3 Định lí khơng gian con Schmidt đối với siêu mặt di động giao đa
3.1.4 Họ siêu phẳng siêu mặt di động trên một tập chỉ số
Giả sử Λ là một tập các chỉ số gồm vô hạn phần tử.
Ta gọi mỗi ánh xạ x : Λ −→ PM (k) là một họ các điểm di động x(α) trong
PM (k) với α ∈ Λ.
Ta gọi mỗi ánh xạ H : Λ −→ (PM (k))∗ (không gian đối ngẫu) là một siêu
phẳng di động trên Λ hay nói cách khác mỗi siêu phẳng di động H trên Λ chính là một họ các siêu phẳng H (α) trong PM (k) α ∈ Λ.
Ta gọi mỗi họ đa thức thuần nhất {Q(α)}α∈Λ bậc d trong k[x0 . . . xM ] là một siêu mặt di động Q trong PM (k) có bậc d được đánh chỉ số trên Λ. Mỗi siêu mặt
di động Q có thể viết dưới dạng Q = I ∈Td aI xI với các hệ số aI là hàm trên Λ nhận giá trị trong k và khơng có khơng điểm chung.
Xét họ Q := {Q1 . . . Qq } các siêu mặt di động trong PM (k) được đánh chỉ
số trên Λ. Ta biểu diễn
Qj = aj I xI (j = 1 . . . q) với dj = deg Qj .
I ∈Tdj
Định nghĩa 3.1.8. Với mỗi j ∈ {1 . . . q} ta viết Tdj = {Ij 1 . . . Ij Mdj } ở đó
Mdj := dj +MM . Một tập con gồm vô hạn phần tử A ⊂ Λ được gọi là nhất quán
đối với họ Q nếu với mọi đa thức P ∈ k[x1 1 . . . x1 Md1 . . . xq 1 . . . xq Mdq ] thuần
nhất đối với mỗi bộ các biến xj 1 . . . xj Mdj (với j ∈ {1 . . . q}) thì
P (a1 I1 1 (α) . . . a1 I1 Md1 (α) . . . aq Iq 1 (α) . . . aq Iq Mdq (α))
hoặc triệt tiêu tại mọi α ∈ A hoặc triệt tiêu tại hữu hạn α ∈ A.
Ta có kết quả sau mà cách chứng minh hoàn toàn tương tự cách chứng minh của Bổ đề 1.1 trong [34].
Bổ đề 3.1.9. Tồn tại tập con vô hạn A ⊂ Λ nhất quán đối với họ Q.
Cho A ⊂ Λ là một tập chỉ số vô hạn. Với mỗi tập con C ⊂ A có phần bù hữu hạn trong A ta kí hiệu ánh xạ a : C −→ k bởi cặp (C a). Với C1 C2 ⊂ A là các tập con của A có phần bù hữu hạn hai cặp (C1 a1) và (C2 a2) được gọi là tương đương nếu tồn tại tập con C ⊂ C1 ∩ C2 có phần bù hữu hạn trong A và
a1|C = a2|C . Kí hiệu R0A là tập các lớp tương đương của các cặp (C a) với quan
hệ tương đương trên. Ta thấy R0A có cấu trúc tự nhiên của một vành. Hơn nữa có thể nhúng k vào R0A bằng cách coi mỗi phần tử của k là một hàm hằng.
Giả sử A ⊂ Λ là một tập nhất quán đối với họ siêu mặt di động Q. Với mỗi j ∈ {1 . . . q} ta cố định một chỉ số Ij ∈ Tdj sao cho aj Ij ≡ 0 (theo nghĩa
aj I
aj Ij (α) = 0 với mọi α ∈ A ngoài một tập con hữu hạn) khi đó xác định aj Ij
một phần tử thuộc R0A với mọi I ∈ Tdj đó là
{α ∈ A : aj Ij (α) = 0} −→ k α → a j I (α) aj Ij (α) .
Do tính nhất quán của A nên vành con của R0A sinh ra trên k bởi các phần tử nói trên là một miền nguyên (xem p.3 [22]). Gọi RA Q là trường các thương của miền nguyên này. Ta có nhận xét sau.
