Bài 1 Chứng minh đẳng thức CHƯƠNG I HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG I MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Định lí Pi ta go ; 1 Cho ta.
CHƯƠNG I: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG I MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VNG Cho tam giác ABC vng A, đường cao AH · Định lí Pi-ta-go: BC AB2 AC 2 · AB BC.BH ; AC BC.CH · AH BH CH · AB.AC BC.AH · AH AB AC Bài Cho tam giác ABC vng A có AB = 3cm, BC = 5cm AH đường cao Tính BH, CH, AC AH Bài Cho tam giác ABC vuông A có AC = 10cm, AB = 8cm AH đường cao Tính BC, BH, CH, AH Bài Cho tam giác ABC vng A có BC = 12cm Tính chiều dài hai cạnh góc vng AB AC biết Bài Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH Biết BH = 10cm, CH = 42 cm Tính BC, AH, AB AC Bài Hình thang cân ABCD có đáy lớn AB = 30cm, đáy nhỏ CD = 10cm góc A 60 a) Tính cạnh BC b) Gọi M, N trung điểm AB CD Tính MN 0 Cho tứ giác lồi ABCD có AB = AC = AD = 10cm, góc B 60 góc A 90 a) Tính đường chéo BD b) Tính khoảng cách BH DK từ B D đến AC c)Tính HK d) Vẽ BE DC kéo dài Tính BE, CE DC Cho đoạn thẳng AB = 2a Từ trung điểm O AB vẽ tia Ox AB Trên Ox, lấy điểm D OD a Từ B kẻ BC vng góc với đường thẳng AD cho a) Tính AD, AC BC theo a b) Kéo dài DO đoạn OE = a Chứng minh bốn điểm A, B, C E nằm đường tròn HD: a, AD= DADO DABC nên AD.AC=AB.AO => AC= Dùng pytago cho tam giác ABC để tính BC= b, Chỉ OA=OB=OC=OE Bài Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao BD CE cắt H Trên HB HC lấy điểm M, N cho góc AMC= góc ANB=900 Chứng minh: AM = AN AB 20 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết AC 21 AH = 420 Tính Bài chu vi tam giác ABC HD: P 2030 Đặt AB 20k, AC 21k BC 29k Từ AH.BC = AB.AC Þ k 29 HD: ABC Bài Cho hình thang ABCD vng góc A D Hai đường chéo vng góc với O Biết AB 13,OA , tính diện tích hình thang ABCD II TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GĨC NHỌN Định nghĩa: Cho tam giác vng có góc nhọn a sina cạnh đố i cạnh kề cạnh đố i cosa tana cạnh huyề n; cạnh huyề n; cạnh kề; cota cạnh kề cạnh đố i Chú ý: · Cho góc nhọn a Ta có: sin 1; cos · Cho góc nhọn a, b Nếu sina sin b (hoặc cos cos , tana tan b , cota cot b ) a b Tỉ số lượng giác hai góc phụ nhau: Nếu hai góc phụ sin góc cơsin góc kia, tang góc cotang góc Sin (900-a) = cosa tan(900-a)=cotana cos(900-a)=sina cotan(900-a)=tana Ví dụ: sin 250=cos650; tan200=cotan700… Tỉ số lượng giác góc đặc biệt: a 300 450 600 sina 2 cos 2 2 tana 3 cota 3 Tỉ số LG Một số hệ thức lượng giác tan sin cos ; cot cos sin ; 1 tan2 sin cos 1; tana cota 1; cos ; 1 cot2 a sin2 a Cơng thức tính diện tích tam giác: = P.r = R: Bán kính đường trịn ngoại tiếp, r: Bán kính đường trịn nội tiếp ( Diện tích tam giác nửa tích hai cạnh kề với sin góc xen hai cạnh đó) Trong tam giác bất kì: Với a cạnh đối diện góc A, b cạnh đối diện góc B, c cạnh đối diện