Mục tiêu của đề tài Một số đặc trưng của hàm lồi suy rộng là nghiên cứu một số đặc trưng của hàm lồi và hàm vectơ lồi suy rộng sử dụng tính đơn điệu suy rộng của các vi tích phân của chúng. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Trang 1DAI HOC DA NANG
TRUONG DAI HOC SU PHAM
HOÀNG TƯ DƯƠNG
MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG
CUA HAM LOI SUY RỘNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Đà Nẵng - 2018
Trang 2
HOANG TU DUGNG
MOT SO DAC TRUNG CUA HAM LOI SUY RONG
Chuyén nganh: Toan Giai tich Mã số: 8.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS HUỲNH THÉ PHÙNG
Đà Nẵng - 2018
Trang 3LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu tổng quan của
tôi, các kết quả trong luận văn này được tổng hợp từ những tài liệu có
nguồn gốc rõ ràng dưới sự hướng dẫn của PGS TS Huỳnh Thế Phùng Vì vậy tôi xin khẳng định đề tài luận văn “Một số đặc trưng của hàm lồi
suy rộng” không có sự trùng lặp với bất kỳ đề tài luận văn nào
Đà Nẵng, tháng 5 năm 2018 Tác giả
Trang 4Lời đầu tiên của luận văn em xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc
tới thầy giáo hướng dẫn, PGS.TS Huỳnh Thế Phùng, người đã tận tình
hướng dẫn em trong suốt quá trình thực hiện để em có thể hoàn thành
được luận văn này
Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các thầy cô
Trang 5MỤC LỤC Mé dau Chương 1 Các khái hầm lỗi 1.1 Hàm lồi 1.2 Hàm tựa lồi 1.3 Hàm vectơ lồi theo nón 1.4 Hàm vectơ tựa lồi tự nhiên c5 16 Chương 2 Đặc trưng của hàm vectơ lồi
2.1 Đạo hàm theo hướng và đạo hàm theo hướng suy rộng
3.2 Đặc trưng của hàm vectơ lồi
dụng đạo hàm theo hướng suy rộng 22
Trang 6'Tên đề tài: Một số đặc trưng của hàm lỗi suy rộng
Ngành: Toán Giải tích
'Họ và tên học viên: Hoàng Tư Dương
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Huỳnh Thế Phùng Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Sư phạm ~ Đại học Đà Nẵng
'Tóm tắt: sua ¬
1 Những kết quả chính: f\) hong trqua ting quan ena bse vSues ~ Định ly Diwert suy rộng
~ Định lý đặc trưng tính lỗi của các hảm véctơ nửa liên tục dưới trong các không gian hữu hạn chiều thông qua tính đơn điệu của đạo hảm theo hướng suy rộng
~ Định lý đặc trưng tính tựa lồi của các hảm véctơ nửa liên tục dưới trong các không gian hữu hạn chiều thông qua tính tựa đơn điệu của đạo hảm theo hướng suy rộng
~ Định lý đặc trưng tính lỗi của các hàm véctơ liên tục trong các không gian hữu hạn chiều thông qua tính đơn điệu của giả Jacobian
- Định lý đặc trưng tính tựa lỗi của các hàm véctơ liên tục trong các không gian hữu hạn chiểu thông qua tính tựa đơn điệu của giả Jacobian
2 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn:
~ Dũng làm tài liệu tham khảo cho các học viên cao học, nghiên cứu sinh và các nhả nghiên cứu trong lĩnh vực lý thuyết tối ưu vả giải tích lỗi
Trang 7INFORMATION OF MASTER THESIS
Name of thesis: Characterizations of generalized convex functions, Major: Mathematical Analysis
Full name of Master student: Hoang Tu Duong Supervisor: Assoc.Prof Dr Huynh The Phung
‘Training institution: The University of Da Nang - University of Education Abstract:
1 The results: Here are some review tesultr op-the the sie
+ Generalized Diwert Theorem,
+A theorem on characterizations of convexity of lower semicontinuous vector functions in finite-dimensional spaces via monotonicity of generalized directional derivative,
+ A theorem on characterizations of quasiconvexity of lower semicontinuous vector functions in finite dimensional spaces via quasimonotonicity of generalized directional derivative
+ A theorem on characterizations of convexity of continuous vector functions
in finite-dimensional spaces via monotonicity of pseudo Jacobian
+ A theorem on characterizations of quasiconvexity of continuous vector functions in finite-dimensional spaces via quasimonotonicity of pseudo Jacobian, 2 The new contributions of the thesis:
+ This document can be used as a reference for Master and PhD Students and
researchers in the fields of optimization and convex analysis
3 The applicability in practice and subsequent research of the thesis: in the field
of Optimization
Key words: Generalized convex functions, generalized convex vector functions
Supervisor’s confirmation Student
h Ñ uh b or
Him vh The P hve { Dime
Trang 81 Lý do chọn đề tài
Lớp các hàm lồi và hàm lồi suy rộng đóng một vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực của toán học hiện đại, mà đặc biệt là trong lý thuyết tối ưu
Việc nghiên cứu các đặc trưng của hớp hàm này vì vậy luôn luôn mang,
tính thời sự và được nhiều nhà nghiên cứu trên thế giới quan tâm, mà bằng chứng là có rất nhiều kết quả mới nhận được về lĩnh vực này trong thời gian gần đây
