Đang tải... (xem toàn văn)
1 TOÁN CAO CẤP VÀ ỨNG DỤNG TOÁN CAO CẤP VÀ ỨNG DỤNG 1 PHẦN 1 ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH (30 tiết) 4 Chương 0 Giới thiệu về hàm số trong kinh tế 4 0 1 Một số khái niệm cơ bản 4 0 2 Giới hiệ mộ ố h m ố ơ c cơ bả.
TOÁN CAO CẤP VÀ ỨNG DỤNG TOÁN CAO CẤP VÀ ỨNG DỤNG PHẦN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH (30 tiết) Chương 0: Giới thiệu hàm số kinh tế 0.1 Một số khái niệm 0.2 Giới hiệ mộ ố h m ố c 0.3 Giới hiệ mộ ố m h nh n inh ế Chương Ma trận v định thức 11 1.1 Khái niệm ma trận 11 1.2 Phé n ma trận 14 1.2.1 Phép cộng hai ma trận c p 14 1.2.2 Phé nhân v hướng ma trận với số thực 15 1.2.3 Tích hai ma trận 15 1.3 Định thức 18 1.3.1 Định thức ma trận vuông 18 1.3.3 Định thức ma trận tích 23 1.4 Hạng ma trận 23 1.4.1 Định nghĩa 23 1.4.3 Cách tính hạng ma trận 24 1.5 Ma trận nghịch đảo 25 1.5.1 Khái niệm 25 1.5.2 Điều kiện tồn nh t 26 1.5.3 Phương h m ma rận nghịch đảo 27 Chương Hệ hương r nh yến tính 28 2.1 Khái niệm 28 2.2 Phương h giải 29 2.2.1 Hệ Cramer 29 2.2.2 Phương h Ga 33 2.2.3 Sử dụng máy tính bỏ túi 35 2.3 M h nh cân đối liên ngành 36 a) Bảng cân đối liên ngành dạng vật 37 b) Bảng cân đối liên ngành dạng giá trị 39 Chương Kh ng gian véc Rn 43 3.1 Khái niệm, tính ch t 43 3.2 Mối quan hệ tuyến tính c c véc 44 3.3 Kh ng gian véc c n 45 PHẦN GIAỈ TÍCH TRONG KINH TẾ VÀ KINH DOANH (30 iế ) 47 Chương Bổ rợ giải ích h m ố biến ố v ứng dụng 47 1.1 Đạo hàm vi phân 47 1.2 Sự liên tục hàm số 51 1.3 Tích phân hàm biến (chỉ giới thiệ định nghĩa, ý nghĩa v c ch ính) 52 2.3.1 Tích phân b định 52 Tích hân x c định 53 2.3.3 Tích phân suy rộng 55 1.4 Khai triển Taylor hàm biến số 56 Chương Gải ích h m ố hai biến ố v ứng dụng 57 2.1 Đạo hàm riêng vi phân hàm biến 57 2.1.1 Giới thiệu giới hạn liên tục hàm hai biến 57 2.1.2 Đạo hàm riêng, vi phân 57 2.2 Cực trị hàm hai biến 57 2.2.1 Cực trị h ng điều kiện 58 2.2.2 Cực trị có điều kiện 61 Chương Ứng dụng giải tích hàm số 1-2 biến số phân tích kinh tế 68 3.1 Sự hay đổi tuyệ đối 68 3.2 Sự hay đổi ương đối 68 3.3 Quan hệ hàm bình quân hàm cận biên, ứng dụng phân tích kinh tế 69 3.4 Quy luật lợi ích cận biên giảm dần 70 3.5 Tính hệ số ăng rưởng với số dạng hàm kinh tế 70 3.6 c định h m hi biế h m cận bi n 71 3.7 c định h m vốn dựa v 3.8 Tính h ng dư ngư i i h m đầ d ng v 71 h ng dư nh ản x 71 PHẦN TÍNH TỐN TÀI CHÍNH CƠ BẢN (15 ) 74 Chương Mộ ố h i niệm ch ng hị rư ng i 74 Lượng cung tiền 75 Lạm phát 75 Trái phiếu 76 Lãi su t 77 Kh u hao 78 Các sản phẩm nợ 78 Cổ phiếu 82 Chương Tính n i 82 2.1 Một số công thức lãi su t v n đề li n 2.1.1 Lãi đơn v chiết kh an đến lãi su t 82 đơn 82 2.1.2 