góc C BÀI TẬP: Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết BH = 64cm CH = 81cm Tính cạnh góc tam giác ABC Bài Cho tam giác ABC vng A Tìm tỉ số lượng giác góc B khi: a) BC = 5cm, AB = 3cm b) BC = 13 cm, AC = 12 cm c) AC= 4cm, AB=3cm Bài Cho tam giác ABC vng A, có AB = 10cm AC = 15cm a) Tính góc B b) Phân giác góc B cắt AC I Tính AI c) Vẽ AH BI H Tính AH Bài Tính giá trị biểu thức sau: 2 2 2 a) cos 15 cos 25 cos 35 cos 45 cos 55 cos 65 cos 75 2 2 2 b) sin 10 sin 20 sin 30 sin 40 sin 50 sin 70 sin 80 c) sin150 sin750 cos150 cos750 sin300 0 0 d) sin35 sin67 cos23 cos55 2 2 0 0 e) cos 20 cos 40 cos 50 cos 70 f) sin20 tan40 cot50 cos70 Bài Cho biết tỉ số lượng giác góc nhọn a, tính tỉ số lượng giác lại a: a) sina 0,8 b) cos 0,6 a Cho góc nhọn a Biết c) tana cos sin d) cota Tính cota b Cho tana=2 Tính A=(sina-3cosa)/(3sina+7cosa) Bài Bài Cho tam giác ABC vuông C Biết Rút gọn biểu thức sau: cos A 13 Tính tanB a) (1 cos )(1 cos ) 2 b) 1 sin cos c) sin sin cos 4 2 d) sin cos 2sin cos 2 e) tan sin a tan 2 f) cos tan cos Bài Chứng minh hệ thức sau: (sin cos )2 (sin cos )2 4 sin cos b) cos 1 sin cos a) 1 sin Bài Cho tam giác nhọn ABC Gọi a, b, c độ dài cạnh đối diện với đỉnh A, B, C a) Chứng minh: a b c sin A sinB sinC b) Có thể xảy đẳng thức sin A sin B sinC khơng? c) Chứng minh: ( Diện tích tam giác nửa tích hai cạnh kề với sin góc xen hai cạnh đó) III MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GĨC TRONG TAM GIÁC VNG Cho tam giác ABC vng A có BC = a, AC = b, AB = c b a.sinB a.cosC ; c a.sinC a.cosB b c.tanB c.cotC ; c b.tanC b.cot B BÀI TẬP: Bài Giải tam giác vng ABC, biết góc A=900 và: ; 10cm a) a 15cmb b) b 12cm; c 7cm Bài Cho tam giác ABC có góc B=600, C=500, AC=35cm Tính diện tích tam giác ABC Bài Cho tứ giác ABCD có góc A=D=900, C=400, AB=4cm, AD=3cm Tính diện tích tứ giác Bài Cho tứ giác ABCD có đường chéo cắt O Cho biết AC 4cm, BD 5cm, góc AOB =500 Tính diện tích tứ giác ABCD Chứng minh rằng: a) Diện tích tam giác nửa tích hai cạnh nhân với sin góc nhọn tạo đường thẳng chứa hai cạnh b) Diện tích hình bình hành tích hai cạnh kề nhân với sin góc nhọn tạo đường thẳng chứa hai cạnh BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I Bài Cho tam giác ABC có AB = 21m, AC = 28m, BC = 35m a) Chứng minh tam giác ABC vuông b) Tính sin B,sinC Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, đường phân giác AD Cho biết HB = 112, HC = 63 a) Tính độ dài AH b) Tính độ dài AD HD: a) AH = 84 b) AD 60 Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết AH = 5, CH = a) Tính AB, AC, BC, BH b) Tính diện tích tam giác ABC HD: a) AB 25 305 61 BH S , AC 61 , b) 12 Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết AH = 16, BH = 25 a) Tính AB, AC, BC, CH b) Tính diện tích tam giác ABC Cho hình thang ABCD có góc A=D=900 hai đường chéo vng góc với O a) Chứng minh