3 Định lí khơng gian con Schmidt đối với siêu mặt di động giao đa
3.1.4 Họ siêu phẳng, siêu mặt di động trên một tập chỉ số
Ta gọi mỗi ánh xạ x : Λ −→ PM(k) là một họ các điểm di động x(α) trong
PM(k) với α∈Λ.
Ta gọi mỗi ánh xạ H : Λ −→ (PM(k))∗ (không gian đối ngẫu) là một siêu phẳng di động trên Λ, hay nói cách khác mỗi siêu phẳng di động H trênΛ chính là một họ các siêu phẳng H(α) trong PM(k), α∈Λ.
Ta gọi mỗi họ đa thức thuần nhất{Q(α)}α∈Λ bậcd trongk[x0, . . . , xM]là một
siêu mặt di động Q trong PM(k)có bậcd, được đánh chỉ số trênΛ. Mỗi siêu mặt di động Q có thể viết dưới dạng Q=P
I∈TdaIxI với các hệ số aI là hàm trên Λ nhận giá trị trong k và khơng có khơng điểm chung.
Xét họ Q:= {Q1, . . . , Qq} các siêu mặt di động trong PM(k), được đánh chỉ số trên Λ. Ta biểu diễn
Qj = X I∈Tdj
aj,IxI (j = 1, . . . , q)vớidj = degQj.
Định nghĩa 3.1.8. Với mỗi j ∈ {1, . . . , q}, ta viết Tdj = {Ij,1, . . . , Ij,Mdj}, ở đó
Mdj := dj+MM . Một tập con gồm vô hạn phần tử A ⊂ Λ được gọi là nhất quán đối với họ Q nếu với mọi đa thức P ∈k[x1,1, . . . , x1,Md
1, . . . , xq,1, . . . , xq,Mdq] thuần nhất đối với mỗi bộ các biến xj,1, . . . , xj,Mdj (với j ∈ {1, . . . , q}), thì
P(a1,I1,1(α), . . . , a1,I1,Md
1(α), . . . , aq,Iq,1(α), . . . , aq,I
q,Mdq(α))
hoặc triệt tiêu tại mọi α∈A hoặc triệt tiêu tại hữu hạn α∈A.
Ta có kết quả sau mà cách chứng minh hoàn toàn tương tự cách chứng minh của Bổ đề 1.1 trong [34].
Bổ đề 3.1.9. Tồn tại tập con vô hạn A⊂Λ nhất quán đối với họ Q.
Cho A ⊂ Λ là một tập chỉ số vô hạn. Với mỗi tập con C ⊂ A có phần bù hữu hạn trong A ta kí hiệu ánh xạ a : C −→ k bởi cặp (C, a). Với C1, C2 ⊂A là các tập con của A có phần bù hữu hạn, hai cặp (C1, a1) và (C2, a2) được gọi là
tương đương nếu tồn tại tập con C ⊂ C1 ∩C2 có phần bù hữu hạn trong A và
a1|C =a2|C. Kí hiệu R0A là tập các lớp tương đương của các cặp (C, a) với quan hệ tương đương trên. Ta thấyR0A có cấu trúc tự nhiên của một vành. Hơn nữa, có thể nhúng k vào R0
A bằng cách coi mỗi phần tử của k là một hàm hằng. Giả sử A ⊂ Λ là một tập nhất quán đối với họ siêu mặt di động Q. Với mỗi j ∈ {1, . . . , q}, ta cố định một chỉ số Ij ∈ Tdj sao cho aj,Ij ̸≡ 0 (theo nghĩa
aj,Ij(α) ̸= 0 với mọi α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn), khi đó aj,I
aj,Ij xác định một phần tử thuộc R0
A với mọi I ∈ Tdj, đó là
{α∈A:aj,Ij(α)̸= 0} −→k, α7→ aj,I(α)
aj,Ij(α).
