Như đã nói trong phần Tổng quan với Định lí Picard đạt được ở trên kết
hợp với các Bổ đề kiểu Zalcman dưới đây chúng tôi đã đạt được một tiêu chuẩn Brody cho đường cong nguyên là Định lí 2.2.8.
Bổ đề 2.2.6 (Aladro-Krantz [5] Định lí 3.1). Cho D là một miền trong Cn và
(M E) là một đa tạp phức Hermite compact. Khi đó họ F ⊂ Hol(D M ) không
chuẩn tắc trên D nếu và chỉ nếu tồn tại tập con compact K của D các dãy
{zk } ⊂ K {fk } ⊂ F {ρk } ⊂ R với ρk → 0+ và {ξk } ⊂ Cn với ∥ξk ∥ = 1 sao cho
gk (ζ ) := fk (zk + ρk ξk ζ ) ζ ∈ C
hội tụ đều trên các tập con compact của C tới một đường cong nguyên khác hằng
g.
Bổ đề trên được phát biểu lại cho trường hợp miền D là C như sau. Bổ đề 2.2.7. Cho F là một họ các ánh xạ chỉnh hình từ C vào Pn(C). Nếu họ
F khơng chuẩn tắc thì tồn tại các dãy {zk } ⊂ C với zk → z0 ∈ C {fk } ⊂ F
{ρk } ⊂ R với ρk → 0+ sao cho gk (ζ ) := fk (zk + ρk ζ ) hội tụ đều trên các tập con
Định lí 2.2.8 (N.T.Son - T.V.Tan [39] 2022). Cho f là một đường cong nguyên trong Pn(C) n ≥ 2. Giả sử các siêu mặt D1 . . . Dq ở vị trí tổng quát trong Pn(C) sao cho f # bị chặn trên ∪qj=1f −1(Dj ). Khi đó f là một đường cong Brody nếu
q > 3n n+d
n − n trong đó d là bội chung nhỏ nhất của deg D1 . . . deg Dq .
Chứng minh. Gọi (f0 . . . fn) là một biểu diễn rút gọn của f. Giả sử f khơng là đường cong Brody. Khi đó theo Mệnh đề 2.1.21 họ F := {fa(z) := f (a + z) :
a ∈ C} là không chuẩn tắc. Theo Bổ đề 2.2.7 tồn tại các dãy {zk } ⊂ C với zk → z0 ∈ C {ak } ⊂ C {ρk } ⊂ R với ρk → 0+ sao cho gk (ζ ) := fak (zk + ρk ζ ) = f (ak + zk + ρk ζ ) hội tụ đều trên các tập con compact của C đến ánh xạ chỉnh
hình khác hằng g từ C vào Pn(C).
Với mỗi j0 ∈ {1 . . . q} thỏa mãn g(C) ⊂ Dj0 ta sẽ chứng minh g#(ξ) = 0 với mọi ξ ∈ g−1(Dj0 ). Thật vậy xét một điểm tùy ý ξ0 ∈ g−1(Dj0 ). Theo Định lí
Hurwitz có các giá trị {ξk } (với mọi k đủ lớn) ξk → ξ0 sao cho ξk ∈ gk−1(Dj0 ) và
như vậy ak + zk + ρk ξk ∈ f −1(Dj0 ). Theo giả thiết tồn tại hằng số dương M sao
cho với mọi k đủ lớn
f #(ak + zk + ρk ξk ) ≤ M. Khi đó k→∞ = lim ρk f #(ak + zk + ρk ξk ) k→∞ = 0.
Từ đó với mỗi j ∈ {1 . . . q} hoặc g(C) ⊂ Dj hoặc g# = 0 trên g−1(Dj ). Vì vậy với n ≥ 2 và q >
3n
n+d
n − n theo Định lí 2.2.5 ta có g là một đường cong hằng
điều này không thể xảy ra. Vậy f phải là một đường cong Brody.
2.3
2.3.1 Định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên trong đa tạp xạ ảnh có đạo hàm triệt tiêu trên tập ảnh ngược của các siêu mặt mục tiêu
Một số bổ đề
Để chứng minh một kết quả nghiên cứu đạt được ở tiểu mục tiếp theo chúng tôi cần sử dụng các bổ đề dưới đây được trình bày dựa theo [29] và [13].
