Chương 9: Định lý ánh xạ co pdf

CHƯƠNG 19 Bây giờ chúng ta có đủ thông tin về số liệu không gian để xem xét một số ứng dụng thú vị. Chúng tôi đầu tiên sẽ chứng minh một kết quả được gọi là định lý lập ánh xạ co và sau đó sử dụng nó để tìm giải pháp cho các hệ thống phương trình tuyến tính và phương trình tích phân xác định. Kể từ khi chương này chứa chủ yếu là ví dụ, chúng ta sẽ làm cho việc sử dụng tự do của tính toán từ đầu tính toán. Mặc dù nó có lẽ sẽ là hợp lý để trì hoãn các vấn đề này cho đến khi chúng ta đã phát triển các sự kiện cần thiết liên quan đến tích phân, các đạo hàm và lũy thừa, tuy nhiên nhiều điều để nói cho trình bày một số ứng dụng không tầm thường tương đối sớm. 19.1. ĐỊNH LÝ ÁNH XẠ CO 19.1.1. Định nghĩa. Một ánh xạ f: M → N giữa không gian metric là co nếu có tồn tại một điểm c liên tục mà 0 <c <1 và d (f (x), f (y)) ≤ cd (x, y) với x, y ∈ M. Số c là co liên tục cho f. Một ánh xạ cũng đươc gọi là được gọi là sự co. 19.1.2. Bài tập: Chứng minh rằng tất cả các ánh xạ co liên tục. (Q.19.1.) 19.1.3. Ví dụ: Cho ánh xạ f : 2 3 R R→ xác định bởi 1 1 1 1 ( , ) (1 ,1 ,2 ) 3 3 3 3 f x y x y x y= − + + − là co. Chứng minh: (Q.19.2) 19.1.4. Ví dụ. Ánh xạ 2 2 1 1 : : ( , ) ( (1 ), (3 )) 2 2 f R R x y y x→ + −a là một ánh xạ co trên 2 2 ,R R có không gian metric thường. CHỨNG MINH. Vấn đề. Định lý tiếp theo là cơ sở cho một số ứng dụng thú vị. Ngoài ra, nó sẽ bật ra là một thành phần quan trọng của định lý hàm ngược rất quan trọng (trong chương 29). Mặc dù tuyên bố của định lý 19.1.5 là quan trọng trong các ứng dụng, bằng chứng của nó thậm chí còn hơn thế nữa. Định lý này đảm bảo sự tồn tại và tính độc đáo của các giải pháp cho một số loại phương trình; bằng chứng cho phép chúng tôi tính xấp xỉ những giải pháp như chặt chẽ của chúng tôi cho phép máy móc thiết bị tính toán. Nhớ lại từ chương 5 là một điểm cố định của một f ánh xạ từ một tập hợp S vào chính nó là một điểm p ∈ S như vậy mà f (p) = p. 19.1.5.Định lý (Ánh xạ co). Mỗi ánh xạ co từ một không gian metric đầy đủ vào chính nó có một điểm duy nhất cố định. Chứng minh. Gợi ý. M là một không gian metric đầy đủ và f:M → M là co. Bắt đầu với một 0 x điểm tùy ý trong M. Có được một chuỗi ( n x ) trong M bằng cách cho 1 0 2 1 ( ), ( ), x f x x f x= = Cho thấy trình tự này là Cauchy. (Đáp án Q.19.3.) 19.1.6. Ví dụ. Chúng ta sử dụng định lý Ánh xạ co để giải quyết các hệ phương trình sau đây: (19.1) Xác định 2 2 : : ( , ) (9 2 ,3 8 )S R R x y x y x y→ − +a . Hệ phương trình (19.1) có thể được viết như là một phương trình duy nhất S(x, y) = (7, 11) hoặc tương đương như: (x, y) - S (x, y) + (7, 11) = (x, y). (19,2) Định nghĩa. Cộng và trừ vào R2 được định nghĩa coordinatewise. Đó là, nếu (x, y) và (u, v) là điểm , sau đó (x, y) + (u, v) = (x + u, y + v) và (x, y) - (u, v) = (x - u, y - v ). Tương tự định nghĩa tập bị chặn cho với n> 2]. Đặt T (x, y) là ở phía bên tay trái (19,2). Ta được: T: → : (x, y) → (x, y) - S (x, y) + (7, 11). Với ký hiệu này (19,2) trở thành: T (x, y) = (x, y). Như vậy, và đây là điểm rất quan trọng, để giải quyết (19.1), chúng ta chỉ cần tìm thấy một điểm cố định của ánh xạ T. Nếu T là co, thì định lý trước đó đảm bảo T có một điểm duy nhất cố định và do đó hệ phương trình (19.1) có một phương pháp giải duy nhất. Thật tiếc, những quan điểm đó, T không phải là co đối với các không gian metric tích trên . (Cho thuận tiện mà chúng ta sử dụng không gian metric tích trên hơn là Euclide thông thường căn bậc hai quả là một mối phiền toái.) Thấy rằng T không phải là co chú ý rằng ((1, 0), (0, 0)) = 1 trong khi (T (1, 0), T (0, 0)) = ((-1, 8), (7, 11)) = 11. Tất cả là không bị mất bằng bất cứ cách nào. Một biện pháp khắc phục đơn giản là chia tất cả mọi thứ trong (19.1) bởi c lớn tùy ý. Một thử nghiệm nhỏ cho thấy rằng c = 10. Thay vì làm việc với hệ (19.1), hãy xem xét hệ: (19.3) mà rõ ràng là có các phương pháp tương tự như (19.1). Xác định lại S và T ở dạng cụ thể: Đặt S: → : (x, y) → (0.9x - 0.2y, 0.3x + 0.8y) và T: → : (x, y) → (x, y) - S (x, y) + (0.7, 1.1). Vì vậy định nghĩa lại, T co đối với không gian metric tích. C hứng minh: Từ T (x, y) = (0.1x + 0.2y + 0,7-0.3x + 0.2y + 1,1) (19,4) Với (x, y) , chúng ta thấy rằng d(T (x, y) ,T (u, v)) = (|(x + 2y) - (u + 2v) | + | (-3x + 2y) - (-3u + 2v) |) ≤ (| x - u | + 2 | y - v | + 3 | x - u | + 2 | y - v |) = 0.4 (| x - u | + | y - v |) = 0.4 ((x, y), (u, v)) (19,5) Với tất cả các điểm (x, y) và (u, v) thuộc . Bây giờ từ T là co và là đầy đủ (đối với không gian metric tích xem 18.2.9), các định lý ánh xạ co (19.1.5) cho chúng ta biết rằng T có một điểm duy nhất cố định. Nhưng một điểm cố định của T là một giải pháp cho hệ (19,3) và cho (19.1). Bài toán được sử dụng trong các chứng minh của 19.1.5 cho phép chúng tôi tính gần đúng điểm cố định của T để mong muốn bất kỳ mức độ chính xác. Trong chứng minh đó chọn là bất kỳ điểm nào bất cứ điều gì trong R2. Sau đó, các điểm ,. . . ( = T( -1) cho mỗi n) hội tụ về các điểm cố định của T. Đây là một kỹ thuật đẻ tính xấp xỉ liên tiếp. Đối với ví dụ này cho = (0, 0). (Gốc được chọn cho thuận tiện.) Bây giờ sử dụng (19,4) và tính toán. = (0, 0) = T(0, 0) = (0.7, 1.1) = T(x1) = (1.021, 1.025) = T(x2) = (1.0071, 0.9987) ………… Nó là cơ sở phỏng đoán rằng hệ (19.1) có một giải pháp bao gồm các con số hợp lý và sau đó đoán rằng các điểm . như tính toán ở trên đang hội tụ để các điểm (1, 1) trong . Trong (19,4), Đặt x = 1 và y = 1 chúng ta thấy rằng các điểm (1, 1) thực sự là điểm cố định của T và do đó giải quyết được (19.1). Trong ví dụ trên, chúng tôi phát hiện ra một giải pháp chính xác một hệ phương trình. Nói chung, tất nhiên, chúng ta không thể hy vọng rằng một kỹ thuật xấp xỉ kế tiếp sẽ mang lại câu trả lời chính xác. Trong những trường hợp không chính xác, nó là quan trọng nhất để có một số ý tưởng làm thế nào chính xác với xấp xỉ của chúng tôi. Sau khi lặp đi lặp lại n lần, làm thế nào lấy kết quả gần đúng với các giải pháp thực sự? Bao nhiêu lần lặp lại phép toán để đạt được một mức độ mong muốn chính xác? Câu trả lời cho những câu hỏi trong một hệ quả dễ dàng chứng minh định lý 19.1.5. 