THÔNG TIN TÀI LIỆU
2.4 Phân tích động học phương pháp Véc tơ - giải tích (Xét cấu bốn khâu phẳng tồn khớp thấp) 2.4.1 Bài tốn vị trí 2.4.1.1 Phương trình lược đồ động Phương trình vectơ lược đồ động Lược đồ động cấu bốn khâu phẳng tồn khớp thấp có dạng tứ giác (có trường hợp suy biến thành tam giác) Nếu biểu diễn cạnh đa giác lược đồ động vectơ nối tiếp ta chuỗi vectơ khép kín Gọi li vectơ thứ i chuỗi, ta có phương trình vectơ sau: l i =1 i =0 (2.12) Gọi ei , li vectơ đơn vị phương chiều dài vectơ li phương trình (2.12) viết lại sau: l e i =1 i i =0 (2.13) Các phương trình (2.12) (2.13) gọi phương trình vectơ lược đồ động Các phương trình hình chiếu lược đồ động hệ tọa độ gắn liền với giá Gọi Oxy hệ tọa độ vng góc gắn liền với giá cấu: trục Ox nằm ngang từ trái sang phải, trục Oy thẳng đứng từ lên Các vectơ đơn vị phương trục Ox, Oy e0 , n0 Phương, chiều hệ tọa độ vectơ ex xác định góc x mà ex làm với e0 , chiều dương góc chiều ngược chiều kim đồng hồ Ta có x = ( ex , e0 ) ( n0 , e0 ) = ; ( −ei , ei ) = ( ex , n0 ) = x − ( ex , − e0 ) = x − ( −ex , e0 ) = x + y e2 2 l1 e1 l4 O e3 1 ex x no l 3 eo l3 4 e4 eo x Hình 2-17 Gọi eu , ev hai vectơ ta có: ( ev , eu ) = v − u ( ev , − eu ) = v − u + ( −ev , eu ) = v − u + no ev v Nhân vô hướng vế trái phương trình vectơ (2) với eu u eo e0 n0 ta có: li ei e0 = i =1 l e n = i i i =1 (2.14) li cosi = i =1 l sin = i i i =1 (2.15) ei e0 = cos (ei , e0 )=cosi Vì: ei n0 = sin (ei , n0 )=sini nên thay vào (2.14) ta được: Các phương trình (2.15) phương trình hình chiếu lược đồ động lên trục hệ tọa độ Oxy 2.4.1.2 Bài toán vị trí cấu bốn khâu phẳng tồn khớp thấp Nội dung tính vị trí cấu bốn khâu phẳng tồn khớp thấp cho trước kích thước động khâu vị trí khâu dẫn hệ tọa độ gắn liền với giá, yêu cầu phải xác định vị trí cấu hệ tọa độ này, nói cách khác phải xác định đa giác lược đồ động Xét ví dụ cấu tay quay – trượt (hình 2-18): y l1 l 4 no O 1 2 l2 l3 3 eo Hình 2-18 x Cho trước chiều dài cạnh l1 , l2 , l4 đa giác lược đồ động góc vị trí 1 , , (với 4 = 3 ) hệ tọa độ gắn liền với giá, cần phải xác định chiều dài l3 góc vị trí 2 hệ tọa độ nói Ta có: l3 = −l4 − l1 − l2 (1) Nhân vơ hướng phương trình với e3 e4 ta được: l3 e3 = −l4 e3 − l1.e3 − l2 e3 l3 e4 = −l4 e4 − l1.e4 − l2 e4 (2) l3e3 e3 = −l4 e4 e3 − l1e1.e3 − l2e2 e3 l3e3 e4 = −l4 e4 e4 − l1e1.e4 − l2e2 e3 (3) Hay Vì: ( e3 , e4 ) = − nên ta có: l3 = −l1 cos(1 − 3 ) − l2 cos(2 − 3 )(a) 0 = −l4 − l1 cos(1 − 4 ) − l2 cos(2 − 4 )(b) (4) Suy ra: cos( − ) = −l4 − l1 cos(1 − ) l2 2 = 4 + (ar cos −l4 − l1 cos(1 − 4 ) ) l2 Sau xác định giá trị ta hoàn tồn tính l3 (5) (6) 2.4.1.3 Tọa độ đỉnh đa giác lược đồ động y y2, j