Bổ đề 2.3.1 (Bổ đề 3.1 [29]). Cho V là một đa tạp con xạ ảnh k chiều của Pn(C). Với Q1 . . . QN +1 là các siêu mặt trong Pn(C) có cùng bậc d ≥ 1 sao cho
N +1
Qi ∩ V = ∅.
i=1
Khi đó tồn tại k siêu mặt P2 . . . Pk+1 có dạng
N −k+t
Pt = ctj Qj ctj ∈ C t = 2 . . . k + 1
j =2 +1
Bổ đề 2.3.2 (Bổ đề 3.2 [13]). Cho V ⊂ PM (C) là một đa tạp đại số n chiều và có
bậc △ số nguyên m > △ và bộ số c = (c0 . . . cM ) ∈ RM +1. Với tập con {i0 . . . in} của {0 . . . M } sao cho x = (x0 : · · · : xM ) ∈ PM (C) : xi0 = · · · = xin = 0 ∩ V =
∅. Khi đó 1 mHV (m) SV (m c) ≥ 1 (n + 1) (c−i0 + · · · + cin ) (2n + 1) △
m 1≤i≤Mmax ci.
2.3.2 Một dạng định lí cơ bản thứ hai khơng ngắt bội
Áp dụng kỹ thuật thay thế các siêu mặt của Sĩ Đức Quang [29] và kỹ thuật tính bội trong trường hợp đạo hàm triệt tiêu trên tập tạo ảnh của các siêu mặt mục tiêu được nêu trong mục 2.2.2 chúng tơi thiết lập Định lí cơ bản thứ hai sau.
Định lí 2.3.3 (N.T.T.Hang - N.T.Son - V.V.Truong [20] 2020). Cho V ⊂
Pn(C) là một đa tạp xạ ảnh phức k chiều (1 ≤ k ≤ n) và Q1 . . . Qq là các siêu
sao cho ∩kt=1 Pt ∩ V = ∅ trong đó P1 = Q1.
mặt trong Pn(C) ở vị trí N -dưới tổng quát trên V deg Qj = dj ở đó N ≥ k
q > (N − k + 1)(k + 1). Gọi d là bội chung của các dj . Giả sử f là một đường cong
nguyên đại số trong V thỏa mãn f∗ z = 0 với mọi z ∈ ∪qj=1f −1(Qj ). Khi đó với mỗi ϵ > 0 (q − (N − k + 1)(k + 1) − ϵ) Tf (r) ≤ M 2 − M − 1 M 2 − M q j =1 dj Nf (r Qj )
trong đó M = k + dk deg V [(2k + 1)(N − k + 1)2(k + 1)2dk−1 deg V ϵ−1] +
1 . Ở
đây kí hiệu f∗ z là ánh xạ tiếp xúc tại z ∈ C của f và kí hiệu [x] := max{t ∈ Z :
t ≤ x} là phần nguyên của số thực x.
So với Định lí 2.2.4 định lí trên có đánh giá bên trái tốt hơn (dẫn tới một mức chặn tốt cho tổng các số khuyết) nhưng ở vế phải các hàm đếm không được ngắt bội. Trên thực tế nếu dựa vào kĩ thuật ngắt bội mà các tác giả đi trước đã sử dụng chúng tơi cũng có thể đưa ra một mức chặn bội cho hàm đếm ở vế phải. Tuy nhiên mức chặn bội này sẽ khá lớn và phụ thuộc vào bậc của đa tạp điều đó gây ra những khó khăn cho việc tìm kiếm các ứng dụng của định lí thiết lập được.