Nhận xét 3.1.10. Giả sử B ⊂ A ⊂ Λ là hai tập con vô hạn các chỉ số. Khi đó nếu A nhất quán đối với họ các siêu mặt Q thì B cũng nhất quán đối với họ siêu mặt đó và RB Q ⊂ RA Q a j I (α) Gọi A là tập các hàm {α ∈ A : aj Ij (α) = 0} −→ k α → và kQ là tập aj Ij (α) s s ni
Với mỗi cặp (b c) ∈ kQ2 mà c(α) = 0 với mọi α ∈ A ngoài một tập con hữu hạn ta xác định hàm b : {α : c(α) = 0} −→ k α → (α) := c b(α) c(α) . Gọi RA Q là tập tất cả
các hàm như vậy. Khi đó mỗi phần tử a ∈ RA Q là lớp của một hàm a thuộc RA Q. Ta gọi a là một đại diện đặc biệt của a. Rõ ràng với hai đại diện đặc biệt bất kỳ
a1 a2 của cùng một phần tử a ∈ RA Q ta có a1(α) = a2(α) với mọi α ∈ A ngoài một tập con hữu hạn. Với đa thức thuần nhất P := aI xI ∈ RA Q[x0 . . . xM ] và với mỗi I giả sử aI là một đại diện đặc biệt của aI khi đó
P :=
aI xI được gọi là một đại diện đặc biệt của P. Với mỗi α ∈ A sao cho tất cả các hàm aI
i=1 ci trong đó tm ∈ k ci ∈ A ni ∈ N.
xác định tại α đặt P (α) :=
aI (α)xI ∈ k[x0 . . . xM ] và nói rằng P xác định
tại α. Lưu ý rằng mỗi đại diện đặc biệt P của P được xác định với mọi α ∈ A ngoài một tập con hữu hạn và nếu P1 P2 cùng là đại diện đặc biệt của P thì
P1(α) = P2(α) với mọi α ∈ A ngoài một tập con hữu hạn.
Cho V ⊂ PM (k) là một đa tạp đại số xạ ảnh n chiều sinh bởi ideal thuần nhất I (V ).
Định nghĩa 3.1.11. Một điểm di động x = [x0 : · · · : xM ] : Λ −→ V được gọi là
V -không suy biến đại số ứng với Q (hay cịn gọi là khơng suy biến đại số trên V ) nếu với mỗi tập nhất quán A ⊂ Λ ứng với Q không tồn tại đa thức thuần
nhất P ∈ RA Q[x0 . . . xM ] \ IA Q(V ) sao cho P (α)(x0(α) . . . xM (α)) = 0 với mọi
α ∈ A ngoài một tập con hữu hạn với một (và cũng là với mọi) đại diện đặc
biệt P của P trong đó IA Q(V ) là ideal của RA Q[x0 . . . xM ] sinh bởi I (V ).
Định nghĩa 3.1.12. Họ các siêu mặt di động Q = {Qj }qj=1 (q ≥ n + 1) được gọi là ở vị trí tổng quát trên V (hay còn gọi là V -chấp nhận được) nếu với mỗi bộ
1 ≤ j0 < · · · < jn ≤ q hệ phương trình
Qji (α)(x0 . . . xM ) = 0 0 ≤ i ≤ n
khơng có nghiệm (x0 . . . xM ) thỏa mãn (x0 : · · · : xM ) ∈ V (k) với mọi α ∈ Λ ngoài một tập con hữu hạn trong đó k là bao đóng đại số của k.
3.2 Định lí khơng gian con Schmidt đối với siêu mặt di động giao đa tạp đại số xạ ảnh
Mục này trình bày kết quả chính sau của Chương 3.
Định lí 3.2.1 (N.T.Son-T.V.Tan-N.V.Thin [40] 2018). Cho k là một trường số và S ⊂ Mk là một tập con hữu hạn chứa tất cả các định giá Archimedes. Cho
x = [x0 : · · · : xM ] : Λ −→ V là một điểm di động. Giả sử
(i) Họ các siêu mặt Q ở vị trí tổng quát trên V và x là V -không suy biến đại
số ứng với Q;
(ii) h(Qj (α)) = o(h(x(α))) với mọi α ∈ Λ và j = 1 . . . q (nghĩa là với mọi δ > 0 h(Qj (α)) ≤ δh(x(α)) với mọi α ∈ Λ ngồi một tập con hữu hạn).