hình thang có chiều cao trung bình nhân hai đáy b) Cho AB = 9, CD = 16 Tính diện tích hình thang ABCD c) Tính độ dài đoạn thẳng OA, OB, OC, OD Tính diện tích hình thang ABCD (AB // CD), biết AB = 10, CD = 27, AC = 12, BD = 35 2 HD: S = 210 V BE // AC (E ẻ CD) ị DE BD BE Bài Cho biết chu vi tam giác 120cm Độ dài cạnh tỉ lệ với 8, 15, 17 a) Chứng minh tam giác tam giác vng b) Tính khoảng cách từ giao điểm ba đường phân giác đến cạnh HD: a) Tính AB = 24cm, AC = 45cm, BC = 51cm Þ DABC vng A b) Gọi O giao điểm ba đường phân giác Với ; ; ; ta r=9cm Bài SABC SOBC SOCA SOAB Cho tam giác ABC cân A, đường cao AH Biết góc A=480, AH=13cm Tinh chu vi DABC HD: BC 11,6cm; AB AC 14,2cm Bài Cho ABC vuông A, AB = a, AC = 3a Trên cạnh AC lấy điểm D, E cho AD = DE = EC DE DB a) Chứng minh DB DC b) Chứng minh BDE đồng dạng CDB c) Tính tổng góc (AEB+BCD) 2 HD: a) DB 2a DE.DC c) Góc(AEB+BCD)=ADB=450 Bài Cho hình thang ABCD có hai cạnh bên AD BC nhau, đường chéo AC vng góc với cạnh bên BC Biết AD = 5a, AC = 12a sinB cosB a) Tính sin B cosB b) Tính diện tích hình thang ABCD 17 HD: a) b) TH1: ABCD hình thang cân, kẻ CH DM vng góc với AB, - Tính CH suy HB, mà AM=HB nên DC=HM => SABCD TH2: Nếu ABCD hình bình hành SABCD=2SABC=AC.CB Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi D điểm đối xứng với A qua điểm B Trên tia đối tia HA lấy điểm E cho HE = 2HA Gọi I hình chiếu D HE a) Tính AB, AC, HC, biết AH = 4cm, HB = 3cm b) Tính HD: a) AB 5cm, d)góc =900 Bài 10 d) Chứng minh: DE EC c) Chứng minh AC 20 16 cm HC cm 3 , b) =3/2 Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC), đường cao AH Đặt BC = a, CA = b, AB = c, AH = h Chứng minh tam giác có cạnh a h; b c; h tam giác vuông 2 HD: Chứng minh (b c) h (a h) Bài 11 Cho tam giác nhọn ABC, diện tích Vẽ ba đường cao AD, BE, CF Chứng minh rằng: a) SAEF SBFD SCDE cos2 A cos2 B cos2 C HD: a) Chứng minh Bài 12 HD: Bài 13 SAEF cos2 A SABC Cho ABC vng A có cosB b) sinC b) SDEF sin2 A cos2 B cos2 C SDEF SABC SAEF SBFD SCDE 4cosB Tính tỉ số lượng giác góc B C 1 3 sinC sinB cosC 2; ; 2; Cho tam giác ABC có ba đường cao AM, BN, CL Chứng minh: b) AN.BL CM AB.BC.CA.cos A.cosB.cosC a) DANL ∽DABC HD: a, Xét ALC ANB có nên ALC ANB (g.g) nên Xét ANL ABC có ; nên ANL ABC (c.g.c) b, AN=AB.cosA; BL=BC.cosB; CM=AC.cosC Bài 14 Cho tam giác ABC vng A có , BC = 4cm đường cao AH, đường trung tuyến AM Tính , AH, AM, HM, HC minh rằng: cos150 6 HD: a) ; AH 1cm; AM 2cm; HM 3cm; HC 3(cm) a) Kẻ b) Chứng b) cos150 cosC CH AC Bài 15 Cho tam giác ABC cân A, Có , BC = 1cm Kẻ phân giác CD Gọi H hình chiếu vng góc D AC a) Tính AD, b) Kẻ CK BD Giải tam giác BKC DC cos360 c) Chứng minh 1 Bài 16 Cho tam giác ABC có AB = 1, , Trên cạnh BC lấy điểm E cho BE = Vẽ ED // AB (D thuộc AC) Đường thẳng qua A vng góc với AC cắt BC F Gọi H hình chiếu A cạnh BC a) Chứng minh tam giác ABE Tính AH