Chứng minh. Trước tiên ta chứng minh định lí cho trường hợp tất cả các siêu mặt Qj có cùng bậc d. Kí hiệu I là tập tất cả các hoán vị của tập {1 . . . q}. Ta có n0 := #I = q!. Ta viết I = {I1 . . . In0 } với Ii = (Ii(1) . . . Ii(q)) và I1 < I2 <
· · · < In0 theo thứ tự từ điển. Do Q1 . . . Qq ở vị trí N -dưới tổng quát trên V ta có QIi(1) ∩ · · · ∩ QIi(N +1) ∩ V = ∅ với mọi i ∈ {1 . . . n0}. Vì vậy theo Bổ đề 2.3.1 với mỗi Ii ∈ I tồn tại các tổ hợp tuyến tính của QIi(1) . . . QIi(N +1) có dạng sau
N −k+s
Pi 1 := QIi(1) Pi s := bsj QIi(j ) (2 ≤ s ≤ k + 1 bsj ∈ C) (2.21)
j =2
sao cho Pi 1 ∩ · · · ∩ Pi k+1 ∩ V = ∅.
Ta định nghĩa ánh xạ Φ : V −→ Pℓ−1(C) (ℓ := n0(k + 1)) cho bởi Φ(x) = (P1 1(x) : · · · : P1 k+1(x) : · · · : Pn0 1(x) : · · · : Pn0 k+1(x)).
Khi đó Φ là một cấu xạ hữu hạn trên V . Ta có Y := ImΦ là một đa tạp xạ ảnh phức trong Pℓ−1(C) và dim Y = k
Gọi f = (f0 . . . fn) là một biểu diễn rút gọn của f . Với mỗi số nguyên dương
u ta lấy v1 . . . vHY (u) trong C[y1 1 . . . y1 k+1 . . . yn0 1 . . . yn0 k+1]u sao cho chúng lập nên một cơ sở của không gian véc
tơ
C
[y1 1 ... y1 k+1 ... yn0 1 ... yn0 k+1]u
I (Y )u Xét đường
cong nguyên F trong PHY (u)−1(C) với một biểu diễn rút gọn
F (z) = (v1(Φ(f (z))) . . . vHY (u)(Φ(f (z)))).
Do f khơng suy biến đại số nên ta có F là khơng suy biến tuyến tính. Theo (3.12) trong [29] với mọi ϵ′ > 0 (mà ta sẽ chọn sau) ta có
(q − (N − k + 1)(k + 1)) Tf (r)
≤
q
j =1
Nf (r Qj ) −(N − k + 1)(k + 1)
duHY (u) N (r (W (F ))0) − ϵ′duTf (r)
+ (N − k + 1)(2k + 1)(k + 1)
△
ud 1≤i≤n0 1≤j ≤k+1
mf (r Pi j ). (2.22)
Với mỗi i ∈ {1 . . . HY (u)} ta có
vi(Φ(f (z)) = n s=0 ∂(v i Φ) ∂xs (f (z)) · fs′ (z). (2.23)
Mặt khác do f∗ z = 0 với mọi z ∈ ∪qj=1f −1(Qj ) nên ta có
(f0(z) : · · · : fn(z)) = (f0′ (z) : · · · : fn′ (z))
với mọi z ∈ ∪qj=1f −1(Qj ). Vì vậy từ (2.23) và theo cơng thức Euler (cho các đa thức thuần nhất vi(Φ(x)) ∈ C[x0 . . . xn]) với mọi z ∈ ∪qj=1f −1(Qj ) ta có
v1(Φ(f (z))) : · · · : vHY (u)(Φ(f (z))) ′ = = n s=0 n s=0 ∂(v 1 Φ) ∂xs ∂(v 1 Φ) ∂xs (f (z)) · fs′ (z) : · · · : (f (z)) · fs(z) : · · · : n s=0 n s=0 ∂(vHY (u)Φ) ∂xs ∂(vHY (u)Φ) ∂xs (f (z)) · fs′ (z) (f (z)) · fs(z) = v1(Φ(f (z))) : · · · : vHY (u)(Φ(f (z))) . (2.24)
Xét phần tử tùy ý a ∈ ∪qj=1f −1(Qj ) (nếu tập này khơng rỗng). Khi đó tồn tại
Ip ∈ I sao cho
Vì Q1 . . . Qq ở vị trí N -dưới tổng quát trên V nên
