệu A cho với tập I ⊂ {1 q} #I = n + tồn hàm ℓ1 v ℓ2 v ∈ Cx thỏa mãn ℓ2 v (α)∥x(α)∥dv ≤ max ∥Qj (α)(x(α))∥v ≤ ℓ1 v (α)∥x(α)∥dv j ∈I ∼ với v ∈ S α ∈ A Đặt hv = (1 + ℓ2 v ) với ℓ2 v chạy khắp lựa chọn ℓ2 v Bổ đề 3.2.4 ứng với tập J (v α) Do ℓ2 v ∈ Cx nên ta có ∼ hv ∈ Cx Với v ∈ S α ∈ A tồn tập J (v α) = {j1(v α) jn(v α)} ⊂ 63 {1 q} cho < ∥Qj1(v α)(α)(x(α))∥v ≤ ≤ ∥Qjn(v α)(α)(x(α))∥v ≤ ∥Qj (α)(x(α))∥v / 1(v α) jn(v α)} j ∈{j Khi ta có q n log ∥Qj (α)(x(α))∥v = log ∥Qj (α)(x(α))∥v + log j =1 ∥Qji(v α)(α)(x(α))∥v i=1 j ∈J (v α) ∼ ≥ (q − n)dlog∥x(α)∥v − loghv (α) n + log (3.25) ∥Qji(v α)(α)(x(α))∥v i=1 Theo Bổ đề 3.2.14 tồn đa thức φJ1 (v α) φJH(Vv (αN)) (phụ thuộc vào J (v α)) RA Q[x0 xM ]N hàm u(N ) v(N ) (có thể chọn chung cho tất J (v α)) cho {φJi (v α)} lập thành sở RA Q-không gian vectơ RA Q[x0 xM ]N IA Q(V )N HV (N ) J (v α) φℓ − (Qj1(v α) Qjn(v α)) deg V ·N n+1 d(n+1)! −u(N ) PJ (v α) ∈ IA Q(V )N ℓ=1 PJ (v α) ∈ RA Q[x0 xM ] đa thức bậc Vì với x(α) ∈ V (k) ta có HV (N ) ℓ=1 φℓJ (v α) n (α)(x(α)) = Qji(v α)(α)(x(α)) deg V ·N n+1 d(n+1)! deg V ·N n+1 (n+1)! −u(N ) PJ (v α)(α)(x(α)) i=1 Mặt khác dễ thấy tồn hàm hJ (v α) ∈ Cx cho ∥PJ (v α)(α)(x(α))∥v ≤ ∥(x(α))∥v deg PJ (v α) = ∥(x(α))∥v deg V ·N n+1 64 (n+1)! + v(N ) hJ (v α)(α) +v(N ) hJ (v α)(α) Vì HN (V ) log ∥φℓ J (v α) n deg V.N n+1 − u(N ) · log∥ d(n + 1)! (α)(x(α))∥v ≤ Qji(v α)(α)(x(α))∥v i=1 n+1 ℓ=1 + log+hJ (v α)(α) + deg V.N + v(N ) log∥x(α))∥v (n + 1)! Suy tồn hàm ω1(N ) ω2(N ) ≤ O( N1 ) cho n log∥ d(n + 1)! Qji(v α)(α)(x(α))∥v ≥ deg V.N i=1 n+1 HN (V ) ω1(N ) − · log N n+1 ∥φℓ J (v α) (α)(x(α))∥v ℓ=1 ∼ (3.26) − log hJ (v α)(α) − (d + ω2(N ))log∥x(α))∥v ∼ với hJ (v α) ∈ Cx Từ (3.25) (3.26) ta có q log ∼ ∥Qj (α)(x(α))∥v ≥ (q − n − 1)dlog∥x(α)∥v − log+hv (x(α)) j =1 + d(n + 1)! ω1(N ) − · log deg V.N n+1 N n+1 HN (V ) ∥φℓ J (v α) (α)(x(α))∥v ℓ=1 ∼ (3.27) − log+hJ (v α)(α) − ω2(N )log∥x(α))∥v Ta cố định đa thức Φ1 ΦHN (V ) ∈ RA Q[x0 xM ]N cho chúng tạo nên sở RA Q-không gian RA Q[x0 xM ] N vectơ Khi IA Q(V )N tồn đa thức bậc L1 LHN (V ) ∈ RA Q[y1 yHV (N )] J (v α) J (v α) cho chúng độc lập tuyến tính RA Q φℓ J (v α) − Lℓ J (v α) (Φ1 ΦHN (V )) ∈ IA Q(V )N β ∈ ℓA=và ℓ}Hℓ=1(V ) h(LJℓ (v α)(β)) = o(h(x(β))) với với A .là HV (Nquán ) Rõứng ràngvới lúc{Lnày ta có N Ta có HV (N ) ∥φℓ HN (V ) J (v α) ℓ=1 ∥Lℓ J (v α) (α)(x(α))∥v = ℓ=1 65 (Φ1 ΦHV (N ))(α)(x(α))∥v (3.28) Ta viết HV (N ) J (v α) Lℓ (y1 yHV = gℓsys gℓs ∈ RA Q (N )) L1 Do J (v α) s=1 LHN (V ) J (v α) độc lập tuyến tính RA Q nên ta có det(gℓs) = ∈ RA Q Vì từ tính qn A ta có det(gℓs)(β) = với β ∈ A tập hữu hạn A Bằng cách chuyển qua tập vơ hạn cần thiết ta giả sử LJ1 (v α)(β) LJH(Nv (αV))(β) độc lập tuyến tính k với β ∈ A Xét điểm di động F (α) = [Φ1(x(α)) ΦHN (V )(x(α))] từ A vào PHV (N )−1(k) siêu phẳng di động L := {LJ1 (v α) LJH(Nv (αV))} PHV (N )−1(k) đánh số A Ta có F khơng suy biến tuyến tính ứng với L Thật giả sử trái lại tồn dạng tuyến tính L ∈ RB L[y1 yHN (V )] với tập vô hạn B ⊂ A quán ứng với họ L cho L(F )|B ≡ Điều khơng thể xảy x khơng suy biến đại số ứng với Q Theo Định lí 1.2.2 với ϵ > tồn tập gồm vô hạn phần tử A (chung