19.1.7.Hệ quả. Cho không gian M, ánh xạ f, dãy ( ), c: hằng số, và điểm p như trong định lý 19.1.5 và chứng minh của nó. Khi đó với mỗi m ≥ 0 Chứng minh: bất dẳng thức (Q.11) trong các chứng minh của 19.1.5 nói rằng m < n Giới hạn đi từ . 19.1.8. Định nghĩa. Ký hiệu như trong những hệ quả trước. Nếu chúng ta nghĩ các điểm như là xấp xỉ thứ n tới p, thì khoảng cách d ( , p) giữa và p là các sai số liên quan đến xấp xỉ thứ n. Chú ý rằng vì không gian metric tích đã được lựa chọn cho trong ví dụ 19.1.6, "sai số" có nghĩa là tổng của các sai số trong x và y. Nếu chúng tôi muốn cho "sai số" là tối đa những sai số trong x và y, chúng tôi sẽ sử dụng các số liệu thống nhất trên . Tương tự như vậy, nếu bình phương trung bình "sai số" đã được mong muốn (có nghĩa là, căn bậc hai của tổng của các bình phương trong x và y), sau đó chúng tôi đã có thể sử dụng các không gian metric Euclide thông thường trên . 19.1.9. Ví dụ. Cho ( ) là dãy các điểm trong xem xét trong ví dụ 19.1.6.Chúng tôi thấy rằng ( ) hội tụ đến điểm p = (1, 1). (a) Sử dụng hệ quả 19.1.7 để tìm thấy một trên ràng buộc cao hơn cho các sai số có liên quan với xấp xỉ (b) Các lỗi thực tế kết hợp với là gì? (c) Theo 19.1.7 như thế nào về trình tự ( ), chúng ta nên tính toán để đảm bảo có được một xấp xỉ đó là chính xác trong vòng ? (Q.19.4.) 19.1.10. Vấn đề. Chứng minh bằng ví dụ rằng kết luận của định lý ánh xạ co là sai nếu: (a) liên tục co được phép có giá trị 1 hoặc (b) không gian không phải là đầy đủ. 19.1.11. Vấn đề. Chứng minh ánh xạ g: [0, ∞) → [0, ∞): x → 1 / (x + 1) không phải là một ánh xạ co mặc dù cho tất cả x, y ≥ 0 với x # y. 19.1.12. Vấn đề. Cho với x ≥ 1. (a) Chứng minh rằng ánh xạ f: f  f trong [1, ∞). (b) Chứng minh rằng f là ánh xạ co. (c) Cho và n ≥ 0 cho Chứng tỏ rằng ( ) là chuỗi hội tụ. (d) Tìm (e) Chứng minh rằng khoảng cách giữa và giới hạn được tìm thấy trong (d) không lớn hơn . 19.1.13. Vấn đề. Giải hệ phương trình: theo ví dụ 19.1.6. Gợi ý. Như ở 19.1.6 chia cho 10 để có được một ánh xạ co. Trước khi đoán một giải pháp hợp lý, tính toán 10 hoặc 11 xấp xỉ liên tiếp. Vì điều này liên quan đến việc rất nhiều về số học, nó sẽ rất hữu ích để hỗ trợ một số bài toán lập trình máy tính, ví dụ 19.1.14. Vấn đề. Xem xét hệ phương trình sau đây: (a) Giải quyết các phương trình theo phương pháp của ví dụ 19.1.6. Gợi ý. Bởi vì sự co liên tục gần 1, xấp xỉ hội tụ từ từ. Nó có thể mất 20 hoặc 30 lần lặp lại trước khi nó có các giải pháp chính xác (hợp lý). Vì vậy, trong các Ví dụ trước, nó sẽ được sử dụng để trợ giúp tính toán. (b) Đặt ( ) là trình tự của xấp xỉ R3 hội tụ các phương pháp của phương trình (a). Sử dụng hệ quả tất yếu 19.1.7 để tìm thấy một ràng buộc cao hơn các sai số liên quan đến xấp xỉ . (c) 4 chữ số thập phân, các sai số thực tế liên quan với là những gì? (d) Theo 19.1.7, có bao nhiều điều kiện phải được tính toán để đảm bảo rằng trong các sai số của chúng tôi xấp xỉ là không lớn hơn ? 