Định lí cơ bản thứ hai
Trong suốt thế kỷ 20, các Định lí cơ bản thứ hai chủ yếu được thiết lập cho mục tiêu là các siêu phẳng trong không gian xạ ảnh phức.
Vào năm 1933, Cartan đã mở rộng kết quả của Nevanlinna cho trường hợp một chiều sang trường hợp chiều cao Định lý 1.1.1, hay còn gọi là định lý cơ bản thứ hai của Cartan, khẳng định rằng nếu Chof là một đường cong nguyên không suy biến tuyến tính trong P n (C), thì giả sử H 1, , H q là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát.
P n ( C ) (nghĩa là n + 1 siêu phẳng bất kỳ trong chúng có giao bằng rỗng) Khi đó
Năm 1983, Nochka đã mở rộng kết quả của Cartan sang trường hợp ánh xạ chỉnh hình không hằng bất kỳ Định lý 1.1.2, hay còn gọi là Định lý cơ bản thứ hai của Nochka, cho biết rằng nếu Chof là một đường cong nguyên không hằng trong P n (C) và H 1, , H q là các siêu phẳng tổng quát trong P n (C) không chứa ảnh của f, thì
Định lý cơ bản thứ hai của Nochka dẫn đến hệ quả quan trọng là định lý kiểu Picard cho ánh xạ chỉnh hình vào không gian xạ ảnh Theo nguyên lý Bloch, mỗi định lý kiểu Picard tương ứng với một tiêu chuẩn về họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình Các dạng Bổ đề Zalcman đóng vai trò quan trọng trong việc thực hiện ý tưởng của Bloch.
Năm 1991, Ru-Stoll đã mở rộng kết quả của Cartan, áp dụng cho trường hợp các siêu phẳng di động, trong đó các hệ số trong siêu phẳng được thay thế bằng các hàm chỉnh hình.
Từ đầu thế kỷ 21, các lí thuyết đã đạt được thành tựu quan trọng trong việc thiết lập Định lý cơ bản thứ hai và Định lý không gian con Schmidt cho các siêu mặt Cụ thể, các tác giả Everste-Ferretti và Corvaja-Zannier đã thành công trong việc áp dụng Định lý không gian con Schmidt cho siêu mặt Năm 2004, Ru mở rộng Định lý cơ bản thứ hai của Cartan cho trường hợp siêu mặt Định lý 1.1.3 khẳng định rằng, với một đường cong nguyên không suy biến đại số trong P n (C) và các siêu mặt D 1, , D q ở vị trí tổng quát, thì tồn tại một ε > 0 thỏa mãn điều kiện nhất định.
Các Định lý cơ bản thứ hai liên quan đến siêu mặt di động ở vị trí tổng quát đã được Dethloff-Trần Văn Tấn và Ru thiết lập thành công, đặc biệt cho đường cong nguyên trong đa tạp xạ ảnh Ngoài ra, các Định lý cơ bản thứ hai kiểu Nochka cho siêu mặt cũng đã được Dethloff-Trần Văn Tấn-Đỗ Đức Thái, Lê Giang, Chen-Ru-Yan và Sĩ Đức Quang-Đỗ Phương An nghiên cứu và khẳng định.
Gần đây, Trần Văn Tấn đã thiết lập một dạng mạnh của Định lý cơ bản thứ hai và Định lý Picard cho lớp đường cong nguyên trong không gian xạ ảnh có đạo hàm cầu triệt tiêu Tác giả cũng đã đưa ra cách tiếp cận mới cho bài toán họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình, từ đó xác định duy nhất ánh xạ chỉnh hình Hướng nghiên cứu trong luận án nhằm mở rộng cách tiếp cận này từ trường hợp siêu phẳng sang siêu mặt.
Chương 2 của luận án tập trung vào nghiên cứu Định lý cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên trong đa tạp xạ ảnh với đạo hàm cầu triệt tiêu trên tập ảnh ngược của các siêu mặt mục tiêu Định lý 1.1.4 (N.T.Son - T.V.Tan, [39], 2022) chỉ ra rằng đối với đa tạp V ⊂ P n (C) có chiều k ≥ 1 và các siêu mặt D 1 , , D q ở vị trí N-dưới tổng quát trên V, bội chung nhỏ nhất của các số deg D 1 , , deg D q được ký hiệu là d Đối với đường cong nguyên f trong V, không suy biến đại số, ký hiệu f # là đạo hàm cầu của ánh xạ f và H V là hàm Hilbert của đa tạp V.
1 deg D j N f [κ] (r, D j ) + o(T f (r)), với κ = ∞ nếu H V (d) = 2 và κ = H V (d) − 1 nếu H V (d) ≥ 3.
Dựa trên định lý đã nêu, chúng tôi đã phát triển Định lý Picard như sau: Định lý 1.1.5 (N.T.Son - T.V.Tan, [39], 2022) khẳng định rằng, với các siêu mặt D1, , Dq ở vị trí tổng quát trong Pn(C) với n ≥ 2, nếu d là bội chung nhỏ nhất của deg D1, , deg Dq và tồn tại một đường cong nguyên f trong Pn(C) thỏa mãn điều kiện rằng với mỗi j ∈ {1, , q}, hoặc f(C) nằm trong D j, hoặc f# = 0 trên f^(-1)(D j), thì có thể kết luận rằng q ≤ 3n n+d n.
Sử dụng Định lý Picard và Bổ đề Zalcman, chúng tôi đã thiết lập một tiêu chuẩn về tính Brody cho đường cong nguyên Cụ thể, Định lý 1.1.6 (N.T.Son - T.V.Tan, [39], 2022) chỉ ra rằng, đối với một đường cong nguyên f trong P n (C) với n ≥ 2, nếu các siêu mặt D 1, , D q ở vị trí tổng quát, thì
P n ( C ) sao cho f # bị chặn trên ∪ q j=1 f −1 (D j ) Gọi d là bội chung nhỏ nhất của deg D 1 , , deg D q Khi đó, nếu q > 3n n+d n
− n, thìf # bị chặn trên toàn C, nghĩa là, f là một đường cong Brody.
Định lí không gian con Schmidt
Theo định nghĩa trong từ điển Vojta, Định lý không gian con Schmidt có mối liên hệ với Định lý cơ bản thứ hai Cartan Cụ thể, Định lý 1.2.1 (Định lý không gian con Schmidt) chỉ ra rằng, với k là một trường số và S ⊂ M k là một tập hợp hữu hạn chứa tất cả các định giá Archimedes, nếu có các siêu phẳng H 1, , H q trong P n (k) ở vị trí tổng quát, thì cho bất kỳ ε > 0, điều kiện nhất định sẽ được thỏa mãn.
N S (H j , x), với mọi x thuộc P n (k), ngoài một tập là hợp của hữu hạn các phẳng trong P n (k)
M k là tập hợp tất cả các lớp tương đương của các định giá không tầm thường trên k, trong khi h(x) là hàm độ cao Logarit của x Hàm N S (H j , x) biểu thị số lượng x tương ứng với S và siêu phẳng H j Định lý không gian con Schmidt, liên quan đến Định lý cơ bản thứ hai của Nochka, đã được Ru-Wong thiết lập vào năm 1991.
Năm 1997, Ru-Vojta đã thiết lập Định lý không gian con Schmidt cho trường hợp mục tiêu là các siêu phẳng di động, trong đó hệ số của siêu phẳng là các hàm trên một tập chỉ số Kết quả này tương ứng với Định lý cơ bản thứ hai cho mục tiêu di động Cụ thể, Định lý 1.2.2 nêu rằng, với k là một trường số và S là tập con hữu hạn các định giá của k, bao gồm tất cả các định giá Archimedes, cùng với Λ là tập chỉ số vô hạn và H là họ các siêu phẳng di động trong P M (k) chỉ định bởi Λ, nếu x = [x 0 : : x M ] là một điểm di động, thì các điều kiện nhất định được thỏa mãn.
X không suy biến tuyến tính theo họ siêu phẳng H, có nghĩa là đối với bất kỳ tập con A ⊂ Λ nhất quán tương ứng với họ siêu phẳng H, thì x0 | A, , xM | A là độc lập tuyến tính trên R A,H.
(ii) Giả sử với mỗi j ∈ {1, , q}, ta có h(H j (α)) = o(h(x(α))), theo nghĩa, với mọi δ > 0 bất kỳ, h(H j (α)) ≤ δh(x(α)) với mọi α ∈ Λ, ngoại trừ một tập con hữu hạn.
Khi đó, với mỗi ε > 0, tồn tại tập con vô hạn chỉ số A ⊂ Λ sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi α ∈ A,
X j∈K λ H j (α),v (x(α)) ≤ (M + 1 + ε)h(x(α)). Ở đây, giá trị lớn nhất được lấy trên tất cả các tập con K của {1, , q}, #K =
M + 1 sao cho các siêu phẳng H j (α), j ∈ K, là độc lập tuyến tính trên k với mỗi α ∈ Λ Hàm Weil λ H j (α),v tương ứng với đa thức H j (α) Định lý không gian con Schmidt liên quan đến Định lý cơ bản thứ hai của Dethloff-Trần Văn Tấn đã được Lê Giang và Chen-Ru-Yan thiết lập vào năm trước.
Năm 2015, Sĩ Đức Quang đã nghiên cứu các định lý cơ bản thứ hai và định lý không gian con Schmidt, nhằm mục tiêu áp dụng cho các siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát trong không gian xạ ảnh Các định lý này được xem xét trong bối cảnh siêu mặt di động trong không gian xạ ảnh.
Nghiên cứu thứ hai trong luận án này tập trung vào việc thiết lập Định lý không gian con Schmidt cho trường hợp siêu mặt di động trong đa tạp đại số xạ ảnh, tương ứng với Định lý cơ bản thứ hai của Dethloff-Trần Văn Tấn.
Chương 3 của luận án trình bày hướng nghiên cứu với các kết quả chính như sau: Định lý 1.2.3 (N.T.Son-T.V.Tan-N.V.Thin [40], 2018) nêu rõ rằng cho k là một trường số và S ⊂ M k là một tập con hữu hạn chứa tất cả các định giá Archimedes Xét x = [x 0 : ã ã ã : x M ] : Λ → V là một điểm di động, với điều kiện rằng họ các siêu mặt Q ở vị trí tổng quát trên V, và x là V-không suy biến đại số tương ứng với Q Các khái niệm này được giải thích chi tiết trong Chương 3.
(ii) h(Q j (α)) = o(h(x(α))) với mọi α ∈ Λ và j = 1, , q (nghĩa là với mọi δ > 0, h(Q j (α)) ≤ δh(x(α)) với mọi α ∈ Λ, ngoài một tập con hữu hạn).
Khi đó, với mỗi ε > 0, tồn tại tập con vô hạn chỉ số A ⊂ Λ sao cho
Kết quả nghiên cứu cho thấy rằng đối với mọi α ∈ A, bất đẳng thức 1 d j λ Q j (α),v (x(α)) ≤ (n + 1 + ε)h(x(α)) được xác lập Đặc biệt, khi V = P n (k), kết quả này trùng với những gì đã được Lê Giang [18] và Chen-Ru-Yan [8] công bố Trong tài liệu [28], Sĩ Đức Quang đã mở rộng kết quả của Lê Giang và Chen-Ru-Yan từ trường hợp siêu mặt ở vị trí tổng quát sang vị trí dưới tổng quát Bên cạnh đó, Sĩ Đức Quang cũng đã đề xuất kỹ thuật ước lượng để quy trường hợp các siêu mặt mục tiêu ở vị trí dưới tổng quát về trường hợp các siêu mặt ở vị trí tổng quát Kết hợp kỹ thuật của chúng tôi với kỹ thuật của Sĩ Đức Quang, bất đẳng thức trong định lý trên có thể được thay thế bằng một bất đẳng thức mới trong trường hợp họ các siêu mặt Q ở vị trí m-dưới tổng quát trên V, nghĩa là tại hầu hết các phần tử thuộc tập chỉ số, ngoài một tập hữu hạn chỉ số, m + 1 siêu mặt bất kỳ trong họ Q đều có giao bằng rỗng trên V.
Khi V = P n (k) , bất đẳng thức trên chính là kết quả của Sĩ Đức Quang [28].
