VietJack com Facebook Học Cùng VietJack Học trực tuyến khoahoc vietjack com Youtube VietJack TV Official CÁC BÀI TOÁN HÌNH ÔN THI VÀO 10 Dạng 1 Chứng minh các điểm thuộc đường tròn Phương pháp Cách 1[.]
VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack CÁC BÀI TỐN HÌNH ƠN THI VÀO 10 Dạng 1: Chứng minh điểm thuộc đường tròn Phương pháp Cách 1: Chứng minh điểm cách điểm O cố định Khi điểm cho thuộc đường trịn tâm O Cách 2: Sử dụng tứ giác nội tiếp Chẳng hạn để chứng minh điểm A, B, C, D, E thuộc đường tròn ta chứng minh ABCD, ABCE tứ giác nội tiếp Ví dụ 1: Cho hình thoi ABCD có góc A 600 , AB = a Gọi E, F, G, H trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh điểm E, F, G, H, B, D nằm đường tròn Xác định tâm tính bán kính đường trịn theo a Giải Gọi O giao điểm AC BD ta có OB = OD Do ABCD hình thoi nên ta có AC ⊥ BD Ta có BAD = 600 nên BAO = 300 (tính chất đường chéo hình thoi) Tam giác ABO vng O có OB = ABsinBAO OB = a.sin 300 = a Xét tam giác vng ABO có ABO + BAO = 900 ( hai góc phụ nhau) mà BAO = 300 suy ABO = 600 hay EBO = 600 Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack OE = AB = EB = EA ( tính chất đường trung tuyến tam giác vng E trung điểm AB Tam giác EOB tam giác cân E có EBO = 600 nên tam giác EBO tam giác OE = OB (1) Chứng minh tương tự với tam giác vng BOC ta có OB = OF (2) Chứng minh tương tự với tam giác vuông COD ta có OD = OG (3) Chứng minh tương tự với tam giác vng DOA ta có OD = OH (4) Mà OD = OB ( O tâm hình thoi ABCD) nên kết hợp với (1), (2), (3),(4) ta có: OE = OB = OF = OC = OG = OD = OH Vậy điểm E, F, G, H, B, D nằm đường trịn tâm O Bán kính OB = a Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông A Trên AC lấy điểm D Hình chiếu D lên BC E, điểm đối xứng E qua BD F Chứng minh điểm A, B, E, D, F nằm đường tròn Xác định tâm O đường trịn Giải Do DE ⊥ BC DEB = 900 Vì E F đối xứng với qua BD nên BD đường trung trực đoạn thẳng EF BF = BE;DF = DE BFD = BED (c-c-c) BFD = BED = 900 Gọi O trung điểm BD Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Xét tam giác vng ABD vng A có AO trung tuyến nên AO = BD = OB = OD (1) BD = OB = OD (2) Tam giác vng BFDvng F có OF trung tuyến nên FO = BD = OB = OD Tam giác vng BDE vng E có OE trung tuyến nên EO = (3) Từ (1), (2), (3) OA = OB = OD = OE = OF Vậy điểm A, B, E, D, F nằm đường tròn tâm O với O trung điểm BC Dạng 2:Tứ giác nội tiếp Phương pháp Để chứng minh tứ giác nội tiếp ta sử dụng phương pháp sau Phương pháp 1: Tứ giác có tổng hai góc đối 1800 Phương pháp 2: Tứ giác có đỉnh cách điểm (mà ta xác định được) Điểm tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác Phương pháp 3: Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc Phương pháp 4: Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện (tương tự phương pháp 1) Phương pháp 5: Định lý Ptoleme hay đẳng thức Ptoleme Thuận: Nếu tứ giác nội tiếp đường trịn tích hai đường chéo tổng tích cặp cạnh đối diện Đảo: Nếu tứ giác thỏa mãn điều kiện tổng tích cặp cạnh đối diện tích