Lãi kép chiết kh u lãi kép 83 2.1.3 Dòng tiền 86 2.1.4 Trái phiếu 90 2.1.5 Thẩm định dự n đầ 91 2.1.6 Kh u hao 92 2.2 Sử dụng MS Excel phân tích giá trị hương n đầ 2.2.1 Tính giá trị khoản đầ 2.2.2 Tính giá trị ương lai khoản đầ 2.2.4 Tính thu nhập thực tế hi có 2.2.4 Một số tậ li n 95 95 97 c động thuế thu nhập lạm phát 98 an đến dòng tiền 100 PHẦN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Chương 0: Giới thiệu hàm số kinh tế 0.1 Một số khái niệm Biến đại lượng mà dấu biến thiên, tức nhận giá trị khác Chẳng hạn, phân tích kinh tế thường gặp loại biến sau đây: - P: Giá (price), - Lợi nhuận (profit), - R: Doanh thu (revenue), - C: Chi phí (cost), -Y: Thu nhập (income), Trong hàm số kinh tế toán, biến phân loại sau: - Biến nội sinh Nếu mơ hình kinh tế xây dựng cách xác thơng qua việc giái mơ hình xác định giá trị biến , chẳng hạn xác định mức giá làm cân thị trường hay mức sản phẩm đầu làm tối đa hóa lợi nhuận Các biến gọi biến nội sinh, giá trị chúng xác định từ mối liên quan nội mơ hình - Biến ngoại sinh Biến ngoại sinh biến với giá trị xác định yếu tố, lực lượng xuất ngồi mơ hình.Vì vậy, độ lớn biến ngoại sinh coi số liệu cho trước Một biến kinh tế nội sinh hay ngoại sinh tùy theo mơ hình hay lí thuyết xem xét Chẳng hạn , nghiên cứu mơ hình cân thị trường giá P loại hàng hóa biến nội sinh Nhưng nghiên cứu lí thuyết chi phí người tieu dùng P lại biến ngoại sinh, P coi số liệu đầu vào cho mơ hình Ngược lại so với biến, số đại lượng có giá trị khơng thay đổi.Hằng số kí hiệu sơ cách tổng quát chữ.Trong trường hợp số kí hiệu chữ, có hàm số dạng tham số.Giá trị tham số coi số sau chúng xác định Các tham số thường kí hiệu chữ thường a, b, c hay biến nội sinh kí hiệu chữ in P, Q, R, C hay …Còn Λ… Biến ngoại sinh phân biệt với biến nội sinh số “0”, chẳng hạn P 0, C0 … Các loại phương trình Mối liên quan biến, hay tham số thể thơng qua phương trình Chúng ta xem xét loại phương trình thường gặp mơ hình kinh tế sau: -Phương trình định nghĩa (definition equation) -Phương trình hành vi (behavioral equation) -Phương trình cân (equilibrium equation) Phương trình định nghĩa đẳng thức mà hai biểu thức thay hai vế có ý nghĩa Như vậy, dấu”=” phương trình định nghĩa phải hiểu dấu (đồng thức) Ví dụ Lợi nhuận định nghĩa thơng qua phương trình định nghĩa sau : = R – C, tức lợi nhuận thu phần dơi doanh thus au trừ chi phí Phương trình hành vi phản ánh cách thức biến thay đổi phụ thuộc vào thay đổi giá trị biến khác Nó bao hàm hành vi có ý thức người (chẳng hạn, xét mối liên quan tiêu dùng tổng hợp phụ thuộc vào thu nhập quốc dân) hành vi vô thức ( chẳng hạn xem xét mối liên quan tổng chi phí sản xuất