Chúng tôi tin rằng, trong tương lai, các đánh giá trong Định lí cơ bản của Nochka và Eremenko-Sodin về siêu phẳng và siêu mặt ở vị trí tổng quát sẽ có thể được cải thiện đáng kể, thay thế cho những đánh giá hiện tại trong Định lí cơ bản thứ hai tương ứng.
Phương pháp giải quyết vấn đề của chúng tôi cho trường hợp đa tạp xạ ảnh có sự khác biệt rõ rệt so với kết quả của Lê Giang.
Chen-Ru-Yan và Sĩ Đức Quang đã chỉ ra rằng trong trường hợp không gian xạ ảnh, với đa tạp xạ ảnh tổng quát, vành tọa độ không nhất thiết phải là vành Cohen-Macaulay, khác với trường hợp đặc biệt của không gian xạ ảnh.
Chương 2 Định lí cơ bản thứ hai đối với đường cong nguyên có đạo hàm cầu triệt tiêu trên tập tạo ảnh của một mục tiêu
Chương này được viết dựa trên kết quả của các bài báo [2] và [3] (trong mụcCác công trình đã công bố liên quan đến luận án).
Một số kiến thức chuẩn bị
Các hàm cơ bản trong Lí thuyết Nevalinna
Định nghĩa 2.1.1 (Hàm đếm của một divisor) Cho ν là một divisor trên mặt phẳng phức C Hàm đếm của ν được định nghĩa bởi
Với k là một số nguyên dương (hoặc k = +∞), hàm đếm của ν với bội được ngắt bởi k được định nghĩa bởi
Khi k = +∞, để đơn giản ta bỏ đi kí hiệu [k] trong hàm đếm, như vậy
Cho f là một hàm phân hình trên C, với kí hiệu (f) 0 là divisor không điểm của f Định nghĩa N f (r) := N (r, (f) 0 ) và N f [k] (r) := N [k] (r, (f) 0 ) thể hiện hàm đếm các không điểm của f với bội được tính đầy đủ và bội được ngắt bởi k Theo Định lý 2.1.2, được gọi là Công thức Jensen cho hàm phân hình, nếu f là một hàm phân hình không đồng nhất 0 và ∞ trên C, thì với mọi r > 1, ta có các kết quả quan trọng liên quan đến số lượng không điểm của hàm này.
0 log|f (e iθ )|dθ. b) Các hàm cơ bản cho ánh xạ chỉnh hình trong không gian xạ ảnh.
Cho f : C −→ P n (C) là ánh xạ chỉnh hình, với một mục tiêu xạ ảnh cố định và biểu diễn rút gọn (f 0 : : f n) tương ứng Gọi D là siêu mặt trong P n (C) được xác định bởi đa thức thuần nhất Q(x 0 , , x n) ∈ C[x 0 , , x n] với deg Q = deg D Giả sử D không chứa ảnh của f, tức là f(C) ̸⊂ D hay Q(f) := Q(f 0 , , f n) ̸≡ 0 Định nghĩa 2.1.3 nêu rõ hàm đếm các giao điểm của siêu mặt D với ảnh của f có bội được ngắt bởi số nguyên dương k (hoặc +∞).
Khi k = +∞ ta bỏ kí hiệu [k] trong hàm đếm. Định nghĩa 2.1.4 Hàm đặc trưng của ánh xạ f được định nghĩa bởi
0 log∥f (e iθ )∥dθ, (r > 1), ở đó chuẩn được tính theo một trong hai dạng tương đương sau
0≤i≤n {|f 0 |, , |f n |}. Định nghĩa 2.1.5 Hàm xấp xỉ của ánh xạ f ứng với siêu mặt D được định nghĩa bởi m f (r, D) := 1
|Q(f (re iθ ))| dθ, ở đó ∥Q∥ là tổng của mô-đun các hệ số của Q.
Từ các định nghĩa về hàm đếm và hàm đặc trưng, cùng với công thức Jensen, ta có thể thiết lập Định lý cơ bản thứ nhất Cụ thể, Định lý 2.1.6 xác định rằng với một ánh xạ chỉnh hình f từ C vào P n (C) và D là một siêu mặt trong P n (C) không chứa ảnh của f, thì có đẳng thức: deg D.T f (r) = N f (r, D) + m f (r, D) + O(1).
Nhận xét 2.1.7 Do m f (r, D) ≥ 0 nên từ đẳng thức trong định lí trên ta thu được bất đẳng thức sau, cũng được gọi là Định lí cơ bản thứ nhất
Toán tử Wronski và Bổ đề đạo hàm Logarit cho ánh xạ chỉnh hình
Để mở rộng Bổ đề đạo hàm Logarit cho trường hợp ánh xạ chỉnh hình, cần đưa ra định nghĩa về toán tử Wronski Cụ thể, với g₀, , gₙ là các hàm phân hình trên C, toán tử Wronski của chúng, ký hiệu là W(g₀, , gₙ), được xác định theo một quy tắc nhất định.
Nhận xét Toán tử Wronski có các tính chất sau.
1) W (hg 0 , , hg n ) = h n+1 W (g 0 , , g n ) với h là một hàm phân hình tùy ý.
2) W (H 0 (g 0 , , g n ), , H n (g 0 , , g n )) = det(a ji ).W (g 0 , , g n ), với mọi dạng tuyến tớnh H j (x 0 , , x n ) = a j0 x 0 + ã ã ã + a jn x n ∈C [x 0 , , x n ], j = 0, 1, , n.
Ánh xạ chỉnh hình f : C −→ P n (C) có biểu diễn rút gọn (f 0 : ã ã ã : f n ) và được xác định bởi toán tử Wronski W(f) := W(f 0, , f n ) Khi thay đổi biểu diễn rút gọn bằng một biểu diễn khác (uf 0 : ã ã ã : uf n ) với u là một hàm nguyên không có khuyết điểm, toán tử Wronski sẽ thay đổi một hệ số nhân là u^(n+1) Nếu mục tiêu xạ ảnh trong P n (C) được thay bằng một mục tiêu khác, toán tử Wronski sẽ thay đổi một hằng số nhân bằng định thức của ma trận đổi cơ sở Mặc dù sự phụ thuộc vào biểu diễn rút gọn, các kết luận về toán tử Wronski vẫn áp dụng cho mọi biểu diễn rút gọn Ánh xạ chỉnh hình f được gọi là suy biến tuyến tính nếu tồn tại siêu phẳng H trong P n (C) chứa ảnh của f; ngược lại, f được coi là không suy biến tuyến tính.
Mệnh đề sau cho ta một dấu hiệu nhận biết sự suy biến tuyến tính của ánh xạ chỉnh hình.
Mệnh đề 2.1.10 khẳng định rằng ánh xạ chỉnh hình f: C → P n (C) sẽ suy biến tuyến tính khi và chỉ khi W(f) ≡ 0 Định nghĩa 2.1.11 cho biết họ các siêu mặt D1, , Dq (với q ≥ n + 1) được coi là ở vị trí tổng quát trong P n (C) nếu bất kỳ bộ n + 1 siêu mặt nào trong chúng đều có giao bằng rỗng.
+ Từ định nghĩa trên suy ra, họ các siêu phẳng H 1 , , H q (q ≥ n + 1) trong
P n ( C ) được xác định là ở vị trí tổng quát khi và chỉ khi tất cả các ma trận vuông con cấp n + 1 của ma trận hệ số trong các phương trình xác định siêu phẳng đều có định thức khác 0.
Nếu số siêu mặt không vượt quá n và n ≤ q, thì nếu tồn tại n + 1 − q siêu mặt D q+1, , D n+1 sao cho giao của các siêu mặt D 1, , D n+1 là rỗng, ta nói rằng các siêu mặt D 1, , D q ở vị trí tổng quát.
Ta có Bổ đề đạo hàm Logarit mở rộng sau cho ánh xạ chỉnh hình vào không gian xạ ảnh.
Bổ đề 2.1.12 (Bổ đề đạo hàm Logarit cho ánh xạ chỉnh hình) Cho f :C −→
P n ( C ) là một không gian đại số hình học không suy biến, trong đó (f 0 : ã ã ã : f n ) là biểu diễn rút gọn của hàm f Với H 0, , H n là n + 1 siêu phẳng tổng quát trong P n ( C ), ta có m r, W (f).
Công thức Jensen rất hữu ích trong việc tính toán hàm đếm, nhưng có một hạn chế là chỉ áp dụng cho trường hợp hàm đếm không bị ngắt bội Để thiết lập Định lý cơ bản thứ hai cho hàm đếm có ngắt bội, người ta thường sử dụng một mệnh đề được coi là công thức Jensen mở rộng.
Mệnh đề 2.1.13 Cho f : C −→ P n ( C ) là một ánh xạ chỉnh hình không suy biến tuyến tính và q siêu phẳng H 1 , , H q (q ≥ n + 1) ở vị trí tổng quát trong
Họ siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát trên đa tạp xạ ảnh và một số khái niệm liên quan
và một số khái niệm liên quan
Cho V là một đa tạp xạ ảnh k chiều trong P^n(C), với D_1, , D_q (q ≥ k + 1) là các siêu mặt trong P^n(C) Giả sử f là một đường cong nguyên trên V, được biểu diễn dưới dạng rút gọn f = (f_0 : : f_n) trong P^n(C) Ký hiệu I(V) là ideal nguyên tố trong C[x_0, , x_n] xác định V, trong khi C[x_0, , x_n]_m là không gian vectơ của các đa thức thuần nhất bậc m (bao gồm cả đa thức 0) trong C[x_0, , x_n] Đặt I(V)_m := C[x_0, , x_n]_m ∩ I(V).
Trong không gian vectơ C-không gian V, các siêu mặt D1, , Dq (với q ≥ k + 1) được xem là ở vị trí tổng quát trên V nếu bất kỳ tập hợp nào gồm k + 1 siêu mặt trong số đó đều không có điểm chung trên V Hơn nữa, với hai số nguyên q và N thỏa mãn điều kiện q ≥ N + 1 và N ≥ k, các siêu mặt D1, , Dq trong Pn(C) được gọi là ở vị trí N-dưới tổng quát trên V.
Trong không gian V, giao của V với tập hợp các điểm D j i là rỗng, tức là V ∩ (∩ N i=0 D j i ) =∅, với mọi 1 ≤ j 0 < ã ã ã < j N ≤ q Đường cong nguyên f trong V được xem là suy biến đại số nếu tồn tại một siêu mặt đại số trong P n (C) chứa ảnh của f nhưng không chứa V Hàm Hilbert H V của đa tạp V là hàm số được định nghĩa bởi một quy trình cụ thể.
Trọng Hilbert thứ m của không gian véc tơ V, ký hiệu là S V (m, c) với c = (c0, , cn) ∈ R n+1, được định nghĩa là giá trị lớn nhất của biểu thức max a i c Giá trị này được tính trên tập hợp tất cả các đơn thức x a1, , x aHV(m) mà tạo thành một cơ sở cho không gian véc tơ C[x0, , xn] m.
I(V ) m và a i c là tích vô hướng chính tắc.
Đạo hàm cầu của ánh xạ chỉnh hình
Kí hiệu Π : C n+1 \ {0} −→ P n (C) là ánh xạ chiếu chính tắc, trong đó nếu ω = Π(ζ) với ζ = (ζ 0 , , ζ n ), ta có thể viết ω = (ζ 0 : ã ã ã : ζ n ) và gọi ζ j là các tọa độ thuần nhất của ω Metric Fubini - Study trên P n (C) trong hệ tọa độ thuần nhất được xác định bởi công thức ds 2 = ⟨dζ, dζ⟩ ⟨ζ, ζ⟩ − | ⟨ζ, dζ⟩ | 2.
Trong không gian C n+1, ký hiệu ⟨., ⟩ đại diện cho tích Hermitian chính tắc Đạo hàm của đường cong chỉnh hình f trong P n (C) theo metric Fubini-Study được ký hiệu là f #, gọi là đạo hàm cầu của f Nếu f có biểu diễn rút gọn (f 0, , f n), thì f # 2.
|f i f j ′ − f j f i ′ | 2 (|f 0 | 2 + ã ã ã + |f n | 2 ) 2 Để ý rằng, khi n = 1, ta có f # = |f ′ |
Họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình và tính Brody của đường cong nguyên
Đường cong nguyên được định nghĩa là một họ F các ánh xạ chỉnh hình từ đa tạp phức X vào đa tạp phức Y, nếu nó là compact tương đối trong không gian tôpô compact-mở Hol(X, Y) của các ánh xạ chỉnh hình từ X vào Y.