hai đường chéo tứ giác nội tiếp đường trịn Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, đường cao BB’, CC’ Chứng minh tứ giác BCB’C’ nội tiếp Giải Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Gọi O trung điểm BC Xét BB’C có : BB'C = 90 (giả thiết) OB’ đường trung tuyến ứng với cạnh huyền OB’ = OB = OC = r (1) 0 Xét BC’C có : BC'C = 90 (giả thiết) Tương tự OC’ = OB = OC = r (2) Từ (1) (2) B, C’, B’, C (O; r) Tứ giác BC’B’C nội tiếp đường trịn Ví dụ 2: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB, kẻ tiếp tuyến Bx lấy hai điểm C D thuộc nửa đường tròn Các tia AC AD cắt Bx E, F( F B E) Chứng minh: ABD = DFB Chứng minh CEFD tứ giác nội tiếp Giải Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack 1) ADB có ADB = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn ) BDF vng D DBF + DFB = 90o (vì tổng ba góc tam giác 180o )(1) ABF có ABF = 90o ( BF tiếp tuyến ) ABD + DBF = 90o (2) Từ (1) (2) ABD = DFB 2) Tứ giác ACDB nội tiếp (O) ABD + ACD = 180o mà ECD + ACD = 180o ( Vì hai góc kề bù) ECD = DBA Theo ABD = DFB , ECD = DBA ECD = DFB Mà EFD + DFB = 180o ( Vì hai góc kề bù) nên ECD + EFD = 180o , tứ giác CEFD tứ giác nội tiếp Dạng 3: Bài tốn quĩ tích Phương pháp Để tìm quĩ tích điểm M thỏa mãn tính chất α ta làm sau: - B1: Tìm hiểu toán, yếu tố sau + Yếu tố cố định: thông thường điểm +Yếu tố không đổi: độ dài đoạn thẳng , số đo góc, diện tích hình +Yếu tố thay đổi: thường điểm mà ta tìm quĩ tích đoạn thẳng, hình mà có điểm mà ta cần tìm quĩ tích Các yếu tố thường cho kèm nhóm từ( di động , di chuyển, chạy, thay đổi ) - B2: Đoán nhận quĩ tích cần tìm: ta thường tìm điểm quĩ tích Muốn nên xét vị trí đặc biệt, tốt sử dụng điểm giới hạn, với điều kiện vẽ hình xác Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack giúp ta hình dung quĩ tích Giả sử ta dự đốn quĩ tích điểm M thỏa mãn tính chất α hình H - B3: Chứng minh kết tìm bước Ta phải chứng minh hai phần + Phần thuận: Mọi điểm có tính chất α thuộc hình H +Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H có tính chất α - B4: Kết luận Ví dụ 1: Cho (O) (O’) nhau, cắt A B Qua B vẽ cát tuyến cắt đường tròn (O) (O’) C D a) CMR : AC = AD b) Tìm quỹ tích trung điểm M CD cát tuyến CBD quay quanh B Giải a) CMR : AC = AD (O) có góc ACB góc nội tiếp chắn cung nhỏ AB (O’) có góc ADB góc nội tiếp chắn cung nhỏ AB (O) (O’) ACB = ADB ∆ACD cân A AC = AD b) Tìm quỹ tích trung điểm M CD cát tuyến CBD quay quanh B Tam giác ACD cân A có M trung điểm CD AM vng góc với CD AMB = 900 M thuộc đường trịn đường kính AB Dạng 4: Các tốn đường tròn liên quan đến tiếp tuyến Phương pháp Để làm tốn đường trịn liên quan đến tiếp tuyến cần nắm số kiền thức sau Tiếp tuyến đường tròn Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack - Tiếp tuyến đường tròn đường thẳng có điểm chung với đường trịn ( điểm chung gọi tiếp điểm) - Nếu đường thẳng tiếp tuyến đường trịn vng góc với bán kính qua tiếp điểm ( d ⊥ OA A, A tiếp điểm) - Nếu đường thẳng qua điểm đường trịn vng góc với bán kính