Như đã nói trong phần Tổng quan, với Định lí Picard đạt được ở trên, kết hợp với các Bổ đề kiểu Zalcman dưới đây, chúng tôi đã đạt được một tiêu chuẩn Brody cho đường cong nguyên là Định lí 2.2.8.
Bổ đề 2.2.6 (Aladro-Krantz [5], Định lí 3.1). Cho D là một miền trong Cn và
(M, E) là một đa tạp phức Hermite compact. Khi đó, họ F ⊂ Hol(D, M) không
chuẩn tắc trên D nếu và chỉ nếu tồn tại tập con compact K của D, các dãy
{zk} ⊂K, {fk} ⊂ F, {ρk} ⊂R với ρk →0+, và {ξk} ⊂Cn với ∥ξk∥= 1, sao cho
gk(ζ) :=fk(zk +ρkξkζ), ζ ∈C
hội tụ đều trên các tập con compact của C tới một đường cong nguyên khác hằng
g.
Bổ đề trên được phát biểu lại cho trường hợp miền D là C như sau.
Bổ đề 2.2.7. Cho F là một họ các ánh xạ chỉnh hình từ C vào Pn(C). Nếu họ F khơng chuẩn tắc thì tồn tại các dãy {zk} ⊂ C với zk → z0 ∈ C, {fk} ⊂ F, {ρk} ⊂ R với ρk →0+, sao cho gk(ζ) :=fk(zk +ρkζ) hội tụ đều trên các tập con compact của C đến ánh xạ chỉnh hình khác hằng g từ C vào Pn(C).
Định lí 2.2.8(N.T.Son - T.V.Tan, [39], 2022). Cho f là một đường cong nguyên trong Pn(C),n ≥2. Giả sử các siêu mặt D1, . . . , Dq ở vị trí tổng quát trongPn(C)
sao cho f# bị chặn trên ∪qj=1f−1(Dj). Khi đó f là một đường cong Brody nếu
q >3n n+dn −n, trong đó d là bội chung nhỏ nhất của degD1, . . . ,degDq.
Chứng minh. Gọi (f0, . . . , fn) là một biểu diễn rút gọn của f. Giả sử f khơng là đường cong Brody. Khi đó, theo Mệnh đề 2.1.21, họ F := {fa(z) := f(a+z) : a ∈ C} là không chuẩn tắc. Theo Bổ đề 2.2.7, tồn tại các dãy {zk} ⊂ C với
zk → z0 ∈ C, {ak} ⊂ C, {ρk} ⊂ R với ρk → 0+, sao cho gk(ζ) := fak(zk +ρkζ) = f(ak +zk +ρkζ) hội tụ đều trên các tập con compact của C đến ánh xạ chỉnh hình khác hằng g từ C vào Pn(C).
Với mỗi j0 ∈ {1, . . . , q} thỏa mãn g(C) ̸⊂ Dj0, ta sẽ chứng minh g#(ξ) = 0 với mọi ξ ∈g−1(Dj0). Thật vậy, xét một điểm tùy ý ξ0 ∈g−1(Dj0). Theo Định lí Hurwitz có các giá trị {ξk} (với mọi k đủ lớn), ξk →ξ0 sao cho ξk ∈gk−1(Dj0), và như vậy, ak+zk+ρkξk ∈f−1(Dj0). Theo giả thiết, tồn tại hằng số dương M sao cho với mọi k đủ lớn,
f#(ak +zk +ρkξk)≤M. Khi đó g#(ξ0) = lim k→∞g#k(ξk) = lim k→∞ρkf#(ak +zk+ρkξk) = 0.
Từ đó, với mỗi j ∈ {1, . . . , q}, hoặc g(C)⊂Dj, hoặc g#= 0 trên g−1(Dj). Vì vậy, với n ≥2 và q >3n n+dn −n, theo Định lí 2.2.5 ta có g là một đường cong hằng, điều này không thể xảy ra. Vậy f phải là một đường cong Brody.