Cho D là miền trong mặt phẳng phức C, và mỗi ánh xạ chỉnh hình f : D −→ P n (C) được gọi là đường cong chỉnh hình trong không gian xạ ảnh P n (C) Khi D = C, f được xem là đường cong nguyên trong P n (C) Đường cong nguyên f được định nghĩa là đường cong Brody nếu đạo hàm cầu của nó bị chặn.
Kết quả sau của Eremenko cho ta mối liên hệ giữa tính Brody của đường cong với điều kiện chuẩn tắc của họ các ánh xạ chỉnh hình.
Mệnh đề 2.1.21 (Eremenko [14]) Đường cong nguyên f là đường cong Brody khi và chỉ khi F := {f a (z) = f (z + a) : a ∈C } là một họ chuẩn tắc.
Định lí cơ bản thứ hai và Định lí Picard cho đường cong nguyên trong không gian xạ ảnh với đạo hàm cầu triệt tiêu trên tập tạo ảnh của các siêu mặt mục tiêu
Trọng Nochka ứng với một hệ vectơ
Kết quả dưới đây được trình bày theo tài liệu [17] và sẽ được sử dụng để chứng minh Định lý cơ bản thứ hai kiểu Nochka cho siêu mặt trong phần tiếp theo.
Bổ đề 2.2.1 khẳng định rằng trong không gian vectơ phức k + 1 chiều S, với các số nguyên dương N và q thỏa mãn N ≥ k và q ≥ 2N − k + 1, nếu tập hợp các vectơ v 1 , , v q đều khác không và mỗi tập con N + 1 vectơ từ hệ này có hạng k + 1, thì tồn tại các hằng số ω 1 , , ω q và Θ thỏa mãn điều kiện 0 < ω j ≤ Θ ≤ 1 cho mọi j từ 1 đến q.
Trong Bổ đề 2.2.1, chúng ta có các bất đẳng thức 2N k+1 −k+1 ≤ Θ ≤ N+1 k+1 Nếu R là tập con của {1, , q} với #R = N + 1, thì tổng P j∈R ω j không vượt quá k + 1 Định nghĩa 2.2.2 chỉ ra rằng các hằng số ω j (với 1 ≤ j ≤ q) và Θ thỏa mãn các tính chất từ (i) đến (iv) được gọi là trọng số Nochka và hằng số Nochka tương ứng với hệ vectơ v j.
Bổ đề 2.2.3 khẳng định rằng, trong không gian vectơ phức k + 1 chiều S, với các số nguyên dương N ≥ k và q ≥ 2N − k + 1, nếu {v 1 , , v q } là hệ các vectơ khác không, thì mọi tập con gồm N + 1 vectơ của hệ này đều có hạng k + 1 Đặt ω 1 , , ω q là các trọng số Nochka tương ứng với hệ vectơ Với các hằng số thực không âm E 1 , , E q, cho mỗi tập con R của {1, , q} với #R = N + 1, tồn tại một tập con R ′ ⊂ R sao cho {v j , j ∈ R ′ } tạo thành một cơ sở của S.
2.2.2 Định lí cơ bản thứ hai kiểu Nochka cho siêu mặt và Định lí Picard
Định lý cơ bản thứ hai kiểu Nochka, được trình bày trong phần Tổng quan, là kết quả quan trọng trong nghiên cứu của chúng tôi Theo Định lý 2.2.4 (N.T.Son - T.V.Tan, [39], 2022), cho V ⊂ P n (C) là một đa tạp với chiều k ≥ 1, và D 1 , , D q là các siêu mặt trong P n (C) ở vị trí N-dưới tổng quát trên V Gọi d là bội chung nhỏ nhất của các số deg D 1 , , deg D q Nếu f là một đường cong nguyên trong V, không suy biến đại số và V ̸⊂ D j (j = 1, , q), với f # = 0 trên ∪ q j=1 f −1 (D j ), thì ta có q − (2N − k + 1)H V (d) k + 1.
1 deg D j N f [κ] (r, D j ) + o(T f (r)), ở đó, κ = ∞ nếu H V (d) = 2 và κ = H V (d) − 1 nếu H V (d) ≥ 3.
Để chứng minh, với mỗi j thuộc tập {1, , q}, ta định nghĩa G j ∈ C [x 0 , , x n ] là đa thức thuần nhất xác định D j, với deg G j = deg D j Đặt Q j = G d deg D j, ta có deg Q j = d cho mọi j thuộc tập {1, , q} Giả sử (f 0, , f n) là một biểu diễn rút gọn của f.
N [p] (r, (Q j (f )) 0 ) ≤ d deg D j N f [p] (r, D j ), (2.1) trong đó p là một số nguyên hoặc vô hạn.
Kí hiệu V := C [x I(V 0 , ,x ) n ] d d Do V ̸⊂ D j nên ta có Q 1 , , Q q là các véc tơ khác không trong V Với mỗi R ⊂ {1, , q}, #R = N + 1, vì (∩ j∈R D j ) ∩ V =∅ nên ta có
{Q j , j ∈ R}có hạng không nhỏ hơnk + 1trong C-không gian véc tơV (2.2)
Kí hiệuE là tập hợp tất cả các tập conJ ⊂ {1, , q 0 }sao cho1 ≤ #J ≤ k+1và các véc tơ Q j , j ∈ J là độc lập tuyến tính trong V Khi đó ∪ E∈E E = {1, , q 0 }.
Dễ thấy, tồn tại tập con {v 1 , , v H V (d)−k−1 } ⊂ C [x 0 , , x n ] d sao cho với mọi
Trong không gian vector V, các véc tơ v₁, , vₕₕ(d)−k−₁ và Qj (j ∈ J) là độc lập tuyến tính Nếu Hₕ(d) = k + 1, ta có thể chọn {v₁, , vₕₕ(d)−k−₁} = ∅ Kí hiệu v₁, , vₕₕ(d)−k−₁ là không gian con của V được sinh bởi các véc tơ này Khi đó, Q₁, , Qq₀ là các véc tơ khác không trong không gian véc tơ (k + 1) chiều V.
Hơn nữa, theo (2.2), với mỗi R ⊂ {1, , q 0 } mà #R = N + 1, tồn tại tập con R ′ ⊂ R,
#R ′ = k + 1 sao cho Q j , j ∈ R ′ lập thành một cơ sở trong V v 1 , ,v HV (d)−k−1
Theo Bổ đề 2.2.1 và Bổ đề 2.2.3, tồn tại các trọng số và hằng số Nochka ω 1 , , ω q 0 , Θ ứng với hệ các véc tơ Q 1 , , Q q 0 trong V v 1 , ,v HV (d)−k−1
Xét các đa thứcP 1 , , P H V (d) trongC [x 0 , , x n ] d sao cho chúng tạo thành một cơ sở củaV =
I(V ) d Kí hiệu W là toán tử Wronski củaP 1 (f 0 , , f n ), , P H V (d) (f 0 , , f n ).
Do f không suy biến đại số nên W ̸≡ 0.
Mặt khác, do các siêu mặt D 1 , , D q 0 ở vị trí N-dưới tổng quát trên V nên tồn tại hằng số dương c sao cho với mọi J ⊂ {1, , q}, #J = N + 1, và với mọi z ∈C , ta có max j∈J |Q j (f(z)| ≥ c∥f (z)∥ d
Với mỗi z ∈ C, ta lấy K z ⊂ {1, , q 0 }, #K z = q 0 − n − 1 sao cho |Q j (f (z))| ≥ c∥f (z)∥ d với mọi j ∈ K z , và đặt J z := {1, , q 0 } \ K z Khi đó, tồn tại các hằng số dương c 1 , c 2 sao cho với mọi z ∈C log
Trong bài viết này, chúng ta xem xét tổng mô-đun của các hệ số của Q j, ký hiệu là ∥Q j ∥ Theo Bổ đề 2.2.3, có một tập con T z thuộc J z với số phần tử #T z = k + 1, sao cho các đa thức Q j (với j thuộc T z) tạo thành một cơ sở cho không gian V v 1 , ,v HV (d)−k−1.
Vì P 1, , P H V (d) là một cơ sở của C [x I(V 0 , ,x ) n ] d d và các Q j, j ∈ T z độc lập tuyến tính trong C [x I(V 0 , ,x ) n ] d d, nên tồn tại một tập con τ z ⊂ {1, , H V (d)} với #τ z = H V (d) − (k + 1) sao cho P i, Q j (i ∈ τ z, j ∈ T z) lập thành một cơ sở của C [x I(V 0 , ,x ) n ] d d Theo (2.3), có một hằng số dương c 3 sao cho với mọi z ∈ C, ta có log.
Trong đó, tổng cuối cùng được lấy trên tất cả các cặp (T, τ ) thỏa mãn các điều kiện sau i) T ⊂ {1, , q 0 }, #T = k + 1, và Q j , j ∈ T là độc lập tuyến tính trong
I(V ) d ; ii) τ ⊂ {1, , H V (d)}, #τ = H d (V ) − (k + 1) và P i , Q j (i ∈ τ, j ∈ T) lập thành một cơ sở của C [x I(V 0 , ,x ) n ] d d
Lấy tích phân hai vế của (2.4) rồi sử dụng các Bổ đề 2.2.1, Bổ đề Jensen và
Bổ đề đạo hàm Logarit, ta được q 0
T f (r) − o(T f (r)) (2.5) Để ước lượng vế trái của (2.5) ta xét tùy ý một điểm a ∈ ∪ q j=1 0 f −1 (D j ).
Do D 1 , , D q 0 ở vị trí N-dưới tổng quát nên tồn tại tập con R a ⊂ {1, , q 0 },
#R a = N + 1, sao cho f(a) ̸∈ D j với mọi j ∈ {1, , q 0 } \ R a Khi đó,
(Q j (f )) 0 (a) = 0 (2.6) với mọi j ∈ {1, , q 0 } \ R a Theo Bổ đề 2.2.3, tồn tại tập con {j 0 , , j k } ⊂ R a sao cho Q j 0 , , Q j k lập thành một cơ sở của V v 1 , ,v HV (d)−k−1 và q 0
Kí hiệu W 1 là toán tử Wronski của v 1 (f 0 , , f n ), , v H V (d)−k−1 (f 0 , , f n ),
Q j 0 (f 0 , , f n ), , Q j k (f 0 , , f n ) Vì v 1 , , v H V (d)−k−1 , Q j 0 , , Q j k là cơ sở của
V = C [x I(V 0 , ,x ) n ] d d nên có hằng số c khác không sao cho
Theo giả thiết f # (a) = 0 nên ta có
Xét hai trường hợp sau.
Trường hợp 1.H V (d) = 2(khi đód = k = 1vàW 1 là Wronski củaQ j 0 (f ), Q j 1 (f)).
Với mỗi j ∈ {1, , q 0 }, nếu Q j (f(a)) = 0 thì theo (2.8) ta có (Q j (f)) ′ (a) = 0.
Vì vậy, với mỗi j ∈ {1, , q 0 }, ta có
Từ (2.6), (2.9) và Bổ đề 2.2.1, (iv), với bất kỳ a ∈ ∪ q j=1 f −1 (D j ), ta có q
Do đó, từ Θ ≥ ω j , ta có q − (2N − k + 1)H V (d) k + 1
Trường hợp 2 H V (d) ≥ 3. Để thuận tiện, ta đặt v H V (d)−k+i := Q j i , i = 0, 1, , k Theo (2.8) và công thức Euler, ta có
Theo định lí khai triển Laplace, ta có
(−1) t+ℓ v t (f)(v ℓ (f)) ′ − v ℓ (f )(v t (f )) ′ det W t,ℓ (2.13) trong đó W (t,ℓ) là ma trận thu được từ ma trận v i (f ) (s)
1≤s+1,i≤H V (d) bằng cách bỏ đi hai hàng đầu tiên và các cột thứ t, ℓ Với mỗi 1 ≤ t < ℓ ≤ H V (d), rõ ràng ta có (det W (t,ℓ) ) 0 (a) ≥
Bây giờ ta chứng minh với mọi 1 ≤ t ̸= ℓ ≤ H V (d) thì v t (f)v ′ ℓ (f ) − v ℓ (f )v t ′ (f )
Nếu (v t (f )) 0 (a) ≤ H V (d) − 1, (v ℓ (f )) 0 (a) ≤ H V (d) − 1, thì vế phải của (2.15) bằng 1, nhưng theo (2.12) vế trái của (2.15) không nhỏ hơn 1.
Nếu (v t (f )) 0 (a) ≥ H V (d) hoặc (v ℓ (f)) 0 (a) ≥ H V (d),không mất tính tổng quát, giả sử (v t (f)) 0 (a) ≥ H V (d) Do, H V (d) ≥ 3, ta có v t (f)v ℓ ′ (f) − v ℓ (f)v ′ t (f )
Từ (2.6), (2.7), (2.16), và Bổ đề 2.2.1, (iv), với mỗi a ∈ ∪ q j=1 f −1 (D j ), ta có q
Kết hợp với (2.1), (2.5) và bởi ω j ≤ Θ (Bổ đề 2.2.1), ta được d q − (2(N − k + 1)H V (d)
Từ Định lý cơ bản thứ hai, chúng tôi đã thiết lập Định lý Picard cho lớp các đường cong nguyên có đạo hàm cầu triệt tiêu trên tập tạo ảnh của các siêu mặt ở vị trí tổng quát Định lý này có vai trò quan trọng trong việc xác định tiêu chuẩn nhận biết đường cong Brody Cụ thể, Định lý 2.2.5 (N.T.Son - T.V.Tan, [39], 2022) nêu rằng, cho các siêu mặt D1, , Dq trong Pn(C) với n ≥ 2, nếu d là bội chung nhỏ nhất của deg D1, , deg Dq, và tồn tại đường cong nguyên f khác hằng trong Pn(C) sao cho với mỗi j ∈ {1, , q}, hoặc f(C) ⊂ Dj, hoặc f# = 0 trên f^(-1)(Dj), thì điều kiện q ≤ 3n n+d n được thỏa mãn.
Gọi V là đa tạp đại số nhỏ nhất trong P n (C) chứa f(C), với k := dim V ≥ 1 Giả sử f(C) không nằm trong D j với mọi j ∈ {1, , q 0 } và f(C) thuộc D j với mọi j ∈ {q 0 + 1, , q}, trong đó q 0 ≤ q Do D 1, , D q ở vị trí tổng quát trong P n (C), ta có điều kiện q − q 0 + k ≤ n, và D 1, , D q 0 ở vị trí n − (q − q 0)-dưới tổng quát trên V.
Trường hợp 1 H V (d) = 2 (khi đó d = k = 1). Áp dụng Định lí 2.2.4, ta có q 0 − 4(n − (q − q 0 ))
Lấy điểmb = (b 0 : ã ã ã : b n ) ∈ V và đặtB b := {(c 0 , , c n ) ∈C n+1 : c 0 b 0 +ã ã ã+c n b n = 0}.Do C z , B b là các không gian véc tơ con n chiều trong C n+1 và do ∪ q j=1 0 f −1 (D j ) nhiều nhất là đếm được nên tồn tại
Đặt γ₀ = c₀x₀ + ã + γₙxₙ ∈ C[x₀, , xₙ]¹ Khi γ₀ không đồng nhất với 0 trên V, tồn tại γ₁, , γₖ trong C[x₀, , xₙ]¹ sao cho γ₀, , γₖ không có điểm chung trên V, với điều kiện V bất khả quy và dim V = k Do cách chọn (c₀, , cₙ), ta có
{z : γ 0 (f 0 (z), , f n (z)) = 0} ∩ (∪ q j=1 0 f −1 (D j )) =∅ (2.18) Đặt F := (γ 0 (f ) : ã ã ã : γ k (f )) :C −→ P k ( C ) Khi đú, F khụng suy biến tuyến tớnh và T F (r) = T f (r) + O(1) Do f # triệt tiêu trên ∪ q j=1 0 f −1 (D j ) nên ta có
Vì vậy, với mỗi z ∈ ∪ q j=1 0 f −1 (D j ), ta có
(2.19) Lại do F không suy biến tuyến tính nên tồn tại t ∈ {1, , k} sao cho det γ 0 (f ) γ t (f ) (γ 0 (f)) ′ (γ t (f)) ′
Từ Định lí cơ bản thứ nhất và Bổ đề đạo hàm Logarit của Lí thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình dễ suy ra
Mặt khác, với mỗiz 0 ∈C , do D 1 , , D q 0 ở vị trín − (q − q 0 )-dưới tổng quát trên
V nên có nhiều nhất n − (q − q 0 ) siêu mặt trong số chúng đi qua f(z 0 ) Vì vậy, từ (2.18) và (2.20), ta có q 0
Kết hợp với Định lí 2.2.4, ta có q 0 − (2(n − q + q 0 ) − k + 1)H V (d) k + 1
− n. Định lí 2.2.5 được chứng minh.
Một tiêu chuẩn Brody cho đường cong nguyên
Theo Định lý Picard đã trình bày trong phần Tổng quan, cùng với các Bổ đề Zalcman, chúng tôi đã thiết lập được tiêu chuẩn Brody cho đường cong nguyên, được thể hiện qua Định lý 2.2.8.
Bổ đề 2.2.6 (Aladro-Krantz [5], Định lí 3.1) khẳng định rằng, cho miền D trong C n và đa tạp phức Hermite compact (M, E), họ F ⊂ Hol(D, M) không chuẩn tắc trên D nếu và chỉ nếu tồn tại tập con compact K của D cùng với các dãy {z k} ⊂ K, {f k} ⊂ F, {ρ k} ⊂ R với ρ k → 0 +, và {ξ k} ⊂ C n với ∥ξ k∥ = 1 Khi đó, hàm g k (ζ) := f k (z k + ρ k ξ k ζ), với ζ ∈ C, sẽ hội tụ đều trên các tập con compact của C tới một đường cong nguyên khác hằng g.
Bổ đề trên được phát biểu lại cho trường hợp miền D là C như sau.
Bổ đề 2.2.7 Cho F là một họ các ánh xạ chỉnh hình từ C vào P n ( C ) Nếu họ
Nếu không có chuẩn tắc, tồn tại các dãy {z k } ⊂ C với z k → z 0 ∈ C, {f k } ⊂ F và {ρ k } ⊂ R với ρ k → 0 +, sao cho g k (ζ) := f k (z k + ρ k ζ) hội tụ đều trên các tập con compact của C đến ánh xạ chỉnh hình khác hằng g từ C vào P n (C) Định lý 2.2.8 (N.T.Son - T.V.Tan, [39], 2022) chỉ ra rằng, cho f là một đường cong nguyên trong P n (C) với n ≥ 2, nếu các siêu mặt D 1, , D q ở vị trí tổng quát trong P n (C) sao cho f # bị chặn trên ∪ q j=1 f −1 (D j), thì f là một đường cong Brody khi q > 3n/(n+d).
− n, trong đó d là bội chung nhỏ nhất của deg D 1 , , deg D q
Giả sử f là một hàm không phải đường cong Brody, ta có thể định nghĩa một biểu diễn rút gọn (f 0, , f n) cho f Theo Mệnh đề 2.1.21, tập hợp F := {f a (z) := f (a + z) : a ∈ C} là không chuẩn tắc Bổ đề 2.2.7 chỉ ra rằng tồn tại các dãy {z k} trong C với z k → z 0 ∈ C, cùng với các dãy {a k} trong C và {ρ k} trong R với ρ k → 0 +, sao cho hàm g k (ζ) := f a k (z k + ρ k ζ) hội tụ đều trên các tập compact của C đến một ánh xạ chỉnh hình khác hằng g từ C vào P n (C).
Đối với mỗi j 0 ∈ {1, , q} thỏa mãn g(C) ̸⊂ D j 0, chúng ta sẽ chứng minh rằng g # (ξ) = 0 cho mọi ξ ∈ g −1 (D j 0) Cụ thể, xét một điểm bất kỳ ξ 0 ∈ g −1 (D j 0) Theo Định lý Hurwitz, tồn tại các giá trị {ξ k} (với mọi k đủ lớn) sao cho ξ k → ξ 0 và ξ k ∈ g k −1 (D j 0) Điều này dẫn đến việc a k + z k + ρ k ξ k thuộc f −1 (D j 0) Theo giả thuyết, tồn tại một hằng số dương M sao cho với mọi k đủ lớn, f # (a k + z k + ρ k ξ k ) ≤ M.
Từ đó, với mỗi j ∈ {1, , q}, hoặc g(C ) ⊂ D j, hoặc g # = 0 trên g −1 (D j ) Vì vậy, với n ≥ 2 và q > 3n n+d n
− n, theo Định lí 2.2.5 ta có g là một đường cong hằng,điều này không thể xảy ra Vậy f phải là một đường cong Brody.
Định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên trong đa tạp xạ ảnh có đạo hàm triệt tiêu trên tập ảnh ngược của các siêu mặt mục tiêu
Một số bổ đề
Để xác minh kết quả nghiên cứu trong tiểu mục tiếp theo, chúng tôi sẽ áp dụng các bổ đề dưới đây, được trình bày theo tài liệu [29] và [13].
Bổ đề 2.3.1 (Bổ đề 3.1, [29]) Cho V là một đa tạp con xạ ảnh k chiều của
P n ( C ) Với Q 1 , , Q N +1 là các siêu mặt trong P n ( C ) có cùng bậc d ≥ 1, sao cho
Khi đó tồn tại k siêu mặt P 2 , , P k+1 có dạng
Bổ đề 2.3.2(Bổ đề 3.2, [13]) Cho V ⊂P M ( C ) là một đa tạp đại số nchiều và có bậc△,số nguyênm > △ và bộ sốc = (c 0 , , c M ) ∈R M ≥ +1 Với tập con{i 0 , , i n } của {0, , M } sao cho x = (x 0 : ã ã ã : x M ) ∈P M ( C ) : x i 0 = ã ã ã = x i n = 0 ∩ V =
Một dạng định lí cơ bản thứ hai không ngắt bội
Áp dụng kỹ thuật thay thế các siêu mặt của Sĩ Đức Quang và kỹ thuật tính bội trong trường hợp đạo hàm triệt tiêu trên tập tạo ảnh của các siêu mặt mục tiêu, chúng tôi thiết lập Định lý cơ bản thứ hai Định lý 2.3.3 (N.T.T.Hang - N.T.Son - V.V.Truong, 2020) cho V ⊂.
P n ( C ) là một đa tạp xạ ảnh phức k chiều, với các siêu mặt Q 1 , , Q q có vị trí N-dưới tổng quát trên V và deg Q j = d j, trong đó N ≥ k và q > (N − k + 1)(k + 1) Gọi d là bội chung của các d j Giả sử f là một đường cong nguyên đại số trong V với điều kiện f ∗,z = 0 cho mọi z thuộc ∪ q j=1 f −1 (Q j ) Với mỗi ϵ > 0, có những kết quả quan trọng liên quan đến cấu trúc của các đường cong này.
Ở đây, kí hiệu f ∗,z là ánh xạ tiếp xúc tại z ∈C của f và kí hiệu [x] := max{t ∈Z : t ≤ x} là phần nguyên của số thực x.
So với Định lý 2.2.4, định lý này cung cấp một đánh giá bên trái tốt hơn, dẫn đến một mức chặn tốt cho tổng các số khuyết Tuy nhiên, ở vế phải, các hàm đếm không được ngắt bội Nếu áp dụng kỹ thuật ngắt bội đã được các tác giả trước đây sử dụng, chúng tôi có thể đưa ra một mức chặn bội cho hàm đếm ở vế phải, nhưng mức chặn này sẽ lớn và phụ thuộc vào bậc của đa tạp, gây khó khăn trong việc tìm kiếm ứng dụng cho định lý này.
Chúng ta bắt đầu bằng cách chứng minh định lý cho trường hợp tất cả các siêu mặt \( Q_j \) có cùng bậc \( d \) Gọi \( I \) là tập hợp tất cả các hoán vị của tập \( \{1, \ldots, q\} \), với số lượng hoán vị là \( n_0 = q! \) Ta có thể viết \( I = \{I_1, \ldots, I_{n_0}\} \) với \( I_i = (I_i(1), \ldots, I_i(q)) \) và sắp xếp theo thứ tự từ điển \( I_1 < I_2 < \ldots < I_{n_0} \) Do các siêu mặt \( Q_1, \ldots, Q_q \) ở vị trí N-dưới tổng quát trên \( V \), ta có \( Q_{I_i(1)} \cap \ldots \cap Q_{I_i(N+1)} \cap V = \emptyset \) với mọi \( i \in \{1, \ldots, n_0\} \) Vì vậy, theo Bổ đề 2.3.1, tồn tại các tổ hợp tuyến tính của \( Q_{I_i(1)}, \ldots, Q_{I_i(N+1)} \) với dạng như đã nêu.