Cu thể, lớp các hàm lồi có những tính chất hết sức hữu ích cho việc xác định nghiệm toàn cục và việc thiết lập điềt
kiện đủ cho nghiệm tối ưu, ví dụ một điểm cực tiểu địa phương của một hàm lồi cũng là điểm cực tiểu
toàn cục và với sự có mặt của tính lồi, một số điều kiện cần cho điểm cực
tiểu cũng đồng thời là điều kiện đủ
Tuy nhiên trong thực tế, lớp các hàm lồi là khá nhỏ và có nhiều mô hình có thể được mô tả bởi các hàm không lồi nhưng lại thể hiện một y rong
ra đời và đây là một trong những lý do chính để nghiên cứu lớp các hàm
phần các tính chất trên của hàm lồi Từ đây, khái niệm hàm lồi su
lồi suy rộng
Ta biết rằng tính lồi của các hàm khả vi được đặc trưng bởi tính đơn điệu của đạo hàm của chúng Bản thân tính đơn di
của các hàm lại đóng,
một vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các bài toán bù, các bat ding
thức biến phan, bài toán điểm cân bằng, Mối quan hệ giữa tính lồi suy
rộng của các hàm với tính đơn điệu suy rộng của đạo hàm suy rộng hay
dưới vi phân của các hàm đó cũng tương tự như trường hợp khả vi
a hàm lồi, hàm vectơ lồi suy
ẽ bổ sung kiến thức về giải tích lồi, giải tích không trơn
Do đó, qua việc nghiên cứu đặc trưng
rộng, em hy vọng
Trang 92
Vì vậy, được sự đồng ý hướng dẫn của PGS.TS Huỳnh Thế Phùng, em chọn đề tài “Một số đặc trưng của hàm lồ
y rộng” cho luận văn thạc sĩ của mình
2 Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu một số đặc trưng của hàm lồi và hàm vectơ lồi suy rộng,
sit dung tính đơn điệu suy rộng của các vi phân của chúng 3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Hàm lồi và hàm vectơ lồi suy rong
Phạm vi nghiên cứu: Tính đơn điệu suy rộng và khảo sát tính lồi của chúng
4 Phương pháp nghiên cứu
Với đề tài: “Một số đặc trưng của hàm lồi suy rộng” em đã sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau:
+ Nghỉ
kinh điển và các bài báo mới, tổng hợp và trình bày báo cáo tổng quan n cứu các tài liệu liên quan đến đề tài, bao gồm các tài liệu
* Tham khảo, trao đổi với cán bộ hướng dẫn
+ Tham khảo một số bài báo đã đăng trên các tạp chí khoa học 5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Tổng hợp tài liệu để có một báo cáo tổng quan khá đầy đủ về các đặc
trưng của hàm vectơ lồi suy rộng
Bổ sung các ví dụ, hình ảnh và các chứng mỉnh chỉ tiết
6 Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm 3 chương:
Chương 1: Các khái niệm hàm lồi
Trang 10Chứng mình Ta chứng mình khẳng định 1) Khẳng định còn lại tương tự 1) Lay x,y € R" va A € [0,1] Giả sử ƒ(z) < ƒ(w) Vì hàm ƒ lồi nên ta có #(Az+ (1~À)) < Àƒ() + (1— À)f(w) =AỨŒ) = ƒ(w)) + fy) <0+ƒ0) =ƒ0)
Suy ra ƒ là hàm tựa lồi a
Nhận xét 1.4 Chiều ngược lại trong Mệnh đề 1.5 nói chung không đúng Vi du 1.2 Cho hàm ¿ : 8 —> R được xác định bởi
ol) = 2, VreR
Lấy tùy ý z, € IR, z # và À € (0,1) Không mất tổng quát, giả sử
£(z) < gly), tite la, z < ự Khi đó, (+ A(y= ø))* = yŸ =(#+A(y~ #) — 9) [(œ + A(— #)) + (e + A(w — #))w + ”] _ „\?, 32 =[q=A)z=(1~A)g] |(+aw-2+}) + _ =(1-A)(~—w) [(+¬ø-2+?) +2] <0 yy? 3¥° Suy ra #(z + Ay — 2) < p(y)
Vay œ là hàm tựa lồi chặt trén R Hơn nữa, hàm ¿ trong ví dụ này khong
lồi trên R Thật vậy, ta lấy một phan ví dụ để chứng minh điều này Lấy
Trang 111.3 Hàm vectơ lồi theo nón
Định nghĩa 1.7 Một tập khác rỗng Œ C R" due goi la nén néu
tee C; Vee C,Vt>0
Nếu 0 € C thi ta nói Œ là nón chứa gốc Hơn nữa, nếu Œ là tập lồi thì Œ
được gọi là nón lồi; nếu Œ là tập đóng thì Œ được gọi là nón đóng Ngoài ra, nếu I(C):=Œn(—@) c {0} thì Œ được gọi là nón nhọn Vi du 1.3 Trong R?, tap hop Œ=R} = {(s,) €R?: z >0, y > 0} là nón lồi đóng nhọn Thật vậy, Œ là nón bởi vì với mọi e = (#,) € C va t>0 thì tx > 0 va ty > 0, suy rate = (ta, ty) € C Hơn nữa, với mọi cr = (21, y1), c2 = (a2, yr) € C, và À € (0,1) thì Àei + (1— À)@œ = (Àzt + (1— À)#¿, Ai + (1— À)#:) € C,
do đó Ở là tập lồi Mặt khác, dễ thấy rằng Ở là một tập đóng Cuối cùng,
với tập Œ cho ở trên thì tập hợp —C =RỀ = {(z,y) eR?:z <0, <0} Suy ra UC) =Œn(~C) = {(x,y) RẺ: z =0, y = 0} = {(0.0)} Vậy Œ nhọn Định nghĩa 1.8 Cho Ở là một nón lồi đóng nhọn trong R” Khi d6, tập hợp
Ct ={E ER": (Ec) >0, Ve€ C}
được gọi là nón cực của C
Ví dụ 1.4 Với Œ được cho trong Ví dụ 1.3, ta có
Trang 12Mệnh đề 1.6 Cho Ở là nón lôi đóng nhọn Khi đó, 1)c€C & (Ec) 20, VE EC \ {0}
2) Gia sit int C 4 0 Ta 6
ce intC © (Ec) > 0, VEE C* \ {0} Chitng minh
1) Nếu cp € C thi vdi moi € € C* \ {0} ta có (€,co) > 0 Ngược lại,
nếu cọ ¢ C thi theo Dinh lý tách manh, tén tai € € R™ sao cho
(Đ,Â0) < inf(6,Â) Do C la nén nén inf (é, €) =0 Suy ra
(6,0) <0 (€,e), Ve€ Œ (*)
Từ bất đẳng thức phải của (*) ta suy ra € € Œ? Từ bất đẳng thức trái của (#) ta suy ra € z 0 Tức là, tồn tại € € C* \ {0} sao cho (€,c9) < 0
Vay 1) được chứng minh
