3 Định lí khơng gian con Schmidt đối với siêu mặt di động giao đa
3.1.1 Định giá trên trường số
Định nghĩa 3.1.1. Một hàm số thực |.|:k −→R+ thỏa mãn các tính chất sau được gọi là một định giá trên k, và cặp (k,|.|) (hay đơn giản là k) được gọi là
trường định giá.
(i) |x|= 0 nếu và chỉ nếu x= 0,
(ii) |xy|=|x|.|y|, với mọi x, y ∈k,
Định giá có điều kiện (iii) được thỏa mãn với C = 1 gọi là định giá không Archimedes, ngược lại gọi là định giá Archimedes.
Định giá thỏa mãn |x|= 1 với mọi x̸= 0 và |0|= 0 trên k được gọi là định giá tầm thường.
Định nghĩa 3.1.2. Hai định giá |.|1 và |.|2 được gọi là tương đương nếu tồn tại hằng số c >0 để |x|1=|x|c
2, với mọi x∈k.
Định lí 3.1.3.
(i) Hai định giá |.|1 và |.|2 tương đương khi và chỉ khi điều kiện sau được thỏa mãn
|x|1 <1⇐⇒ |x|2 <1.
(ii) Với một định giá bất kỳ ln có một định giá tương đương thỏa mãn bất đẳng thức tam giác, nghĩa là |x+y| ≤ |x|+|y|, với mọi x, y ∈k.
Kí hiệuMk là tập tất cả các lớp tương đương các định giá không tầm thường trên k và Mk∞, Mk0 tương ứng là tập các lớp tương đương của các định giá Archimedes và khơng Archimedes trong Mk. Ta có Mk =Mk0∪Mk∞.
Trong trường hợp k =Q là trường số hữu tỉ, ta thấy.
Hàm giá trị tuyệt đối thông thường|x|= max{x,−x} thỏa mãn Định nghĩa 3.1.1 (iii) với C = 2 nên nó là một định giá Archimedes và gọi là định giá Archimedes chính tắc, kí hiệu |.|∞.
Với plà một số nguyên tố vàx∈Q, khi đó xđược biểu diễn được duy nhất thành x=pra
b (r∈ Z;a, b∈Zvà không chia hết chop). Đặt |x|p=p−r, khi đó hàm |.|p xác định một định giá khơng Archimedes trên Q gọi là định giá p-adic.
Định lí 3.1.4. Mỗi định giá không tầm thường trên Q tương đương với hoặc định giá Archimedes chính tắc hoặc một định giá p-adic.
Rõ ràng ta có MQ={p >1, plà số nguyên tố} ∪ {∞}.
Trên một trường k tùy ý, mỗi định giáv xác định một khoảng cách và do đó xác định một tơpơ trên k. Định lí 3.1.3(i) cho thấy hai định giá là tương đương
nếu và chỉ nếu chúng cùng xác định một tôpô trên k. Trường k với khoảng cách xác định bởi v là đầy thì v được gọi là định giá đầy và cặp (k, v) (hay đơn giản hơn là k) được gọi là trường định giá đầy. Trường hợp ngược lại (v khơng đầy) ta kí hiệu kv là bao đầy của k ứng với định giá v. Ta có tính chất sau.
Định lí 3.1.5.
(i) Nếu v khác tầm thường thì kv là một trường và v được mở rộng duy nhất tới định giá vˆ trên kv sao cho v(x) =ˆ v(x),∀x ∈ k. Nếu v trên k là khơng Archimedes thì ˆv trên kv cũng là không Archimedes
(ii) Nếu v là khơng Archimedes và k là trường đóng đại số thì kv cũng là trường đóng đại số.
Nếu k′ là một mở rộng trường của k, v và v′ tương ứng là các định giá trên
k và k′ sao cho v′|k =v thì ta nói v′ nằm trên v và viết v′|v.
Định lí 3.1.6. Giả sử (k, v) là một trường định giá đầy và k′ là trường mở rộng hữu hạn của k. Khi đó, mỗi định giá v được mở rộng duy nhất đến định giá v′
trên k′. Hơn nữa, (k′, v′) cũng là một trường định giá đầy.
Giả sử v là một định giá không Archimedes không tầm thường trên k. Kí
hiệu vˆ là định giá mở rộng trên bao đầy kv. Theo định lí trên, ˆv được mở rộng tới định giá vˆ trên bao đóng đại số kv của kv.