Ta định nghĩa ánh xạ Φ : V −→P ℓ−1 ( C ) (ℓ := n 0 (k + 1)) cho bởi Φ(x) = (P 1,1 (x) : ã ã ã : P 1,k+1 (x) : ã ã ã : P n 0 ,1 (x) : ã ã ã : P n 0 ,k+1 (x)).
Khi đó Φ là một cấu xạ hữu hạn trên V Ta có Y :=ImΦ là một đa tạp xạ ảnh phức trong P ℓ−1 ( C ) và dim Y = k,
Biểu diễn rút gọn của hàm f được ký hiệu là fb = (f0, , fn) Đối với mỗi số nguyên dương u, ta chọn các phần tử v1, , vH Y (u) trong không gian C[y1,1, , y1,k+1, , yn0,1, , yn0,k+1]u, sao cho chúng tạo thành một cơ sở cho không gian véc tơ C[y1,1, , y1,k+1, , yn0,1, , yn0,k+1]u Hơn nữa, chúng ta xem xét đường cong nguyên F trong P H Y (u)−1(C) với một biểu diễn rút gọn.
Do f không suy biến đại số nên ta có F là không suy biến tuyến tính Theo (3.12) trong [29], với mọi ϵ ′ > 0 (mà ta sẽ chọn sau) ta có
Với mỗi i ∈ {1, , H Y (u)}, ta có v i (Φ( fb(z))
∂x s ( fb(z)) ã f s ′ (z) (2.23) Mặt khác, do f ∗,z = 0 với mọi z ∈ ∪ q j=1 f −1 (Q j ), nên ta có
(f 0 (z) : ã ã ã : f n (z)) = (f 0 ′ (z) : ã ã ã : f n ′ (z)) với mọi z ∈ ∪ q j=1 f −1 (Q j ) Vì vậy, từ (2.23) và theo công thức Euler (cho các đa thức thuần nhất v i (Φ(x)) ∈C [x 0 , , x n ]), với mọi z ∈ ∪ q j=1 f −1 (Q j ) ta có v 1 (Φ( f(z)))b
Xét phần tử tùy ý a ∈ ∪ q j=1 f −1 (Q j ) (nếu tập này không rỗng) Khi đó, tồn tại
Vì Q 1 , , Q q ở vị trí N-dưới tổng quát trên V nên
(Q I p (j) ( fb)) 0 (a) = 0 với mọi j ∈ {N + 1, , q} (2.26) Đặtc t,s := (P t,s ( fb)) 0 (a)vàc := (c 1,1 , , c 1,k+1 , , c n 0 ,1 , , c n 0 ,k+1 ).Khi đó, có các a i = (a i 1,1 , , a i 1,k+1 , , a i n
0 ,k+1 ), i = 1, 2, , H Y (u), sao choy a 1 , , y a HY (u) lập thành một cơ sở của không gian véc tơ C [y 1,1 , ,y 1,k+1 I(Y , ,y ) n 0 ,1 , ,y n 0 ,k+1 ] u u và
X i=1 a i ã c, ở đó y = (y 1,1 , , y 1,k+1 , , y n 0 ,1 , , y n 0 ,k+1 ) Do đó, tồn tại các dạng độc lập tuyến tính L 1 , , L H Y (u) (trên C) sao cho y a i = L i (v 1 , , v H Y (u) ) trong
0 ,k+1 ( fb), (2.27) với mọi i ∈ {1, 2, H Y (u)} Khi đó, với mọi i ∈ {1, 2, H Y (u)} ta có
Từ (2.24), ta có(L 1 ( Fb(a)) : ã ã ã : L H Y (u) ( Fb(a))) = ((L 1 ( Fb)) ′ (a) : ã ã ã : (L H Y (u) ( Fb)) ′ (a)) (2.29)Theo định lí khai triển Laplace, ta có
L 1 ( Fb) L 2 ( Fb) L H Y (u) ( Fb) (L 1 ( Fb)) ′ (L 2 ( Fb)) ′ (L H Y (u) ( Fb)) ′ ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã
L s ( Fb) ′ L t ( Fb) ′ det A st , (2.30) trong đó A st là ma trận thu được từ ma trận
1≤i,v+1≤H Y (u) bằng cách bỏ đi hai hàng đầu tiên và hai cột thứ s và t Với mỗi 1 ≤ s < t ≤ H Y (u),rõ ràng ta có
Thật vậy, xét các trường hợp.
Trường hợp 1 (L s ( Fb)) 0 (a) ≤ H Y (u) − 1 và (H i t ( Fb)) 0 (a) ≤ H Y (u) − 1.
Khi đó, vế phải của (2.32) bằng 1, nhưng theo (2.29), vế trái của (2.32) không nhỏ hơn 1, vậy (2.32) đúng.
Trường hợp 2 (L s ( Fb)) 0 (a) > H Y (u) − 1 và (L t ( Fb)) 0 (a) > H Y (u) − 1.
Vậy (2.32) đúng trong trường hợp này.
Trường hợp 3 (L s ( Fb)) 0 (a) > H Y (u) − 1 và (L t ( Fb)) 0 (a) < H Y (u) − 1 (và tương tự đối với trường hợp (L s ( Fb)) 0 (a) < H Y (u) − 1 và (L t ( Fb)) 0 (a) > H Y (u) − 1).
Như vậy (2.32) được chứng minh.
Từ (2.30), (2.31) và (2.32), ta có (W ( Fb)) 0 (a) =
(chú ý rằng max{x − y, 0} + 1 z ≥ yz 1 x với mọi x ≥ 0, y, z > 1) Kết hợp với (2.28), ta được
Từ định nghĩa của P i,j , ta cú P p,1 ∩ ã ã ã ∩ P p,k+1 ∩ V =∅ , khi đú, theo Bổ đề 2.3.2 (hoặc Định lí 2.1 và Bổ đề 3.2 trong [32]), ta có
Từ (2.21) và (2.25), ta có (P p,1 ( fb)) 0 (a) = (Q I p (1) ( fb)) 0 (a) và
Từ đó, theo (2.25), (2.26), ta có q
Vì vậy, từ (2.34), ta có
Kết hợp với (2.33) ta được
Kết hợp với (2.22) ta được
Với mỗi ϵ > 0, ta chọn u = u 0 := [ (2k+1)(N−k+1) 2 (k+1) 2 △ dϵ ] + 1, và ϵ ′ := (N−k+1)(k+1) ϵ − (2k+1)(N−k+1)(k+1)△ du
Vì vậy, từ (2.35), ta có
Chương 3 Định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt di động giao đa tạp đại số xạ ảnh
Các kết quả trong Chương 3 được viết dựa theo bài báo [1] (trong mục Các công trình đã công bố liên quan đến luận án).
Một số kiến thức chuẩn bị
Định giá trên trường số
Một hàm số thực |.| : k −→ R + được gọi là một định giá trên k nếu nó thỏa mãn các tính chất nhất định Cặp (k, |.|) hoặc đơn giản là k được gọi là trường định giá.
Trong toán học, định giá có những tính chất quan trọng như sau: (i) Định giá |x| = 0 chỉ khi x = 0; (ii) Định giá |xy| = |x|.|y| cho mọi x, y thuộc k; (iii) Định giá |x + y| ≤ C max{|x|, |y|} với mọi x, y thuộc k và C > 0 là hằng số Nếu C = 1, định giá này được gọi là định giá không Archimedes, ngược lại là định giá Archimedes Định giá tầm thường là định giá thỏa mãn |x| = 1 với mọi x khác 0 và |0| = 0 trên k Hai định giá |.|1 và |.|2 được gọi là tương đương nếu tồn tại hằng số c > 0 sao cho |x|1 = |x|c2 với mọi x thuộc k.
(i) Hai định giá |.| 1 và |.| 2 tương đương khi và chỉ khi điều kiện sau được thỏa mãn
(ii) Với một định giá bất kỳ luôn có một định giá tương đương thỏa mãn bất đẳng thức tam giác, nghĩa là |x + y| ≤ |x| + |y|, với mọi x, y ∈ k.
Kí hiệu M k là tập hợp tất cả các lớp tương đương của các định giá không tầm thường trên k, trong khi M k ∞ và M k 0 lần lượt đại diện cho các lớp tương đương của các định giá Archimedes và không Archimedes trong M k Do đó, ta có thể diễn đạt rằng M k = M k 0 ∪ M k ∞.
Trong trường hợp k =Q là trường số hữu tỉ, ta thấy.
Hàm giá trị tuyệt đối thông thường |x| được định nghĩa là max{x, −x}, thỏa mãn Định nghĩa 3.1.1 (iii) với C = 2, do đó nó là một định giá Archimedes Định giá này được gọi là định giá Archimedes chính tắc và được ký hiệu là |.| ∞.
Với bất kỳ số nguyên tố p và x ∈ Q, x có thể được biểu diễn duy nhất dưới dạng x = p^r * a * b, trong đó r ∈ Z và a, b ∈ Z không chia hết cho p Đặt |x|_p = p^(-r), hàm |.|_p xác định một định giá không Archimedes trên Q, được gọi là định giá p-adic Định lý 3.1.4 cho biết rằng mỗi định giá không tầm thường trên Q tương đương với một trong hai loại: định giá Archimedes chính tắc hoặc một định giá p-adic.
Trong một trường k tùy ý, mỗi định giá xác định một khoảng cách và từ đó tạo ra một tôpô trên k Theo định lý 3.1.3(i), hai định giá được coi là tương đương nếu chúng xác định cùng một tôpô Nếu khoảng cách được xác định bởi định giá v là đầy, thì v được gọi là định giá đầy, và cặp (k, v) được gọi là trường định giá đầy Ngược lại, nếu v không đầy, trường k v sẽ là bao đầy của k tương ứng với định giá v Tính chất này được thể hiện qua định lý 3.1.5.
Nếu v không phải là tầm thường, thì k v là một trường và v có thể được mở rộng duy nhất tới định giá v ˆ trên k v sao cho v(x) = ˆ v(x) với mọi x thuộc k Hơn nữa, nếu v trên k không phải là Archimedes, thì ˆ v trên k v cũng sẽ không phải là Archimedes.
(ii) Nếu v là không Archimedes và k là trường đóng đại số thì k v cũng là trường đóng đại số.
Nếu \( k' \) là một mở rộng trường của \( k \) và \( v \), \( v' \) là các định giá tương ứng trên \( k \) và \( k' \) sao cho \( v' | k = v \), thì \( v' \) được coi là nằm trên \( v \) và được ký hiệu là \( v' | v \) Theo định lý 3.1.6, nếu \( (k, v) \) là một trường định giá đầy và \( k' \) là trường mở rộng hữu hạn của \( k \), thì mỗi định giá \( v \) sẽ được mở rộng duy nhất thành định giá \( v' \) trên \( k' \) Hơn nữa, \( (k', v') \) cũng là một trường định giá đầy.
Giả sử v là một định giá không Archimedes không tầm thường trên k Định giá mở rộng v ˆ được xác định trên bao đầy k v Theo định lý đã nêu, v ˆ có thể được mở rộng tới định giá v ˆ trên bao đóng đại số k v của k v.
Chuẩn hóa định giá và công thức tích
Giả sử trường số k có bậc d Trên k, mỗi định giá v được chuẩn hóa như sau.
Tập hợp các phép nhúng k vào C trên Q được ký hiệu là {σ j } d j=1, với d = [k : Q] Trong số các phép nhúng này, ngoài các phép nhúng thực (mà ảnh vào R), các phép nhúng còn lại được phân thành các cặp phức liên hợp Mỗi phép nhúng thực và mỗi cặp phức liên hợp đều xác định một lớp định giá riêng biệt.
Mỗi định giá Archimedes tương đương với một trong các định giá |.| σ j nói trên.
Giả sử định giá Archimedes v tương đương với |.| σ j với j nào đó Khi đó, ta chuẩn hóa định giá này bởi
∥x∥ v := |x| dσj σ d j ở đó d σ j = 1 nếu σ j là nhúng thực và d σ j = 2 nếu σ j là nhúng phức.