2) Nếu cụ € intỞ thì tồn tại e > 0 sao cho #'(cp,e) C Œ Khi đó, với
mọi € € Ct \ {0}, ta có
(.j >0, Vee Pt(e, )
Lấy © = dạ — crấy € B(cu,e), ta có
(:eo— je 29 2
¬ (E,c0) = Tel = elléll 3) > € lel? é >0
Ngược lại, nếu cọ ý int C thi theo Dinh lý tách, tồn tai € € R™ \ {0}
sao cho
(&¢0) <_ inf _(&.¢) c€int Œ (*)
Theo giả thiết, Œ là nón nên ta suy ra intC là nón không chứa gốc That vay, lay ¢ € int C, suy ra ton tại e > 0 sao cho Ö(đ,z) C Œ Vì
B(d,e) C Ở và Ở là nón nên với mọi £ > 0, ta có
Trang 1310
Ma B(tc’, te) = tB(ở,e) nên ta suy ra B(tđ, te) C Ơ Do đó,
tế €intC
Vay int C 1a nón Do đó, với £ ở (**) tht inf (€,c) = 0 Suy ra
(,e&) <0< (,e), Ve€ intŒ
Hơn nữa, vì Ở là nón lồi đóng và int Ở # Ú nên
Car intC
Do dé, véi c € C = intC thi ton tai day cy € int C sao cho e; —> e Suy ra
(€,c) — (,c)
Mà (€, c¿) > Ú nên ta suy ra (€,e) > 0 Tóm lại, ta có (e) <0 < (e), Ve € Ơ
Tức là, tồn tại € € Œ*\ {0} sao cho (€, cụ) < 0 Vậy 2) đã được chứng minh a Giả sử Ở là một nón lồi đóng nhọn trong không gian R” Lấy x,y € R", ta viết asey
néu y — x € C Lite do, “<c” 1a mot quan hé thit tu bo phan trong R™ That vay, dé thay
@ Se 2;
nếu # <e ÿ và <ec # thì — # € Ở và z — € C, suy ra
u~ze€n(~€) c {0}
nên t/ — # = 0 hay ÿ = z; cuối cùng, nếu # <c ÿ và ự <c z thì ta có đồng
Trang 14U-1) Lấy z, € R" và A € [0,1] Vì ƒ là hàm lồi nên #@z+ (~À)g) <e Aƒf() + (L— À)f(0)
= Af(x) + (1— À)ƒf(w) = ƒ(z + (L~ À)w) € € Với mọi t > 0, ta suy ra
t(A/(œ) + (L~ À)f(w) — ƒ(Az + (L~ À)w)) € tƠ CC
= Afƒf(z) +(1— À)£ƒ(w) — tƒ(# + (1— À)w) € Œ
= tƒ(z + (1—A)y) Se Atf(x) + (1 — A)tf(y)-
Vay £ƒ là hàm Œ-lồi
2) Lấy z, € R" và À € [0,1] Vi ƒ,ø là các hàm Œ-lồi nên ta có #(Az + (T— A)w) Se AF(x) + 1 = A)F(Y);
g(Ax + (1 A)y) Se Ag(x) + (1 = A)g(y)
Dat h(x) = f(x) + g(x), ta suy ra
(Aa + (1 A)y) = f(Ax + (1 = A)y) + g(Ax + (1 = d)y)
Se Af (a) + (1~ À)ƒ(w) + Ag(z) + (1— A)g(y)
Sc Ah(x) + (L— À)h(0)
Do đó, b là hàm C"lồi Vậy ƒ + g la ham C-ldi In)
Định nghĩa 1.10 Hàm ƒ : R" —› R'” được gọi là C-nửa liên tục dưới tại #o € R" nếu với mọi e > 0 thì tồn tại ổ > 0 sao cho
ƒ(PŒo.ð)) C BEF (20), ¢) + C
Ham f dude goi la C-nita lien tuc dudi néu n6 1a C-nửa liên tục dưới tại
mọi điểm
Nhận xét 1.5 Khim = 1 và Œ = R, thì Định nghĩa 1.10 trùng với Định nghĩa 1.4 Vì vậy, để đơn giản, chúng ta gọi hàm ƒ là nửa liên tục dưới
thay vì lR,-nửa liên tục dưới
Định nghĩa 1.11 Hàm ƒ : 8" —› #” được gọi là C-nửa liên tục dưới theo tia néu vdi moi x,y € R" thi ham gry : 0, 1] —> #”' được định nghĩa bởi
#zu() := ƒ(œ + t(u — +)), V1 € [0, 1]
Trang 1513
Nhận xét 1.6 Khi m = 1 và Œ =,, ta gọi hàm ƒ là nửa liên tục dưới theo tia thay vì R,-nửa liên tục dưới theo tỉa
Cho ham f :R" + R™ va € € R™ Hàm €/ : R" —> R được định nghĩa
như sau:
(€ƒ/)() = (, ƒ(z)), Vz € R"
Mệnh đề 1.8 Nếu hàm ƒ là C-nửa liên tục dưới theo tia thi ham Ef la nửa liên tục dưới theo tia vdi moi € € C*
Chứng mình Giả sử hàm ƒ là C-nửa liên tục dưới theo tia va € € Ct Lấy tùy ¥ x,y € R” và fạ € |0, 1} Với > 0 cho trước, ta có
(€/)(# + to(w — #)) = (€, ƒ(œ + toly — *)))
Vi ham f 1a C-nita lién tue dudi theo tia nên với £” = ia > 0 thi tồn tại
6 > 0 sao cho
ƒ(BŒ + ta(w — z).ð)) C B(f(a + to(y — z)),£) + Œ tức là, với mọi z € B(x + to(y — x), ổ) thì S(2) € BỨ( + to(w — z)),£') + Ơ Suy ra ƒ(z) = w + e với ||u — ƒ(# + fo(w — #))|| < e' và e € Ơ Khi đó, (6, f(2)) = (Gute) = (0) + (€,c) Vì €€ C† nên (€,e) > 0 Do đó, ta có (,/(2)) > (Eu) = (, /f(# + to(w = #)) + (w = ƒ(Œ + fa( = #)))) = (, f(a + toly — #))) + (€,u — ƒ( + fo(w — 2))) > , ƒŒ + to(w — #))) — Í|€||l[lt — ƒ( + fo(w = z))|| > (f(x + toly = #))) — ||€llE” > (,Jứ + w(y = #)) ~ Islip = &,ƒ(œ + toly — 2))) - Tom lại, với mọi e > 0 thì tồn tại ổ > Ú sao cho
(Ef)(2) 2 (EF)(@ + toly — #)) — e, Vz € B(x + toly — +), ồ)
Trang 16Định nghĩa 1.12 Hàm f : R" — lề” được gọi là Lipschitz nếu tồn tại
K > 0 sao cho
F(x) = ƒ(0)|| < Kllz ~ 9l: Y+,y R”
Hàm ƒ được gọi là Lipschitz địa phương tại zụ nếu tồn tại £ > 0 sao cho |/() — ƒ(w)|| < Kllz — w||: Yz,y € BŒo,£)
Hàm ƒ được gọi là Lipschitz địa phương nếu nó là Lipschitz địa phương, tại mọi điểm
Định nghĩa 1.13 Cho hàm ƒ : [a,b} > R", Điểm zo € [a,] được gọi là -cực tiểu yếu của hàm ƒ nếu
f(x) ¢ F(ao) — int C, Vx € [a,b]
Tập các điểm C-cực tiểu yếu của ƒ kí hieu 12 WMin(f((a, 6))|C)
Định lí 1.9 Cho f : [a,b] + R™ la ham C-nửa liên tục dưới Khi đó,
WMin(f((a, 6))|C) 4 0, tite là,
3x € [a,b]: Vx € [a,b], f(x) ¢ F (xo) — intC
Chứng mình Ta chứng mình bằng phản chứng Giả sử với mọi z € [a,}
thì tồn tại € Ía, | sao cho S(y) € f(x) — imt C, hay #(z) € f(y) + int C Vi f(y) + int C la tập mở nên tồn tai ¢, > 0 sao cho B(f(x),€x) C f(y) + int C Suy ra
B(f(x),é2) +C C f(y) +imtC + C = f(y) +intC Do f la ham C-nita lién tue duéi tai x nén tdn tai J, > 0 sao cho