Khi đó với mỗi ε > 0 tồn tại tập con vô hạn chỉ số A ⊂ Λ sao cho q v∈S j =1 λ (x(α)) ≤ (n + 1 + ε)h(x(α)) (3.2) đúng với mọi α ∈ A. Nhận xét 3.2.2. d d Định lí 3.2.1 có thể giả sử thêm Q1 . . . Qq có cùng bậc d. I ∈Td I ∈Td Định lí 3.2.1 cũng có thể giả sử thêm Qj ∈ RA Q[x0 . . . xM ]. (iii) Bất đẳng thức (3.2) cịn có thể viết dưới dạng
(q − n − 1 − ε)h(x(α)) ≤
q
j =1 dj NS (Qj (α) x(α)) .
Để chứng minh định lí trên chúng tơi dành mục sau cho việc chuẩn bị các bổ đề bổ trợ.
3.2.1 Một số bổ đề
Theo nhận xét 3.2.2 (i) ta có thể giả sử Qj = ajI xI (j = 1 . . . q). Gọi
I ∈Td
A ⊂ Λ là một tập vô hạn nhất quán ứng với Q. Với mỗi j ∈ {1 . . . q} ta cố định
một chỉ số Ij ∈ Td sao cho aj Ij ≡ 0 (theo nghĩa aj Ij (α) = 0 với mọi α ∈ A ngoài ajI
một tập con hữu hạn) khi đó
ajIj Đặt Q′j = I ∈Td ajIj x j = 1 . . . q. Xét t = (. . . tjI . . . ) là một họ các biến đặt Qj = I ∈Td tjI xI ∈ k[t x]. Ta có Qj (. . . ajI
ajIj (α) . . . x0 . . . xM ) = Q′j (α)(x0 . . . xM ) với mọi α ∈ A ngoài
một tập con hữu hạn.
dj Qj (α) v
(i) Bằng cách thay Qj bởi Qj j với d = BCNN{d1 . . . dq } trong giả thiết của
aj I xI bởi Q′j = ajI I
(ii) Bằng cách thay Qj = x trong giả thiết của
ajIj
xác định một phần tử của R0A với mỗi I ∈ Td.
Giả sử ideal I (V ) xác định V được sinh bởi các đa thức P1 . . . Pm. Do Q ở vị trí tổng quát trên V nên với mỗi J := {j0 . . . jn} ⊂ {1 . . . q} tồn tại tập con
AJ ⊂ A với phần bù hữu hạn sao cho với mỗi α ∈ AJ ta có: ajIj (α) = 0 với mọi
j ∈ J ; các đa thức P1 . . . Pm Q′j0 (α) . . . Q′jn (α) ∈ k[x0 . . . xM ] khơng có nghiệm
chung khác tầm thường trong
k
M +1 .
Kí hiệu k[t](P1 . . . Pm Qj0 . . .
Qjn )
là ideal trong vành đa thức với các biến
x0 . . . xM và hệ số trong k[t] sinh bởi các đa thức P1 . . . Pm Qj0 . . . Qjn . Ta gọi đa thức R trong k[t] là dạng khởi đầu của các đa thức P1 . . . Pm Qj0 . . . Qjn
nếu tính chất sau được thỏa mãn: Tồn tại số tự nhiên s để với mọi i = 0 . . . M thì
xsi · R ∈ k[t](P1 . . . Pm Qj0 . . . Qjn )
(xem [45]). Rõ ràng tập các dạng khởi đầu I của các đa thức P1 . . . Pm Qj0 . . .
Qjn
là một ideal trong k[t].