Khi đó, v là một mở rộng của định giá p-adic |.| p trên Q, tương ứng với số nguyên tố p nào đó Kí hiệu Qp là bao đầy của Q theo định giá p-adic |.| p Với x ∈ k, tự đồng cấu tuyến tính à x của Qp-khụng gian vộc tơ k v được định nghĩa bởi à x (y) = xy Định thức N k v / Q p (x) của tự đồng cấu tuyến tính này là một phần tử thuộc Q p, được gọi là chuẩn của x Mở rộng bậc d v = [k v :Q p ] của v được xác định bởi các yếu tố này.
1 p dv và v được chuẩn hóa bởi
1 p d Định lí 3.1.7 Dạng chuẩn ∥.∥ v của v thỏa mãn các tính chất sau.
(i) ∥x∥ v ≥ 0, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0;
(iii) ∥x 1 + ã ã ã + x n ∥ v ≤ B v n v ã max{∥x 1 ∥ v ; ; ∥x n ∥ v } với mọi x 1 ; ; x n ∈ k, n ∈N, trong đó n v = d v /d , B v = 1 nếu v là không Archimedes và B v = n nếu v là Archimedes.
Lưu ý rằng trong trường hợpk =Q, doM Q = {p > 1, plà số nguyên tố}∪{∞} và do định nghĩa |.| p, |.| ∞ ta có công thức sau gọi là công thức tích.
Mở rộng sang trường số k bất kỳ với định giá được chuẩn hóa như trên ta cũng có công thức tích sau.
Độ cao Logarit và các hàm cơ bản
Với x ∈ k \ {0}, độ cao Logarit của x được định nghĩa bởi h(x) := X v∈M k log + ∥x∥ v , trong đó log + ∥x∥ v = log max{∥x∥ v , 1}.
Với mỗi x = [x 0 : ã ã ã : x M ] ∈P M (k) là một điểm trong khụng gian xạ ảnh trờn trường k, ta đặt ∥x∥ v := max 0≤i≤M ∥x i ∥ v Hàm độ cao Logarit của x được định nghĩa bởi h(x) := X v∈M k log∥x∥ v (3.1)
Công thức tích trong biểu thức không bị ảnh hưởng bởi cách chọn tọa độ thuần nhất của x ∈ P M (k) Khái niệm này tương ứng với hàm đặc trưng trong Lí thuyết Nevanlinna.
Với mỗi số nguyên dương d, đặt
Giả sử Q là một đa thức thuần nhất bậc d trong k[x 0 , , x M ] có biểu diễn
I∈T d a I x I , trong đó x I = x i 0 0 x i M M với x = (x 0 , , x M ) và I = (i 0 , , i M ). Đặt ∥Q∥ v := max I ∥a I ∥ v Độ cao Logarit của Q được định nghĩa bởi h(Q) := X v∈M k log∥Q∥ v
Với mỗi v ∈ M k , hàm Weil ứng với đa thức Q, kí hiệu λ Q,v được định nghĩa bởi λ Q,v (x) := log ∥x∥ d v ã ∥Q∥ v
Trong định nghĩa trên, hàm λ Q,v cũng không phụ thuộc vào cách chọn tọa độ thuần nhất của x ∈P M (k)
Với S ⊂ M k là một tập hữu hạn chứa tất cả các lớp định giá Archimedes, ta định nghĩa hàm xấp xỉ m S (Q, x) và hàm đếm N S (Q, x) tương ứng với đa thức thuần nhất Q Cụ thể, hàm xấp xỉ được ký hiệu là m S (Q, x) := Σ v∈S λ Q,v (x) và hàm đếm được ký hiệu là N S (Q, x) := Σ v̸∈S λ Q,v (x), với x thuộc P M (k) sao cho Q(x) khác 0.
Hàm xấp xỉ và hàm đếm được định nghĩa theo khái niệm trong Lí thuyết Nevanlinna Từ công thức tích và các định nghĩa liên quan, ta có công thức d.h(x) = m S (Q, x) + N S (Q, x) + O(1), áp dụng cho mọi x ∈ P M (k) với điều kiện Q(x) ̸= 0, tương ứng với Định lý cơ bản thứ nhất trong Lí thuyết Nevanlinna.
Họ siêu phẳng, siêu mặt di động trên một tập chỉ số
Giả sử Λ là một tập các chỉ số gồm vô hạn phần tử.
Ta gọi mỗi ánh xạ x : Λ −→ P M (k) là một họ các điểm di động x(α) trong
Mỗi ánh xạ H : Λ −→ (P M (k)) ∗ được gọi là siêu phẳng di động trên Λ, trong đó mỗi siêu phẳng di động H trên Λ tương ứng với một tập hợp các siêu phẳng H(α) trong P M (k) với α thuộc Λ.
Chúng ta định nghĩa mỗi họ đa thức thuần nhất {Q(α)} với α∈Λ là một siêu mặt di động Q trong P M (k) có bậcd, được đánh chỉ số trên Λ Mỗi siêu mặt di động Q có thể được biểu diễn dưới dạng Q = P.
I∈T d a I x I với các hệ số a I là hàm trên Λ nhận giá trị trong k và không có không điểm chung.
Xét họ Q := {Q 1 , , Q q } các siêu mặt di động trong P M (k), được đánh chỉ số trên Λ Ta biểu diễn
I∈T dj a j,I x I (j = 1, , q)vớid j = deg Q j Định nghĩa 3.1.8 Với mỗi j ∈ {1, , q}, ta viết T d j = {I j,1 , , I j,M dj }, ở đó
Một tập con gồm vô hạn phần tử A ⊂ Λ được gọi là nhất quán đối với họ Q nếu với mọi đa thức P ∈ k[x 1,1 , , x 1,M d
1 , , x q,1 , , x q,M dq ] thuần nhất đối với mỗi bộ các biến x j,1 , , x j,M dj (với j ∈ {1, , q}), thì
1 (α), , a q,I q,1 (α), , a q,I q,Mdq (α)) hoặc triệt tiêu tại mọi α ∈ A hoặc triệt tiêu tại hữu hạn α ∈ A.
Ta có kết quả sau mà cách chứng minh hoàn toàn tương tự cách chứng minh của Bổ đề 1.1 trong [34].
Bổ đề 3.1.9 Tồn tại tập con vô hạn A ⊂ Λ nhất quán đối với họ Q.
Cho A ⊂ Λ là một tập chỉ số vô hạn Mỗi tập con C ⊂ A có phần bù hữu hạn trong A được ánh xạ bởi cặp (C, a) Hai cặp (C 1 , a 1 ) và (C 2 , a 2 ) được coi là tương đương nếu tồn tại tập con C ⊂ C 1 ∩ C 2 có phần bù hữu hạn trong A và a 1 | C = a 2 | C Tập R 0 A chứa các lớp tương đương của các cặp (C, a) với quan hệ tương đương trên R 0 A có cấu trúc tự nhiên của một vành, và có thể nhúng k vào R 0 A bằng cách coi mỗi phần tử của k là một hàm hằng.
Giả sử A ⊂ Λ là một tập hợp nhất quán đối với họ siêu mặt di động Q Đối với mỗi j trong {1, , q}, ta chọn một chỉ số I j thuộc T d j sao cho a j,I j khác không (tức là a j,I j (α) khác 0 với mọi α trong A, ngoại trừ một tập con hữu hạn) Khi đó, a j,I a j,I j xác định một phần tử thuộc R 0 A với mọi I thuộc T d j.
Do tính nhất quán của A, vành con của R 0 A sinh ra trên k bởi các phần tử này là một miền nguyên Gọi R A,Q là trường các thương của miền nguyên này, và chúng ta có những nhận xét quan trọng về nó.
Giả sử B là tập con của A và cả hai đều là tập con vô hạn của Λ Nếu A nhất quán với các siêu mặt Q, thì B cũng sẽ nhất quán với siêu mặt đó, dẫn đến R B,Q là tập con của R A,Q.
Gọi A là tập các hàm {α ∈ A : a j,I j (α) ̸= 0} −→ k, α 7→ a j,I (α) a j,I j (α) và k Q là tập các tổng hình thức có dạng Ps m=1 t m Qs i=1 c n i i , trong đó t m ∈ k, c i ∈ A, n i ∈ N Với mỗi cặp(bb,b c) ∈ k
Q màb c(α) ̸= 0 với mọiα ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn, ta xác định hàm bb b c
Gọi Rb A,Q là tập tất cả các hàm như vậy Khi đó, mỗi phần tửa ∈ R A,Q là lớp của một hàmb a thuộcRb A,Q
Ta gọib a là một đại diện đặc biệt của phần tử a ∈ R A,Q Hai đại diện đặc biệt b a 1 và b a 2 của cùng một phần tử a có giá trị b a 1 (α) = b a 2 (α) với mọi α ∈ A, ngoại trừ một tập con hữu hạn Đối với đa thức thuần nhất P := P.
I a I x I ∈ R A,Q [x 0 , , x M ], và với mỗi I giả sửb a I là một đại diện đặc biệt của a I ,khi đó Pb:=P
I được gọi là một đại diện đặc biệt của P Với mỗi α ∈ A sao cho tất cả các hàm b a I xác định tại α, đặt Pb(α) := P
Trong không gian đa thức k[x₀, , xₘ], chúng ta nói rằng Pb được xác định tại α Cần lưu ý rằng mỗi đại diện đặc biệt Pb của P được xác định với mọi α ∈ A, ngoại trừ một tập con hữu hạn Nếu Pb₁ và Pb₂ đều là đại diện đặc biệt của P, thì chúng có mối liên hệ chặt chẽ với nhau.
Pb 1 (α) = Pb 2 (α) với mọi α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn.
Cho V ⊂ P M (k) là một đa tạp đại số xạ ảnh n chiều sinh bởi ideal thuần nhất I(V ). Định nghĩa 3.1.11 Một điểm di động x = [x 0 : ã ã ã : x M ] : Λ −→ V được gọi là
V-không suy biến đại số ứng với Q (hay còn gọi là không suy biến đại số trên
V) nếu với mỗi tập nhất quán A ⊂ Λ ứng với Q, không tồn tại đa thức thuần nhất P ∈ R A,Q [x 0 , , x M ] \ I A,Q (V ) sao cho Pb(α)(x 0 (α), , x M (α)) = 0 với mọi α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn, với một (và cũng là với mọi) đại diện đặc biệt Pb của P, trong đó I A,Q (V ) là ideal của R A,Q [x 0 , , x M ] sinh bởi I(V ). Định nghĩa 3.1.12 Họ các siêu mặt di động Q = {Q j } q j=1 , (q ≥ n + 1) được gọi là ở vị trí tổng quát trên V (hay còn gọi là V-chấp nhận được) nếu với mỗi bộ
Q j i (α)(x 0 , , x M ) = 0, 0 ≤ i ≤ n, khụng cú nghiệm (x 0 , , x M ) thỏa món (x 0 : ã ã ã : x M ) ∈ V (k) với mọi α ∈ Λ,ngoài một tập con hữu hạn, trong đó k là bao đóng đại số của k.
Định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt di động giao đa tạp đại số xạ ảnh
Một số bổ đề
Theo nhận xét 3.2.2 (i), ta có thể giả sử Q j = P
A ⊂ Λ là một tập vô hạn nhất quán ứng với Q Đối với mỗi j ∈ {1, , q}, ta chọn một chỉ số I j ∈ T d sao cho a j,I j ̸≡ 0, nghĩa là a j,I j (α) ̸= 0 với mọi α ∈ A, ngoại trừ một tập con hữu hạn Khi đó, a jI a jI j xác định một phần tử của R 0 A với mỗi I ∈ T d.
Xét t = ( , t jI , ) là một họ các biến, đặt
Ta có Qej ( , a jI a jI j (α), , x 0 , , x M ) = Q ′ j (α)(x 0 , , x M ) với mọi α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn.