f(a’) € BUf(2),€2) + C; Wa! € (uw = 6,2 +52) n [a, b]
Suy ra
f(x") € f(y) + int C; Wa! € (a — ð;,+ + ð,) A [a,b] Chú ¥ ring, vi f(y) ¢ f(y) + int C nen ta 06
Trang 17Suy ra về (œ—ô;,>+ð,) Tom lai ring, véi moi « € [a,b] thi ton tai y € [a,b] sao cho với mọi +€(œ— ðz,z + 6,) thì ƒ() € B(f(),e;) + Œ C ƒ(y) + intƠ và # (£ — ỗ;„z + ồ,) Do U œ-š z+ 5z) 2 (a,b), rela) nên theo tính chất phủ hữu hạn, tồn tại tập T hữu hạn phần tử sao cho UŒ- 5z.z + 3:) Đ [a.1) xeT
Không mắt tổng quát, giả sử T có œ phần tử Khi đó, lấy z¡ € T thì tồn tại ị € [a,b] sao cho với moi x € (2, — 61,21 + 61) M [a,b] sao cho
F(x) € BUf(a1),21) +E C f(y) + int C va y ¢ (a — 6,4 +41) Vi yx: € [a,b] nén ton tai x2 € T, x2 4 x1 sao cho
mi € (2 ~ 62,272 + 62) 9 [a, 6)
Do đó, tin tai y € [a,b] sao cho với moi x € (a2 — 52, 22 + dy) M [a, b] thì
2
J (x) € B(f(w2),£2) +E C f(ys) + int C va yo ¢ lai — 6,21 + ôi)
Vi yo € [a,b] nén ton tai x3 € T, x3 A x2 sao cho Ya € (x3 — 53,23 + 53) 0 (a,b) Do đó, tồn tai ys € [a,b] sao cho với mọi x € (23 — 53, 73 + 53) M [a,b] thi 3 4Œ) € B(f(œ).sa) + © C f(ys) + int C va ys ¢ lei - 4,21 + 6) 1
Trang 181.4 Hàm vectơ tựa lỗi tự nhiên
Dinh nghia 1.14 Ham f : R" > R” được gọi là Ở-tựa lồi tự nhiên nếu ƒ() € [ƒ(œ) ƒ(w)Ì — Ơ
với moi x,y € R" va z € [x,y]
Nhan xét 1.7 Trong trudng hgp m = 1 va C = R, thi Dinh nghia 1.14 trùng với Dinh nghia 1.5
Định nghĩa 1.15 Giả sử int Œ # 0 Ham f : R" —> R”' được gọi là -tựa lồi chặt tự nhiên nếu
(z) € [f(œ) ƒ(w)] — int C, với mọi z, € R”, z # ÿ và z € (Z,ÿ)-
Nhận xét 1.8 Trong trường hợp m = 1 va Ở = R, thì Định nghĩa 1.15 trùng với Định nghĩa 1.6
Mệnh đề 1.10 Cho hàm f :R" + R™ Khi do, 1) f là C-lồi => ƒ là C-tua Idi tu nhién
9) ƒ là C-lài chat > f la C-twa lồi chặt tự nhiên
Chứng mình
1) Lấy +, € R* và A € [0,1] Vì ƒ là hàm Œ-lồi nên ta có
#(Az + (1=A)y) Se AF(x) + 1 = A)F(y) = f(Av + (1— Ay) € AF(x) + 1 = AF(y) - ©
Dat z= Ax + (1—A)y, suy ra z € [x,y] Do dé, ta có
ƒ) €AƒŒ) + (L— A)ƒ(w) — Œ C [f(z) ƒ(w)] — C- Tức là,
() € [ƒ(œ) ƒ(w)Ì — ©
Vậy ƒ là hàm C-tựa lồi tự nhiên
2) Lay +, € R*", z # y và A € (0,1) Vì ƒ là hàm Œ-lồi chặt nên ta có
#(Az + (1= A)w) <e Af(#) + (L= À)ƒ(w)
Trang 1917
Dat z = Ax + (1 — A)y, suy ra z € (x,y) Do đó, ta có
f(z) © AF (2) + (1 A)F(y) = int € € [ƒ(z), ƒ(w)] — intC
Tức là,
Trang 20CHUGNG 2
DAC TRUNG CUA HAM VECTGO LOI
Trong chương này, chúng ta sẽ đưa ra các kiến thức cơ sở về đạo hàm
theo hướng, đạo hàm theo hướng suy rong, gid Jacobian, Jacobian suy
rộng Clarke và đối đạo hàm Mordukhovich Tiếp đến, chúng ta thiết lập các đặc trưng của tính lồi của các hàm vectơ nửa liên tục dưới theo tia
trong RR" với tính đơn điệu suy rộng của đạo hàm theo hướng suy rộng của
các hàm đó Cuối cùng, tính lồi của các hàm vectơ liên tục trong R* được
phản ánh thông qua tính đơn điệu của các gia Jacobian
2.1 Đạo hàm theo hướng và đạo hàm theo hướng suy rộng
Cho Œ C R” là nón lồi đóng nhọn và R”' được sắp thứ tự bởi nón Œ
Định nghĩa 2.1 Cho X C R* là một tập khác rỗng, giả sử z € X Vectơ ư € R" được gọi là hướng chấp nhận được của X tại z nếu tồn tại e > 0
sao cho
xt+tue X; Vte (0,¢]
“Ta ký hiệu tap tat cả các hướng chấp nhận được của X tại z là Kx(z)
Nhận xét 2.1 Nếu X = R" thì Xzz(z) = R" với mọi z € R"
Định nghĩa 2.2 Cho hàm ƒ : R" —› R” và z € 8" Khi đó, với mỗi vectơ € R", ta dinh nghia dao ham cia f tại # theo hướng như sau:
"re u) = Yim Lett =f
Hevm) = fig
nếu giới hạn này tồn tại
Nhận xét 2.2 Nếu m = 1 thì Định nghĩa 2.2 trở thành định nghĩa đạo
hàm theo hướng thông thường
Nhận xét 2.3 Dao ham theo hướng ƒ'(z;w) là thuần nhất dương trên IR",
tức là,
Trang 2119 “Thật vậy, với mọi € IR” và À > 0, ta có mm tor t = Em 4Œ + 0À)u) = ƒŒ) chút in = tim Leet) = f(z) ese : =Af'Œ:u)
Cho hàm ƒ : R" —> R Các đạo hàm theo hướng Dini trên và dưới của
f tai z theo hướng w € R*" lần lượt được định nghĩa như sau:
tu) — ƒ(
(iu) += lim sup L244) bền r = f0),
) = liming LE t0r +) t = F@) °
Định nghĩa 2.3 Cho ƒ : R" —› R”, Đạo hàm theo hướng suy rộng của f tai x theo hướng w € R" được định nghĩa là tap hop
Siesu) = [im l0 TEÐ + œ1
Nhận xét 2.4 Đạo hàm theo hướng suy rộng //(z;w) là thuần nhất
dương, tức là,
SG(a; Au) = AfG(a;u); Vu ER", VA> 0
Thật vậy, với moi a € f¢(x;u) thi tồn tại một day {t,} + 0* sao cho
a= lim fet) -f@
490+ tk
Khi đó, với moi A > 0, ta có
Trang 22Do đó, Àf2(#:u) C ƒÿ(z;Àu) Ngược lai, voi moi B € ff,(a; Au), (A > 0) thì ta có 1, 1, Sổ € 3/6(4i An) “Theo chứng mình trước, ta có 1/6(:Aw) C 6:8) Suy ra BEASG(a;u)
Do đó, fiz(a; Au) C Aff; (a;u) Vậy ta có
Se(a; Au) = Afe(a;u): Vu ER", VA> 0
Chú ý 2.1
1) sG(a; u) 1a một tập hợp và có thể bằng rỗng
2) Nếu ƒf(z;u) tồn tại thì ƒ(+;w) = {ƒ'(+;w)}
Dinh li 2.1 Gid sizint C 4 0 Cho f :R" + R™ la mot hàm C-nửa liên