Như đã biết (m + n + 1) đa thức thuần nhất
Pi(x0 . . . xM ) Qj (. . . tjI . . . x0 . . . xM ) i ∈ {1 . . . m} j ∈ J
khơng có nghiệm chung khác tầm thường đối với các biến x0 . . . xM tại một
t0 t0 ajI ajIj ajI ajIj cách định nghĩa ta có RJα(α) = 0 với mọi α ∈ AJ (3.3)
(và vì vậy cũng thỏa mãn điều kiện đúng với mọi α ∈ A ngoài một tập con hữu hạn).
Do k[t] là vành Noether nên I được sinh bởi hữu hạn phần tử là các đa
s
ajI ajI
. . . ) và RJℓ := RJℓ (. . . . . . ) là những đại diện đặc biệt của các ajIj ajIj
s s
0 = RJα(α) = Gαℓ(α)RJℓ (α)
giá trị đặc biệt t0jI của tjI nếu và chỉ nếu tồn tại một dạng khởi đầu RJjI sao cho RJjI (. . . t0jI . . . ) = 0 (xem [45] trang 254). Với mỗi α ∈ AJ chọn RJα ∈ I
là một dạng khởi đầu như vậy tương ứng với giá trị tαjI := (α). Đặt RJα := RJα(. . . . . . ) khi đó RJα là một đại diện đặc biệt của một phần tử RA Q. Do
thức RJ1 . . . RJν . Với mỗi α ta viết RJα = ℓ=1 Gℓ RJℓ α Gαℓ ∈ k[t]. Ta có Gαℓ := Gαℓ(. . .
với mọi α ∈ AJ . Do đó tồn tại ℓ0 ∈ {1 . . . s} và một tập con vô hạn A′ ⊂ AJ sao cho
RJℓ0 (α) = 0 với mọi α ∈ A′ ngoài một tập con hữu hạn. (3.4)
Bằng cách thay A′ bởi các tập con vơ hạn của nó sau một số hữu hạn bước ta có thể chọn được một tập con vơ hạn A′ ⊂ A chung cho mọi tập con J ⊂
{1 . . . q} #J = n + 1. Vì ta có thể thu hẹp A nên có thể giả sử điều trên đúng
với mọi α ∈ A.
Từ định nghĩa dạng khởi đầu tồn tại số tự nhiên s và các đa thức thuần nhất bijk biℓ ∈ RA Q[x0 . . . xM ] hoặc bằng khơng hoặc có bậc deg bijk = s − d deg biℓ = s − deg Pℓ sao cho
n m
RJℓ0 · xsi = bijk · Q′jk + biℓ · Pℓ (3.5)
k=0 ℓ=1
với mọi 0 ≤ i ≤ M .
Định nghĩa 3.2.3. Cho x : Λ −→ V ⊂ PM (k) là một điểm di động. Phần tử
(C a) ∈ R0A được gọi là nhỏ so với x nếu và chỉ nếu h(a(α)) = o(h(x(α))) theo nghĩa với mỗi ε > 0 tồn tại một tập con Cε ⊂ C với phần bù hữu hạn sao cho
h(a(α)) ≤ εh(x(α)) với mọi α ∈ Cε.
Kí hiệu Kx là tập tất cả các phần tử nhỏ so với x. Khi đó Kx là một
vành con của R0A. Vành này không phải là một miền nguyên nhưng với mỗi
(C a) ∈ Kx mà a(α) = 0 với mọi α ∈ C ngồi một tập con hữu hạn thì ta
1
có (C \ {α : a(α) = 0} ) ∈ Kx. Gọi Cx là tập tất cả các hàm thực g nhận
a
giá trị dương xác định trên một tập con của Λ với phần bù hữu hạn sao cho
log+(g(α)) = o(h(x(α))). Khi đó Cx là một vành. Hơn nữa nếu (C a) ∈ Kx \ {0}
thì với mọi v ∈ Mk hàm ∥a∥v : C −→ R+ cho bởi α → ∥a(α)∥v thuộc Cx. Ngoài ra nếu (C a) ∈ Kx và a(α) = 0 với mọi α ∈ C ngồi một tập con hữu hạn thì hàm g : {α | a(α) = 0}
→
1
∥a(α)∥v cũng thuộc Cx.