mức sản phẩm đầu ra) Tuy nhiên, để thiết lập phương trình hành vicần tuân theo giả thiết định Như vậy, dấu “=” hành vi phải hiểu mối liên quan phụ thuộc Ví dụ Xét ví dụ sau phương trình hành vi với C chi phí Q mức sản xuất đầu : - Chi phí C = 75 + 10Q - Chi phí C = 110 + Q2 Các điều kiện sản xuất mô tả hai phương trình khác Trong phương trình thứ chi phí cố định 75, cịn phương trình thứ hai chi phí cố định 110 Sự biến thiên chi phí C khác hai phương trình Trong phương trình thứ Q tăng lên đơn vị C tăng lên 10 đơn vị,cịn trịng phương trình thứu hai Q tăng lên đơn vị Q tăng lên lượng : (Q+1)2- Q2 = 2Q+1 Chẳng hạn Q tăng từ 12 lên 13 C tăng lên 25 đơn vị Phương trình cân mơ tả điều kiện cân bằng, nói điều kiện cần thiết để đạt tới tình trạng cân Ví dụ Xét ví dụ sau phương trình cân : -Qd=Qs : lượng cầu phải lượng cung - S = : Tổng tiết kiệm phải tổng đầu tư Phương trình thứ mơ tả điều kiện cân mơ hình cân thị trường, cịn phương trình thứ hai mơ tả điều kiện cân mơ hình thu nhập quốc dân Về chất, phương trình cân khác vơi phương trình định nghĩa phương trình hành vi Phương trình cân có ý nghĩa quan trọng phân tích kinh tế để tìm trạng thái cân 02 iới thiệu số h m số sơ cấp Hàm số: Giả sử tập hợp X Y miền biến thiên đại lượng biến thiên x y Đại lượng biến thiên y gọi hàm số đại lượng biến thiên x ứng với giá trị xX có tương ứng với giá trị y Y theo qui tắc f Ta viết y=f(x), x đối số y, y hàm số x Trong chương trình này, ta xét hàm số đơn trị, tức ứng với giá trị x có tương ứng giá trị y Về mặt hình học điều có nghĩa miền xác định hàm số, đường thẳng song song với trục tung cắt đồ thị hàm số 1điểm Hàm nhiều biến: X=(x1, x2, …, xn) D Rn; u R Đại lượng biến thiên u gọi hàm số X hay n biến x1, x2, …, xn ứng với giá trị XD có tương ứng giá trị u thuộc R theo qui tắc f Ký hiệu: u = f(X) = f(x1, x2, …, xn) - Đư ng mức: Đường mức hàm số u = f(x1, x2, …, xn) tập hợp tổ hợp đầu vào có mức đầu ra: x , x , , x | f x , x , , x u n n - Một số hàm số sơ cấp bản: +) Hàm luỹ thừa x , hàm mũ x , hàm logarit log ax +) Các hàm lượng giác +) Các hàm lượng giác ngược - Hàm sơ cấp hàm hình thành từ hàm sơ cấp nhờ số hữu hạn phép lấy tổng, hiệu, tích, thương, hàm hợp hàm sơ cấp 03 iới thiệu số m hình tốn inh tế H m cung v h m cầu Khi phân tích thị trường hàng hóa dịch vụ nhà kinh tế sử dụng khái niệm hàm cung hàm cầu để biểu diễn phụ thuộc lượng cung lượng cầu loại hàng hóa vào giá hàng hóa Hàm cung hàm cầu có dạng: Hàm cung: Qs=S(p) Hàm cầu: Qd=D(p) Trong p giá hàng hóa, Qs lượng cung (tức lượng mà người bán hàng đồng ý bán) Qd lượng cầu (tức lượng mà người mua lòng mua) Khi xét xem mơ hình hàm cung hàm cầu dạng