tục dưới theo tia Khi đó, uới mọi x,y € R” thi ton tại z € [x,y) sao cho
6: = +) 0 [ƒ(w) — ƒ(z) — int C] = 0
Chứng mình Với mọi t € [0, 1] Đặt
9() := f(# + t(ụ~— #)) — ƒ(z) — (ƒ(w) — ƒ(#))-
Khi đó, ø là hàm C-nửa liên tục dưới và ø(0) — ø(1) Suy ra, theo Định If 1.9, tdn tai fo € [0, 1) sao cho
g(to) € WMin(g({0, 1]) |)
Tate la, g(t) ¢ g(to) —int C với mọi t € [0, 1] Lấy dãy số dương {f¿} > 0*,
Trang 2322
Dinh nghia 2.5 (Dao ham theo huéng Clarke) Cho ham f : R" > R la
Lipschitz địa phương tại z Đạo hàm theo hướng Clarke của ƒ tại z theo
hướng œ được định nghĩa như sau:
(a; u) := lim sup ͌ 22 tO +89 t = f2),
Nhận xét 2.5 Dễ thấy rằng ƒ/(z;) < f%(a;u)
2.2 Đặc trưng của hàm vectơ lồi sử dụng đạo hàm theo hướng suy rộng
“Trong mục này, ta giả sử R”' được sắp thứ tự bởi nón lồi đóng nhọn Ơ Cho f :R" + R" la mot ham vecto va #': R" x R" = R”" là một ánh xa da tri với giá trị khác rỗng Với mọi € € IR", hàm €ƒ : R" —> R và ánh
xa €F :R" x R" 3 R lần lượt được xác định như sau: (€/)(z) = (, ƒ(+)), Vz€R”;
(€F)(x,u) = {(€,m) |m € F(x,u)}, V(a,u) ER" x RB"
Mệnh đề 2.2
1) Hàm ƒ là C-lầi khi va chỉ khi hàm €ƒ lồi vdi moi € € C* \ {0} 2) Giả sử intỞ # Ú Khi đó, hàm ƒ là C-lồi chặt khi va chỉ khi hàm
Ef loi chat vdi moi € € C* \ {0} Chứng mình 1) (=) Lay tay ý z,y € R*" và A € [0,1] Vì hàm ƒ là Œ-lồi nên ta có Zz + (L~ À)g) <e Aƒ(#) + (L— À)f(w) >Aƒ() + (L~ À)f(w) — ƒ(Az + (L~ À)w) € Œ Lay € € C* \ {0}, ta c6 (§, AF (2) + (1 = A)F(y) ƒ(z + (1 A)y)) 20 = (E fr + (1 A)y)) < (EAF(@) + (L— À)/())
Trang 24(©) Giả sử hàm £ƒ lồi với mọi € € C* \ {0} Néu ham ƒ không Œ-lồi thi tén tai x,y € R" va A € (0,1) sao cho
#(Az + (1=A)y) AF(x) + 1 A)F(y) = Œ = Af (x) + (1 A)F(y) — Fw + (1—A)y) EC
Do đó, theo Mệnh đề 1.6, tồn tại € € C* \ {0} sao cho
(§ Af (2) + (L=A)F(y) — Fx + (= A)y)) <0 = (6 fre + (1 = A)y)) > (EAP (2) + (1 = A) F(y)) = (Ef)(Ax + (1 = A)y) > AEA)(a) + (1 = À)(€/)0)
Điều này có nghĩa rằng, hàm £ƒ không lồi, mâu thuẫn với giả thiết Vậy
hàm ƒ là C-lồi
2) Chứng minh tương tự Oo
Dinh nghia 2.6 Cho F : R" x R" = R™ 1a mot anh xa da tri
1) F được gọi là C-đơn điệu nếu
(+, — +) + F(u,# — u) C —C; Yz,u € R"
2) Giả sử int C # Ú Khi đó, F được gọi là C-đơn điệu chặt nếu
FŒ.u— +) + F(u.+ — ụ) C —intŒ; Vz, € R", z #
Nhận xét 2.6 Khi m = 1, C = R, thì Định nghĩa 2.6 được phát biểu
lại như sau:
1) F được gọi là đơn điệu nếu
F(œ.w— #) + F(u,# — y) C—R¿; Yz, € R*
2) Ƒ được gọi là đơn điệu chặt nếu
F(z.u— +) + F(u.+ — ) C —intR,; V+, € R", + # ự
Và nếu thêm điều kiện # là ánh xạ đơn trị thì Định nghĩa 2.6 trùng với định nghĩa song hàm đơn điệu trong trường hợp vô hướng, tức là,
1) Ƒ được gọi là hàm đơn điệu nếu
F(x,y—2)+F(y,x—y) <0; Vz,u € R" 2) Ƒ được gọi là hàm đơn điệu chặt nếu
Trang 2524 Vi du 2.1 Xét hàm ¿ : R xí —› R xác định bởi #(z.9) = (œ — 9): Yz,u €R Khi đó, với mọi z, € R, z # ÿ, ta có #(œ,u~#)+(w,#—) = (u~#)(2z=w)+(œ~w)(3u~z) = =3(z—w)? < 0 Vay ham œ đơn điệu chặt Mệnh đề 2.3
1) Ƒ là C-đơn điệu khi tà chỉ khi €P đơn điệu với mọi € € C* \ {0} 2) Giả sử intỞ # Ú Khi đó, F là C-don điệu chặt khi uà chỉ khi €F' đơn điệu chặt uới moi € € C* \ {0} Chitng minh 1) Gia sit F la C-don diéu Khi đó, với mọi x,y € R", ta có F(x,y— 2) + F(y,2£-—y) Cc -C Lấy tùy ý z € F(,— #) + F(y,ø — u) hiển nhiên z € —C Lúc này, với mọi € € Ct \ {0} , theo Mệnh đề 1.6, ta có (,—z) >0 Suy ra (62) <0 Hay nói cách khác, (€F)Œ.w~ +) + (€F)(u,z — ) C —R: Do đó, €Ƒ đơn điệu với mọi € € C* \ {0}
Ngược lại, giả sử €Ƒ đơn điệu với moi € € C* \ {0} Néu F không
C-đơn điệu thì tồn tại x,y € R” sao cho
F(œ.u~ #) + F(u,+ — y) ý ~C
Khi đó, tồn tại z € F(,w— #) + F(w,z — y) và z ý —Ơ Theo Mệnh đề 1.6, tồn tại € € C* \ {0} sao cho
(,—z) <0 hay
Trang 26(F)(z.w— +) + (F)(u.* — u) É —R+
Suy ra €F không đơn điệu, mâu thuẫn với giả thiết Vậy F la Ở-đơn điệu
2) Chứng minh tương tự ñ
Định Ii 2.4 Cho 6: R" R là một ham nửa liên tục dưới theo tia tà ®:R" x R" SR là một ánh zạ đa trị có giá trị không rỗng thỏa mãn
®(x,u) C 6G (2;u), V(x, u) ER" xR"
Khi đó, hàm @ loi (tuong tng, loi chat) khi va chỉ khi ® đơn điệu (tương
ứng, đơn điệu chặt)
Chứng mình Ta chứng mình trường hợp lồi, trường hợp còn lại tương tự (+) Gia sit ham ó lồi Khi đó, với mọi z, ý € R" và À € (0, 1), ta có ó( + À(y— z)) < ó(#) + À(ó(w) — ó(z)) Suy ra ó(z + A(u ) —#”) < j(y) ~ dø) Cho \ + 0* ta suy ra
O(a: y — x) C o(y) — O(2) — Ry
“Tương tự, ta cũng suy ra được
Gelyix — y) C Ox) — o(y) — Re
Mặt khác, theo giả thiết, ta có
®(z.T— #) C OG (ary — #):
®(ụ,# — U) C Ó&(: # — 9)-
Suy ra
B(x, — +) + ®{u, + — U) C Ó@(#:U — x) + g(:# — 9) C —R¿
Điều này có nghĩa rng, đ n iu
(â) Giả sử ® đơn điệu Ta chứng mình hàm ó lồi bằng phản chứng Thật vậy, nếu hàm ó không lồi thì tồn tại z, € R", z # y va d € (0,1)