qua điểm đường thẳng tiếp tuyến đường trịn Tính chất hai tiếp tuyến cắt - Nếu hai tiếp tuyến đường trịn cắt tạo điểm + Điểm cách hai tiếp điểm, tức là: MA = MB + Tia kẻ từ điểm qua tâm tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến, tức là: OMA = OMB + Tia kẻ từ tâm qua điểm tia phân giác góc tạo hai bán kính qua tiếp điểm, tức là: AOM = BOM Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack - Đường tròn nội tiếp tam giác đường tròn tiếp xúc với ba cạnh tam giác, tam đường tròn nội tiếp tam giác giao điểm đường phân giác tam giác - Đường tròn bàng tiếp tam giác đường tròn tiếp xúc với cạnh tam giác phần kéo dài hai cạnh kia, tâm đường tròn gia đường phân giác góc ngồi tam giác Mỡi tam giác có đường tròn bàng tiếp tam giác Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack - Đường tròn ngoại tiếp tam giác đường tròn qua đỉnh tam giác, tâm đường tròn giao đường trung trực tam giác Ví dụ 1: Cho đường trịn tâm O, bán kính R đường thẳng d tiếp xúc với đường trịn (O) A Lấy điểm M đường thẳng d (M khác A) Qua điểm M kẻ tiếp tuyến MB với đường tròn (B tiếp điểm, B khác A) 1) Chứng minh tứ giác OAMB nội tiếp 2) Gọi I giao điểm AB OM Chứng minh OI.OM = R2 3) Gọi H trực tâm tam giác MAB.Tính chu vi tứ giác OAHB theo R Lời giải A M I H O B 1) Vì MA tiếp tuyến với đường trịn (O) A nên MAO = 90o Vì MB tiếp tuyến với đường tròn (O) B nên MBO = 90o Tứ giác OAMB có: MBO + MAO = 90o mà hai góc hai góc đối nên tứ giác OAMB nội tiếp 2) Theo (1) ta có tam giác OAM vng A Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Ta có OA = OB = R MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Do OM đường trung trực AB OM vuông góc với AB I AI đường cao tam giác vuông OAM Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có OI.OM = OA2 Mà OA = R OI.OM = R2 3) Ta có AH // OB ( vng góc với BM),BH // OA ( vng góc với MA) Suy tứ giác OAHB hình bình hành Mà OH ⊥ AB OAHB hình thoi OB = OA = HA = HB = R Do chu vi tứ giác OAHB là: OB + OA + HA + HB = 4R Ví dụ 2: Cho đường trịn tâm O, bán kính R, dây cung MN( MN < 2R) Trên tia đối tia MN lấy điểm A Từ A kẻ tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (O) (B, C tiếp điểm) 1) Chứng minh bốn điểm A, B, O, C thuộc đường tròn 2) Chứng minh AB2 = AC2 = AM.AN Lời giải B N M O A C 1) AB, AC tiếp tuyến đường tròn (O) B C (giả thiết) AB ⊥ BO B; AC ⊥ CO C (tính chất tiếp tuyến ) ABO =ACO =900 ABO +ACO =1800 Tứ giác ABOC nội tiếp (dấu hiệu nhận biết) Bốn điểm A, B, O, C thuộc đường tròn (định nghĩa) 2) AB, AC tiếp tuyến đường tròn (O) B C (giả thiết) AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) AB2 = AC Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com (1) Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Ta có ABM góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn cung BM ANB góc nội tiếp chắn cung BM ABM =ANB (tính chất) Xét ABM ANB có : A chung ABM =ANB (chứng minh trên) ABM ANB đồng dạng (g.g) AB AN = AB2 = AM.AN (2) AM AB Từ (1) (2) AC2 = AB2 = AM.AN Dạng 5: Tính