cho J (v α)) kí hiệu A cho HV (N ) ∥F (α)∥v ∥Lℓ (α)(F (α))∥v ∥Lℓ log (α)∥v J (v α) J (v α) v∈S (3.29) ≤ (HV (N ) + ε)h(F (α)) ℓ=1 với α ∈ A Kết hợp với (3.27) (3.28) ta có q log v∈S j =1 ∥x(α)∥dv ∥Qj (α)(x(α))∥v ≤ (n + 1)d log∥x(α)∥v + ω2(N ) v∈S + deg d(nV+· N 1)! − HV (N ) n+1 log∥x(α))∥v v∈S − ω1(N ) N n+1 deg ·N d(nV+ 1)! n+1 − HN (V ) ∥Lℓ log v∈S ω1(N ) N n+1 ∥F (α)∥v ∥Lℓ (α)∥v J (v α) (α)(x(α))∥v J (v α) ℓ=1 log∥F (α)∥v v∈S (3.30) + o(h(x(α))) Do bất đẳng thức không phụ thuộc vào việc chọn tọa độ (xạ ảnh) x(α) nên ta chọn cho thành phần tọa độ S-nguyên Khi 66 log∥x(α)∥v = h(x(α)) v∈S log∥F (α)∥v = h(F (α)) ≤ N h(x(α)) + o(h(x(α))) (3.31) v∈S Kết hợp (3.31) với (3.30) (3.29) ta q log v∈S j =1 ∥x(α)∥dv ≤ (n + 1)dh(x(α)) + ω2(N )h(x(α)) ∥Qj (α)(x(α))∥v d(n + 1)! ω1(N ) (HV (N ) + ε)h(F (α)) N n+1 deg V · N d(n + 1)! ω1(N ) − h(F (α)) − HV (N ) n+1 N n+1 deg V · N + n+1 − + o(h(x(α)) Vì q log v∈S j =1 ∥x(α)∥dv∥Qj (α)∥v ∥Qj (α)(x(α))∥v ≤ (n + 1)dh(x(α)) + ω2(N )h(x(α)) +ϵ d(n + 1)! deg V.N n+1 − ω1(N ) h(F (α)) + o(h(x(α))) N n+1 (3.32) Ở lưu ý h(Qj (α)) = o(h(x(α))) Kết hợp với (3.31) cách chọn ω1 ω2 với N đủ lớn chia hết cho d ta q log v∈S j =1 ∥x(α)∥dv∥Qj (α)∥v ∥Qj (α)(x(α))∥v ≤ (n + + ε)dh(x(α)) với α ∈ A Định lí 3.2.1 chứng minh 67 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Luận án nghiên cứu Định lí thứ hai Định lí khơng gian Schmidt cho trường hợp siêu mặt đạt số kết sau đây: Định lí thứ hai Định lí Picard tương ứng đường cong ngun khơng gian xạ ảnh có đạo hàm cầu triệt tiêu tập tạo ảnh siêu mặt mục tiêu (Định lí 2.2.4 Định lí 2.2.5 ) Định lí tính bị chặn đạo hàm cầu đường cong nguyên toàn cục rút từ tính bị chặn tập tạo ảnh hợp đủ nhiều siêu mặt vị trí tổng qt (Định lí 2.2.8) Định lí khơng gian Schmidt siêu mặt di động giao đa tạp đại số xạ ảnh (Định lí 3.2.1) 68 Kiến nghị Trong trình nghiên cứu vấn đề luận án suy nghĩ số hướng nghiên cứu sau Cho tới kết Định lí thứ hai cho trường hợp đường cong nguyên khác giao siêu mặt di động cịn yếu (hoặc khơng chặn bội chặn tổng số khuyết lớn) Việc cải tiến Định lí thứ hai trường hợp vấn đề thực có ý nghĩa Thơng qua ánh xạ Gauss tiêu chuẩn cho đường cong Brody thiết lập luận án có tương tự tới điều kiện bị chặn cho độ cong Gauss siêu mặt cực tiểu 69 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN [1] N T Son T V Tan and N V Thin (2018) Schmidt’s subspace theorem for moving hypersurface targets J Number Theory 186 346–369 [2] N T T Hang N T Son and V V Truong (2020) A second main theorem for entire curves in a projective variety whose derivatives vanish on inverse image of hypersurface targets HNUE journal of science Natural Science 65 31–40 [3] N T Son T V Tan (2022) A property of the spherical derivative of an entire curve in complex projective space Complex Anal Synerg (https://doi.org/10.1007/s40627-021-00090-z) 70 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Sĩ Đức Quang (2019) Lí thuyết phân bố giá trị cho ánh xạ phân hình số vấn đề liên quan NXB Đại học Sư phạm [2] Trần Văn Tấn (2017) Lí thuyết phân bố giá trị đường cong nguyên không gian xạ ảnh NXB Đại học Sư