sao cho
Trang 27
26 Đặt z := Ax + (1—A)y Theo Hệ quả 2.1, tồn tại z¡ € [z, z) và z¿ € [y, z) sao cho e(aiz— 2) C O(2) — ð(ø) + R¿; 9@(2a:z — ) C ð(z) — Ó(y) + R “Ta lại có z~z=(I~À)\(y=#): z—w=A(# —)
Do tính thuần nhất dương của đạo hàm theo hướng suy rộng, nên ta có
AL =A) Serr — #) C À(6(z) = Oa) + Ras (2) AL = A) (22: 2 — y) C (1 —A)(G(2) — ó(w)) + R¿ (3) Tit (1) ta có A(O(z) — o(@)) > ACL = A)(G(y) = ø(z)): (4) (1—A)(9(2) — oy) > À(1 — À)(ó(z) — ó(w))- (5) Tit (2), (3), (4) va (5) ta suy ra
AL = A)(GG(asy — 2) + ó@(2z¡# — y)) C intR,
Điều này tương đương,
Ó§&(zt: — #) + Ó@(sa:# — y) C intR¿
Mặt khác, ta dé dang thấy rằng luôn tồn tại a > 0 sao cho
y—2=0a(2—%)-
Suy ra
r-y=a(y— 2)
“Từ đây ta có
Ge(a; (22 — 21) + đo (sa: (21 — 22)) C int Ry
Trang 28Ménh dé 2.5 Gid sit int C 4 0 Cho (x,u) € R" x R" va € € C* \ {0} Khi đó, €[f@(z:w)] C (€ƒ)e(z: w) Chứng mình Lấy œ € €[ƒg(z:)| Khi đó, tồn tại a € ƒ@(œ; u) sao cho (€,4) Via € fG(x;u) nén ton tai day t, + 0* sao cho Tứ + teu) = f(a) a a= lim te 90 tụ Suy ra
a= nạ Efe Ha) IE) eerie,
Vay elfeain)] C (Eelam) ũ
Cho E, E’ la hai tap khac réng va M : E = ' là một ánh xạ đa trị
Khi d6, mién xéc dinh hitu hiéu cita M duge dinh nghia 1 tap
dom M := {x € E| M(x) # 0}
Dinh lí 2.6 Giả sử intC 4 0, ham f : R" > R”™ la C-nita liên tục dưới theo tia va dom ft, = R" x R" Cho F :R" x R" = R™ la mét anh xa da
trị théa man
OF F(a,u) C fi,(a;u), V(x,u) ER" x RB"
Khi đó, hàm ƒ là C-lồi (tương ứng, C-lồi chat) khi va chi khi F la C-don
điệu (tương ứng, C-đơn điệu chặt)
Chứng mình Lấy tùy ý € € Ơ* \ {0} Theo Mệnh đề 1.8, €ƒ là hàm nửa
liên tục dưới theo tia Theo giả thiết và Mệnh đề 2.5, ta có
0#£F(.u) C €(fg(œ:w)) C (€f)g(+:0); V (+,u) € R" x R",
Do đó, ta có
ƒ là hàm lồi © €f la ham Idi, VE € C* \ {0} (do Mệnh đề 2.2) 4 €F don dieu, VE € C* \ {0} (do Định lý 2.4)
& Ƒ là C-đơn điệu (do Menh dé 2.3)
Trang 292
Cho #, ƑZ là hai tập khác rỗng và Af : É =‡ #' là một ánh xạ đa trị với dom ă # Ú Một ánh xạ đơn trị n : dom ă —> E" được gọi là một lát
cắt của \ƒ nếu
m(x) € M(x), Vx € dom M
Tit Dinh ly 2.6 ta c6 két quả sau
Hệ quả 2.2 Giả sử intC 40, ham f : RB" + R™ la C-nita lien tục dưới
theo tia vdi dom f, = R" x R" va W la mot lat cit cia fG Khi dé, các
ménh dé sau tương đương
1) Hàm ƒ là C-lồi (tương ứng, C-lồi chặt)
2) fG là C-dơn điệu (tương ứng, C-dơn điệu chặt)
3) W là C-đơn điệu (tướng ứng, Ở-đơn điệu chặt) Chứng mình
1) @ 2) Hàm ƒ : R" —› R”" là C-nửa liên tục dưới theo tỉa với R" x R" = dom fg = {(œ,u) € R" xR": f@(2:u) # 0} nên fi, :R" x R" = R”" là một ánh xạ đa trị khác rỗng thỏa mãn
0# f£(:u) C fola;u); V(a,u) ER" xR" Do đó, theo Định lý 2.6, ta có
ƒ là hàm Œ-lồi @ ff là C-don dieu
1) © 3) Hàm ƒ : R" —› R”" là C-nửa liên tục dưới theo tỉa với R" xR" = dom ƒ¿ = {(#,u) € R" xIR": /ø(z¡u) # 0}
Anh xa don trị W : dom ff, + R” 1a mot lit cat của ff, nén OA U(x, u) € ƒ@(z:u), V(œ.u) € dom ƒ¿ = R" x R"
Do đó, theo Định lý 2.6, ta có
ƒ là hàm Œ-lồi £ là Ơ-đơn điệu
“Trường hợp C-lồi chặt chứng minh tương tự a
Trang 301) Nếu ham R" + R thì ƒ/(z;u) € ƒ@(#:u) và ƒ'(œ;u) € ƒ@(œ:u)
Nên có thể áp dụng Hệ quả 2.2 để thu được kết quả rằng:
ƒ là hàm lồi @ ƒ/(z;1) (hoặc ƒ' (z;w)) đơn điệu;
ƒ là hàm lồi chặt @ ƒƒ(z;w) (hoặc ƒ*(z;u)) đơn điệu chặt
2) Giả sử int C 4 0, ham f : R" > R™ la C-nita lien tuc dudi theo tia
và khả vi theo hướng Lúc đó,
ƒ là hàm C-lồi © ƒ'(z;u) là C-đơn đ
ƒ là hàm C-lồi chặt «> ƒf(z;u) là C-đơn điệu chặt
Ham f : R" + R" duge goi la kha vi Gateaux tai x € R" néu tén tại m x n-ma tran D® f(x) sao cho véi méi u € R" thi
im, fest) Ste) = D#ƒ(z)(u)
Khi đó, Để ƒ(z) được gọi là đạo hàm Gâteaux của ƒ tại z Có nghĩa rằng,
nếu hàm ƒ khả vi Gâteaux tại # thì nó khả vi theo hướng tại x va
ƒ(œ:u) = DSƒ(z)(u), Vu € R",
Hàm ƒ được gọi là khả vi Gâteaux nếu nó khả vi Gateaux tai moi diém Cho X C R*" là một tập lồi khác rỗng
Hệ quả 2.3 Cho ham vecto f : R" + R™ khé vi Gateaux va C-nửa liên tục dưới theo tia trên X Giả sử intC # 0 Khi đó,
1) Hàm ƒ là C-lồi trên X khi và chỉ khi
Đ#ƒ(z)(y — #) + D#ƒ(w)(ø — w) € —C: V+,u € X 3) Hàm ƒ là C-lồi chặt trên X khi tà chỉ khi
D®Sƒ(z)(w — #) + DSƒ(w)(+ — u) € —intC; V+,w € X, + # ự
(6 day, D@ f(x) la dao hàm Gâteauz của ƒ tại #)
Chứng mình Suy ra trực tiếp từ Hệ quả 2.2 với
Trang 3131
2) Một tập con đóng ؃(z) C L(R",R") được gọi là một giả Jacobian
chính quy của ƒ tại z € X nếu
(€f).(;u)= sup (€,Mu); VEER, Vue RR"
Meaf(z)
3) Mot gid Jacobian Of : X = L(R",R™) duge goi la chinh quy trù
mật trên X nếu tồn tại tập Xọ trù mật trong X sao cho Of (x) là chính
quy tại moi x € Xp và
Af(x) C {lim M, : M, € Af (as), 2; € Xo, 2 > 2}, Va EX \ Xo Định nghĩa 2.8 Cho ƒ là hàm liên tục trên tập khác rỗng X C R" Khi đó,
