3 Định lí khơng gian con Schmidt đối với siêu mặt di động giao đa
3.1.3 cao Logarit và các hàm cơ bản
Với x ∈ k \ {0} độ cao Logarit của x được định nghĩa bởi
h(x) := log+∥x∥v
v∈Mk
trong đó log+∥x∥v = log max{∥x∥v 1}.
Với mỗi x = [x0 : · · · : xM ] ∈ PM (k) là một điểm trong không gian xạ ảnh trên
trường k ta đặt ∥x∥v := max0≤i≤M ∥xi∥v . Hàm độ cao Logarit của x được định nghĩa bởi
h(x) := log∥x∥v . (3.1)
v∈Mk
Do cơng thức tích biểu thức trên khơng phụ thuộc vào cách chọn tọa độ thuần nhất của x ∈ PM (k) và khái niệm này tương ứng với khái niệm hàm đặc trưng trong Lí thuyết Nevanlinna.
Với mỗi số nguyên dương d đặt
Td := (i0 . . . iM ) ∈ NM +1 : i0 + · · · + iM = d .
Giả sử Q là một đa thức thuần nhất bậc d trong k[x0 . . . xM ] có biểu diễn
Q =
I ∈Td aI xI trong đó xI = xi00 . . . xiMM với x = (x0 . . . xM ) và I = (i0 . . . iM ). Đặt ∥Q∥v := maxI ∥aI ∥v . Độ cao Logarit của Q được định nghĩa bởi
h(Q) := log∥Q∥v .
v∈Mk
Với mỗi v ∈ Mk hàm Weil ứng với đa thức Q kí hiệu λQ v được định nghĩa bởi λQ v (x) := log ∥ x ∥ dv · ∥ Q ∥ v ∥Q(x)∥v x ∈ PM (k) sao cho Q(x) = 0.
Trong định nghĩa trên hàm λQ v cũng không phụ thuộc vào cách chọn tọa độ thuần nhất của x ∈ PM (k).
Với S ⊂ Mk là một tập hữu hạn chứa tất cả các lớp định giá Archimedes. Ta gọi là hàm xấp xỉ và hàm đếm ứng với đa thức thuần nhất Q lần lượt kí hiệu
mS (Q x) NS (Q x) và được định nghĩa bởi
mS (Q
Hàm xấp xỉ và hàm đếm định nghĩa như trên tương ứng với khái niệm hàm xấp xỉ và hàm đếm trong Lí thuyết Nevanlinna. Từ cơng thức tích và các định nghĩa trên ta có cơng thức sau tương ứng với Định lí cơ bản thứ nhất trong Lí thuyết Nevanlinna
d.h(x) = mS (Q x) + NS (Q x) + O(1)
với mọi x ∈ PM (k) sao cho Q(x) = 0