phạm [3] Trần Văn Tấn (2020) Ánh xạ chỉnh hình vào khơng gian xạ ảnh điều kiện tạo ảnh mục tiêu NXB Đại học Sư phạm [4] L V Ahlfors (1941) The theory of meromorphic curves Acta Soc Sci Fennicae Nova Ser A 3–31 [5] G Aladro and S G Krantz (1991) A criterion for normality in Cn J Math Anal Appl 161 1-8 [6] A Bloch (1926) Sur les système de fonctions uniformes satisfaisant l’équantion d’une variétés algébrique dont l’irrégularité dépasse la dimension J Math Pures Appl 19–66 [7] H Cartan (1933) Sur les zéroes des combinaisons linéaires de p funtions holomorphes données Mathematica 80–103 [8] Z Chen M Ru Q.Yan (2012) The degenerated second main theorem and Schmidt’s subspace theorem Science China 1367–1380 [9] Z Chen M Ru Q.Yan (2015) Schmidt’s subspace theorem with moving hypersurfaces Int Math Res Notices 15 6305–6329 [10] P Corvaja and U Zannier (2004) On the general Thue’s equation Amer J Math 126 1033–1055 71 [11] G Dethloff and T.V Tan (2011) A second main theorem for moving hypersurface targets Houston J Math 37 79–111 [12] G Dethloff and T V Tan (2020) Holomorphic curves into alge- braic varieties intersecting moving hypersurface targets Acta Math Vietnam https://doi.org/10.1007/s40306-019-00336-3 [13] G Dethloff and T.V Tan and D D Thai (2011) An extension of the Cartan-Nochka second main theorem for hypersurfaces Internat J Math 22 863–885 [14] A Eremenko (2010) Brody curves omitting hyperplanes Ann Acad Sci Fenn Math 35 565-570 [15] J H Evertse and R G Ferretti (2002) Diophantine inequalities on projective varieties Internat Math Res Notices 25 1295–1330 [16] J H Evertse and R G Ferretti (2008) A generalization of the subspace theorem with polynomials of higher degree Developments in Mathematics 16 175–198 Springer-Verlag NewYork [17] H Fujimoto (1993) Value distribution theory of the Gauss map of minimal surfaces in Rm Vieweg-Verlag Braunschweig [18] L Giang (2015) Schmidt’s subspace theorem for moving hypersurface targets International Journal of Number Theory Vol 11 No 139–158 [19] L Giang (2016) An explicit estimate on multiplicity truncation in the degenerated second main theorem Houston J Math 42 447-462 [20] N T T Hang N T Son and V V Truong (2020) A second main theorem for entire curves in a projective variety whose derivatives vanish on inverse image of hypersurface targets HNUE journal of science Natural Science Volume 65 Issue pp 31-40 [21] R Hartshorne (1977) Algebraic Geometry Grad Texts in Math vol 52 Springer-Verlag New York 72 [22] A Levin (2014) On the Schmidt subspace theorem for algebraic points Duke Math J Vol 163.No 15 2841-2885 [23] H Matsumura (1980) Commutative Algebra Benjamin/Cummings Publication Company Massachusetts [24] R Nevanlinna (1925) Zur theorie der meromorphen funktionen Acta Math 46 1–99 [25] E I Nochka (1983) On the theory of meromorphic functions Sov Math Dokl 27: 377–81 [26] J Noguchi and Winkelmann (2014) Nevanlinna Theory in Several Complex Variables and Diophantine Approximation Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 350 Springer Japan [27] C F Osgood (1981) A number