CHUONG 6 ly thuyet uoc luong

ThS Phạm Trí Cao * Chương 17-02-2019 Tổng thể đặc trưng dấu hiệu nghiên cứu X, đại lượng ngẫu nhiên Tổng thể có ba đặc trưng số quan trọng là: E(X)= µ: trung bình tổng thể (định lượng) var(X)= σ : phương sai tổng thể (định lượng) p: tỷ lệ tổng thể (định tính) CHƯƠNG 6: ƯỚC LƯNG THAM SỐ CỦA TỔNG THỂ Ta gọi chung đặc trưng số tổng thể θ Đặc trưng số tổng thể giá trị số cố định chưa biết, đặc trưng số mẫu giá trị số biết không cố định Ta phải dự đoán (ước lượng) θ Có hai dạng ước lượng ước lượng điểm ước lượng khoảng 1) Ước lượng điểm 2) Ước lượng khoảng Từ kết khảo sát mẫu, ta đưa Từ kết khảo sát mẫu, ta đưa khoảng số θ để ước lượng (dự đoán) cho θ Khi θˆ gọi ước lượng điểm θ (θ ˆ Thí dụ: người ta hay dùng:  trung bình mẫu x để ước lượng trung bình tổng thể µ phương sai mẫu (đã hiệu chỉnh) s2 để ước lượng phương sai đám đông σ2   tỷ lệ mẫu f để ước lượng tỷ lệ đám đông p ˆ ˆ 1,θ 2), với mong muốn tham số tổng thể θ thuộc vào khoảng với xác suất định γ = 1−α, nghóa là: ˆ ˆ ˆ ˆ 110  = 165,77 ≈ 166 bao 22 Dạng toán: Có dạng toán giống ước lượng trung bình Tham số mẫu: f Dùng công thức ε = zα/2 n f (1− f ) 21 Phaân biệt ước lượng điểm UL khoảng? Giải VD4: 11 1) n = 100 , tỷ lệ mẫu f = 100 = 0,11 Để ước lượng tỷ lệ sản phẩm xấu Vậy tỷ lệ hộp xấu kho 11% kho đồ hộp, người ta kiểm tra ngẫu nhiên 100 hộp thấy có 11 hộp xấu 1) Ước lượng tỷ lệ sản phẩm xấu kho đồ hộp 2) Ước lượng tỷ lệ sản phẩm xấu kho đồ hộp với độ tin cậy 94% 3) Với sai số cho phép ε = 3%, xác định độ tin caäy 23 γ = 94% = 0,94 ⇒ zα/2 =1,88 (tra baûng F) z f (1− f )  = 1,88 0,11(1− 0,11) = 0,059 = α /2 2) n 100 p = f ± ε = 0,11± 0,059 Vaäy với độ tin cậy 94%, tỷ lệ sản phẩm xấu kho đồ hộp vào khoảng (0,051 ; 0,169) hay 5,1% < p < 16,9% 3) ε = 3%=0,03 = ε n z = 0,03 100 = 0,96 0,11(1−0,11) α/2 f (1− f ) 24 φ(0,96) = 0,3315 ⇒ γ = 2×φ (0,96) = 0,663 = 66,3% ThS Phạm Trí Cao * Chương VD5: Lô trái chủ hàng đóng thành sọt, sọt 100 trái Kiểm tra 50 sọt thấy có 450 trái không đạt tiêu chuẩn 1) Ước lượng tỷ lệ trái không đạt tiêu chuẩn lô hàng với độ tin cậy 95%? 2) Muốn ước lượng tỷ lệ trái không đạt tiêu chuẩn với độ xác 0,5% độ tin cậy đạt bao nhiêu? Muốn ước lượng tỷ lệ trái không đạt tiêu chuẩn với độ tin cậy 99% độ xác 1% cần kiểm tra sọt? 3) 4) Muốn ước lượng tỷ lệ trái không đạt TC với độ tin cậy 99,70% độ xác đạt bao nhiêu? 