TN TOAN 6 HK2 SO CHUONG 1 BAI 10 TINH CHAT CHIA HET CUA MOT TONG TOAN THCS VN

Sản phẩm của nhóm: “Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam” Tên dự án: Chuyên đề Toán TÊN DỰ ÁN: ĐỀ CƯƠNG TOÁN BÀI 10: TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA MỘT TỔNG I KIẾN THỨC CẦN NHƠ Tính chất ▪ số Nếu tất số hạng tổng chia hết cho số tổng chia hết cho a chia hết cho m , b chia hết cho m  a  b chia hết cho m  a, b, m  N ; m   Tính chất ▪Nếu có số hạng tổng khơng chia hết cho số, cịn số hạng khác chia hết cho số tổng khơng chia hết cho số a khơng chia hết cho m , b chia hết cho m  a  b không chia hết cho m  a, b, m  N ; m   Chú ý ▪ Các tính chất với hiệu, với: a  b II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xét tính chia hết tổng (hiệu) Phương pháp giải:  Áp dụng tính chất tính chất chia hết tổng, hiệu Ví dụ 1: [NB] Cho số 12; 60 Xét xem tổng, hiệu sau có chia hết cho không? a) 60 + 12 b) 60 -12 Lời giải Ta có 60M4 , 12M4 theo tính chất ý có a)  60  12  M4 b)  60  12  M4 Ví dụ 2: [TH] Chứng minh rằng: a)  49  105  392  M7 b)  84  48  120  M8 Lời giải Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang Sản phẩm của nhóm: “Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam” Tên dự án: Chuyên đề Toán  49  105  392  M7 a) Ta có 49M7 , 105M7 , 392M7 theo tính chất có 84  48  120  M8 b) Ta có 84 M8 , 48M8 , 120M8 theo tính chất có  11 Ví dụ 3: [VD] Chứng minh ab  ba M Lời giải Ta có ab  ba  10a  b  10b  a  11a  11b 11 hay ab  ba M 11 , 11bM 11 nên theo tính chất có 11a  11b M 11 Vì 11aM Ví dụ 4: [VDC] Chứng minh tổng số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3, tổng số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho Lời giải +) Gọi số tự nhiên liên tiếp x, x  1, x   x  ¥  Ta có S  x  x   x   x   3x  3 M3 hay S M3 Do xM3 , 3M3 nên có +) Gọi số tự nhiên liên tiếp x, x  1, x  2, x   x  ¥  Ta có S  x  x   x   x   x   x   M4 hay S M4 Do xM4 , M4 nên có Dạng 2: Tìm điều kiện số hạng để tổng (hiệu) chia hết cho số Phương pháp giải: ▪ Áp dụng tính chất tính chất để tìm số hạng chưa biết A  12  15  21  x  x  ¥  Ví dụ 1: [NB] Cho Tìm điều kiện x để a) AM3 b) A M3 Lời giải a) Vì 12M3 , 15M 3 , 21M nên để A  12  15  21  x M xM b) Vì 12M3 , 15M3 , 21M3 nên để A  12  15  21  x M3 x M3 Ví dụ 2: [TH] Tìm n  ¥ thỏa mãn n  6Mn Lời giải Ta có n Mn , n  ¥ n   1, 2,3,6 Do n  6Mn 6Mn suy Ví dụ 3: [VD] Tìm n  ¥ thỏa mãn 3n  10Mn  Lời giải Ta có 3n  10   n    Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang Sản phẩm của nhóm: “Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam” Mà  n   Mn  2, n  ¥ 3n  10   n    4Mn  Do Tên dự án: Chuyên đề Toán n    1, 2, 4  n   0, 2 4Mn  suy Ví dụ 4: [VDC] Tìm chữ số a biết 20a 20a 20aM7 Phân tích: Sử dụng kiến thức cấu tạo số để phân tích 20a 20a20a thành tổng hai số hạng có số hạng bội 7; số hạng lại dạng đơn giản dùng để suy luận a Lời giải Ta có 20a 20a 20a  20a 20a 1000  20a    20a 1000  20a 1000  20a  1001.20a.1000  20a  7.143.20a.1000  20a Do 7.143.20a.1000M7 nên 7.143.20a.1000  20 a M7  20a M7  a  4M7  do196M7  Mà 20 a  200  a  196   a M7 Từ suy a  Dạng 3: Xét tính chia hết tích Phương pháp giải: ▪ Nếu thừa số tích chia hết cho số tích chia hết cho số ▪ Nếu a chia hết cho m b chia hết cho n ab chia hết n cho mn Ví dụ 1: [NB] Cho A  2.4.6.8.10.12.14 Hỏi A có chia hết cho 6, cho 8, cho khơng? Lời giải Ta có A có chứa thừa số chia hết cho 6, 8, nên A chia hết cho 6, cho 8, cho Ví dụ 2: [TH] Cho A  1494.1495.1496 Khơng thực phép tính chứng minh A chia hết cho 180 Lời giải Ta có 1494M9 , 1495M5 , 1496M4 nên A chia hết cho 9.5.4  180 Ví dụ 3: [VD] Chứng minh tích số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Lời giải Gọi số tự nhiên liên tiếp Ta có P  x  x  1  x   x, x  1, x   x  ¥  +) Nếu x  3k M3  P M3 +) Nếu x  3k   x   3k    x  1 M  PM +) Nếu x  3k   x   3k    x  1 M  PM Vậy có điều phải chứng minh Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang Sản phẩm của nhóm: “Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam” Tên dự án: Chuyên đề Toán Ví dụ 4: [VDC] Cho n số tự nhiên Chứng minh rằng: a) (n  10)(n  15) chia hết cho b) n n  1  2n  1 chia hết cho Lời giải a) TH1: n số chẵn Khi n  10 số chẵn  n  10M2 TH2 n số lẻ   n  10  n  15 M2   n  10  n  15 M2 Khi n  15là số chẵn  n  15M2 Vậy có điều phải chứng minh 3; n  1 M2  n n  1  2n  1 b) TH1 n  3k,  k  ¥   nM chia hết cho nM2  n  3k  1,  k  ¥  2n  1 2 3k  1  1  6k   M3 TH2  n n  1  2n 1 TH3 chia hết cho n  3k  2,  k  ¥    n 1  3k  3M3 n n  1  2n  1 +) Nếu k số chẵn n số chẵn  nM2 Khi chia hết cho   2n  1 M2 +) Nếu k số lẻ 2n 1 2(3k  2)  1 6k  số chẵn Khi n n  1  2n  1 chia hết cho Vậy có điều phải chứng minh Dạng 4: Xét tính chia hết tổng lũy thừa số Phương pháp giải: ▪ Cách Xét số hạng tổng có chia hết cho số hay khơng Nếu tất số hạng chi hết cho số tổng chia hết cho số ▪ Cách Sử dụng phương pháp tách, ghép số hạng tổng cho nhóm chia hết cho số Áp dụng tính chất chia hết tổng (hiệu) để xét 20 Ví dụ 1: [NB] Cho A      Chứng minh rằng: a) A chia hết cho 2; b) A chia hết cho 3; c) A chia hết cho Lời giải a) A chia hết cho tất số hạng tổng chia hết cho Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang Sản phẩm của nhóm: “Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam” 20 b) A  2     Tên dự án: Chuyên đề Toán      2 22  23  24   219  220  2 1 2  23  1 2   219  1 2  2.3 23.3  219.3 A chia hết cho tất số hạng tổng chia hết cho 3 20 c) A  2             2 23  22  24   218  220    1 22  22 1 22   218 1 22     2.5 5  18 A chia hết cho tất số hạng tổng chia hết cho Ví dụ 2: [TH] Chứng minh rằng: 8 10 a)  – 89  88 M55    7  M11 b) Lời giải a) b)     810 – 89  88  88 82  8  88.55M55 810 – 89  88 M55 Ta có Vậy Ta có   76  75 74  74 72  7  74.55    7  M11 11nên mà 55M Ví dụ 3: [VD] Chứng tỏ rằng: Nếu số 99 + 99 ngược lại Lời giải +) Ta có  ab.100  cd   99ab  ab  cd  mà 99 99abM99 nên + 99 + Cho + 99  99ab  ab  cdM99  100ab  cdM99  abcdM99 I Bài BÀI TẬP CỦNG CỐ [NB] Xét xem tổng (hiệu) sau có chia hết cho không? a) 42  24 b) 70  14 c) 24  43 27 Lời giải a) Ta có 42M6    42 24 M6 24M6   70 14 M6 b) 70  14  56M6 c) 24  43 27  24  16 Có 24M6 ; 16M6 nên 24  16M6 Suy 24  43 27M6 Bài Cho tổng A  8 12 x với x ¥ Tìm x để: a) b) A chia hết cho A không chia hết cho Lời giải a) Vì 8M2 , 12M2 nên để A  8 12  xM2thì x M2 b) Vì 8M2 , 12M2 nên để A   12  x M2 x M2 Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang Sản phẩm của