theoretic-differential equations approach to generalizing Nevanlinna theory India J Math 23 1–15 [28] S D Quang (2019) Schmidt’s subspace theorem for moving hypersurfaces in subgeneral position Int J Number Theory https://doi.org/10.1142/S1793042118500082 [29] S D Quang (2019) Degeneracy second main theorems for meromorphic mappings into projective varieties with hypersurfaces Trans Amer Math Soc 371 2431-2453 [30] S D Quang and D P An (2017) Second main theorem and unicity of meromorphic mappings for hypersurfaces in projective varieties Acta Math Vietnam 42 455-470 [31] M Ru (2004) A defect relation for holomorphic curves intersecting hypersurfaces Amer J Math 126 215–226 [32] M Ru (2009) Holomorphic curves into algebraic varieties Ann Math 169 255–267 [33] M Ru and W Stoll (1991) The second main theorem for moving targets J Geom Anal 99–138 73 [34] M Ru and P Vojta (1997) Schmidt’s subspace theorem for moving targets Inventiones Mathematicae 127 51–65 [35] M Ru and P-M Wong (1991) Integral points of Pn − {2n + 1} hyperplanes in general position Invent Math 106 195–216 [36] W M Schmidt (1975) Simultaneous approximation to algebraic numbers by elements of a number fiel Monatsh of Math 79 55–66 [37] W Stoll (1953) Die beiden Hauptsatze der Wertverteilungstheorie bei Punktionen mehrerer komplexen Veranderlichen I Acta Math 90 1–15 [38] W Stoll (1954) Die beiden Hauptsatze der Wertverteilungstheorie bei Punktionen mehrerer komplexen Veranderlichen II Acta Math 92 55–169 [39] N T Son T V Tan (2022) A property of the spherical derivative of an entire curve in complex projective space Complex Anal Synerg https://doi.org/10.1007/s40627-021-00090-z [40] N T Son T V Tan and N V Thin (2018) Schmidt’s subspace theorem for moving hypersurface targets J Number Theory 186 346–369 [41] T V Tan (2021) Higher dimensional generalizations of some theorems on normality of meromorphic functions to appear in Michigan Math J DOI: 10.1307/mmj/20195842 [42] T V Tan (2021) A normality criterion for families of holomorphic mappings under a condition of uniform boundedness of their tangent mappings Bull Sci Math 170 https://doi.org/10.1016/j.bulsci.2021.102994 [43] P Vojta (1987) Diophantine Approximations and Value Distribution Theory Lecture Notes in Math 1239 Springer-Verlag [44] H Weyl and J Weyl (1938) Meromorphic curves Ann Math 39 516–538 [45] O Zariski (1937) Generalized weight properties of the resultant of n + polynomials in n indeterminates Trans AMS 41 249-265 74 ...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI VỀ MỘT DẠNG ĐỊNH LÍ CƠ BẢN THỨ HAI CHO ĐƯỜNG CONG NGUN VÀ ĐỊNH LÍ KHƠNG GIAN CON SCHMIDT ĐỐI VỚI SIÊU MẶT DI ĐỘNG Chuyên ngành: Hình... nằm hai định lí thường gọi Định lí thứ Định lí thứ hai Ở Định lí thứ đưa chặn cho hàm đặc trưng hàm đếm cịn Định lí thứ hai đưa chặn cho hàm đặc trưng tổng hàm đếm ứng với mục tiêu Với Định lí thứ. .. động chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu: Về dạng Định lí thứ hai cho đường cong nguyên Định lí khơng gian Schmidt siêu mặt di động Mục đích nghiên cứu Trước tiên luận án thiết lập Định lí thứ hai