25 17-02-2019 Giải: 1) Gọi p tỷ lệ trái không đạt tiêu chuẩn  = 95% ⇒ zα/2 =1,96 450 Tỷ lệ mẫu f = 5000 = 0,09 ε = 1,96 0,09× (1−0,09) = 0,008 5000 Khoảng ước lượng p là: 0,082 < p < 0,098 5000 = 1,24 2) z = ε n = 0,005 α/2 3) Ta cần xác định kích thước mẫu n γ = 99% ⇒ zα/2 = 2,575 (tra baûng F) 2 f (1− f ) 0,09× (1− 0,09) = 5430,48 n= z = 2,575 (traùi) α/2 ε (0,01) 0,09(1−0,09) Câu hỏi: Qua thí dụ bạn rút điều cần lưu ý chưa? Vì sọt có 100 trái nên ta cần kiểm tra 5430,48/100 = 54,3048 ≈ 55 sọt “Chuyện nhỏ lại chuyện lớn” (nhạc Rap VN)! 4) Ta cần xác định độ xác ε với độ tin cậy 99,70% (ứng zα/2= 2,96) với kích thước mẫu n = 5000 0,09× (1− 0,09) = 0,01 f (1 −f ) = 2,96× n 5000 α /2 Vậy độ xác đạt 1,2% ε= z 28 27 f (1− f ) γ = 2φ (zα/2) = × 0,3925 = (tra bảng F) 0,785 26 Vậy độ tin cậy đạt 78,5% 7 ThS Phạm Trí Cao * Chương VD6: Một lô hàng có 5000 sản phẩm Chọn ngẫu nhiên 400 sản phẩm từ lô hàng để kiểm tra thấy có 360 sản phẩm loại A 1) Hãy ước lượng tỷ lệ sản phẩm loại A có lô hàng, với độ tin cậy 96%? 2) Hãy ước lượng số sản phẩm loại A có lô hàng, với độ tin cậy 96%? 3) Nếu muốn ước lượng số sản phẩm loại A lô hàng đạt độ xác 150 sản phẩm độ tin cậy 99% phải kiểm tra 17-02-2019 Giải: 1) Tỷ lệ mẫu f= 360 / 400 = 0,9 ε = zα/2 f (1−f ) = 2,05 0,9.0,1 = 0,0308 n 400 p = f ± ε = 0,9 ± 0,0308  0,8692 < p < 0,9308 2) Gọi M số sản phẩm loại A có lô hàng: 0,8692* 5000 < M < 0,9308 * 5000 3) Với ε = 150 / 5000 = 0,03  z 2  α/2  ε = zα/2 f (1− f ) n 29sản phẩm? n = 2,575 ước lượng khoảng ứng với 400 sản phẩm, ε' độ xác ước lượng khoảng ứng với 5000 sản phẩm Ta có p= f ± ε ứng với ước lượng tỷ lệ 400 sản phẩm Np = Nf ± Nε ước lượng ứng với N= 5000 sản phẩm, độ xác ε'= Nε= 150 Vaäy ε = ε'/N= 150/5000 = 0,03 0,9.0,1    ε       f 1−f   = 663,0625 ≅ 664 sản phẩm 0,03 30 Chứng minh: gọi ε độ xác →n = VD6bis: Một lô hàng có nhiều sản phẩm, có 4500 sản phẩm loại A Lấy ngẫu nhiên 400 sản phẩm từ lô hàng thấy có 360 sản phẩm loại A 1) Ước lượng số sản phẩm có lô hàng? 2) Ước lượng số sản phẩm có lô hàng, với độ tin cậy 96%? 