1) Một tập con đóng ؃(z) C L(R",R'") được gọi là một giả Jacobian C-chính quy của ƒ tại z nếu
(€f).(;u) = sup (€, Mu); VEE Ct, Vue R"
Meaf(z)
2) Một gid Jacobian Of : X = L(R",R'") được gọi là C-chính quy trù
mật trên X nếu tồn tai tap Xp trù mật trong X sao cho ؃(z) là C-chinh
quy tai moi x € Xp va
Af(z) C {lim My: M; € Af(a), 21 € Xo, 71 + 2}, V2 EX \ Xo
Ménh dé 2.7 Trong mét gid Jacobian thi
1) Chính quụ = C-chinh quy
2) Chink quy tri mat > C-chinh quy tri mat
Chứng mình Dễ dàng suy ra từ định nghĩa a
Chú ý 2.3 Chiều ngược lai của các khẳng định trong Mệnh đề 2.7 nói chung là không đúng Điều này sẽ được làm rõ trong Ví dụ 2.3 ở sau
Cho X C R" là một tập lồi khác rỗng và # : X = L(R",R™) là một
ánh xạ đa trị có giá trị khác rỗng Với € € ” tùy ý, ta định nghĩa ánh xạ đa trị €Z : X = L(R",R) bởi công thức
€7) := {ỨM: M e (z)}
Trang 321) F được gọi là C-đơn điệu nếu
#(œ)(wT— z) + #(w)( — w) C —C: Yz,u X
2) Giả sử int Ở # Ø Khi đó, Z được gọi là C-đơn điệu chặt nếu
F(x)(y — #) + #(w)(+ — y) C —intƠ; V+, € X, z # (G day, F(x)(u) = {Mu: M € F(2)})
Nhận xét 2.9 Khim = 1, C = R, thi F : X > R" va Dinh nghia 2.9 được phát biểu lại như sau:
1) Z được gọi là đơn điệu nếu
(M,u—#) + (N,>— y) <0, với mọi x,y € X, M € F(x) va N € Fly)
2) Z được gọi là đơn điệu chặt nếu
(M,u—#) + (N,>— w) <0, với mọi z, € X, z #y, M € F(x) va N € Fly) Mệnh đề 2.8
1) 7 là C-đơn điệu khi uà chỉ khi đơn điệu tới mọi € € C* \ {0}
2) Gia sitint C A 0 Khi dé, F la C-don điệu chặt khi va chỉ khi EF
đơn điệu chặt uới moi € € C* \ {0} Chứng mình 1) (=) Lay x,y © X, M € F(x) va N € Fly) Vi F là C-đơn điệu nên A(wT— #) + N — ụ) € —C Lấy € € C* \ {0}, theo Menh dé 1.6, ta c6 (€, M(y — 2) +N(x—-y)) <0
=> & M(y~z)) + (€, Nự — y)) <0 Vì bất đẳng thức đúng với mọi A € F(x) va N € F(y) nen
Trang 3333
(©) Gia sit EF don dieu với mọi € € C* \ {0} Ta chứng minh Z là
€-đơn điệu bằng phản chứng Thật vậy, nếu F khong C-don diéu thi tồn tai a,y € X, M € F(x) va N € F(y) sao cho A(wT— +) + N(z — y) # —C Lúc này, theo Mệnh đề 1.6, tan tai € € Ct \ {0} sao cho (€, M(y — 2) + N(x —y)) > 0 Suy ra (, M(y— z)) + (, Nứ — 9)) >0 Do đó, (KZ)(+)(w— 2) + (?)(w)( — 9) £ —R Điều này có nghĩa rằng, €Z không đơn điệu, mâu thuẫn với giả thiết Vậy F la C-don điệu 2) Chứng minh tương tự ñ
Định lí 2.9 Cho Ƒ : R" —š R” là một hàm uectơ liên tục Giả sử tại mỗi
+€X, hàm f c6 mét gid Jacobian khéc réng la Of (x) Khi đó, 1) Nếu Of la C-don điệu trên X thà hàm ƒ là C-lồi trên X
2) Nếu hàm ƒ là C-lồi uà Of la C-chinh quy tri mat trén X thà ؃ là
C-đơn điệu trên X
3) Giả sử intŒ 4 0 Néu Of la C-don diéu chat trén X va Of(x) bi chặn vdi moi x € X thi ham f la C-lồi chặt trên X
4) Gid sitintC # 0 Néu ham f la C-li chat va Of là C-chinh quy
trên X thi Of la C-don diéu chat trén X
Chứng mình
1) Giả sử ؃ là Ở-đơn điệu trên X Ta chứng minh ƒ là C-lồi trên X bằng phản chứng Thật vậy, nếu hàm ƒ không C-lồi trên X thì theo Mệnh
đề 2.2, tồn tai € € C* \ {0} sao cho ham €ƒ không lồi trên X Theo Nhận
xét 2.7, (€ƒ)'„ không đơn điệu trên X Do đó, tồn tại z, € X sao cho
Trang 34¢ {(.1), 2, -1)} = (lim Ms: M; € Of (2:) 2; 4 0.275 > 2} Ngoài ra, hàm ƒ là R3-lồi vì các thành phần của nó là lồi Theo Dinh
lý 2.9 thì ؃ là R3 -đơn điệu
Tiép theo, chúng ta sẽ cho thấy rằng, nhiều đạo hàm suy rộng của giải tích không trơn hiện đại là ví dụ của giả Jacobian Từ đây, chúng ta trình bày một số ứng dụng của Định lý 2.9 vào lớp các hàm Lipschitz địa phương
Cho hàm ƒ : R" > RR là nửa liên tục dưới
Định nghĩa 2.10 Dưới gradient Clarke-Rockafellar của ƒ tại z được định nghĩa bởi
OF f(x) = {2* ER" | (x*,u) < ƒf(ø:u), Vu R"},
trong đó, ƒ†(z;u) là đạo hàm theo hướng Clarke-Rockafellar của f tai x
theo hướng t
Định nghĩa 2.11 Giả sử hàm ƒ là Lipschitz địa phương tại z Gradient suy rộng Clarke của ƒ tại z được định nghĩa bởi
VỀƒ(z) := {+` €R" | (x*,u) < f(a;u), Vue R"},
trong đó, ƒ? là đạo hàm theo hướng Clarke của ƒ tại x theo huéng u
Nhận xét 2.10 Dé thay ring, vdi moi x € R", ta c6
0Œ: u) = 1) Fan) = | mx (2,0)
2) Néu f la ham Lipschitz dia phương thì ƒ†(:u) = ƒ?(z;w) Do đó,
VE f(x) = OF f(x)
Dinh If 2.10 (Rademacher) ((1]) Néu ham f Lipschitz dia phuong tai x thi ham ƒ khả ơi hầu khắp nơi (theo độ do Lebesgue) trong lân cận của z Định lí 2.11 ((1]) Néu ham f Lipschitz địa phương tại x thi
VE f(x) = co {lim Vf(xi) | xi + #, Vf (xi) ton tai} ,
Trang 3539
Cho hàm ƒ : R" + R” lien tue va Lipschitz địa phương tại x
Định nghĩa 2.12 Jacobian suy rộng Clarke của ƒ tại z được định nghĩa bởi a° f(x) = co { lim Df(e;) | 2; 3 ©, Dƒ(z;) tồn tại }
trong đó, Dƒ(z¡) la Jacobian cia f tai #¿
Chú ý 2.4 Ma trận Jacobian của ƒ tại z được xác định bởi
‘Or, 7 Orn
D = "
⁄œ) 9f„(z) Ø/„(z)