Giả sử ideal I(V ) xác định V được sinh bởi các đa thức P 1 , , P m Do Q ở vị trí tổng quát trên V nên với mỗi J := {j 0 , , j n } ⊂ {1, , q} tồn tại tập con
A J ⊂ A với phần bù hữu hạn sao cho với mỗi α ∈ A J ta có: a jI j (α) ̸= 0 với mọi j ∈ J; các đa thức P 1 , , P m , Q ′ j
0 (α), , Q ′ j n (α) ∈ k[x 0 , , x M ] không có nghiệm chung khác tầm thường trong k M+1
Kí hiệu k[t] (P 1 , , P m , Qe j 0 , , Qe j n ) là một ideal trong vành đa thức với các biến x 0 , , x M và hệ số trong k[t], được sinh bởi các đa thức P 1 , , P m , Qej 0 , , Qej n Đa thức Re trong k[t] được gọi là dạng khởi đầu của các đa thức này nếu tồn tại một số tự nhiên s sao cho với mọi i = 0, , M, thì x s i ã Re thuộc k[t] (P 1 , , P m , Qe j 0 , , Qe j n).
(xem [45]) Rõ ràng tập các dạng khởi đầuI của các đa thứcP 1 , , P m , Qe j 0 , , Qe j n là một ideal trong k[t].
Như đã biết, (m + n + 1) đa thức thuần nhất
Các phương trình P i (x 0 , , x M ) và Qe j ( , t jI , , x 0 , , x M ) không có nghiệm chung không tầm thường cho các biến x 0 , , x M tại một giá trị đặc biệt t 0 jI của t jI nếu và chỉ nếu tồn tại một dạng khởi đầu Re t.
J ( , t 0 jI , ) ̸= 0 (xem [45], trang 254) Với mỗi α ∈ A J , chọn Re α J ∈ I là một dạng khởi đầu như vậy tương ứng với giá trị t α jI := a jI a jI j (α) Đặt R α J :=
Re α J ( , a jI a jI j , ), khi đó R α J là một đại diện đặc biệt của một phần tử R A,Q Do cách định nghĩa, ta có
(và vì vậy cũng thỏa mãn điều kiện đúng với mọiα ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn).
Do k[t] là vành Noether nên I được sinh bởi hữu hạn phần tử là các đa thức Re J 1 , , Re J ν Với mỗi α, ta viết Re α J = Ps
ℓ=1 Ge α ℓ Re J ℓ , Ge α ℓ ∈ k[t] Ta có G α ℓ :=
Ge α ℓ ( , a jI a jI j , ) và R J ℓ := Re J ℓ ( , a jI a jI j , ) là những đại diện đặc biệt của các phần tử thuộc R A,Q Rõ ràng R α J =Ps
ℓ=1 G α ℓ R J ℓ trên A J Vì vậy, từ (3.3) ta có
G α ℓ (α)R J ℓ (α) với mọiα ∈ A J Do đó, tồn tạiℓ 0 ∈ {1, , s}và một tập con vô hạn A ′ ⊂ A J sao cho
0 (α) ̸= 0với mọiα ∈ A ′ , ngoài một tập con hữu hạn (3.4)
Bằng cách thay A' bằng các tập con vô hạn của nó qua một số bước hữu hạn, chúng ta có thể chọn một tập con vô hạn A' ⊂ A phù hợp cho mọi tập con J ⊂ {1, , q} với #J = n + 1 Do khả năng thu hẹp A, chúng ta có thể giả định rằng điều này đúng với mọi α ∈ A.
Theo định nghĩa ban đầu, tồn tại số tự nhiên s và các đa thức thuần nhất b ij k, b iℓ ∈ R A,Q [x 0, , x M] mà có thể bằng không hoặc có bậc deg b ij k = s − d, deg b iℓ = s − deg P ℓ.
Định nghĩa 3.2.3 nêu rõ rằng cho một điểm di động x : Λ −→ V ⊂ P M (k), phần tử (C, a) ∈ R 0 A được coi là nhỏ so với x nếu h(a(α)) = o(h(x(α))) Điều này có nghĩa là với mỗi ε > 0, tồn tại một tập con C ε ⊂ C với phần bù hữu hạn, sao cho h(a(α)) ≤ εh(x(α)) với mọi α ∈ C ε.
Kí hiệu K x là tập hợp các phần tử nhỏ hơn x, tạo thành một vành con của R 0 A Mặc dù vành này không phải là một miền nguyên, nhưng với mỗi cặp (C, a) thuộc K x mà a(α) khác 0 đối với mọi α trong C, ngoài một tập con hữu hạn, ta có (C \ {α : a(α) = 0}, 1/a) thuộc K x Tập C x bao gồm tất cả các hàm thực g nhận giá trị dương, xác định trên một tập con của Λ với phần bù hữu hạn, sao cho log + (g(α)) = o(h(x(α))) C x cũng là một vành, và nếu (C, a) thuộc K x \ {0}, thì với mọi v thuộc M k, hàm ∥a∥ v: C → R + được định nghĩa bởi α 7→ ∥a(α)∥ v cũng thuộc C x Hơn nữa, nếu (C, a) thuộc K x và a(α) khác 0 với mọi α trong C, ngoài một tập con hữu hạn, thì hàm g: {α | a(α) khác 0} → 1.
Dựa trên các giả thiết của Định lý 3.2.1 và Nhận xét 3.2.2, từ các phương trình (3.4) và (3.5), ta có thể rút ra kết quả tương tự như cách chứng minh của Bổ đề 2.2 trong tài liệu [18].
Bổ đề 3.2.4 khẳng định rằng nếu A là một tập con nhất quán của Λ ứng với Q, thì tồn tại một tập con vô hạn A′ của A Đối với mỗi tập J thuộc {1, , q} với #J = n + 1, sẽ có các hàm ℓ1,v và ℓ2,v thuộc C thỏa mãn các điều kiện nhất định.
ℓ 2,v (α)∥x(α)∥ d v ≤ max j∈J ∥Q j (α)(x(α))∥ v ≤ ℓ 1,v (α)∥x(α)∥ d v , với mọi α ∈ A ′ và mọi v ∈ S.
Theo định lý 3.1.7, với mỗi tập con nhất quán A ⊂ Λ, luôn tồn tại một tập con vô hạn A sao cho các điều kiện (3.4) và (3.5) được thỏa mãn Điều này áp dụng cho mọi j thuộc tập J = {j 0 , , j n }.
Đối với mọi α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn, có sự tồn tại của hằng số dương c1 không phụ thuộc vào α, sao cho ∥a j,I (α)∥ v ∥(x(α))∥ d v Đặt ℓ 1,v là hàm được xác định trên tập con của A với phần bù hữu hạn.
∥a j,I (α)∥ v ta nhận được bất đẳng thức thứ hai của Bổ đề.
Theo (3.5), tồn tại số nguyên dương s và các đa thức thuần nhất b ij k , b iℓ ∈
R A,Q [x 0 , , x M ]hoặc bằng không, hoặc có bậcdeg b ij k = s − d, deg b iℓ = s − deg P ℓ sao cho
ℓ=1 b iℓ ã P ℓ , với mọi 0 ≤ i ≤ M. Lấybb ij k là một đại diện đặc biệt của b ij k Khi đó, theo Định lí 3.1.7, tồn tại hằng số dương c 2 để với mọi i = 0, 1, , n, ta có
∥bb ij k (x(α))∥ v với mọi α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn Ở đây, lưu ý rằng x(α) ∈ V.
Ta biểu diễn b ij k dưới dạng b ij k =P
I ij k là một đại diện đặc biệt của γ ij I k Khi đó, với mọii = 0, 1, , n, ta có
I ij k ∥ v ∥(x(α))∥ s−d v với mọi α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn.
Do đó, với mọi i = 0, 1, , n, ta có
0 (α)∥ v với mọi α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn.
Do∥(x(α))∥ v = max{∥(x 0 (α))∥ v , , ∥(x n (α))∥ v }, ta suy ra tồn tạii ∈ {0, , n} thỏa mãn ∥(x(α))∥ v = ∥(x i (α))∥ v Từ đó
0 (α)∥ v với mọi α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn. Đặt ℓ 2,v là hàm xác định trên một tập con của A với phần bù hữu hạn cho bởi
ta nhận được bất đẳng thức còn lại của Bổ đề.
Với mỗi số nguyên dương ℓ và mỗi không gian vectơ con W của k[x₀, , xₘ] (hoặc Rₐ, Q[x₀, , xₘ]), kí hiệu Wₗ đại diện cho không gian vectơ con bao gồm các đa thức thuần nhất thuộc W với bậc ℓ, bao gồm cả đa thức không Định nghĩa 3.2.5 xác định W là một không gian vectơ con của Rₐ, Q[x₀, , xₘ].
Với mỗi phần tử α ∈ A, đặt
{ Pb(α) : Pblà một đại diện đặc biệt nào đó củaP, xác định tạiα}.
Rõ ràng W (α) là một không gian vectơ con của k[x 0 , , x M ].
Bổ đề 3.2.6 Cho W là một không gian vectơ con của R A,Q [x 0 , , x M ] N Khi đó,
Tồn tại một tập hợp các hàm γ j ∈ R A,Q [x 0 , , x M ] N, với j = 1, , H, sao cho các hàm γ j (α) tạo thành một cơ sở của không gian W (α) cho mọi α ∈ A, ngoại trừ một tập hợp hữu hạn Điều này có nghĩa là với mỗi đại diện đặc biệt b γ j của γ j, tập hợp {b γ j (α), , b γ H (α)} cũng là một cơ sở của không gian W (α).
W (α), với mọi, trừ một tập gồm hữu hạn các α ∈ A)) Đặc biệt, số chiều của
W (α) không phụ thuộc vào α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn.
(ii) Giả sử {h j } K j=1 là một cơ sở của W Khi đó, {h j (α)} K j=1 là một cơ sở của
W (α) là một không gian vector với mọi α ∈ A, ngoại trừ một tập con hữu hạn Điều này có nghĩa là với mỗi đại diện bh j của h j, tập hợp {bh j (α)} K j=1 tạo thành một cơ sở của W (α) đối với mọi α, trừ một số lượng hữu hạn các α ∈ A Đặc biệt, kích thước chiều của không gian R A,Q W bằng kích thước chiều của không gian k W (α) với mọi α ∈ A, ngoại trừ một tập con hữu hạn.
Chứng minh Đặt H := max α∈A dim W (α) và lấy α 0 ∈ A sao cho dim W (α 0 ) = H.
Khi đó, tồn tại các phần tử γ j ∈ R A,Q [x 0 , , x M ] N (j = 1, , H) và các đại diện đặc biệt b γ j tương ứng của γ j (j = 1, , H) sao cho {b γ 1 (α 0 ), , b γ H (α 0 )} là một cơ sở của W (α 0 ).
GọiB là ma trận các hệ số của {b γ j }
Khi B(α₀) có hạng H, tồn tại ma trận vuông con B₁ của B với cấp H sao cho det B₁(α₀) khác 0 Nhờ tính nhất quán của A, có tập con A₁ của A với phần bù là tập hữu hạn, đảm bảo det B(α) khác 0 và các hệ số bᵧⱼ xác định tại α, với mọi α thuộc A₁ Do đó, {bᵧ₁(α), , bᵧH(α)} là tập độc lập tuyến tính cho mọi α thuộc A₁, trong khi đó, dim W(α) không vượt quá H.
Vì vậy, {b γ 1 (α), ,b γ H (α)} là một cơ sở của W (α) với mọi α ∈ A 1 Mặt khác, với mỗi đại diện đặc biệt b γ
′ j (α) = b γ j (α) với mọi, trừ một tập gồm hữu hạn các α ∈ A Do đó, b γ
H (α) cũng tạo nên một cơ sở của W (α)với mọi, trừ một tập con gồm hữu hạn cácα ∈ A.Như vậy kết luận (i) đúng.
Chứng minh Định lí 3.2.1
Theo Bổ đề 3.1.9, tồn tại một tập chỉ số vô hạn A ⊂ Λ nhất quán ứng với họ siêu mặt Q Nhận xét 3.2.2 cho phép giả sử các đa thức Q j có cùng bậc d ≥ 1 và hệ số thuộc trường R A,Q Theo Nhận xét 3.1.10, nếu B là một tập con của A thì B cũng nhất quán ứng với Q và R B,Q ⊂ R A,Q Do đó, trong quá trình chứng minh, ta có thể chuyển từ tập A sang một tập con chứa vô hạn phần tử nhưng vẫn giữ nguyên ký hiệu A.