31 32 ThS Phạm Trí Cao * Chương 17-02-2019 Giải: 1) Tỷ lệ mẫu: f= 360/400 = 0,9 Câu hỏi: Gọi p= M/N tỷ lệ sản phẩm loại A lô hàng ước lượng ñieåm: p=f → 4500/N = 0,9 → N= 5000 2) Theo Bạn rút điều cần lưu ý từ thí dụ chưa? Các dạng toán tương tự làm giống thí dụ kết 6, ta có ước lượng khoảng: 0,8692 < p= 4500/N < 0,9308 → 4835 ≈ 4834,55 < N < 5177,17 ≈ 5178 Lưu ý: p= M/N , p luôn ước lượng Biết N tìm M: VD6 33 Biết M tìm N: VD6bis Hãy để chuyện nhỏ mãi chuyện nhỏ! 34 VD7: Điều tra suất lúa diện tích 100 hecta Giải: trồng lúa vùng, bảng số liệu sau: Năng suất (tạ/ha) 41 44 45 46 48 52 54 Số có suất 10 20 30 15 10 10 tương ứng i 1) Hãy ước lượng suất lúa trung bình vùng đó, với độ tin cậy 95%? 2) Những ruộng có suất từ 48tạ/ha trở lên có suất cao Hãy ước lượng tỷ lệ diện tích có suất cao vùng, với độ tin cậy 97%? 35 1) Ta lập bảng sau xi ni nixi n ix 41 10 410 16.810 44 20 880 38.720 45 30 1350 60.750 46 15 690 31.740 48 10 480 23.040 52 10 520 27.040 54 270 14.580 Toång n = 100 4600 212680 36 ThS Phạm Trí Cao * Chương 17-02-2019 1) Từ kết tính bảng ta có 2) Tỷ lệ mẫu f 4600 Năng suất trung bình x = 100 = 46 tạ/ha = Phương sai suất  212680 −100*462 s =  = 10,910  100−1  s= 3,303  = 95% ⇒ t0,025(99) = 1,984 γ = 0,97 ⇒ zα/2 = 2,17 (tra baûng F)    t (99) s α /2 = = n 100 1,984*3,303= ε = 2,17 0,25*0,75 = 0,094 100 p = f ± ε = 0,25 ± 0,094 Vậy với độ tin cậy 97%, tỷ lệ diện 0,655 tích lúa có suất cao vuøng  = x ± ε = 46 ± 0,655 vào khoảng (0,156 ; 0, 344) Vậy suất lúa trung bình vùng 37vào khoảng (45,345 ; 46,655) đơn vị tính tạ VD7bis: Với giả thiết VD 7, câu Hãy ước lượng diện tích lúa có suất cao vùng này, biết vùng có diện tích 10.000 ha? Với độ tin cậy 97% Giải: Gọi M diện tích lúa có suất cao vùng Ta có 0,156 < p < 0,344 → 0,156 * 10.000 < M < 0,344 * 10.000 (ha) 39 25 = 0,25 100 38 VD8 Một công ty tiến hành khảo sát nhu cầu tiêu dùng loại sản phẩm công ty sản xuất Khảo sát 500 hộ gia đình thành phố ta bảng số liệu: Số lượng (kg/tháng) Số hộ 2–3 3–4 4–5 5–6 6–7 7–8 150 33 52 127 73 35 30 1) Hãy ước lượng số lượng sản phẩm công ty tiêu thụ thành phố trung bình tháng, với độ tin cậy 96% Cho biết tổng số hộ gia đình toàn thành phố 500000 hộ 2) Hãy ước lượng mức tiêu thụ trung bình hộ hộ có nhu cầu sử dụng, với độ tin cậy 95% 3) Ước lượng số lượng sản phẩm công ty tiêu thụ thành phố trung bình tháng? Biết tổng số hộ có tiêu dùng sản phẩm 40 400000 hộ? 10 ThS Phạm Trí Cao * Chương 17-02-2019 Hướng dẫn 1) n= 500 , x = 3,38 , s = 2,483 Goïi a nhu cầu trung bình hộ loại sản phẩm Gọi M nhu cầu tb toàn thành phố loại sp s 2,483 = t0,02(499) n = 2,054 500= 0,228 ⇒ 3,152 < a < 3,608  500.000 × 3,152 < M < 3,608 × 500.000 (kg/thaùng) 2) n= 350, x = 4,829 , s = 