(QIp(j )(f ))0(a) = 0 với mọi j ∈ {N + 1 . . . q}. (2.26)
Đặt ct s := (Pt s(f ))0(a) và c := (c1 1 . . . c1 k+1 . . . cn0 1 . . . cn0 k+1). Khi đó có các
ai = (ai1 1 . . . ai1 k+1 . . . ain0 1 . . . ain0 k+1 ) i = 1 2 . . . HY (u) sao cho ya1 . . . yaHY (u)
lập thành một cơ sở của không gian véc tơ
C
[y1 1 ... y1 k+1 ... yn0 1 ... yn0 k+1]u
I (Y )u và
HY (u)
SY (u c) = ai · c
i=1
ở đó y = (y1 1 . . . y1 k+1 . . . yn0 1 . . . yn0 k+1). Do đó tồn tại các dạng độc lập tuyến tính L1 . . . LHY (u) (trên C) sao cho yai = Li(v1 . . . vHY (u)) trong
C
[y1 1 ... y1 k+1 ... yn0 1 ... yn0 k+1]u
I (Y )u Ta có
Li(F ) = Li(v1(Φ(f )) · · · vHY (u)(Φ(f )))
ai ai ai ai k k
với mọi i ∈ {1 2 . . . HY (u)}. Khi đó với mọi i ∈ {1 2 . . . HY (u)} ta có
(2.27)
Vì vậy
(Li(F ))0(a) =
1≤u≤n0 1≤v≤k+1
ait s (Pit s (f ))0(a) = ai · c.
HY (u) HY (u) Từ (2.24) ta có i=1 (Li(F ))0(a) = i=1 ai · c = SY (u c). (2.28)
(L1(F (a)) : · · · : LHY (u)(F (a))) = ((L1(F ))′(a) : · · · : (LHY (u)(F ))′(a))
Theo định lí khai triển Laplace ta có
(2.29)
W (L1(F )) : · · · : LHY (u)(F )) = L1(F ) (L1(F ))′ L2(F ) (L2(F ))′ ... ... LHY (u)(F ) (LHY (u)(F ))′ = · · · · · · ··· ··· ··· · · ·
(L1(F ))(HY (u)−1) (L2(F ))(HY (u)−1) . . . (LHY (u)(F ))(HY (u)−1)
= (−1)1+s+t
1≤s<t≤HY (u)
Ls(F ) Lt(F )
Ls(F )′ Lt(F )′ det Ast (2.30)
trong đó Ast là ma trận thu được từ ma trận Li(F )(v)
1≤i v+1≤HY (u) bằng cách
bỏ đi hai hàng đầu tiên và hai cột thứ s và t. Với mỗi 1 ≤ s < t ≤ HY (u) rõ ràng ta có HY (u) (det Ast)0 ≥ Ta sẽ chứng minh v∈{1 ... HY (u)}\{s t} max{(Lv (f ))0 − HY (u) + 1 0}. (2.31)
Ls(F ) · Lt(F )′ − Lt(F ) · Ls(F )′ (a) ≥ max{(Ls(F ))0(a) − HY (u) + 1 0}
+ max{(Lt(F ))0(a) − HY (u) + 1 0} + 1. (2.32)
Thật vậy xét các trường hợp.
Trường hợp 1. (Ls(F ))0(a) ≤ HY (u) − 1 và (Hit (F ))0(a) ≤ HY (u) − 1.
Khi đó vế phải của (2.32) bằng 1 nhưng theo (2.29) vế trái của (2.32) không nhỏ hơn 1 vậy (2.32) đúng.
Trường hợp 2. (Ls(F ))0(a) > HY (u) − 1 và (Lt(F ))0(a) > HY (u) − 1. Ta có
Ls(F ) · (Lt(F ))′ − Lt(F ) · (Ls(F ))′ (a) ≥ Ls(F ) (a) + Lt(F ) (a) − 1 ≥ (Ls(F ))0(a) − HY (u) + 1 + (Lt(F ))0(a) − HY (u) + 1 + 1
Vậy (2.32) đúng trong trường hợp này.
Trường hợp 3. (Ls(F ))0(a) > HY (u) − 1 và (Lt(F ))0(a) < HY (u) − 1 (và tương tự đối với trường hợp (Ls(F ))0(a) < HY (u) − 1 và (Lt(F ))0(a) > HY (u) − 1).