nhóm: “Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam” Bài Tên dự án: Chuyên đề Toán Tích B  2.4.6.8 20 chia hết cho 30 khơng? Vì sao? Lời giải Ta có 2M2 ; 6M3; 20: 5mà ƯCLN(2; 3; 5) =1 nên B  2.4.6.8 20 chia hết cho 2.3.5  30 Vậy B chia hết cho 30 Bài 120 Cho A  3    Chứng minh rằng: a) A chia hết cho 3; b) A chia hết cho 4; c) A chia hết cho 13 Lời giải a) b) A chia hết cho tất số hạng tổng chia hết cho 3 120 A  3          3 32  33  34   3119  3120   3 1 3  33  1 3   3119  1 3  4.3 33.4   3119.4 A chia hết cho tất số hạng tổng chia hết cho c) A  3 32  33   3120          3 32  33  34  35  36   3118  3119  3120    1 3 32  34 1 3 32   3118 1 3 32   3.13 13   118 13 A chia hết cho 13 tất số hạng tổng chia hết cho 13 Bài Chứng minh số tự nhiên có ba chữ số giống chia hết cho 37 Lời giải Gọi số tự nhiên có ba chữ số giống aaa   a  0 Ta có aaa  a.100  a.10  a.1  a.111mà 111M37  aaaM37 Vậy ta điều phải chứng minh II Bài BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM [NB] Tổng (hoặc hiệu) không chia hết cho là: A 25 24 B 48 40 C 32 24 D 46  24  14 C 56 81 D 36 94  14 Lời giải Đáp án A Vì 25M8;24M8  25 24M8 Bài [NB] Tổng (hiệu) chia hết cho là: A 17 14 B 280  77 Lời giải Đáp án B Ta có 280M7; 77M7  280  77M7 Bài Tích A  2.4.6.8 chia hết cho số số sau: 2;3;5;7;6;24;12;130 A 2;3;5;7 B 24;12;130 C 2;3;5;7;6;24; D 2;3;6;24;12 Lời giải Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang Sản phẩm của nhóm: “Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam” Tên dự án: Chuyên đề Toán Đáp án D Bài Tích cho hết cho là: A 2.3.4.5 B 8.10.11.12 C 37.36.107 D 28.44.74.3 C D 106 Lời giải Đáp án C Ta có 36M9  37.36.107 M9 Bài Để 25  50  x M5 x bằng: A 14 B 15 Lời giải Đáp án B Ta có 25M5;50M5 nên để 25  50  x M5  x M5 Vậy số 15 thỏa mãn Bài Cho tổng A  14  16  18  20 Dựa vào tính chất chia hết tổng A chia hết cho: A B C D Lời giải Đáp án A A chia hết cho tất số hạng A chia hết cho Bài Xét tổng 30  15  90 chia hết cho A B C D Lời giải Đáp án D 30  15  90 chia hết cho tất số hạng tổng chia hết cho Bài 127.6  36 chia hết cho A B C D Lời giải Đáp án A 127.6  36 chia hết cho 127.6M6; 36M6 Bài Chọn câu sai A 49  105  399 chia hết cho B 84  48  120 chia hết cho C 18  54  12 chia hết cho D 18  54  12 không chia hết cho Lời giải Đáp án B 8;120M8 nên 84  48  120 M8 Ta có 84 M8; 48M Bài 10 Nếu x M2; y M4 tổng x  y chia hết cho Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang Sản phẩm của nhóm: “Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam” A B Tên dự án: Chuyên đề Toán C D Không xác định Lời giải Đáp án B Vì y M4  y M2 lại có xM2  x  y M2 Bài 11 Nếu a không chia hết cho b chia hết cho tổng a  b A Chia hết cho B Không chia hết cho C Có tận chữ số D Có tận Lời giải Đáp án B Bài 12 Tìm số tự nhiên x để A  75  1003  x chia hết cho là: A xM5 B x chia cho dư C x chia cho dư D x chia cho dư Lời giải Đáp án B III Bài Ta có A  75  1003  x  75  1000  x  mà 75M5 ; 1000M5 Vậy để A  75  1003  x chia hết cho 5thì x  chia hết cho Vậy x chia dư BÀI TẬP VỀ NHÀ Xét xem tổng hiệu sau có chia hết cho 12 khơng? a) 24  36  b) 120  48 c) 255 120  72 Lời giải 12;36M 12  24  36M 12 ; a) Ta có 24M 12;48M 12  120 48M 12 b) Ta có 120M 12;72M12  255 120 