độ dài cạnh, góc Chứng minh đẳng thức cạnh góc Phương pháp - Để làm dạng toán ta cần nắm hệ thức góc cạnh tam giác Cho tam giác ABC vng A, đường cao AH Khi ta có hệ thức sau: AB2 = BH.BC hay c = ac ' A AC = CH.BC hay b = ab ' 2 HA = HB.HC hay h = c'b' AB AC = BC AH hay cb = ah 1 1 1 hay = + = + 2 AH AB AC h c b BC = AB2 + AC (Định lí Pitago) c b h B c' b' H a • sin = cạnh đối cạnh huyền ã tan = cạnh đối cạnh kề ã cos = ã cot = c¹nh kỊ c¹nh hun c¹nh kỊ c¹nh ®èi - Một số dạng tốn thường gặp + Tính độ dài đoạn thẳng tam giác vuông Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official C VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Phương pháp giải là: Cho tam giác ABC vuông A đường cao AH Nếu biết độ dài hai sáu đoạn thẳng AB, AC, BC, HA, HB, HC ta ln tính độ dài bốn đoạn thẳng lại việc vận dụng hệ thức (1) → (5) + Chứng minh hệ thức liên quan đến tam giác vuông Phương pháp giải: Sử dụng hệ thức cạnh đường cao cách hợp lý theo hướng: Bước Chọn tam giác vng thích hợp chứa đoạn thẳng có hệ thức Bước Tính đoạn thẳng nhờ hệ thức cạnh đường cao Bước Liên kết giá trị để rút hệ thức cần chứng minh Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông A, AH đường cao Biết AB = 8cm, AC = 6cm Tính độ dài AH Giải Ta có ABC vng A nên : BC = AB2 + AC2 = 82 + 62 = 10(cm) (Định lý Pytago) ABC vuông A, AH ⊥ BC, nên AH.BC = AB.AC AH = AB.AC 6.8 = = 4,8(cm) BC 10 Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cân A Các tia phân giác góc A góc B cắt O Biết OA = cm, OB = 2cm, tính độ dài AB Giải Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt tia BO D Ta có ABD vng A D + B1 = 90 ABC cân A nên AO phân giác đồng thời đường cao AOD + B2 = 90 mà B1 = B2 nên AOD = D Do AOD cân A Suy AD = AO = (cm) Vẽ AH ⊥ OD HO = HD Ta đặt HO = HD = x BD = 2x + Xét ABD vng A, đường cao AH, ta có AD = BD.HD Suy (2 3) = x(2x + 2) Từ ta phương trình: 2x + 2x – 12 = (x – 2)(x + 3) = x = x = −3 Giá trị x = chọn, giá trị x = −3 bị loại Do BD = + + = (cm) Suy AB = 62 − (2 3) = 24 = (cm) Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vng A Chứng minh tan ABC AC = AB + BC Giải Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Vẽ đường phân giác BD ABC ( D AC ) Theo tính chất đường phân giác tam giác ta có : AD DC AD AB = = AB BC DC BC AD AD + DC AD AC = = (1) AB AB + BC AB AB + BC Xét ABD có BAD = 90 tan ABD = AD (2) AB AC AB + BC ABC AC = tan AB + BC Từ (1) (2) tan ABD = Vậy tan ABC AC = AB + BC Dạng 6: Chứng minh tam giác đồng dạng Phương pháp Để chứng minh ABC đồng dạng với MNP ta làm sau: - Cách 1: Chứng minh ba cạnh tam tỉ lệ với ba cạnh tam giác Tức ta chứng minh AB AC BC = = MN MP NP -Cách 2: Chứng minh hai góc tam hai góc tam giác Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Tức ta chứng minh: A = M; B = N - Cách 3: Chứng minh hai cạnh tam tỉ lệ với hai cạnh tam giác góc xen hai cạnh Tức ta chứng minh AB AC = A = M MN MP Chú ý: Các trường hợp đồng dạng tam giác vuông - TH1: Nếu cạnh huyền cạnh góc vng tam giác tỉ lệ với cạnh huyền