Ta có
Ls(F ) · (Lt(F ))′ − Lt(F ) · (Ls(F ))′ (a) ≥ (Ls(F ))0(a) − 1 ≥ (Ls(F ))0(a) − HY (u) + 1 + 1
= max{(Ls(F ))0(a) − HY (u) + 1 0} + max{(Lt(F ))0(a) − HY + 1 0} + 1.
Như vậy (2.32) được chứng minh. Từ (2.30) (2.31) và (2.32) ta có
(W (F ))0(a) = W (L1(F ) . . . LHY (u)(F ))
HY (u)
(a)
≥
i=1
max{(Li(F ))0(a) − HY (u) + 1 0} + 1
=
HY (u)
i=1
max{(Li(F ))0(a) − HY (u) + 1 0} + 1 HY (u) ≥ 1 HY (u)(HY (u) − 1) HY (u) (Li(F ))0(a) i=1 (chú ý rằng max{x − y 0} + ≥
1 với mọi x ≥ 0 y z > 1). Kết hợp với (2.28) ta được
(W (F ))0(a) ≥ 1
HY (u)(HY (u) − 1)SY (u c). (2.33)
Từ định nghĩa của Pi j ta có Pp 1 ∩ · · · ∩ Pp k+1 ∩ V = ∅ khi đó theo Bổ đề 2.3.2 (hoặc Định lí 2.1 và Bổ đề 3.2 trong [32]) ta có 1 uHY (u) SY (u c) ≥ 1 (k + 1) (c−p 1 + · · · + cp k+1) (2k + 1) △ u 1≤t≤n0 1≤s≤k+1max ct s = (k + 1)1 k+1 s=1 (Pp s(f ))0(a) − (2k + 1)u △ (Pt s(f ))0(a). (2.34) 1≤t≤n0 1≤s≤k+1
Từ (2.21) và (2.25) ta có (Pp 1(f ))0(a) = (QIp(1)(f ))0(a) và
(Pp s(f ))0(a) ≥ (QIp(N −k+s)(f ))0(a)
với mọi s ∈ {1 . . . k + 1}. Từ đó theo (2.25) (2.26) ta có q j =1 (Qj (f ))0(a) = N +1 t=1 (QIp(t)(f ))0(a) N +1
≤ (N − k + 1)(QIp(1)(f ))0(a) + (QIp(t)(f ))0(a)
t=N −k+2 k+1 ≤ (N − k + 1)(Pp 1(f ))0(a) + k+1 s=2 (Pp s(f ))0(a) ≤ (N − k + 1) Vì vậy từ (2.34) ta có s=1 (Pp s(f ))0(a). 1 uHY (u) SY (u c) ≥ 1 (k + 1)(N − k + 1) q j =1 (Qj (f ))0(a) Kết hợp với (2.33) ta được − (2k + 1)u △ (Pt s(f ))0(a). 1≤t≤n0 1≤s≤k+1 (N − k + 1)(k + 1) duHY (u) (W (F ))0(a) ≥ (N − k + 1)(k + 1) duHY2 (u)(HY (u) − 1)
SY (u c)
≥ 1
dHY (u)(HY (u) − 1)
q j =1 (Qj (f ))0(a) − (2k + 1)(N − k + 1)(k + 1) △
duHY (u)(HY (u) − 1) 1≤t≤n0 1≤s≤k+1
(Pt s(f ))0(a)
≥ 1
dHY (u)(HY (u) − 1)
q j =1 (Qj (f ))0(a) − (2k + 1)(N − k + 1)(k + 1) △ du 1≤t≤n0 1≤s≤k+1 (Pt s(f ))0(a) với mọi a ∈ ∪qj=1f −1(Qj ).