nêu trên, người ta giả thiết yếu tố khác không thay đổi Quy luật thị trường kinh tế học nói rằng, hàng hóa thơng thường, hàm cung hàm đơn điệu tăng, hàm cầu hàm đơn điệu giảm Điều có nghĩa là: với yếu tố khác giữ ngun, giá hàng hóa tăng lên người bán muốn bán nhiều người mua mua Các nhà kinh tế cịn gọi đồ thị hàm cung hàm cầu đường cung đường cầu Giao điểm đường cung đường cầu gọi điểm cân thị trường Chú ý: Trong tài liệu kinh tế người ta thường sử dụng trục hoành để biểu diễn lượng Q trục tung để biểu diễn giá P Trong kinh tế học nhiều người ta gọi hàm ngược hàm Qs=S(p) hàm cung hàm ngược hàm Qd=D(p): Qs=S(p) p=S-1(Qs) Qd=D(p) p=D-1(Qd) Hàm cung hàm cầu thị trư ng nhiều hàng hóa liên quan Hàm cung (hàm cầu) biểu diễn lượng hàng hóa mà người bán lịng bán (người mua lòng mua) mưc giá Lượng cung lượng cầu loại hàng hóa thị trường phụ thuộc vào giá trị hàng hóa mà cịn bị chi phối giá hàng hóa liên quan thu nhập người tiêu dùng Trên thị trường n hàng hóa liên quan hàm cung hàm hóa i hàm cầu hàng hóa i có dạng: Qsi = Si(p1,p2, pn) Qdi = Di(p1,p2, pn) Trong Qsi lượng cung hàng hóa i Qdi lượng cầu hàng hóa i Hàm sản xuất ngắn hạn Các nhà kinh tế học sử dụng khái niệm hàm sản xuất để mơ tả phụ thuộc sản lượng hàng hóa nhà sản xuất vào yếu tố đầu vào, gọi yếu tố sản xuất, vốn lao động v v Trong kinh tế học khái niệm ngắn hạn dài hạn không xác định khoảng thời gian cụ thể mà hiểu theo nghĩa sau: Ngắn hạn khoảng thời gian mà yếu tố sản xuất thay đổi Dài hạn khoảng thời gian mà tất yếu tố sản xuất thay đổi Khi phân tích sản xuất, có hai yếu tố quan trọng Vốn ( Capital) Lao động (Labor) kí hiệu K L Trong ngắn hạn K khơng thay đổi, hàm sản xuất ngắn hạn có dạng Q=f(L) đó: L lực lượng lao dộng sử dụng, Q mức sản lượng tương ứng H m sản xuất d i hạn Hàm sản xuất hàm số biểu diễn phụ thuộc sản lượng tiềm doanh nghiệp vào lượng sử dụng yếu tố sản xuất Khi phân tích hoạt động sản xuất, nhà kinh tế thường lưu tâm dến yếu tố sản xuất quan trọng tư (K) lao đông ( L) Hảm sản xuất có dạng : Q= f(K,L) Hàm số ngày cho biết số lượng sản phẩm mà doanh nghiệp có khả sản xuất sức sử dụng kết hợp vốn lao động Khi phân tích sản xuất người ta giả thiết doanh nghiệp khai thác hết khả công nghệ, tức Q luôn sản lượng tiềm Do hàm sản xuất f cơng nghệ xác định Dạng hàm sx mà nhà kinh tế học hay sử dụng hàm Cobb-Douglas: Q=a.KαLβ (trong a, α, số dương) Đường mức hàm sản xuất có phương trình: f(K.L)=Qo ( Qo=const>0) - Đường đồng lượng Đường mức tập hợp yếu tố sản xuất (K.L) cho mức sản lượng Qo cố định.Trong kinh tế học thuật ngữ “ đường mức” hàm sản xuất có tên gọi đường đồng lượng hay đường đẳng lượng H m doanh thu, h m