3 Định lí khơng gian con Schmidt đối với siêu mặt di động giao đa
3.1.2 Chuẩn hóa định giá và cơng thức tích
Giả sử trường số k có bậc d. Trên k, mỗi định giá v được chuẩn hóa như sau. +) Nếu v là Archimedes.
Gọi {σj}d
j=1 là tập các phép nhúng k vào C trên Q (d = [k : Q]). Ngoài các phép nhúng thực (ảnh vào R) các phép nhúng còn lại chia thành các cặp phức liên hợp. Mỗi phép nhúng thực và mỗi cặp nhúng phức liên hợp xác định một lớp định giá
|x|σj :=|σj(x)|, x∈k.
Mỗi định giá Archimedes tương đương với một trong các định giá |.|σj nói trên. Giả sử định giá Archimedes v tương đương với |.|σj với j nào đó. Khi đó, ta chuẩn hóa định giá này bởi
∥x∥v:=|x|
dσj d
ở đó dσj = 1 nếu σj là nhúng thực và dσj = 2 nếu σj là nhúng phức. +) Nếu v là khơng Archimedes.
Khi đó v là một mở rộng của một định giá p-adic |.|p trên Q, ứng với số nguyên tố p nào đó. Kí hiệu Qp là bao đầy của Q ứng với định giá p - adic |.|p. Với x ∈k, xét tự đồng cấu tuyến tính µx của Qp-khơng gian véc tơ kv, cho bởi
µx(y) =xy. Định thức Nkv/Qp(x) của tự đồng cấu tuyến tính này là một phần tử thuộc Qp và được gọi là chuẩn của x. Khi đó, mở rộng bậc dv = [kv :Qp] của v
cho bởi
|x|v :=|Nkv/Qp(x)| 1
dv
p và v được chuẩn hóa bởi
∥x∥v :=|x|dvd
v =|Nkv/Qp(x)| 1
d
p.
Định lí 3.1.7. Dạng chuẩn ∥.∥v của v thỏa mãn các tính chất sau.
(i) ∥x∥v ≥0, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x= 0;
(ii) ∥xy∥v =∥x∥v· ∥y∥v, với mọi x, y ∈k;
(iii) ∥x1+· · ·+xn∥v ≤Bvnv·max{∥x1∥v;. . .;∥xn∥v} với mọi x1;. . .;xn ∈k, n∈N, trong đó nv=dv/d , Bv = 1 nếu v là không Archimedes và Bv =n nếu v là Archimedes.
Lưu ý rằng trong trường hợpk =Q, doMQ={p >1, plà số nguyên tố}∪{∞} và do định nghĩa |.|p, |.|∞ ta có cơng thức sau gọi là cơng thức tích.
Y
v∈MQ
|x|v = 1, x∈Q∗.
Mở rộng sang trường số k bất kỳ với định giá được chuẩn hóa như trên ta cũng có cơng thức tích sau.
Y
v∈Mk
∥x∥v = 1 với mỗix∈k\ {0}.