y1, j l y0, j no y3, j O x 0, j eo x1, j x 2, j x3, j Hình 2-19 x Các đỉnh đa giác lược đồ động ký hiệu số 0, 1, 2, theo quy ước sau: Đỉnh số i gốc véctơ li +1 Như đỉnh số ứng với khớp lề nối khâu dẫn với giá Gọi x0, y0 tọa độ đỉnh số không hệ tọa độ gắn liền với giá Tọa độ đỉnh số k đa giác lược đồ động bằng: k x = x + li cosi k i =1 k y = y + l sin k i i i =1 (k = 0, 1, 2, 3) (2.16) Các tọa độ ứng với vị trí 1 định khâu dẫn Khi cho khâu dẫn vị trí 1, j khác nhau, tọa độ đỉnh đa giác lược đồ động ứng với vị trí bằng: k xk = x0 + li , j cosi,j i =1 k y = y + l sin i, j i,j k i =1 (k = 0, 1, 2, 3; j = 0, 1, , n) (2.17) 2.4.1.4.Vị trí điểm khâu Giả sử Z i điểm khâu i cấu Trên đa giác lược đồ động, khâu thứ i ứng với cạnh li Vị trí điểm Z i khâu i xác định véctơ l Zi có chiều dài lZi véctơ đơn vị phương eZi Chiều dài lZi góc i = (eZi , ei ) tất nhiên số cho trước Gốc véctơ l Zi đặt gốc của véc tơ li mút véctơ li Gọi véctơ nối đỉnh số đa giác lược đồ động với điểm ta có: - Trong trường hợp véctơ l Zi đặt gốc véctơ li OZi = O (i −1) + lZi (2.18) - Trong trường hợp véctơ l Zi đặt mút véctơ li OZi = Oi + lZi y yZ i l Zi eZ i Zi l Z i eZ i ei li ei y0 y yZ i Zi (2.19) li y0 no no O xZ x eo x i O x eo xZ x i a) b) Hình 2-20 Một cách tổng qt viết lại cơng thức (a) (b) sau: OZi = O (i −igi ) + lZi (2.20) Với: ig = gốc l Zi trùng với gốc l i ig = gốc l Zi trùng với mút l i Tọa độ điểm Z i ứng với vị trí j cấu, hệ tọa độ O1xy bằng: xZi = x(i −igi ), j + lZi eZi e0 ( j = 0, 1, , n) y = y + l e n Z ( i − i ), j Z Z i gi i i (2.21) xZi = x(i −igi ), j + lZi cos(i , j + i ) ( j = 0, 1, , n) y = y + l sin( + ) Z ( i − i ), j Z i , j i i gi i (2.22) Hay: Với: ig = gốc l Zi trùng với gốc l i ig = gốc l Zi trùng với mút l i 2.4.2 Bài tốn vận tốc 2.4.2.1 Phương trình vận tốc Phương trình vectơ vận tốc Từ giả thiết ta xác định lược đồ động cách giải tính vị trí Sauk hi giải, đại lượng li , j , ei , j hay ( i , j ) đa giác lược đồ động hoàn toàn xác định Từ (2) ta tiếp tục giải tính vận tốc cách lấy đạo hàm hạng thức vế trái (2) ta được: de d dl li ei = i ei + li i = dt i =1 dt i =1 dt Đặt (2.23) dli de d = li ý i = i ni = i ni phương trình (2.23) viết lại sau: dt dt dt ( l n + l e ) = i =1 i i i i i (2.24) Các phương trình hình chiếu vận tốc Từ (2.24) ta nhân tích vơ hướng hai vế với e0 , n0 Ta có: (i li ni + li ei )e0 = i =1 ( l n + l e )n = i i i i i i =1 (2.25) (li cos i − i li sin i ) = 0( a) i =1 (l sin + l cos ) = 0(b) i i i i i i =1 (2.26) Hay: Từ phương trình ta tìm đại lượng li , i tức giải toán vận tốc 2.4.2.2 Xét ví dụ cấu tay quay – trượt Các đại lượng biến thiên 1 , , l3 Do từ hệ phương trình (3.3), ta có: l3 cos 3 − 1l1 sin 1 − 2l2 sin 2 = 0(a) l3 sin 3 + 1l1 cos 1 + 2l2 cos 2 = 0(b) (1) Hay: l3 cos 3 − 2l2 sin 2 = 1l1 sin 1 (a) l3 sin 3 + 2l2 cos 2 = −1l1 cos 1 (b) (2) Các nghiệm phương trình là: l3 = 1 0 (3) 2 = 2 0 (4) Với: 0 = 1 = cos 3 l2 sin 2 sin 3 l2 cos 2 l1 sin 1 −l2 sin 2 −l1 cos 1 l2 cos 2 cos 3 l1 sin 1 sin 3 −l1 cos 1 = 1 (5) (6) (7) Điều kiện có nghĩa biểu thức (3) (4) là: = l2 cos( − 3 ) (8) Nếu khâu quay tồn vịng suốt q trình chuyển động cấu khơng cạnh l2 vng góc với cạnh l3 , đó: 2 − 3 k điều kiện (8) thoả mãn 2.4.2.3 Vận tốc điểm khâu Giả sử Z i điểm khâu i cấu Ta có: i −igi OZi = lk ek + lZi eZi (2.27) k =1 Với: igi = gốc l Zi trùng với gốc l i igi = gốc l Zi trùng với mút l i Lấy đạo hàm lần theo t biểu thức ta được: d d OZi = dt dt i −igi l e k =1 k k + d lZ eZ dt i i (2.28) Vì O đỉnh cố định đa giác lược đồ động hệ tọa độ gắn liền với giá nên: véctơ vế trái (2.28) vận tốc điểm Z i khâu i Gọi vận tốc vZi , ta có: vZi = d dt i −igi l e k =1 k k + d lZ eZ dt i i (2.29) Vì góc i = (eZi , ei ) chiều dài lZi nên ta có: d lZ eZ = i lZi nZi dt i i (2.30) Thay (2.30) vào (2.29) ta được: vZ i = d dt i −igi l e k =1 k k + i2lZi nZi (2.31) Hay: vZi = vi −igi + i2lZi nZi (2.32) Với vi −igi vectơ gia tốc điểm khâu i thời trùng với đỉnh ( i − ig i ) đa giác véctơ lược đồ động 2.4.3 Bài tốn gia tốc 2.4.3.1 Phương trình gia tốc Nội dung tính gia tốc cho trước kích thước động khâu, vị trí khâu dẫn, vận tốc góc gia tốc góc khâu dẫn, cần phải xác định gia tốc tất khâu cấu Gia tốc khâu coi xác định ta biết: - Hoặc gia tốc góc gia tốc dài điểm - Hoặc gia tốc dài hai điểm khâu Để giải tính gia tốc trước hết phải giải xong tính vị trí vận tốc, giải tính gia tốc tất đại lượng li , i , i , li biết Phương trình vectơ gia tốc Lấy đạo hàm theo t hạng thức vế trái (2.24) ta được: d (ili ni + li ei ) = dt i =1 (2.33) Đặt: i = dl d i , i = li dt dt dni = −i ei dt Do từ phương trình ta suy ra: (− l e i =1 i i i + i li ni + 2i li ni + li ei ) = Trong đó: - ( −i2li ei ) véctơ gia tốc pháp tuyến hướng tâm - ( i li ni ) vectơ gia tốc tiếp tuyến - ( 2i li ni ) véctơ gia tốc Cơriơlít (2.34) - ( li ei ) gia tốc tương đối hai điểm khác khâu thời trùng Sau giải tính vị trí tính vận tốc đại lượng sau phương trình (2.34) biết: - Các véctơ ei , ni - Các đại lượng i , l i ( ) Trong sáu đại lượng cịn lại có mặt phương trình (2.34) i , li (i = 1, 2, 3) có ba đại lượng khác khơng, 1 cho Do phương trình (2.34) có hai ẩn có nghiệm xác định Các phương trình hình chiếu gia tốc Để có phương trình hình chiếu gia tốc hệ tọa độ Oxy gắn liền với giá cấu, ta lấy tích vơ hướng vế trái (2.34) với e0 n0 ta ( − i li cos