chi phí v h m lợi nhuận - Hàm doanh thu hàm số biểu diễn phụ thuộc tổng doanh thu (TR) vào sản lượng (Q): TR=TR(Q) Tổng doanh thu nhà sản xuất cạnh tranh hàm bậc nhất: TR=p.Q Đối với nhà sản xuất độc quyền tổng doanh thu xác định: TR=D-1(Q).Q - Hàm chi phí hàm số biểu diễn phụ thuộc tổng chi phí sản xuất (TC) sản lượng (Q): TC=TC(Q) - Hàm chi phí tính theo yếu tố sản xuất hàm chi phí hàm số yếu tố sản xuất: TC = wkK + wLL + Co wk: giá thuê đơn vị tư bản, wL: giá thuê đơn vị lao động, Co: chi phí cố định - Hàm chi phí kết hợp: Trên thực tế có nhiều doanh nghiệp sản xuất kết hợp nhiều loại sản phẩm Giả sử doanh nghiệp sản xuất n loại sản phẩm, với trình độ cơng nghệ định để sản xuất Q1 đơn vị sản phẩm 1, Q2 đơn vị sản phẩm 2, , Qn đơn vị sản phẩm n doanh nghiệp phải bỏ khoản chi phí TC Khi ta có hàm chi phí kết hợp sau: TC = TC(Q1.Q2 ,Qn) - Hàm lợi nhuận hàm số biểu diễn phụ thuộc tổng lợi nhuận (π) vào sản lượng (Q): π=π(Q) Hàm lợi nhuận xác định thông qua hàm doanh thu hàm chi phí π = TR(Q) - TC(Q) Nếu doanh nghiệp cạnh tranh có hàm sản xuất Q=f(K.L) giá thị trường sản phẩm p tổng doanh thu doanh nghiệp hàm số K, L: TR=pQ=pf(K,L) Tổng lợi nhuận doanh nghiệp cạnh tranh hàm số: π = pf(K,L) - (wKK+wLL+Co) Hàm tiêu dùng hàm tiết kiệm -Hàm tiêu dùng để biểu diễn phụ thuộc biến tiêu dùng C (consumption) vào biến thu nhập Y (Income): C=f(Y) Khi thu nhập tăng người ta thường có xu hướng tiêu dùng nhiều hơn, hàm tiêu dùng hàm đồng biến -Hàm tiết kiệm hàm số biểu diễn phụ thuộc biến tiết kiệm S biến thu nhập Y : S=S(Y) H m lợi ích Ta gọi tổ hợp hàng hóa túi hàng Giả sử cấu tiêu dùng gồm có n mặt hàng Mỗi túi hàng n số thực X=(x1,x2, ,xn) xi lượng hàng hóa Ti (i=1,2,3 ,n) Hàm lợi ích hàm đặt tương ứng với túi hàng X với giá trị lợi ích U định theo quy tắc : túi hàng ưa chuộng gán trí trị lợi ích lớn Hàm lợi ích có dạng tổng quát sau: U=U(x1,x2,x3 ,xn) 10 Cách xây dựng bảng tính: Nhập liệu đầu vào vùng B4:B7 Tính thu nhập thực hàng năm có tác động lạm phát: Trước hết, tính lãi suất thực có ảnh hưởng lạm phát rthuc rg 1 g Nhập công thức =(B5-B6)/(1+B6) ô B11 Khi thu nhập thực hàng năm tính PV rthuc Nhập cơng thức =B4*B11 B12 99 Tính thu nhập thực sau thuế Trước hết, tính lãi suất thực có ảnh hưởng lạm phát thuế: rthucsauthue r r t g 1 g Thiết lập công thức =(B5-B5*B7-B6)/(1+B6) B14 Khi thu nhập thực hàng năm tính PV rthucsauthue Nhập cơng thức =B4*B14 B15 Tính thu nhập có ảnh hưởng lạm phát Nhập liệu lạm phát vùng C17:G18 Để tính thu nhập thực tương ứng ta sử dụng công cụ Data Table Nhập công thức tham chiếu: Nhập =B15 vào ô B18; Bôi đen vùng B17:G17, vào thẻ Data|Data Tool|What-If|Data Table xuất hộp thoại Data table nhập liệu theo dòng: nhập vào ô Row input cell: $B$6 chọn OK Vẽ đồ thị thu nhập: chọn vùng C17:G18 vào Insert|Charts|Scatter để chọn đồ thị xu hướng Nhận xét: Khi lạm phát cao thu nhập thực tế giảm Trong toán lãi suất sử dụng vốn 13%, lạm phát lên đến 10% thu nhập thực tế số âm 2.2.4 Một số b i tập liên quan đến dòng tiền B i tập 4: Nếu ký hợp đồng vay tiền ngân hàng với điều khoản - Ngân hàng giữ 101 triệu đồng khoản vay - Trả tháng: 50 triệu đồng suốt năm (48 đợt trả) Biết lãi suất 12% năm Vậy giá trị hợp đồng bao nhiêu? B i giải Để tính giá trị khoản vay ta lập bảng tính giá trị dịng tiền theo cách: 100 Cách 1: Sử dụng dịng thời gian với cột kì đoạn chiết khấu giá trị kì đoạn lấy tổng giá trị Cách 2: Sử dụng cơng thức tính giá trị Cách 3: Sử dụng hàm PV Excel Cụ thể sau Cách xây dựng bảng tính: Nhập liệu đầu vào vùng B11:AX11 Tính giá trị cách sử dụng dòng thời gian Tạo dịng thời gian gồm 48 kì ghép lãi vùng B9:G9; Nhập dịng tiền cho kì tương ứng dịng 10, theo nhập =B4 kì (hiện tại) nhập =$B$5 vùng C12:AX12; 101 Giá trị dòng tiền kì tương ứng PVi FVi / (1 r )i Trong ô B11 đặt công thức =B12/(1+$D$6)^B11 chép công thức sang ô khác hàng ngang Giá trị tương lai PV tổng giá trị tương lai kì Đặt cơng thức =SUM(B13:AX13) B14 Tính giá trị cách sử dụng công thức: (1 r )n PV F0 Fi r (1 r )n =B4+B5*((1+D6)^D7-1)/(D6*(1+D6)^D7) B17 Tính giá trị tương lai cách sử dụng hàm PV MS Excel =B4+PV(D6,D7,-B5,0) ô B20 Kết là: PV = 2000 triệu đồng B i tập 5: Nếu gửi vào tài khoản đặn với số tiền 12 triệu đồng vào đầu tháng với lãi suất 12% năm, ghép lãi hàng tháng Đến cuối năm thứ hai tài khoản có tiền? B i giải Đây tốn tính giá trị tương lai dịng tiền tốn vào đầu kì Để giải ta làm theo ba cách tương đương tương tự với bảng tính cụ thể sau: 102 Nhận xét: Như vậy, tốn ta có biến: + khoản tốn kì, + tỉ lệ chiết khấu/mỗi kì, + số kì tốn, + Giá trị tại, giá trị tương lai Nếu biến biết giá trị ta tìm giá trị biến cịn lại + Tính khoản tốn kì sử dụng hàm PMT; + Tính tỉ lệ chiết khấu sử dụng hàm RATE; + Tính số kì tốn sử dụng hàm NPER; + Tính giá trị sử dụng hàm PV, giá trị tương lai sử dụng hàm FV 103 B i tập 6: Giá trị tích lũy dịng tiền 15 triệu đồng toán cuối tháng thời gian năm với lãi suất 12% ghép lãi hàng quý bao nhiêu? B i giải Đây dòng tiền với thời gian tốn kì ghép lãi khác Trước hết cần tìm lãi suất ghép lãi tương đương với kì tốn trước, sau tính giá trị tương lai dòng tiền 104 B i tập 7: Một công ty muốn tiết kiệm số tiền 400 triệu (đô la) cách gửi vào ngân hàng tháng khoản tiền a vòng năm Lãi suất danh nghĩa 8,4%/năm, ghép lãi theo tháng Xác định số tiền a B i giải Đây tốn tìm