b) Chứng minh góc =45 c) Tính tỉ số lượng giác góc AED góc AEF d) Chứng minh AED AEF Từ suy AD = AF e) Chứng minh rằng: Bài 17 a) Giải tam giác ABC, biết: b) c) Trung tuyến ứng với cạnh huyền d) Trung tuyến ứng với cạnh huyền ma ma , đường cao AH = , góc nhọn 47 Bài 18 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, AB = 3cm, BC = 6cm Gọi E, F hình chiếu H cạnh AB AC a) Giải tam giác vuông ABC b) Tính độ dài AH chứng minh: EF = AH c) Tính: EA.EB + AF.FC CHƯƠNG II: ĐƯỜNG TRỊN I SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRỊN TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRỊN Đường trịn Đường trịn tâm O bán kính R (R > 0) hình gồm điểm cách điểm O khoảng R Vị trí tương đối điểm đường tròn Cho đường tròn (O; R) điểm M M nằm đường tròn (O; R) OM R M nằm đường tròn (O; R) OM R M nằm đường tròn (O; R) OM R Cách xác định đường trịn Qua ba điểm khơng thẳng hàng, ta vẽ đường tròn Tính chất đối xứng đường trịn Đường trịn hình có tâm đối xứng Tâm đường trịn tâm đối xứng đường trịn Đường trịn hình có trục đối xứng Bất kì đường kính trục đối xứng đường trịn BÀI TẬP: Bài Cho tứ giác ABCD có Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BD, DC CA Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q nằm đường trịn HD: Chứng minh MNPQ hình chữ nhật Bài Cho hình thoi ABCD có Gọi E, F, G, H trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh điểm E, F, G, H, B, D nằm đường trịn HD: Chứng minh EFGH hình chữ nhật, OBE tam giác Bài Cho hình thoi ABCD Đường trung trực cạnh AB cắt BD E cắt AC F Chứng minh E, F tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ABD HD: Chứng minh E, F giao điểm đường trung trực tương ứng Bài Cho đường trịn (O) đường kính AB Vẽ đường trịn (I) đường kính OA Bán kính OC đường tròn (O) cắt đường tròn (I) D Vẽ CH AB Chứng minh tứ giác ACDH hình thang cân HD: Chứng minh ADO = CHO OD = OH, AD = CH Chứng minh HD // AC Bài Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) có , CD = 2AD Chứng minh điểm A, B, C, D thuộc đường tròn HD: Chứng minh IA IB IC ID , với I trung điểm CD Bài Cho hình thoi ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo M, N, R S hình chiếu O AB, BC, CD DA Chứng minh điểm M, N, R S thuộc đường tròn HD: AOB=COB nên hay mà AB=BC nên OM=ON Chứng minh tương tự ta được: MO=ON=OR=OS nên M,N,R,S thuộc đường tròn Bài Cho hai đường thẳng xy xy vng góc O Một đoạn thẳng AB = 6cm chuyển động cho A nằm xy B xy Hỏi trung điểm M AB chuyển động đường nào? HD: AOB vuông O nên gọi I trung điểm AB OI trung tuyến => OI=3cm, Khi A,B thay đổi OI=3cm nên trung điểm I AB ln chạy đường trịn (O;3cm) Bài Cho tam giác ABC có đường cao BH CK a) Chứng minh: B, K, H C nằm đường trịn Xác định tâm đường trịn b) So sánh KH BC HD: a, Gọi I trung điểm BC, CHB CKB vng nên HI=KI=IC=IB nên B,C,H,K nằm đường tròn tâm I b, Vì BC đường kính nên KH