trong đó, mỗi hàng của ma trận chính là gradient của mỗi hàm thành phần của hàm ƒ và đễ thấy rằng ma trận Jacobian này tồn tại nếu các đạo hàm
riêng #2 tồn tại với mọi ỉ = 1, rm và j = 1, n
Nhận xét 2.11 Dễ thấy ring, néu m = 1 thi 0° f(x) = VOf(2), tite la, Of f(x) := {a* ER" | (x*,u) < f(a;u), Vu € R"}
Bổ đề 2.1 Cho ham f : R" + R™ la Lipschitz địa phương tại # tà £ © R™ thi ham €f : R" + R la Lipschitz dia phuong tai x va
V(EF)(x) = 0° f(a)
Chứng mình Tai nhing diém u ham f kha vi, ta c6
Trang 36Mệnh đề 2.12 Mối liên hệ giữa Jacobian suy rộng Clarke của hàm vecto f tà đạo hàm theo hướng Clarke của hàm thực €ƒ tại z theo hướng u ER" dude cho béi
°(z;u)=— max (€,Mu), VEER™
(Au) = mare (6 Mu), VỆ Chứng mình Theo Nhận xét 2.10, ta có (au) = 7 (Ef) "(as u) = „0M „U) Theo Bé dé 2.1, ta có max (z*,u)= max (z”,u) z*eV°(£ƒ)(z) z'e€ØF ƒ(z) Suy ra Cpu) = tu
(/) (iu) = max (eu) = max (€, Ma),
Vậy mệnh đề đã được chứng minh n
Mệnh đề 2.13 Cho X C R" là một tập lồi mở khác rỗng Giả sử hàm uectd f :R" +R” lién tuc va Lipschitz địa phương trên X Khi đó, 0° f là một giả Jacobian của ƒ trên X Hơn nữa, nếu hàm ƒ là C-lồi trên X thi OC f la mét gid Jacobian C-chinh quụ của ƒ trên X
Chitng minh Gia sit ham f 1a Lipschitz địa phương trên X Lấy bất kỳ +€X vàu€R*° Với € € R" tùy ý, theo Nhận xét 2.5 và Mệnh đề 2.12, ta có
(€/)\ (iu) < (/) (iu) = max (€, Mu) MeO f(x) Vay O°f 1a một giả Jacobian của ƒ trên X
Hơn nữa, nếu hàm ƒ là C-lồi, theo Mệnh đề 2.2, ta suy ra £ƒ là hàm
lồi Do đó, ta có
(Ef), (a;u) = (€ƒ) (œ:u) =_ max (€, Mu) MEd f(z)
Vậy ؃ là một gid Jacobian C-chinh quy của ƒ trên X n
Trang 3741
Kết quả sau đây là một ứng dụng của Định lý 2.9 vào lớp các hàm
Lipschitz địa phương
Hệ quả 2.4 Cho X C R" là một tập lồi mở khác rỗng Giả sử hàm f:R" +R" lién tuc va Lipschitz dia phuong trén X Khi đó,
1) Hàm ƒ là C-lồi trên X khi va chỉ khi O° f la C-don điệu trên X
9) Giá sử int Ở # l Ham f la C-lồi chặt trên X khi va chi khi O° f là €-đơn điệu chặt trên X
Chứng mình
1) Giả sử ƒ là C-lồi trên X Từ Mệnh đề 2.13, ta suy ra ؃ là Ơ-chính quy Do tính bị chặn của Jacobian suy rong Clarke nén © f 1a C-chinh
quy trù mật trên X Theo Dinh lý 2.9, ta suy ra ham O° f la C-don điệu Ngược lại, nếu O° f 1a C-don điệu, thì cũng theo Định lý 2.9, ta suy ra ƒ
là Œ-lồi bởi vì ؃ là một giả Jacobian (do Mệnh đề 2.13)
2) Theo Mệnh đề 2.13, ta suy ra ؃ là một giả Jacobian -chính quy Áp dụng Dịnh lý 2.9, ta thu được điều cần chứng mình a Cho X C R* là một tập khác rỗng Định nghĩa 2.13 Với mọi z € X Nón pháp tuyến Fréchet của X tại được định nghĩa là tập hợp J N(@,X):= { €R"| limsup ưng < i vận lu =z| 1 rh— "
ở đây, + + được hiểu là z' —> # vax’ EX
Định nghĩa 2.14 Với mọi z € X Nón pháp tuyến Mordukhovich của
X tại z được định nghĩa là tập hợp
N(x, X) := {lim | ị € N(a;,X), 21 € X, 2; > +}
Cho ham vects f :R" +R” Dé thi ciia f 1A gph ƒ được xác định bởi
tập hợp
Trang 38Định nghĩa 2.15 Đối đạo hàm Mordukhovich của hàm ƒ tại z € R" là một ánh xạ đa trị D* ƒ(z) : R”" =‡ R" được định nghĩa bởi
D™ f(2)(v) = {u ER" | (u,—v) € N((x, f(@)), gph f)}, Vo ER”
'Ví dụ 2.4 Cho hàm ƒ : R2 — R khả vi tại zụ Khi đó,
Ñ (Gà f(e);sph/) = {(e0) | a bf" (a0) = 0}
That vay, vi ham f kha vi tai zạ nên ta có
Ile) = flee) + f"(aa)(a — 14) + (z — m): Suy ra Sle) = flee) = f (eo)(e— 29) + ole — 2) —— =ffm)#=s)+a=)=a) ee ee FO EP) tan Sle) See es) We FD) — Co Feadl <° + limsup-GŒ—20 +) — f9) cọ
ore V{œ= #o)° + (ƒ) = ƒ(0o))
+> lmsụp-GŒ —20) + b( Œu)Œ — 3o) † oŒ — g9) Q
z> VỆ #ù) + (ƑfŒu)Œ— #ú) + 0(#= đu)”
ôâ lmeup-(6 +9/u) + a zu) — z0) Q z+ze |# — #6|1+ (ƒf(#o) + a(œ — 20)
& linsup 44/0) — su) Q
+>e |#—#o|lv1+ (Ƒu)" © limsup IIo Hai # — ụ| <0
Do đó,
Ñ(Gu./a).aph /) = {6 = (0) |imap£ 28/2975) <ụ) .¬H |z — zo|
={C= (a9) [la +B/'i)| < 0}
= {¢ = (a,b) | a+bf'(ao) =0}
Vậy
Trang 40Do đó N((0,0), gphy)) = {tim v: |v € N((ei, yi), gph y), (i, yi) _ 0} = {ma (20 sin đị - "¬ -1) Tị = {(Aa, —A) | a € [—1,1], À€ R) Vì vậy, với mọi ø € R, ta có D”'ƒ(0)() = {u R| (u,—v) € N((0,0), X)} ={ueR|u= œ, a€ [—1,1]} z0AeRÌ Cụ thể như, D™ f(0)(1) = [1,1], DY f(0)(2) = [-2,2], DY F(0)(—8) = [-3.3] Kết quả sau cho ta thấy mối liên hệ giữa đối đạo hàm Modurkhovich và Jacobian suy rộng Clarke
Mệnh đề 2.14 (([4]) Néu f : R" + R™ lién tuc va Lipschitz địa phương tai x € R" thi D™ f(x) la mét tap hop céc n x m-ma trén thỏa mãn đẳng thức sau:
(0° F(@)]" (v) = [eo(D™ f(z))](v), Vo ER”
(Ở đây, [Ø° ƒ(z)]T là tập các ma trận chuyén vi cia O° f(x)
Mệnh dé 2.15 Cho ham f : R" + R™ lién tuc va Lipschitz dia phuong
tai x Khi đó, (DM ƒ(œ)]” là một giả Jacobian ciia ƒ tại x
Chứng mình Từ Mệnh đề 2.13, ta c6 O° f(x) là một giả Jacobian của ƒ tại x, suy ra (€/)(:u)< sup (€, Mu) €cØ°ƒ(z) = sụp (€,Mu) €€lco(D% ƒ(z))]T = sup (€Äfu) §<[DM f(x)?