1,341 ε = t0,025(349) s = 1,96 1,341 = 0,14 ⇒ 4,689 < a < 4,969 n 350 3) Số lượng sản phẩm công ty tiêu thụ trung bình thành phố 400.000 * 4,829 = 1931600 (kg/thaùng) 41 42 xi ni 20,75 21,25 21,75 22,25 16 28 23 14 Để ước lượng đường kính trung bình chi tiết đạt tiêu chuẩn với độ xác 0,08 mm độ tin cậy 99% cần mẫu có kích thước n 1) Giải nixi nx ii 332,00 595,00 500,25 311,50 6889,0000 12643,7500 10880,4375 6930,8750 z n≈ 2) s = 37344,0625−81× (21,466)     = 0,252 → s = 0,502 ε    n   =       0,502 2,575×    0,08  = 261,085≈ 262  xác 5% độ tin cậy 99% cần mẫu có kích thước n2 1738,75 = 21,466 81 α/2 Để ước lượng tỷ lệ chi tiết đạt tiêu chuẩn với độ Toång n= 81 1738,750 37344,0625 x= s 2  = z α /2 f (1− f ) = 2,575 ε2 0,81× 0,1 = 408,181 (0,05) ≈ 409 3) Để thỏa mãn đồng thời điều kiện  81−1   43Tỷ lệ chi tiết đạt tiêu chuẩn f = 81/100 = 0,81 toán cần mẫu có kích thước: n = max{n1, n2} = 409 44Vậy ta cần đo thêm 409 – 100 = 309 chi tiết 11 ThS Phạm Trí Cao * Chương 17-02-2019 VD10 Một khách sạn lớn muốn ước lượng tỷ lệ khách Giải: 1) z ε n=   có nhu cầu nghỉ trọ nhiều ngày Họ muốn có độ tin cậy 96% sai số không 5% Hỏi     α/2 =  2,05 2  f (1 − f )      đây, thông tin cho biết tỷ lệ 25% α /2 z α /2 2  →n ≥       × 0,25× 0,75≈ 316    f (1 −f ) ≤ z / Do ñoù ε = z  0,05 f + (1− f ) 2 = (bđt Côsi)   2) Nếu chưa có thông tin cho phép ước lượng   2) Ta có f (1− f )≤ cần lấy mẫu với kích thước thích hợp bao nhiêu: 1) Nếu dựa vào tài liệu khảo sát trước       0,05     =     n α n ≤ 0,05 2,05 = 420,25≈ 421 0,05      Nhận xét: Khi chưa có thông tin hết ta phải 45 46điều tra với cỡ mẫu nhiều có thông tin f Mời ghé thaêm trang web: 47 https://sites.google.com/a/ueh.edu.vn/phamtri cao/ https://sites.google.com/site/phamtricao/ 12 ... xác (sai số) ε Khoảng tin cậy 99% 2,575 1.9350 26. 068 8 29.9313 95% 1, 96 1.4700 26. 5300 29.4700 90% 1 ,64 5 1.2375 26. 766 3 29.2338 26, 068 8 26, 53 26, 766 3 28 29,2338 29,47 29,9313 2) Bieát tα/2(n-1)... 1019 ,6) =ε n = 15* 100 = 1,5 ⇒ φ (1,50)= 0,4332 (baûng σ 100 F)  = 2φ(zα/2) ⇒ γ = 0, 866 2 = 86, 62% 3) γ = 95% ⇒ zα/2 = 1, 96 2 1, 96   z σ ⋅ 100 2) z α /2  16 n= α /2 ε =   = 61 , 466 ≈ 62 (làm... hộp vào khoảng (0,051 ; 0, 169 ) hay 5,1% < p < 16, 9% 3) ε = 3%=0,03 = ε n z = 0,03 100 = 0, 96 0,11(1−0,11) α/2 f (1− f ) 24 φ(0, 96) = 0,3315 ⇒ γ = 2×φ (0, 96) = 0 ,66 3 = 66 ,3% ThS Phạm Trí Cao * Chương