khoản tốn kì dịng tiền có thời gian ghép lãi khác với thời gian toán Để giải tốn ta tìm lãi suất ghép lãi tương đương với kì tốn sau sử dụng hai cách hàm PMT cơng thức dịng tiền, cụ thể sau: 105 B i tập 8: Một khoản đầu tư gồm 15 kỳ vào đầu kỳ cụ thể sau: kỳ khoản 75 triệu đồng kì khoản sau tăng 15% so với kì khoản trước, lãi suất kì 8%/kỳ Xác định giá trị tương lai giá trị khoản đầu tư B i giải Đây tốn dịng tiền với khoản tốn khơng giống Để giải ta lập dòng thời gian cột ứng với kì tốn sau: 106 Trong bảng tính dịng thời gian thể 15 kì tốn nên bảng tính cịn kéo dài đến cột Q Và kết giá trị tương lai dòng tiền 5745 triệu đồng giá trị 1811 triệu đồng B i tập 9: Ngân hàng cho vay 50 triệu đô la Hai bên thỏa thuận thời hạn vay 20 năm với lãi suất 10%/năm bên vay trả lãi hàng năm Hãy tính hộ ngân hàng xem năm bên vay phải trả bao nhiêu? Hướng dẫn giải Tương tự tập toán dịng tiền cần tìm khoản tốn thường niên nên dùng cơng thức dịng tiền hàm PMT để giải B i tập 10: Để mua nhà vay chấp 30 năm Giá trị (số tiền vay) chấp 300.000 USD Lãi suất khoản vay chấp 8% /năm Hỏi khoản toán hàng năm cho khoản vay chấp bao nhiêu? Trong tiền trả lãi suất trả vào số dư vốn gốc? 107 B i giải: Trước hết sử dụng hàm PMT để tính số tiền tốn hàng năm dịng tiền vay chấp 30 năm Sau sử dụng dịng thời gian cơng thức quy nạp đơn giản để chia khoản tốn vào phần lãi suất phần dư nợ vốn gốc Cách xây dựng bảng tính Nhập yếu tố đầu vào vùng B4:AF9 Cố định Nhập 1, 2, 3, …, 31 vùng B9:AF9 Bôi đen ô cần cố định vào View chọn Freeze Panes Cân t i Số dư vốn gốc vào đầu năm toàn số tiền khoản vay (chẳng hạn giá trị khoản vay) Nhập =B4 vào B10 trở lại phần cịn lại dịng sau Khoản tốn h ng năm Hàm PTM MS Excel sử dụng để tính khoản tốn hàng năm sau: Nhập lệnh =PMT($B$5,$B$6,-$B$4,0) ô B11 108 Th nh phần lãi năm t = (Lãi suất/ năm)*(cân tài năm năm t) Nhập cơng thức =$B$5*B10 ô B12 Th nh phần hấu hao vốn gốc năm t = (khoản toán hàng năm) (thành phần lãi năm) Nói cách khác, phần cịn lại khoản toán hàng năm sau trả lãi năm vào khấu hao vốn dư nợ gốc Nhập công thức =B11-B12 ô B13 Cân t i năm t = (Cân tài năm t-1) - (phần khấu hao vốn gốc năm t-1) Nhập công thức =B10-B13 ô C10 Sao chép c ng thức Chọn vùng B11:B13 chép đến C11 Chọn vùng C10:C13 chép đến vùng D10:AE10 Chọn AE10 chép đến AF10 Khoản toán hàng năm $26,648 109 B i tập 11: Một công ty ký hợp đồng vay số tiền 500 nghìn từ ngân hàng với lãi suất 15% thời gian năm Vốn gốc lãi trả hàng tháng Hợp đồng có ghi rõ điều khoản trả nợ sớm phải chịu số tiền phạt gấp lần số tiền trả lần Sau năm trả nợ, thị trường tiền tệ biến động theo hướng suy thoái làm lãi suất cho vay ngân hàng đồng