Từ đó suy ra (N − k + 1)(k + 1) duHY (u) N (r W (F ))0) ≥ 1
dHY (u)(HY (u) − 1)
q j =1 Nf (r Qj ) − (2k + 1)(N − k + 1)(k + 1) △ du 1≤t≤n0 1≤s≤k+1 N (r Pt s(f ))0). Kết hợp với (2.22) ta được (q − (N − k + 1)(k + 1)) Tf (r) ≤ q j =1 Nf (r Qj ) − 1
dHY (u)(HY (u) − 1)
q j =1 Nf (r Qj ) +(N − k + 1)(k + 1)ϵ′ HY (u) Tf (r) + (2k + 1)(N − k + 1)(k + 1) △ du 1≤i≤n0 1≤j ≤k+1 (N (r Pt s(f ))0) + mf (r Pi j )) ≤ H Y (u)(H Y (u) − 1) − 1 HY (u)(HY (u) − 1) q j =1 Nf (r Qj ) + (N − k + 1)(k HY (u) + 1)ϵ′ + (2k + 1)(N − k + 1)(k + 1)du △ Tf (r). (2.35) Với mỗi ϵ > 0 ta chọn u = u0 := [ (2k+1)(N −k+1)2(k+1)2△dϵ ] + 1 và ϵ′ := ϵ (N −k+1)(k+1) − (2k+1)(N −k+1)(k+1)du △ . Khi đó ta có
HY (u0) ≤ k + deg Y uk0
≤ k + dk deg V [(2k + 1)(N − k + 1)2(k + 1)2dk−1 deg V ϵ−1] + 1 = M (chú ý rằng deg Y = △ ≤ dk deg V ). Vì vậy từ (2.35) ta có k (q − (N − k + 1)(k + 1) − ϵ) Tf (r) ≤ M (M − 1) − 1 M (M − 1) q j =1 Nf (r Qj ).
Chương 3
Định lí khơng gian con Schmidt đối với siêu mặt di động giao đa tạp đại số xạ ảnh
Các kết quả trong Chương 3 được viết dựa theo bài báo [1] (trong mục Các cơng trình đã cơng bố liên quan đến luận án).
3.1 Một số kiến thức chuẩn bị
Trong mục này chúng tơi trình bày một số khái niệm và kết quả của Lí thuyết xấp xỉ Diophantine dựa theo [21 26 40 2] để chuẩn bị cho việc phát biểu và chứng minh Định lí khơng gian con Schmidt đối với siêu mặt di động giao đa tạp đại số xạ ảnh ở phần tiếp theo của luận án.
3.1.1 Định giá trên trường số
Cho k là một trường số.
Định nghĩa 3.1.1. Một hàm số thực |.| : k −→ R+ thỏa mãn các tính chất sau được gọi là một định giá trên k và cặp (k |.|) (hay đơn giản là k) được gọi là trường định giá.
(i) |x| = 0 nếu và chỉ nếu x = 0 (ii) |xy| = |x|.|y| với mọi x y ∈ k
Định giá có điều kiện (iii) được thỏa mãn với C = 1 gọi là định giá không Archimedes ngược lại gọi là định giá Archimedes.
Định giá thỏa mãn |x| = 1 với mọi x = 0 và |0| = 0 trên k được gọi là định giá tầm thường.
Định nghĩa 3.1.2. Hai định giá |.|1 và |.|2 được gọi là tương đương nếu tồn tại hằng số c > 0 để |x|1 = |x|c2 với mọi x ∈ k.
Định lí 3.1.3.
(i) Hai định giá |.|1 và |.|2 tương đương khi và chỉ khi điều kiện sau được thỏa mãn
|x|1 < 1 ⇐⇒ |x|2 < 1.
(ii) Với một định giá bất kỳ ln có một định giá tương đương thỏa mãn bất đẳng thức tam giác nghĩa là |x + y| ≤ |x| + |y| với mọi x y ∈ k.
Kí hiệu Mk là tập tất cả các lớp tương đương các định giá không tầm thường trên k và Mk∞ Mk0 tương ứng là tập các lớp tương đương của các định giá
Archimedes và không Archimedes trong Mk . Ta có Mk = Mk0 ∪ Mk∞. Trong trường hợp k = Q là trường số hữu tỉ ta thấy.
Hàm giá trị tuyệt đối thông thường |x| = max{x −x} thỏa mãn Định nghĩa 3.1.1 (iii) với C = 2 nên nó là một định giá Archimedes và gọi là định giá Archimedes chính tắc kí hiệu |.|∞.
Với p là một số nguyên tố và x ∈ Q khi đó x được biểu diễn được duy nhất
a b
đó hàm |.|p xác định một định giá không Archimedes trên Q gọi là định giá p-adic.