19.1.15. Vấn đề. Cho là vòng quay của mặt phẳng về điểm (0, 1) 1 góc π radian. Cho là ánh xạ trong đó có các điểm (x, y) với điểm giữa của đường thẳng nối (x, y) và (1, 0). (a) Chứng minh rằng là một ánh xạ co trong R2 (với số liệu thông thường của nó). (b) Tìm các điểm cố định duy nhất của . (c) Cho và xác định (như trong các bằng chứng của 19.1.5) cho tất cả các n ≥ 0. Đối với mỗi n tính toán chính xác khoảng cách Euclide giữa ( , ) và điểm cố định của g ◦ f. 19.2. Áp dụng cho phương trình tích phân 19.2.1.Bài tập. Sử dụng định lý 19.1.5 để giải quyết phương trình tích phân (19.6) Gợi ý. Chúng ta muốn tìm một hàm f liên tục mà đáp ứng (19.6) cho tất cả các x ∈ R. Hãy xem xét ánh xạ T mà có mỗi hàm f liên tục vào hàm Tf có giá trị tại x được cho bởi [Điều quan trọng là cần lưu ý rằng những hoạt động của T trên hàm, không trên số. Vì vậy Tf(x) là được giải thích như (T(f))(x) và T(f(x)).] Mặc khác để sử dụng định lý 19.1.5 thì phải là ánh xạ co. Một cách để đạt được điều này là để hạn chế sự chú ý của của chúng ta để hàm lien tục trong [0,1] và sử dụng dạng metric trên C([0,1],R). Khi một hàm liên tục f được tìm thấy như (19.6) được hài lòng cho tất cả các x trong [0,1], nó là vấn đề đơn giản để kiểm tra liệu (19.6) giữ cho tất cả các x trong R. Hãy xem ánh xạ sau: Trong đó: với mọi x ∈ [0, 1]. Không gian C ([0, 1], R) là đầy đủ. (Tại sao?) Chứng minh rằng T là co bởi ước tính | Tf (x) - Tg (x) |, f và g là các hàm liên tục trên [0, 1], và các cận trên trên tất cả các x trong [0, 1]. Có thể kết luận gì từ định lý 19.1.5 về (19,6)? Để thực sự tìm thấy một giải pháp (19,6), sử dụng các chứng minh của 19.1.5 (có nghĩa là, xấp xỉ kế tiếp. Để đơn giản bắt đầu với hàm zero trong : Đặt (x) = 0 cho 0 ≤ x ≤ 1. Với n ≥ 0 Cho (x) = T (x) với 0 ≤ x ≤ 1. Tính toán , , , . Bạn sẽ có thể đoán những gì sẽ được. (Nó là dễ dàng để xác minh tính đúng đắn của đoán của bạn bằng cảm ứng, nhưng nó không phải là cần thiết để làm này.) Tiếp theo, cho hàm f là giới hạn của dãy ( ). Ta có, f là chuỗi lũy thừa mở rộng, khai triển chuỗi như là tổng từng phần thứ n lần. Chuổi lũy thừa mở rộng phải là một mà bạn đã quen thuộc từ đầu tính toán; chức năng nó đại diện? Cuối cùng, chứng minh bằng cách tính toán trực tiếp rằng chức năng này cơ bản không thực tế đáp ứng (19,6) cho tất cả các x trong R. (Solution Q.19.5.) 19.2.2. Vấn đề. Cho một chứng minh chi tiết rằng có tồn tại duy nhất một hàm f có giá trị lien tục trên [0, 1] có đáp ứng các phương trình tích phân: (Bạn không được yêu cầu để tìm ra cách giải.) 19.2.3. Vấn đề. Sử dụng định lý 19.1.5 để giải quyết phương trình tích phân : Gợi ý. Thực hiện theo các thủ tục của bài tập 19.2.1. Hãy nhớ rằng lý do duy nhất để lựa chọn đặc biệt trong [0, 1] trong 19.2.1 là để làm cho ánh xạ T là co. 19.2.4. Vấn đề. Đối với mỗi trong xác định: Trong đó 0 ≤ x ≤ . Chứng minh rằng T là sự co. Tìm điểm cố định của T. Bạn đã giải quyết phương trình tích phân gì? . từ chương 5 là một điểm cố định của một f ánh xạ từ một tập hợp S vào chính nó là một điểm p ∈ S như vậy mà f (p) = p. 19.1.5 .Định lý (Ánh xạ co) . Mỗi ánh. không tầm thường tương đối sớm. 19.1. ĐỊNH LÝ ÁNH XẠ CO 19.1.1. Định nghĩa. Một ánh xạ f: M → N giữa không gian metric là co nếu có tồn tại một điểm c liên