loạt giảm, lãi suất cịn 12% Cơng ty dự định trả nợ sớm vay lại với lãi suất (vay đảo nợ) Hãy cho biết cơng ty có nên trả nợ sớm hay khơng? (Có thể thay đổi lãi suất ngân hàng giảm xuống 10%, 11%,… tìm số tiền thu định trả nợ sớm) B i tập 12: Một lô trái phiếu mệnh giá 100 triệu đồng với lãi suất trái phiếu i 10%/năm Tiền lãi trả tháng lần, thời hạn trái phiếu năm Nếu suất sinh lời đòi hỏi nhà đầu tư 15% năm, ghép lãi nửa năm giá mua trái phiếu nên B i giải Đây thực chất toán xác định giá trị dòng tiền xác định tương lai khoản tốn định kì tháng kì cuối có thêm mệnh giá trái phiếu Ta lập bảng tính: 110 B i tập 13: Nếu trái phiếu phát hành có mệnh giá 100 triệu đồng, thời hạn 10 năm với lãi suất 10%/năm, trả lãi tháng Theo hợp đồng trái phiếu bị thu hồi (mua lại) theo mệnh giá sau thời hạn năm Nếu suất sinh lời mong muốn nhà đầu tư 15% có kỳ ghép lãi với trái phiếu giá trái phiếu bao nhiêu? (Có thể thay đổi lãi suất trái phiếu suất sinh lời mong muốn nhà đầu tư để tập khác nhau) 111 Để đảm bảo lợi nhuận thu khoản đầu tư trái phiếu nên định giá trái phiếu nhỏ $74.51 USD B i tập 14: Lơ trái phiếu phát hành có mệnh giá 1000 tỷ đồng, trả nợ gốc vào ngày đến hạn, ngày 1/12/2016 Tiền lãi trả tháng theo lãi suất 11%/năm Lô trái phiếu mua vào ngày 1/6/2014 (Tổng thời gian 2,5 năm) Lãi suất sinh lời mong muốn 10%/năm có kỳ ghép lãi với lãi suất trái phiếu Tính giá mua trái phiếu B i tập 15: Một dự án đầu tư 1000 triệu đồng, hứa hẹn mang lại dòng tiền tương lai sau (triệu đồng): Năm Dòng tiền 400 350 300 250 Mức sinh lời vốn 8%/năm Có nên đầu tư vào dự án không? 112 B i giải Để xét xem dự án có sinh lời hay khơng cần tính giá trị rịng dự án cách tính tổng giá trị dòng tiền (kỳ vọng) tương lai trừ giá trị đầu tư ban đầu Nếu giá trị đạt dương tức khả sinh lời dự án lớn 8% (mức sinh lời bạn có) nên đầu tư vào dự án Trường hợp ngược lại khơng nên đầu tư Thành lập bảng tính sau: Vậy giá trị ròng dự án 92.35 triệu đồng (>0) nên đầu tư vào dự án 113 ... a 22 a 3? ? ?3 1 23 + a11a22a 33 231 + a12 a23a31 31 2 + a13a21a32 32 1 - a13a22a31 2 13 - a12a21a 33 132 - a11a23a32 det(A) = a11a22a 33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a12a21a 33 - a11a23a32 Để nhớ... 2n 0 a nn +(-1)n +1 = (-1)1+1a11 a12 a 13 a1n a 22 a 23 a 2n 0 = a11 a (n-1)n a 22 a 23 a 2n a 33 a 3n 0 a nn a 22 a 23 a 2n a 33 a 34 a 3n a 33 a 3n a 44 a 4n 0 a nn a nn + (-1)2+1 =... X2=(-1,-2 ,3, -3) ; X3=(-2,-1,2,-2) a) Tìm tổ hợp tuyến tính: -3X1 + 2X2 +X3 b) Tìm vectơ Y thỏa mãn: 3X1 + X2 -4X3+2Y= Giải: a) X = -3X1 + 2X2 +X3 = -3( 1,2,-1,5) +2(-1,-2 ,3, -3) +(-2,-1,2,-2) =( -3, -6 ,3, -15)+(-2,-4,6,-6)+(-2,1,2,-2)=(-7,-9,11,- 23)