cạnh góc vng tam giác hai tam giác vuông đồng dạng - TH2: Nếu hai cạnh góc vng tam giác tỉ lệ với hai cạnh góc vng tam giác hai tam giác vng đồng dạng - TH3: Nếu góc nhọn tam giác góc nhọn tam giác hai tam giác vng đồng dạng Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ( O;R ) Gọi I giao điểm AC BD Kẻ IH vng góc với AB; IKvng góc với AD ( H AB;K AD ) a) Chứng minh tứ giác AHIK nội tiếp đường tròn b) Chứng minh IA.IC = IB.ID c) Chứng minh tam giác HIK tam giác BCD đồng dạng Giải a) Chứng minh tứ giác AHIK nội tiếp đường tròn Xét tứ giác AHIK có: Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack AHI = 90 (IH ⊥ AB) AKI = 90 (IK ⊥ AD) AHI + AKI = 180 Tứ giác AHIK nội tiếp b) Chứng minh IA.IC = IB.ID Xét IAD IBC có: A1 = B1 (2 góc nội tiếp chắn cung DC (O)) AID = BIC (2 góc đối đỉnh) IAD ∽ IBC (g.g) IA ID = IA.IC = IB.ID IB IC c) Chứng minh tam giác HIK tam giác BCD đồng dạng Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHIK có A1 = H1 (2 góc nội tiếp chắn cung IK) Mà A1 = B1 H1 = B1 Chứng minh tương tự, ta K1 = D1 HIK BCD có: H1 = B1 ; K1 = D1 HIK ∽ BCD (g.g) Ví dụ 2: Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O) Đường cao CD ABC cắt đường tròn (O) E Từ B kẻ BF ⊥ AE F a) Chứng minh tứ giác BDEF nội tiếp đường tròn b) Kẻ đường cao BK ABC Chứng minh BEF ∽ BCK Giải Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack a) Xét tứ giác BDEF, ta có: BDE = 90 (gt) BFE = 90 (gt) BDE + BFE = 180 Vậy tứ giác BDEF nội tiếp đường trịn b) Ta có: tứ giác ACBE nội tiếp đường tròn (O) ACB + BEA = 180 A, E, F thẳng hàng nên BEF + BEA = 180 BEF = ACB (cùng bù BEA ) hay BEF = KCB Hai tam giác vng BEF, BCK có góc nhọn nên BEF ∽ BCK Dạng 7: Chứng minh đường thẳng vuông góc , song song Phương pháp chứng minh hai đường thẳng vng góc - Cách 1:Chứng minh hai đường thẳng cắt tạo góc 900 - Cách 2: Chứng minh hai đường chứa hai tia phân giác hai góc kề bù - Cách 3: Chứng minh hai đường chứa hai cạnh tam giác vng - Cách 4: Sử dụng tính chất đường trung trực đoạn thẳng - Cách 5: Sử dụng tính chất trực tâm tam giác - Cách 6: Sử dụng tính chất đường kính dây cung - Cách 7: Sử dụng tính chất tiếp tuyến hình trịn - Cách 8: Chứng minh hai đường chứa hai đường chéo hình vng hình thoi - Cách 9: Sử dụng mối quan hệ song song vng góc đường thẳng Phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack - Chứng minh góc so le trong, đồng vị - Sử dụng tính chất bắc cầu: hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba song song với - Dùng tính chất từ vng góc đến song song: hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba song song với - Sử dụng tính chất hình bình hành, hình chữ nhật, hình vng, hình thoi - Sử dụng tính chất đường trung bình tam giác, hình thang, hình bình hành - Sử dụng định lý Ta-let đảo - Sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng Ví dụ 1: Cho ∆ABC nhọn, nội tiếp đường trịn đường trịn tâm O bán kính R, AK đường kính Vẽ đường cao AD, BE, CF ∆ABC a) Chứng minh: Tứ giác BCEF nội tiếp b) Gọi M hình chiếu vng góc C AK Chứng minh: MD //BK Lời giải a) Vì BE đường cao ABC BE ⊥ AC BEC = 900 Vì CF đường cao ABC CF ⊥ AB CFB = 900 Xét tứ giác BCEF có hai đỉnh kề E, Fcùng nhìn cạnh BC góc 900 tứ giác BCEF nội tiếp b) Vì AD đường cao ABC AD ⊥ BC ADC = 900 M hình chiếu C lên AK CM ⊥ AK CMA = 900 Xét tứ giác ADMC có hai đỉnh kề D, M nhìn cạnh AC góc 900 tứ giác ADMC nội tiếp Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com MDC = MAC (góc nội tiếp chắn cung AC) Facebook: Học Cùng VietJack (1) Ta lại có: KBC = KAC hay KBC = MAC (góc nội tiếp chắn cung KC) (2) Từ (1) (2) KBC = MDC , mà hai góc vị trí đồng vị Suy DM // BK (đpcm) Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) Tia phân giác góc A cắt BC D cắt đường tròn điểm thứ hai M Kẻ tiếp tuyến AK với đường tròn (M, MB), K tiếp điểm Chứng minh DK vng góc với AM Giải Ta có A1 = A B1 = A ( góc nội tiếp chắn cung MC) nên B1 = A1 hay MBD = MAB Xét ∆MBD ∆MAB có M chung MBD = MAB MBD ∽ MAB (g.g) MD MB MD MK = = MB MA MK MA Kết hợp với DMK = AMK (góc chung) ta có: DMK ∽ KMA (c.g.c) MDK = MKA = 90 Vậy DK ⊥AM Bài tập vận dụng Bài 1: Cho hình vuông ABCD Trên cạnh BC, AD lấy điểm E, F cho EAF = 450 Biết BD cắt AE, AF theo thứ tự G, H Chứng minh a) ADFG; GHFE tứ giác nội tiếp Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack b) Tam giác CGH tứ giác GHFE có diện tích Bài 2: Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O) Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD = AC a) Chứng minh BAC = 2BDC b) Gọi M điểm cung AC, tia đối tia MB lấy điểm E cho ME = MC Chứng minh bốn điểm B; D; E; C thuộc đường tròn Bài 3: Trên đường tròn (O) lấy hai điểm B D Gọi A điểm cung lớn BD Các tia AD, AB cắt tiếp tuyến Bx Dy đường tròn N M Chứng minh a)Tứ giác BDNM nội tiếp đường tròn b) MN// BD Bài 4: Cho đường trịn (O;R) có AB đường kính cố định, cịn CD kà đường kính thay đổi Gọi (d) tiếp tuyến đường tròn B; AC, AD cắt (d) P, Q.Chứng minh tứ giác CPQD nội tiếp đường tròn Bài 5: Từ điểm A bên ngồi đường trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB; AC cát tuyến AMN Gọi I trung điểm MN a) Chứng minh AB2 = AM.AN b) Chứng minh điểm A, B, I, C, O nằm đường tròn Bài 6: Cho ba điểm A, B, C nằm đường thẳng xy theo thứ tự Vẽ đường trịn (O) qua hai điểm B C Từ điểm A vẽ hai tiếp tuyến AM, AN (M, N thuộc đường tròn) Gọi E hình chiếu O xy; AO cắt MN F a) Chứng minh AM2 = AB AC b) Chứng minh điểm A, N, O, E, M nằm đường tròn Bài 7: Từ điểm A bên ngồi đường trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến AN, AM Trên nửa mặt phẳng bờ AN không chứa M lấy điểm B cho ABO = 90 Đường thẳng BO cắt AN D, cắt đường thẳng AM C Đường thẳng BM cắt AN K Gọi I trung điểm AC BI cắt AN E Chứng minh năm điểm A, B, N, O, M nằm đường trịn Bài 8: Cho hình vng ABCD điểm M cạnh BC Vẽ hình vng AMPQ cho P Q thuộc nửa mặt phẳng bờ AM không chứa đỉnh B Chứng minh rằng: a) Ba điểm Q, C, D thẳng hàng b) Năm điểm A, M, C, P, Q thuộc đường tròn Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official