i − i li sin i − 2i l i sin i + li cos i ) = 0( a) i =1 ( − 2l sin + l cos − 2 l cos + l sin ) = 0(b) i i i i i i i i i i i i =1 (2.35) Sau giải hệ phương trình (2.35) ta xác định giá trị hai đại lượng li , i với hai giá trị giá trị li , i cho giả thiết ta suy khâu gia tốc dài hai điểm gia tốc góc gia tốc dài điểm thuộc nó, tức tính vận tốc giải xong 2.4.3.2 Xét ví dụ cấu tay quay – trượt Các đại lượng biến thiên đa giác lược đồ động trường hợp là: 1 , , l3 phương trình (2.35) có dạng: −12l1 cos 1 − 1l1 sin 1 − 22l2 cos 2 − 2l2 sin 2 + l3 cos 3 = 2 −1 l1 sin 1 + 1l1 cos 1 − 2 l2 cos 2 + 2l2 cos 2 + l3 sin 3 = (1) Các ẩn tính , l3 ta viết lại phương trình sau: 2l2 sin 2 − l3 cos 3 = −12l1 cos 1 − 1l1 sin 1 − 22l2 cos 2 (a) 2 2l2 cos 2 + l3 sin 3 = 1 l1 sin 1 − 1l1 cos 1 + 2 l2 cos 2 (b) (2) Các nghiệm phương trình là: 2 = 1 0 (3) l3 = 2 0 (4) Với: 0 = 1 = 2 = sin 2 − cos 3 cos 2 sin 3 b1 − cos 3 b2 sin 3 sin b1 cos b2 (5) (6) (7) Trong đó: b1 = −12l1 cos 1 − 1l1 sin 1 − 22l2 cos 2 (a) 2 b2 = 1 l1 sin 1 − 1l1 cos 1 + 2 l2 cos 2 (b) (8) Các biểu thức (3) (4) nghiệm có nghĩa = l2 cos( − 3 ) (9) Nếu khâu quay tồn vịng suốt q trình chuyển động cấu khơng cạnh l2 vng góc với cạnh l3 , 2 − 3 k điều kiện (9) thoả mãn 2.4.3.3 Gia tốc điểm khâu Giả sử Z i điểm khâu i cấu Ta có: i −igi OZi = lk ek + lZi eZi (2.36) k =1 Với: igi = gốc l Zi trùng với gốc l i igi = gốc l Zi trùng với mút l i Lấy đạo hàm lần theo t biểu thức ta được: d2 d i −igi d2 OZi = l e + k k dt lZi eZi dt dt k =1 (2.37) Vì O đỉnh cố định đa giác lược đồ động hệ tọa độ gắn liền với giá nên: véctơ vế trái (3.37) gia tốc điểm Z i khâu i Gọi gia tốc aZi , ta có: aZi = d i −igi d2 l e + k k dt lZi eZi dt k =1 Vì góc i = (eZi , ei ) chiều dài lZi nên ta có: (2.38) d2 lZi eZi = −i2lZi eZi + i lZi nZi dt (2.39) Thay (2.39) vào (2.38) ta được: aZi = d i −igi lk ek − i2lZi eZi + ilZi nZi dt k =1 (2.40) Hay: aZi = −igi − i2lZi eZi + i lZi nZi (2.41) Với −igi vectơ gia tốc điểm khâu i thời trùng với đỉnh ( i − ig i ) đa giác véctơ lược đồ động ... được: Các phương trình (2.15) phương trình hình chiếu lược đồ động lên trục hệ tọa độ Oxy 2.4.1.2 Bài tốn vị trí cấu bốn khâu phẳng tồn khớp thấp Nội dung tính vị trí cấu bốn khâu phẳng toàn khớp... i gi i (2.22) Hay: Với: ig = gốc l Zi trùng với gốc l i ig = gốc l Zi trùng với mút l i 2.4.2 Bài tốn vận tốc 2.4.2.1 Phương trình vận tốc Phương trình vectơ vận tốc Từ giả thiết ta xác định... 2 l1 sin 1 −l2 sin 2 −l1 cos 1 l2 cos 2 cos 3 l1 sin 1 sin 3 −l1 cos 1 = 1 (5) (6) (7) Điều kiện có nghĩa biểu thức (3) (4) là: = l2 cos( − 3 ) (8) Nếu khâu quay tồn vịng suốt
Ngày đăng: 28/08/2022, 12:23
Xem thêm: