Một số đặc trưng của hàm lồi suy rộng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– HOÀNG TƯ DƯƠNG MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA HÀM LỒI SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng - 2018 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– HOÀNG TƯ DƯƠNG MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA HÀM LỒI SUY RỘNG Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS HUỲNH THẾ PHÙNG Đà Nẵng - 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu tổng quan tơi, kết luận văn tổng hợp từ tài liệu có nguồn gốc rõ ràng hướng dẫn PGS TS Huỳnh Thế Phùng Vì xin khẳng định đề tài luận văn “Một số đặc trưng hàm lồi suy rộng” khơng có trùng lặp với đề tài luận văn Đà Nẵng, tháng năm 2018 Tác giả Hoàng Tư Dương LỜI CẢM ƠN Lời luận văn em xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn, PGS.TS Huỳnh Thế Phùng, người tận tình hướng dẫn em suốt trình thực để em hồn thành luận văn Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng tận tình dạy bảo em suốt thời gian học tập khóa học Đồng thời xin gửi lời cảm ơn đến anh chị lớp Cao học Toán giải tích K32 nhiệt tình giúp đỡ em q trình học tập Tác giả Hồng Tư Dương MỤC LỤC Mở đầu .1 Chương Các khái niệm hàm lồi 1.1 Hàm lồi 1.2 Hàm tựa lồi 1.3 Hàm vectơ lồi theo nón 1.4 Hàm vectơ tựa lồi tự nhiên 16 Chương Đặc trưng hàm vectơ lồi 18 2.1 Đạo hàm theo hướng đạo hàm theo hướng suy rộng 18 2.2 Đặc trưng hàm vectơ lồi sử dụng đạo hàm theo hướng suy rộng 22 2.3 Đặc trưng hàm vectơ lồi sử dụng Jacobian suy rộng 30 Chương Đặc trưng hàm vectơ tựa lồi tự nhiên 46 3.1 Đặc trưng hàm vectơ tựa lồi tự nhiên sử dụng đạo hàm theo hướng suy rộng 46 3.2 Đặc trưng hàm vectơ tựa lồi tự nhiên sử dụng Jacobian suy rộng 55 Kết luận kiến nghị 65 Tài liệu tham khảo 66 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lớp hàm lồi hàm lồi suy rộng đóng vai trị quan trọng nhiều lĩnh vực toán học đại, mà đặc biệt lý thuyết tối ưu Việc nghiên cứu đặc trưng hớp hàm ln ln mang tính thời nhiều nhà nghiên cứu giới quan tâm, mà chứng có nhiều kết nhận lĩnh vực thời gian gần Cụ thể, lớp hàm lồi có tính chất hữu ích cho việc xác định nghiệm tồn cục việc thiết lập điều kiện đủ cho nghiệm tối ưu, ví dụ điểm cực tiểu địa phương hàm lồi điểm cực tiểu toàn cục với có mặt tính lồi, số điều kiện cần cho điểm cực tiểu đồng thời điều kiện đủ Tuy nhiên thực tế, lớp hàm lồi nhỏ có nhiều mơ hình mơ tả hàm khơng lồi lại thể phần tính chất hàm lồi Từ đây, khái niệm hàm lồi suy rộng đời lý để nghiên cứu lớp hàm lồi suy rộng Ta biết tính lồi hàm khả vi đặc trưng tính đơn điệu đạo hàm chúng Bản thân tính đơn điệu hàm lại đóng vai trị quan trọng việc nghiên cứu toán bù, bất đẳng thức biến phân, toán điểm cân bằng, Mối quan hệ tính lồi suy rộng hàm với tính đơn điệu suy rộng đạo hàm suy rộng