Định lí 3.1.4. Mỗi định giá khơng tầm thường trên Q tương đương với hoặc định giá Archimedes chính tắc hoặc một định giá p-adic.
Rõ ràng ta có MQ = {p > 1 p là số nguyên tố} ∪ {∞}.
Trên một trường k tùy ý mỗi định giá v xác định một khoảng cách và do đó xác định một tơpơ trên k. Định lí 3.1.3(i) cho thấy hai định giá là tương đương thành x = pr (r ∈ Z; a b ∈ Z và không chia hết cho p). Đặt |x|p = p−r khi
nếu và chỉ nếu chúng cùng xác định một tôpô trên k. Trường k với khoảng cách xác định bởi v là đầy thì v được gọi là định giá đầy và cặp (k v) (hay đơn giản hơn là k) được gọi là trường định giá đầy. Trường hợp ngược lại (v khơng đầy) ta kí hiệu kv là bao đầy của k ứng với định giá v. Ta có tính chất sau.
Định lí 3.1.5.
(i) Nếu v khác tầm thường thì kv là một trường và v được mở rộng duy nhất tới định giá vˆ trên kv sao cho vˆ(x) = v(x) ∀x ∈ k. Nếu v trên k là không Archimedes thì vˆ trên kv cũng là khơng Archimedes
(ii) Nếu v là khơng Archimedes và k là trường đóng đại số thì kv cũng là trường đóng đại số.
Nếu k′ là một mở rộng trường của k v và v′ tương ứng là các định giá trên
k và k′ sao cho v′|k = v thì ta nói v′ nằm trên v và viết v′|v.
Định lí 3.1.6. Giả sử (k v) là một trường định giá đầy và k′ là trường mở rộng hữu hạn của k. Khi đó mỗi định giá v được mở rộng duy nhất đến định giá v′ trên k′. Hơn nữa (k′ v′) cũng là một trường định giá đầy.
Giả sử v là một định giá khơng Archimedes khơng tầm thường trên k. Kí hiệu vˆ là định giá mở rộng trên bao đầy kv . Theo định lí trên vˆ được mở rộng tới định giá vˆ trên bao đóng đại số kv của kv .
3.1.2 Chuẩn hóa định giá và cơng thức tích
Giả sử trường số k có bậc d. Trên k mỗi định giá v được chuẩn hóa như sau. +) Nếu v là Archimedes.
Gọi {σj }dj=1 là tập các phép nhúng k vào C trên Q (d = [k : Q]). Ngoài các phép nhúng thực (ảnh vào R) các phép nhúng còn lại chia thành các cặp phức liên hợp. Mỗi phép nhúng thực và mỗi cặp nhúng phức liên hợp xác định một lớp định giá
|x|σj := |σj (x)| x ∈ k.
Mỗi định giá Archimedes tương đương với một trong các định giá |.|σj nói trên. Giả sử định giá Archimedes v tương đương với |.|σj với j nào đó. Khi đó ta chuẩn hóa định giá này bởi
dσj d
σj
ở đó dσj = 1 nếu σj là nhúng thực và dσj = 2 nếu σj là nhúng phức. +) Nếu v là khơng Archimedes.
Khi đó v là một mở rộng của một định giá p-adic |.|p trên Q ứng với số nguyên tố p nào đó. Kí hiệu Qp là bao đầy của Q ứng với định giá p - adic |.|p. Với x ∈ k xét tự đồng cấu tuyến tính µx của Qp-khơng gian véc tơ kv cho bởi
µx(y) = xy. Định thức Nkv /Qp (x) của tự đồng cấu tuyến tính này là một phần tử
thuộc Qp và được gọi là chuẩn của x. Khi đó mở rộng bậc dv = [kv : Qp] của v cho bởi
1
|x|v := |Nkv /Qp (x)|pdv
và v được chuẩn hóa bởi
dv 1
∥x∥v := |x|vd = |Nkv /Qp (x)|pd .
Định lí 3.1.7. Dạng chuẩn ∥.∥v của v thỏa mãn các tính chất sau. (i) ∥x∥v ≥ 0 dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0;