Với các giả thiết như của Định lí 3.2.1 kết hợp với Nhận xét 3.2.2 từ (3.4) (3.5) ta có kết quả sau mà cách chứng minh tương tự như chứng minh của Bổ đề 2.2 trong [18].
Bổ đề 3.2.4. Cho A ⊂ Λ là một tập con nhất quán ứng với Q. Khi đó tồn tại tập con gồm vô hạn phần tử A′ của A sao cho với mỗi J ⊂ {1 . . . q} #J = n + 1 tồn tại các hàm ℓ1 v ℓ2 v ∈ Cx thỏa mãn
ℓ2 v (α)∥x(α)∥dv ≤ max ∥Qj (α)(x(α))∥v ≤ ℓ1 v (α)∥x(α)∥dv
j ∈J
với mọi α ∈ A′ và mọi v ∈ S.
Chứng minh. Theo trên ta thấy với mỗi tập con nhất quán A ⊂ Λ bất kì ln tồn tại một tập con vơ hạn (mà ta vẫn kí hiệu là A) sao cho (3.4) và (3.5) đạt được. Khi đó với mỗi j ∈ J = {j0 . . . jn} áp dụng Định lí 3.1.7 ta có
∥Qj (x(α))∥v = ∥ aj I (α)xI (α)∥v
I ∈Td
≤ c1 max ∥aj I (α)(xI (α))∥v
I ∈Td
≤ c1 ∥aj I (α)∥v ∥(x(α))∥dv
I ∈Td
với mọi α ∈ A ngồi một tập con hữu hạn trong đó c1 là một hằng số dương không phụ thuộc vào α. Đặt ℓ1 v là hàm xác định trên tập con của A với phần bù hữu hạn cho bởi
ℓ1 v (α) = c1 ∥aj I (α)∥v
I ∈Td
ta nhận được bất đẳng thức thứ hai của Bổ đề.
Theo (3.5) tồn tại số nguyên dương s và các đa thức thuần nhất bijk biℓ ∈
RA Q[x0 . . . xM ] hoặc bằng không hoặc có bậc deg bijk = s − d deg biℓ = s − deg Pℓ
sao cho
n m
RJℓ0 · xsi = bijk · Qjk + biℓ · Pℓ
k=0 ℓ=1
với mọi 0 ≤ i ≤ M .
Lấy bijk là một đại diện đặc biệt của bijk . Khi đó theo Định lí 3.1.7 tồn tại hằng số dương c2 để với mọi i = 0 1 . . . n ta có
n
∥RJℓ0 · xsi∥v ≤ c2 max ∥Qjk (α)∥v
k=0 ... n
k=0
với mọi α ∈ A ngoài một tập con hữu hạn. Ở đây lưu ý rằng x(α) ∈ V. Ta biểu diễn bijk dưới dạng bijk = I I I
Gọi γijI k là một đại diện đặc biệt
của γijI k . Khi đó với mọi i = 0 1 . . .
n
ta có
k=0 ... n
với mọi α ∈ A ngồi một tập con hữu hạn. Do đó với mọi i = 0 1 . . . n ta có k I ∥γijI k ∥v ∥(x(α))∥sv−d ∥xi(α)∥sv ∥(x(α))∥sv−d ≤ c2 max ∥Qjkk=0 ... n (α)∥v i k I ∥γijI k ∥v ∥RJℓ0 (α)∥v
với mọi α ∈ A ngoài một tập con hữu hạn.
Do ∥(x(α))∥v = max{∥(x0(α))∥v . . . ∥(xn(α))∥v } ta suy ra tồn tại i ∈ {0 . . . n} thỏa mãn ∥(x(α))∥v = ∥(xi(α))∥v . Từ đó ∥x(α)∥dv ≤ c2 max ∥Qjk (α)∥v k=0 ... n i k I ∥γijI k ∥v ∥RJℓ0 (α)∥v
với mọi α ∈ A ngoài một tập con hữu hạn.
Đặt ℓ2 v là hàm xác định trên một tập con của A với phần bù hữu hạn cho bởi ℓ2 v (α) = c2 i k I 1 ∥γijI k ∥v ∥RJℓ0 (α)∥v .
ta nhận được bất đẳng thức còn lại của Bổ đề.