hay vi phân hàm tương tự trường hợp khả vi Do đó, qua việc nghiên cứu đặc trưng hàm lồi, hàm vectơ lồi suy rộng, em hy vọng bổ sung kiến thức giải tích lồi, giải tích khơng trơn ứng dụng hữu hiệu vào việc giải nhiều tốn thực tế Vì vậy, đồng ý hướng dẫn PGS.TS Huỳnh Thế Phùng, em chọn đề tài “Một số đặc trưng hàm lồi suy rộng” cho luận văn thạc sĩ Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu số đặc trưng hàm lồi hàm vectơ lồi suy rộng, sử dụng tính đơn điệu suy rộng vi phân chúng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Hàm lồi hàm vectơ lồi suy rộng Phạm vi nghiên cứu: Tính đơn điệu suy rộng khảo sát tính lồi chúng Phương pháp nghiên cứu Với đề tài: “Một số đặc trưng hàm lồi suy rộng” em sử dụng phương pháp nghiên cứu sau: ∗ Nghiên cứu tài liệu liên quan đến đề tài, bao gồm tài liệu kinh điển báo mới, tổng hợp trình bày báo cáo tổng quan ∗ Tham khảo, trao đổi với cán hướng dẫn ∗ Tham khảo số báo đăng tạp chí khoa học Ý nghĩa khoa học thực tiễn Tổng hợp tài liệu để có báo cáo tổng quan đầy đủ đặc trưng hàm vectơ lồi suy rộng Bổ sung ví dụ, hình ảnh chứng minh chi tiết Cấu trúc luận văn Luận văn gồm chương: Chương 1: Các khái niệm hàm lồi Trong chương này, trình bày định nghĩa, định lý lớp hàm lồi Cùng với đó, trình bày số kiến thức sở nón thứ tự theo nón khơng gian Rm Từ đây, mở rộng khái niệm thành lớp hàm vectơ lồi suy rộng theo nón Chương 2: Đặc trưng hàm vectơ lồi Trong chương này, đưa kiến thức sở đạo hàm theo hướng, đạo hàm theo hướng suy rộng, giả Jacobian, Jacobian suy rộng Clarke đối đạo hàm Mordukhovich Tiếp đến, thiết lập đặc trưng tính lồi hàm vectơ nửa liên tục theo tia Rn với tính đơn điệu suy rộng đạo hàm theo hướng suy rộng hàm Cuối cùng, tính lồi hàm vectơ liên tục Rn phản ánh thông qua tính đơn điệu giả Jacobian Chương 3: Đặc trưng hàm vectơ tựa lồi tự nhiên Trong chương này, tiếp tục sử dụng công cụ đạo hàm theo hướng suy rộng giả Jacobian để trình bày đặc trưng hàm vectơ tựa lồi tự nhiên 58 Vì ∂f giả Jacobian nên ta suy sup M ∈∂f (x) sup N ∈∂f (y) ξ, M (y − x) ≥ (ξf )′+ (x; y − x) > 0, ξ, N (x − y) ≥ (ξf )′+ (y; x − y) > Do đó, tồn M ∈ ∂f (x), N ∈ ∂f (y) cho ξ, M (y − x) > ξ, N (x − y) > Suy min{ ξ, M (y − x) , ξ, N (x − y) } > Điều có nghĩa rằng, ξ∂f khơng tựa đơn điệu X Theo Mệnh đề 3.5, ∂f không C -tựa đơn điệu X , mâu thuẫn với giả thiết Vậy hàm f C -tựa lồi tự nhiên X 2) Giả sử hàm f C -tựa lồi tự nhiên ∂f C -chính quy trù mật X Khi đó, với x, y ∈ X , M ∈ ∂f (x), N ∈ ∂f (y), theo tính C -chính quy trù mật ∂f , tồn {xi }, {yi } ⊂ X, Mi ∈ ∂f (xi ), Ni ∈ ∂f (yi ) với i cho xi → x, yi → y , Mi → M , Ni → N ∂f (xi ), ∂f (yi ) C -chính quy với i Lấy ξ ∈ C + \ {0}, hàm f C -tựa lồi tự nhiên X nên theo Mệnh đề 3.1, hàm ξf tựa lồi X Do đó, theo Nhận xét 3.2, (ξf )′+ tựa đơn điệu X , tức là, min{(ξf )′+ (xi ; yi − xi ), (ξf )′+ (yi ; xi − yi )} ≤ Vì ∂f (xi ) ∂f (yi ) C -chính quy nên (ξf )′+ (xi ; yi − xi ) = (ξf )′+ (yi ; xi − yi ) = sup ξ, Mi (yi − xi ) ; Mi ∈∂f (xi ) sup ξ, Ni (xi − yi ) Ni ∈∂f (yi ) Do đó, ta có sup ξ, Mi (yi − xi ) , Mi ∈∂f (xi ) sup ξ, Ni (xi − yi ) Ni ∈∂f (yi ) Suy min{ ξ, Mi (yi − xi ) , ξ, Ni (xi − yi ) } ≤ Cho i → ∞ ta thu min{ ξ, M (y − x) , ξ, N (x − y) } ≤ ≤ 59 Điều có nghĩa rằng, ξ∂f tựa đơn điệu X Theo Mệnh đề 3.5, ∂f C -tựa đơn điệu X 3) Giả sử int C = ∅, ∂f C -tựa đơn điệu chặt X ∂f (x) bị chặn với x ∈ X Ta chứng minh hàm f C -tựa lồi chặt tự nhiên X phản chứng Thật vậy, hàm f không C -tựa lồi chặt tự nhiên X theo Mệnh đề 3.1, tồn ξ ∈ C + \ {0} cho hàm ξf không tựa lồi chặt X Do đó, theo Nhận xét 3.2, (ξf )′+ không tựa đơn điệu chặt X , tức là, tồn x, y ∈ X, x = y cho min{(ξf )′+ (x; y − x), (ξf )′+ (y; x − y)} ≥ 0, hay tương đương rằng, (ξf )′+ (x; y − x) ≥ (ξf )′+ (y; x − y) ≥ Vì ∂f giả Jacobian nên sup ξ, M (y − x) ≥ M ∈∂f (x) sup ξ, N (x − y) ≥ N ∈∂f (y) Do ∂f (x) bị chặn nên compact với x ∈ X Điều có nghĩa là, tồn M ′ ∈ ∂f (x) N ′ ∈ ∂f (y) cho ξ, M ′ (y − x) = sup ξ, M (y − x) ≥ M ∈∂f (x) ξ, N ′ (x − y) = sup ξ, N (y − x) ≥ N ∈∂f (x) Suy min{ ξ, M ′ (y − x) , ξ, N ′ (x − y) } ≥ Do đó, ξ∂f khơng tựa đơn điệu chặt X Theo Mệnh đề 3.5, ∂f không C -tựa đơn điệu chặt X , mâu thuẫn với giả thiết Vậy f hàm C -tựa lồi chặt tự nhiên X 4) Giả sử int C = ∅, hàm f C -tựa lồi chặt tự nhiên ∂f C -chính quy X Lấy ξ ∈ C + \ {0}, ∂f C -chính quy X nên với x, y ∈ X, x = y , ta có sup M ∈∂f (x) sup N ∈∂f (y) ξ, M (y − x) = (ξf )′+ (x; y − x); ξ, N (x − y) = (ξf )′+ (y; x − y) 60 Suy ra, với M ∈ ∂f (x) N ∈ ∂f (y), ta có ξ, M (y − x) ≤ (ξf )′+ (x; y − x); ξ, N (x − y) ≤ (ξf )′+ (y; x − y) Vì hàm f C -tựa lồi chặt tự nhiên X nên theo Mệnh đề 3.1 Nhận xét 3.2, ta suy (ξf )′+ tựa đơn điệu chặt X Do đó, min{(ξf )′+ (x; y − x), (ξf )′+ (y; x − y)} < Suy min{ ξ, M (y − x) , ξ, N (x − y) } < Điều có nghĩa rằng, ξ∂f tựa đơn điệu chặt X Theo Mệnh đề 3.5, ∂f C -tựa đơn điệu chặt X Mệnh đề 3.7 Cho hàm φ : Rn → R nửa liên tục Nếu hàm φ tựa lồi gradient Clarke-Rockafellar φ tựa đơn điệu Chứng minh Giả sử hàm φ tựa lồi với x, y ∈ Rn , x∗ ∈ ∂ CR φ(x) ta ln có x∗ , y − x > (Vì x∗ , y − x ≤ hiển nhiên ∂ CR φ tựa đơn điệu) Khi đó, ta cần chứng minh φ↑ (y; x − y) ≤ (Vì y ∗ , x − y ≤ φ↑ (y; x − y), ∀ y ∗ ∈ ∂ CR φ(y)) Thật vậy, với ε > 0, tồn δ ∈ (0, ε) cho x∗ , v − x > 0, ∀ v ∈ B(y, δ) Với v ∈ B(y, δ) cố định Bởi φ↑ (x; v − x) ≥ x∗ , v − x > nên tồn ε′ ∈ (0, ε − δ), uv ∈ B(x, ε′ ), φ(uv ) ∈ B(φ(x), ε′ ) τ ∈ (0, 1) cho v − uv ∈ B(v − x, ε′ ) φ(uv + τ (v − uv )) > φ(uv ) 61 Từ bất đẳng thức theo giả thiết φ tựa lồi, ta suy φ(v + t(uv − v)) ≤ φ(v), ∀ t ∈ (0, 1) Hơn nữa, u′v := uv − v − (x − y) ≤ uv − x + v − y < ε′ + δ < ε Do đó, u′v ∈ B(x − y, ε) Tóm lại, φ(v + tu′v ) − φ(v) ≤ 0, t với ε > 0, v ∈ B(y, ε), φ(v) ∈ B(φ(y), ε) t ∈ (0, 1) Điều tương đương rằng, φ(v + tu′v ) − φ(v) ≤ sup lim sup ′ inf t ε>0 v → y, t↓0 uv ∈B(x−y, ε) φ Suy φ (y; x − y) ≤ Vậy ∂ CR φ tựa đơn điệu ↑ Bây trình bày số ứng dụng Định lý 3.6 vào lớp hàm Lipschitz địa phương Cho X ⊂ Rn tập lồi mở khác rỗng Hệ 3.3 Giả sử hàm f : Rn → Rm liên tục Lipschitz địa phương X Khi đó, 1) Hàm f C -tựa lồi tự nhiên X ∂ C f C -tựa đơn điệu X 2) Giả sử int C = ∅ Nếu ∂ C f C -tựa đơn điệu chặt X hàm f C -tựa lồi chặt tự nhiên X Chứng minh 1) Giả sử hàm f C -tựa lồi tự nhiên X Ta cần chứng minh ∂ C f C -tựa đơn điệu X Thật vậy, lấy ξ ∈ C + \ {0}, theo Mệnh đề 3.1, hàm ξf tựa lồi Vì f hàm Lipschitz nên gradient suy rộng Clarke ξf trùng với gradient Clarke-Rockafellar (do Nhận xét 2.10), tức là, ∇C (ξf )(x) ≡ ∂ CR (ξf )(x), ∀ x ∈ Rn Theo Nhận xét 2.11 ∂ C (ξf )(x) ≡ ∇C (ξf )(x), ∀ x ∈ Rn 62 Do đó, ta có ∂ C (ξf )(x) ≡ ∂ CR (ξf )(x), ∀ x ∈ Rn Theo Mệnh đề 3.7, ∂ CR (ξf ) tựa đơn điệu Do đó, ξ∂ C f tựa đơn điệu Suy ra, ∂ C f C -tựa đơn điệu X (theo Mệnh đề 2.8) Ngược lại, giả sử ∂ C f C -tựa đơn điệu X Nếu hàm f không C -tựa lồi tự nhiên theo Mệnh đề 3.1, tồn ξ ∈ C + \ {0} cho hàm ξf không tựa lồi, tức là, tồn x, y ∈ X, x = y z ∈ (x, y) cho (ξf )(z) > max{(ξf )(x)), (ξf )(y)} Theo Hệ 2.1, tồn c1 ∈ [x, z) c2 ∈ [y, z) cho (ξf )′+ (c1 ; z − x) ≥ (ξf )(z) − (ξf )(x) > 0; (ξf )′+ (c2 ; z − y) ≥ (ξf )(z) − (ξf )(y) > Dễ thấy tồn α, β > cho z − x = α(c2 − c1 ) y − z = β(c1 − c2 ) Khi đó, theo tính dương đạo hàm theo hướng, ta suy (ξf )′+ (c1 ; c2 − c1 ) > (ξf )′+ (c2 ; c1 − c2 ) > Do tính bị chặn Jacobian suy rộng Clarke nên ∂ C f compact, tức là, tồn M ∈ ∂ C f (c1 ) N ∈ ∂ C f (c2 ) cho ξ, M (c2 − c1 ) = sup M ′ ∈∂ C f (c ξ, N (c1 − c2 ) = 1) sup N ′ ∈∂ C f (c2 ) ξ, M ′ (c2 − c1 ) ≥ (ξf )′+ (c1 ; c2 − c1 ) > 0, ξ, N, (c1 − c2 ) ≥ (ξf )′+ (c2 ; c1 − c2 ) > hay nói cách khác, min{ ξ, M (c2 − c1 ) , ξ, N (c1 − c2 ) } > Vì vậy, ξ∂ C f khơng C -tựa đơn điệu X , mâu thuẫn với giả thiết Vậy hàm f C -tựa lồi tự nhiên X 2) Với int C = ∅ Giả sử ∂ C f C -tựa đơn điệu chặt X Nếu hàm f không C -tựa lồi chặt tự nhiên X theo Mệnh đề 3.1, tồn ξ ∈ C + \ {0} cho hàm ξf không tựa lồi chặt X , tức là, tồn x, y ∈ X, x = y z ∈ (x, y) cho (ξf )(z) ≥ max{(ξf )(x), (ξf )(y)} 63 Theo Hệ 2.1, tồn c1 ∈ [x, z) c2 ∈ [y, z) cho (ξf )′+ (c1 ; z − x) ≥ (ξf )(z) − (ξf )(x) ≥ 0; (ξf )′+ (c2 ; z − y) ≥ (ξf )(z) − (ξf )(y) ≥ Dễ thấy rằng, tồn α, β > cho z − x = α(c2 − c1 ) y − z = β(c1 − c2 ) Khi đó, theo tính dương đạo hàm theo hướng, ta suy (ξf )′+ (c1 ; c2 − c1 ) ≥ (ξf )′+ (c2 ; c1 − c2 ) ≥ Suy sup ξ, M (c2 − c1 ) ≥ 0; M ∈∂ C f (c1 ) sup ξ, N (c1 − c2 ) ≥ N ∈∂ C f (c2 ) Điều có nghĩa rằng, tồn M ∈ ∂ C f (c1 ) N ∈ ∂ C f (c2 ) cho ξ, M (c2 − c1 ) ≥ ξ, N (c1 − c2 ) ≥ 0, hay nói cách khác, min{ ξ, M (c2 − c1 ) , ξ, N (c1 − c2 ) } ≥ Do đó, ξ∂ C f khơng C -tựa đơn điệu chặt X , mâu thuẫn với giả thiết Vậy hàm f C -tựa lồi chặt tự nhiên X Tương tự, ta có kết sau Hệ 3.4 Giả sử hàm f : Rn → Rm liên tục Lipschitz địa phương X Khi đó, 1) Hàm f C -tựa lồi tự nhiên X [co(DM f )]T C -tựa đơn điệu X 2) Giả sử int C = ∅ Nếu [co(DM f )]T C -tựa đơn điệu chặt X hàm f C -tựa lồi chặt tự nhiên X Chứng minh Suy từ Hệ 3.3 Mệnh đề 2.14 Nhận xét 3.5 Trong khẳng định 2) Hệ 3.3 Hệ 3.4, chiều ngược lại nói chung khơng Để thấy rõ xét ví dụ sau 64 Ví dụ 3.3 Xét hàm f : (−1, 3) → R xác định sau:  −x −1 < x <     x2 ≤ x < f (x) :=  − (x − 2)2 ≤ x <     + (x − 2)2 ≤ x < Khi đó,  −2x −1 < x <     2x ≤ x < ′ f (x) :=  −2(x − 2) ≤ x <     2(x − 2) ≤ x < [co(DM f (x))]T = ∂ C f (x) = {f ′ (x)}, ∀ x ∈ (−1, 3) Lúc này, với x, y ∈ (−1, 3), x = y hàm f tựa lồi chặt [co(DM f )]T khơng tựa đơn điệu chặt, lấy x = 2, y = M = ∈ [co(DM f (x))]T , N = ∈ [co(DM f (y))]T min{M (y − x), N (x − y)} = 65 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Sau thời gian tìm hiểu nghiên cứu, luận văn thu kết sau: - Luận văn tổng hợp nhiều tài liệu để có báo cáo tổng quan đầy đủ đặc trưng hàm vectơ suy rộng - Luận văn bổ sung ví dụ, chứng minh cách đầy đủ chi tiết cho mệnh đề, định lý - Trang bị cho cơng cụ thay cho khái niệm lồi đơn điệu cổ điển để giải nhiều toán thực tế ngày phức tạp Đề tài làm sở cho việc nghiên cứu điều kiện cực trị giải toán tối ưu 66 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Huỳnh Thế Phùng, “Giáo trình giải tích khơng trơn”, 2017 [2] Tinh, P.N., “Đặc trưng hàm lồi suy rộng”, Tạp chí Khoa học Đại học Huế, Vol 117, pp 201-220, 2016 Tiếng Anh [3] Cambini, R Komlosi, S., “On polar generalized monotonicity in vector optimization”, Optimization, Vol 47, pp 111-121, 2000 [4] Jeyakumar, V., and Luc, D.T., “Nonsmooth Vector Functions and Continuous Optimization”, Springer-Verlag, 2005 [5] Komlosi, S, “Generalized convexity and generalized derivatives”, Handbook of Generalized Convexity and Generalized Monotonicity, Nonconvex Optimization Appl., Vol 76, pp 421-463, 2005 [6] Luc, D.T., “Theory of Vector Optimization”, Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, Vol 319, pp 1-175, 1989 ... quan hệ tính lồi suy rộng hàm với tính đơn điệu suy rộng đạo hàm suy rộng hay vi phân hàm tương tự trường hợp khả vi Do đó, qua việc nghiên cứu đặc trưng hàm lồi, hàm vectơ lồi suy rộng, em hy... 2.1 Đạo hàm theo hướng đạo hàm theo hướng suy rộng 18 2.2 Đặc trưng hàm vectơ lồi sử dụng đạo hàm theo hướng suy rộng 22 2.3 Đặc trưng hàm vectơ lồi sử dụng Jacobian suy rộng ... cứu Nghiên cứu số đặc trưng hàm lồi hàm vectơ lồi suy rộng, sử dụng tính đơn điệu suy rộng vi phân chúng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Hàm lồi hàm vectơ lồi suy rộng Phạm vi