Do tính nhất quán của A nên vành con của R0A sinh ra trên k bởi các phần tử nói trên là một miền nguyên (xem p.3, [22]). Gọi RA,Q làtrường các thương của miền nguyên này. Ta có nhận xét sau.
Nhận xét 3.1.10. Giả sử B ⊂A⊂Λ là hai tập con vô hạn các chỉ số. Khi đó, nếuA nhất quán đối với họ các siêu mặt Q thì B cũng nhất quán đối với họ siêu mặt đó, và RB,Q ⊂ RA,Q
Gọi A là tập các hàm {α ∈A : aj,Ij(α) ̸= 0} −→ k, α 7→ aj,I(α)
aj,Ij(α) và kQ là tập các tổng hình thức có dạng Psm=1tmQsi=1cnii , trong đó tm ∈ k, ci ∈ A, ni ∈ N.
Với mỗi cặp(bb,bc)∈kQ2 màbc(α)̸= 0 với mọiα∈A, ngoài một tập con hữu hạn, ta
xác định hàm bb
bc :{α:bc(α)̸= 0} −→ k, α 7→bb
bc(α) :=
bb(α)
bc(α). Gọi RbA,Q là tập tất cả các hàm như vậy. Khi đó, mỗi phần tửa ∈ RA,Qlà lớp của một hàmbathuộcRbA,Q.
Ta gọibalà một đại diện đặc biệt củaa.Rõ ràng, với hai đại diện đặc biệt bất kỳ ba1,ba2 của cùng một phần tử a ∈ RA,Q, ta có ba1(α) =ba2(α) với mọi α∈A, ngoài
một tập con hữu hạn. Với đa thức thuần nhất P :=P
IaIxI ∈ RA,Q[x0, . . . , xM], và với mỗi I giả sửbaI là một đại diện đặc biệt của aI,khi đó Pb:=PIbaIxI được gọi là một đại diện đặc biệt của P. Với mỗi α ∈ A sao cho tất cả các hàm baI
xác định tại α, đặt Pb(α) := P
IbaI(α)xI ∈ k[x0, . . . , xM] và nói rằng Pb xác định tại α. Lưu ý rằng mỗi đại diện đặc biệt Pb của P được xác định với mọi α ∈A,
ngoài một tập con hữu hạn, và nếu Pb1,Pb2 cùng là đại diện đặc biệt của P thì b
P1(α) =Pb2(α) với mọi α∈A, ngồi một tập con hữu hạn.
Cho V ⊂ PM(k) là một đa tạp đại số xạ ảnh n chiều sinh bởi ideal thuần nhất I(V).
Định nghĩa 3.1.11. Một điểm di động x = [x0 :· · · :xM] : Λ −→V được gọi là
V-không suy biến đại số ứng với Q (hay còn gọi là không suy biến đại số trên
V) nếu với mỗi tập nhất quán A ⊂ Λ ứng với Q, không tồn tại đa thức thuần
nhất P ∈ RA,Q[x0, . . . , xM]\ IA,Q(V) sao cho Pb(α)(x0(α), . . . , xM(α)) = 0 với mọi
α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn, với một (và cũng là với mọi) đại diện đặc
biệt Pb của P, trong đó IA,Q(V) là ideal của RA,Q[x0, . . . , xM] sinh bởi I(V).
Định nghĩa 3.1.12. Họ các siêu mặt di động Q={Qj}qj=1, (q≥n+ 1) được gọi là ở vị trí tổng quát trên V (hay còn gọi là V-chấp nhận được) nếu với mỗi bộ
1≤j0<· · ·< jn ≤q, hệ phương trình
Qji(α)(x0, . . . , xM) = 0, 0≤i≤n,
khơng có nghiệm (x0, . . . , xM) thỏa mãn (x0 : · · · : xM) ∈ V(k) với mọi α ∈ Λ,
ngồi một tập con hữu hạn, trong đó k là bao đóng đại số của k.