72M12 c) Ta có 255M12;120M Bài Tìm số tự nhiên x nhỏ 20 để  7 a) 113 xM b) 113   xM  3 Lời giải  112   1 x  7 1 xM7  x  6;13 a) Ta có 113 x  mà 112M7 nên để 113 xM  104  9 x    xM 13nên để 113   xM 13  x  4;17 b) Ta có 113 x  mà 104M Bài Chứng tỏ rằng: Nếu số 99 + 99 ngược lại Lời giải +) Ta có  ab.100  cd   mà  99ab  ab  cd 99 99abM99 nên + 99 + Cho + 99  99ab  ab  cdM99  100ab  cdM99  abcdM99 Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang Sản phẩm của nhóm: “Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam” Bài Tên dự án: Chuyên đề Toán Chứng minh rằng: 13 a) 81 – 27   M45; b) 10  10  10 M555 Lời giải 13  a) Ta có 81 – 27   3  3  3  13 28 26 26    3.3      3 1 13 12  913.5  45.9 M45 Vậy ta điều phải chứng minh   6  10 10  10  10 10  10  10  106.1110  10 2.555 M555 b) Ta có Vậy ta điều phải chứng minh Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang Sản phẩm của nhóm: “Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam” Tên dự án: Chuyên đề Toán KIỂM TRA 15 PHÚT CUỐI GIỜ BÀI 10: TÍNH CHẤT CHI HẾT CỦA MỘT TỔNG ĐỀ BÀI DẠNG XÉT TÍNH CHIA HẾT CỦA MỘT TỔNG (HIỆU) Bài Áp cụng tính chất chia hết, xét xem tổng (hiệu) sau có chia hết cho 12 khơng? a) 120  72 b) 123  48 DẠNG TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA MỘT SỐ HẠNG ĐỂ TỔNG (HIỆU) CHIA HẾT CHO MỘT SỐ NÀO ĐÓ Bài Cho A   70  x với x số tự nhiên Tìm x để: a) A chia hết cho b) A không chia hết cho DẠNG XÉT TÍNH CHIA HẾT CỦA MỘT TÍCH Bài Xét tích sau có chia hết cho khơng? a) 396.11 b) 2.4.6.8 12 DẠNG XÉT TÍNH CHIA HẾT CỦA MỘT TỔNG CÁC LŨY THỪA Bài Hiệu số có dạng số viết số theo thứ tự ngược lại chia hết cho 90 LỜI GIẢI CHI TIẾT Bài Áp cụng tính chất chia hết, xét xem tổng (hiệu) sau có chia hết cho 12 khơng? a) 120  72 b) 123  48 Lời giải 12;72M 12  120  72M 12 a) Ta có 120M 12  120  72M 12 b) Ta có 123 M12; 48M Bài Cho A   70  x với x số tự nhiên Tìm x để: a) A chia hết cho b) A không chia hết cho Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang 10 Sản phẩm của nhóm: “Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam” Tên dự án: Chuyên đề Toán Lời giải a) Ta có 5M5; 70M5 nên để A   70  x chia hết cho xM b) Ta có 5M5; 70M5 nên để A   70  x khơng chia hết cho x M5 Bài Xét tích sau có chia hết cho không? a) 396.11 b) 2.4.6.8 12 Lời giải a) 396.11có 396M9 nên 396.11chia hết cho  6.12  M9 b) 2.4.6.8 12 chia hết cho Bài Chứng minh hiệu số có dạng số viết số theo thứ tự ngược lại chia hết cho 90 Lời giải Hiệu cần xét A  1ab1 1ba1có 1ab1 1ba1  1000  a.100  b.10  1 1000  b.100  a.10   90a  90bM90 nên A chia hết cho 90 Vậy ta điều phải chứng minh Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang 11 ...  6  10 10  10  10 10  10  10  1 06. 11 10  10 2.555 M555 b) Ta có Vậy ta điều phải chứng minh Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/... tính chất có  11 Ví dụ 3: [VD] Chứng minh ab  ba M Lời giải Ta có ab  ba  10 a  b  10 b  a  11 a  11 b 11 hay ab  ba M 11 , 11 bM 11 nên theo tính chất có 11 a  11 b M 11 Vì 11 aM Ví dụ 4:... 20a 10 00  20a    20a 10 00  20a 10 00  20a  10 01. 20a .10 00  20a  7 .14 3.20a .10 00  20a Do 7 .14 3.20a .10 00M7 nên 7 .14 3.20a .10 00  20 a M7  20a M7  a  4M7  do196M7  Mà 20 a  200  a  19 6