Dựa trên giả thiết, với mỗi a ∈ R A,Q và v ∈ M k, ta có log∥a(α)∥ v ≤ X v∈M k log + ∥a(α)∥ v = h(a(α)) ≤ o(h(x(α))) cho mọi α ∈ A Theo Bổ đề 3.2.4, tồn tại một tập con vô hạn của A, được ký hiệu là A, sao cho đối với mỗi tập con I ⊂ {1, , q} với #I = n + 1, tồn tại các hàm ℓ 1,v , ℓ 2,v ∈ C x thỏa mãn.
ℓ 2,v (α)∥x(α)∥ d v ≤ max j∈I ∥Q j (α)(x(α))∥ v ≤ ℓ 1,v (α)∥x(α)∥ d v , với mọi v ∈ S và mọi α ∈ A Đặt ∼ h v = Q
(1 + ℓ 2,v ) với ℓ 2,v chạy khắp các sự lựa chọn ℓ 2,v trong Bổ đề 3.2.4 ứng với các tập J (v, α) Do ℓ 2,v ∈ C x , nên ta có
∼ h v ∈ C x Với mỗi v ∈ S và α ∈ A, tồn tại tập con J (v, α) = {j 1 (v, α), , j n (v, α)} ⊂
≤ min j / ∈{j 1 (v,α), ,j n (v,α)} ∥Q j (α)(x(α))∥ v Khi đó, ta có log q
Theo Bổ đề 3.2.14, tồn tại các đa thức thuần nhất φ J(v,α) 1 , , φ J(v,α) H
V (N) (phụ thuộc vào J (v, α)) trong R A,Q [x 0 , , x M ] N và các hàm u(N ), v(N ) (có thể chọn chung cho tất cả J(v, α)) sao cho {φ J(v,α) i } lập thành một cơ sở của R A,Q -không gian vectơ R A,Q [x 0 , , x M ] N
P J(v,α) ∈ I A,Q (V ) N , ở đú P J(v,α) ∈ R A,Q [x 0 , , x M ] là một đa thức thuần nhất bậc deg (n+1)! V ãN n+1 + v(N ).
Vì vậy, với mọi x(α) ∈ V (k), ta có
Mặt khác, dễ thấy tồn tại các hàm h J(v,α) ∈ C x sao cho
+ log + h J(v,α) (α) + deg V.N n+1 (n + 1)! + v(N ) log∥x(α))∥ v Suy ra, tồn tại các hàm ω 1 (N ), ω 2 (N ) ≤ O( N 1 ) sao cho log∥ n
Từ (3.25) và (3.26), ta có log q
Ta cố định các đa thức thuần nhất Φ 1 , , Φ H N (V ) ∈ R A,Q [x 0 , , x M ] N sao cho chúng tạo nên một cơ sở củaR A,Q -không gian vectơ R A,Q [x 0 , , x M ] N
I A,Q (V ) N Khi đó, tồn tại các đa thức thuần nhất bậc nhất
H N (V ) ∈ R A,Q [y 1 , , y H V (N) ] sao cho chúng độc lập tuyến tính trên R A,Q và φ J(v,α) ℓ − L J(v,α) ℓ (Φ 1 , , Φ H N (V ) ) ∈ I A,Q (V ) N , với mọi ℓ = 1, , H V (N ) Rõ ràng lúc này ta có h(L J(v,α) ℓ (β)) = o(h(x(β))) với mọi β ∈ A và A là nhất quán ứng với {L ℓ } H ℓ=1 N (V )
N (V ) độc lập tuyến tính trênR A,Q nên ta códet(g ℓs ) ̸= 0 ∈ R A,Q
Từ tính nhất quán của A cho thấy rằng det(g ℓs)(β) khác không với mọi β thuộc A, ngoại trừ một tập con hữu hạn Bằng cách chuyển sang một tập con vô hạn nếu cần, ta có thể giả định rằng L J(v,α) 1 (β), , L J(v,α) H vẫn giữ nguyên.
N (V ) (β)độc lập tuyến tính trên k với mọi β ∈ A.
Xét điểm di độngF (α) = [Φ 1 (x(α)), , Φ H N (V ) (x(α))]từAvàoP H V (N)−1 (k) và các siêu phẳng di động L := {L J(v,α) 1 , , L J(v,α) H
Trong không gian P H V (N)−1(k), F được đánh chỉ số trên A và không suy biến tuyến tính ứng với L Nếu giả sử ngược lại, sẽ tồn tại một dạng tuyến tính L ∈ R B,L[y1, , yH N(V)] với tập con vô hạn B ⊂ A, nhất quán với họ L, sao cho L(F)|B ≡ 0 Tuy nhiên, điều này mâu thuẫn với việc x không suy biến đại số ứng với Q.
Theo Định lí 1.2.2, với mỗi ϵ > 0, tồn tại một tập con gồm vô hạn phần tử A (chung cho mọi J (v, α)), cũng kí hiệu là A, sao cho
Kết hợp với (3.27) và (3.28) ta có
Bất đẳng thức trên không phụ thuộc vào việc lựa chọn tọa độ của x(α), cho phép chúng ta chọn các thành phần tọa độ sao cho chúng là S-nguyên.
Kết hợp (3.31) với (3.30) và (3.29), ta được
Kết hợp với (3.31) và cách chọn ω 1 , ω 2 với N đủ lớn, chia hết cho d, ta được
∥Q j (α)(x(α))∥ v ≤ (n + 1 + ε)dh(x(α)),với mọi α ∈ A Định lí 3.2.1 được chứng minh.
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Luận án nghiên cứu về Định lý cơ bản thứ hai và Định lý không gian con Schmidt đối với siêu mặt, đạt được những kết quả quan trọng như sau: Định lý cơ bản thứ hai và Định lý Picard liên quan đến đường cong nguyên trong không gian xạ ảnh, với đạo hàm cầu triệt tiêu trên tập tạo ảnh của các siêu mặt mục tiêu (Định lý 2.2.4 và Định lý 2.2.5) Định lý này chứng minh tính bị chặn của đạo hàm cầu của đường cong nguyên trên toàn cục, được rút ra từ tính bị chặn trên tập tạo ảnh của một hợp đủ nhiều các siêu mặt ở vị trí tổng quát (Định lý 2.2.8) Cuối cùng, Định lý không gian con Schmidt được áp dụng cho siêu mặt di động giao đa tạp đại số xạ ảnh (Định lý 3.2.1).
Trong quá trình nghiên cứu các vấn đề của luận án, chúng tôi suy nghĩ về một số hướng nghiên cứu tiếp theo như sau.
Cho đến nay, các kết quả liên quan đến Định lý cơ bản thứ hai trong trường hợp đường cong nguyên khác hằng giao các siêu mặt di động vẫn còn yếu Điều này thể hiện qua việc không chặn được bội hoặc chặn trên của tổng các số khuyết còn lớn Việc cải tiến các Định lý cơ bản thứ hai trong bối cảnh này là một vấn đề thực sự quan trọng.
Thông qua ánh xạ Gauss, bài luận đã thiết lập tiêu chuẩn cho đường cong Brody, cho thấy sự tương đồng với điều kiện bị chặn cho độ cong Gauss của siêu mặt cực tiểu.
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN
[1] N T Son, T V Tan, and N V Thin (2018), Schmidt’s subspace theorem for moving hypersurface targets, J Number Theory 186, 346–369.
[2] N T T Hang, N T Son, and V V Truong (2020), A second main theorem for entire curves in a projective variety whose derivatives vanish on inverse image of hypersurface targets, HNUE journal of science, Natural Science, 65, 31–40.
[3] N T Son, T V Tan (2022), A property of the spherical derivative of an entire curve in complex projective space, Complex Anal Synerg 8,
[1] Sĩ Đức Quang (2019),Lí thuyết phân bố giá trị cho ánh xạ phân hình và một số vấn đề liên quan, NXB Đại học Sư phạm.
[2] Trần Văn Tấn (2017), Lí thuyết phân bố giá trị đối với đường cong nguyên trong không gian xạ ảnh, NXB Đại học Sư phạm.
[3] Trần Văn Tấn (2020), Ánh xạ chỉnh hình vào không gian xạ ảnh dưới điều kiện về tạo ảnh của một mục tiêu, NXB Đại học Sư phạm.
[4] L V Ahlfors (1941), The theory of meromorphic curves,Acta Soc Sci Fen- nicae, Nova Ser A, 3, 3–31.
[5] G Aladro and S G Krantz (1991), A criterion for normality in C n , J.
[6] A Bloch (1926), Sur les système de fonctions uniformes satisfaisant à l’équantion d’une variétés algébrique dont l’irrégularité dépasse la dimension,
[7] H Cartan (1933), Sur les zéroes des combinaisons linéaires de p funtions holomorphes données, Mathematica 7, 80–103.
[8] Z Chen, M Ru, Q.Yan (2012), The degenerated second main theorem and Schmidt’s subspace theorem, Science China, 7, 1367–1380.
[9] Z Chen, M Ru, Q.Yan (2015), Schmidt’s subspace theorem with moving hypersurfaces, Int Math Res Notices 15, 6305–6329
[10] P Corvaja and U Zannier (2004), On the general Thue’s equation, Amer.
[11] G Dethloff and T.V Tan (2011), A second main theorem for moving hy- persurface targets, Houston J Math, 37, 79–111.
[12] G Dethloff and T V Tan (2020), Holomorphic curves into alge- braic varieties intersecting moving hypersurface targets, Acta Math Vietnam. https://doi.org/10.1007/s40306-019-00336-3.
[13] G Dethloff and T.V Tan and D D Thai (2011), An extension of the Cartan-Nochka second main theorem for hypersurfaces, Internat J Math,22, 863–885.
[14] A Eremenko (2010), Brody curves omitting hyperplanes, Ann Acad Sci.
[15] J H Evertse and R G Ferretti (2002), Diophantine inequalities on projec- tive varieties, Internat Math Res Notices 25, 1295–1330.
[16] J H Evertse and R G Ferretti (2008), A generalization of the subspace theorem with polynomials of higher degree, Developments in Mathematics 16, 175–198, Springer-Verlag, NewYork.
[17] H Fujimoto (1993), Value distribution theory of the Gauss map of minimal surfaces in R m , Vieweg-Verlag, Braunschweig.
[18] L Giang (2015), Schmidt’s subspace theorem for moving hypersurface tar- gets, International Journal of Number Theory Vol 11 No 1, 139–158.
[19] L Giang (2016), An explicit estimate on multiplicity truncation in the de- generated second main theorem, Houston J Math 42, 447-462.
In their 2020 study published in the HNUE Journal of Science, Hang, Son, and Truong present a significant theorem concerning entire curves within projective varieties The research focuses on the behavior of these curves when their derivatives vanish on the preimages of hypersurface targets This work contributes to the understanding of the geometric properties of entire curves, offering insights relevant to the field of natural sciences.
[21] R Hartshorne (1977), Algebraic Geometry, Grad Texts in Math vol 52,Springer-Verlag, New York.
[22] A Levin (2014),On the Schmidt subspace theorem for algebraic points, Duke Math J Vol 163.No 15, 2841-2885.
[23] H Matsumura (1980), Commutative Algebra, Benjamin/Cummings Publi- cation Company, Massachusetts.
[24] R Nevanlinna (1925), Zur theorie der meromorphen funktionen, Acta.
[25] E I Nochka (1983), On the theory of meromorphic functions, Sov Math Dokl, 27: 377–81.
[26] J Noguchi and Winkelmann (2014).Nevanlinna Theory in Several Complex Variables and Diophantine Approximation, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 350, Springer Japan.
[27] C F Osgood (1981),A number theoretic-differential equations approach to generalizing Nevanlinna theory, India J Math 23, 1–15.
[28] S D Quang (2019), Schmidt’s subspace theorem for moving hypersurfaces in subgeneral position, Int J Number Theory, https://doi.org/10.1142/S1793042118500082.
[29] S D Quang (2019), Degeneracy second main theorems for meromorphic mappings into projective varieties with hypersurfaces, Trans Amer Math.
[30] S D Quang and D P An (2017), Second main theorem and unicity of meromorphic mappings for hypersurfaces in projective varieties, Acta Math.
[31] M Ru (2004), A defect relation for holomorphic curves intersecting hyper- surfaces, Amer J Math, 126, 215–226.
[32] M Ru (2009),Holomorphic curves into algebraic varieties,Ann Math.169, 255–267.
[33] M Ru and W Stoll (1991), The second main theorem for moving targets,