Với mỗi số nguyên dương ℓ và mỗi không gian vectơ con W của k[x0 . . . xM ] (hay của RA Q[x0 . . . xM ]) kí hiệu Wℓ là khơng gian vectơ con gồm các đa thức thuần nhất thuộc W với bậc ℓ (bao gồm cả đa thức không).
Định nghĩa 3.2.5. Cho W là một không gian vectơ con của RA Q[x0 . . . xM ]. Với mỗi phần tử α ∈ A đặt
W (α) := {P (α) : P là một đại diện đặc biệt nào đó của P xác định tại α}.
P ∈W
Rõ ràng W (α) là một không gian vectơ con của k[x0 . . . xM ].
I ∈Ts−d γijk x với γijk ∈ RA Q.
Bổ đề 3.2.6. Cho W là một không gian vectơ con của RA Q[x0 . . . xM ]N . Khi đó
(i) Tồn tại γj ∈ RA Q[x0 . . . xM ]N j = 1 . . . H sao cho γj (α) . . . γH (α) lập
thành một cơ sở của W (α) với mọi α ∈ A ngồi một tập con hữu hạn (có nghĩa là với mỗi đại diện đặc biệt γj của γj thì {γj (α) . . . γH (α)} là một cơ sở của
W (α) với mọi trừ một tập gồm hữu hạn các α ∈ A)). Đặc biệt số chiều của W (α) khơng phụ thuộc vào α ∈ A ngồi một tập con hữu hạn.
(ii) Giả sử {hj }K=1 là một cơ sở của W. Khi đó {hj (α)}K=1 là một cơ sở của W (α) với mọi α ∈ A ngồi một tập con hữu hạn (có nghĩa là với mỗi đại diện hj của hj thì {hj (α)}K=1 tạo nên một cơ sở của W (α) với mọi trừ một tập con
hữu hạn các α ∈ A). Đặc biệt dimRA Q W = dimk W (α) với mọi α ∈ A ngoài một
tập con hữu hạn.
Chứng minh. Đặt H := maxα∈A dim W (α) và lấy α0 ∈ A sao cho dim W (α0) = H. Khi đó tồn tại các phần tử γj ∈ RA Q[x0 . . . xM ]N (j = 1 . . . H ) và các đại diện đặc biệt γj tương ứng của γj (j = 1 . . . H ) sao cho {γ1(α0) . . . γH (α0)} là một cơ sở của W (α0).
Gọi B là ma trận các hệ số của {γj }Hj=1. Khi đó B(α0) có hạng H. Vì vậy tồn tại ma trận vuông con B1 của B với cấp H sao cho det B1(α0) = 0. Do tính nhất quán của A nên tồn tại tập con A1 của A với phần bù là tập gồm hữu hạn phần tử sao cho det B(α) = 0 và các hệ số γj xác định tại α với mọi α ∈ A1. Khi đó
{γ1(α) . . . γH (α)} độc lập tuyến tính với mọi α ∈ A1. Mặt khác dim W (α) ≤ H.
Vì vậy {γ1(α) . . . γH (α)} là một cơ sở của W (α) với mọi α ∈ A1. Mặt khác với mỗi đại diện đặc biệt γj′ của γj (j = 1 . . . H ) ta có γj′ (α) = γj (α) với mọi trừ một tập gồm hữu hạn các α ∈ A. Do đó γ1′ (α) . . . γH′ (α) cũng tạo nên một cơ sở của W (α) với mọi trừ một tập con gồm hữu hạn các α ∈ A. Như vậy kết luận (i) đúng.
Gọi (cij ) là ma trận các hệ số của {hj }K=1. Do {hj }K=1 là độc lập tuyến tính nên tồn tại ma trận vuông con C của (cij ) với bậc K mà det C ≡ 0. Gọi cij là một đại diện đặc biệt của cij . Kí hiệu C là ma trận được tạo nên từ C bằng cách thay cij bởi cij . Khi đó det C là một đại diện đặc biệt của det C và vì