Tổng kết lý thuyết và công thức giải nhanh thể tích khối đa diện

BÀI GIẢNG: TỔNG KẾT LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC GIẢI NHANH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN CHUYÊN ĐỀ: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN MƠN TỐN LỚP 12 THẦY GIÁO: NGUYỄN CƠNG CHÍNH – GV TUYENSINH247.COM A TỔNG KẾT LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC I CÁC CƠNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH THƯỜNG GẶP Thể tích khối chóp Gọi B diện tích đáy; h đường cao tương ứng 1 Suy ra: V  Bh hay đơn giản: Vchóp  Sday duong cao 3 h: độ dài chiều cao khối chóp khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy chóp VS ABCD  d  S ;  ABCD   S ABCD *) Chóp tam giác đều: +) cạnh đáy a, cạnh bên b : h  b  a2 a 3b  a ;V  12 +) cạnh đáy a, góc cạnh bên với đáy  : V  +) cạnh đáy a, góc mặt bên với đáy  : V  +) tất cạnh a (tứ diện đều): h  a3 tan  12 a3 tan  24 a a3 ;V  12 *) Chóp tứ giác đều: a2 a 4b  2a +) cạnh đáy a, cạnh bên b : h  b  ; V  +) cạnh đáy a, góc cạnh bên với đáy  : V  2a tan  Truy cập trang https://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! +) cạnh đáy a, góc mặt bên với đáy  : V  +) tất cạnh a (tứ diện đều): h  a3 tan  a a3 ;V  Thể tích khối lăng trụ Gọi B diện tích đáy; h đường cao tương ứng Suy ra: V  Bh hay đơn giản: V  Sday , h + Sday : diện tích mặt đáy + h: độ dài chiều cao lăng trụ = Khoảng cách hai đáy Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao cạnh bên Lăng trụ đa giác lăng trụ đứng có đáy đa giác Thể tích khối chữ nhật: thể tích ba kích thước Gọi a, b, c ba kích thước tương ứng Suy ra: V  abc Thể tích khối lập phương: độ dài cạnh lũy thừa (mũ ba) Gọi a độ dài cạnh hình lập phương Suy ra: V  a3 Chú ý: + Đường chéo hình vng cạnh a a + Đường chéo hình lâp phương cạnh a a + Đường chéo hình hộp chữ nhật có kích thước a, b, c a  b2  c2 Truy cập trang https://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! + Đường cao tam giác cạnh a a Hình chóp cụt Hình chóp cụt ABC A ' B ' C ' : V    h B  B ' BB ' Với B, B ', h diện tích hai đáy chiều cao Tỉ số thể tích Cơng thức Simpson: VS A ' B 'C ' SA ' SB ' SC '  VS ABC SA SB SC VS A ' B 'C ' D ' a  b  c  d ac bd    VS ABCD 4abcd 2abcd 2abcd Trong a  c  b  d với a SA SB SC SD ;b ;c ;d SA ' SB ' SC ' SD ' HAI KHỐI CHÓP CHUNG CHIỀU CAO VH ' S '  VH S HAI KHỐI ĐA DIỆN ĐỒNG DẠNG TỈ SỐ k A ' B '  kAB, V'  k3 V TỈ SỐ THỂ TÍCH HAI KHỐI LĂNG TRỤ TAM GIÁC VABC MNP abc  VABC A ' B 'C ' Với a  AM BN CP ;b ;c AA ' BB ' CC ' TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI HỘP ĐÁY LÀ HÌNH BÌNH HÀNH VABCD.MNPQ VABCD A ' B 'C ' D '  abcd ac bd   2 Trong đó: a AM BN CP DQ a  c  b  d ;b ;c ;d AA ' CC ' CC ' DD ' Truy cập trang https://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! II MỘT SỐ CƠNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH CÁC HÌNH THƯỜNG GẶP Tam giác vng +) Diện tích tam giác vng tích hai cạnh ) S  AB AC góc vuông ) AM  BC 2 Tam giác +) Diện tích tam giác Sdeu +) Đường cao tam giác h   canh   ) S  ) AM   canh  a2 a 3 Hình vng +) Diện tích hình vng S   canh  +) Độ dài đường chéo hình vng  canh  ) S  a ) AC  a Hình chữ nhật +) Diện tích hình chữ nhật S  dai.rong ) S  AB AD  ab Hình thang +) Diện tích S  day lon  day be chieu cao ) S  AB  CD AH Hình bình hành S = đáy Cao  AB AB.sin BAD Hình thoi S  AB AD sin BAD  S  2Sdeu canh  AC.BD 2a a  có góc 600 1200 Tứ giác có đường chéo vng góc AC.BD Lục giác S Truy cập trang https://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! 6a 3a  10 Nửa lục giác hay hình thang cân đặc biệt S  6Sdeu canh a  3a III CÁC CƠNG THỨC HÌNH PHẲNG S  3Sdeu canh a  Hệ thức lượng tam giác a) Cho ABC vuông A, đường cao AH  AB  AC  BC  AB  BH BC ; AC  CH BC  AH BC  AB AC 1  AH  BH HC;   2 AH AB AC  AB  BC.sin C  BC.cos B  AC.tan C  AC.cot B b) Cho ABC có độ dài ba cạnh a, b, c ; độ dài đường trung tuyến ma ; mb ; mc ; bán kính đường trịn ngoại tiếp R, bán kính đường tịn nội tiếp r, nửa chu vi tam giác p + Định lí hàm số cos: a  b  c  2bc.cos A b  a  c  2ac.cos B c  a  b  2ab.cos C + Định lí hàm số sin: a b c    2R sin A sin B sin C + Độ dài trung tuyến: b2  c a c  a b2 a  b2 c 2 m   ; mb   ; mc   4 a Cơng thức tính diện tích a) Tam giác Truy cập trang https://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! 1 a.ha  b.hb  c.hc 2 1  S  bc.sin A  ca.sin B  ab.sin C 2 abc S ; S  pr 4R S p  p  a  p  b  p  c  + Công thức He-rong: S  + ABC vuông A : S  AB AC BC AH  2 + ABC cạnh a: AH  a a2 ;S V CÔNG THỨC KHỐI ĐA DIỆN Khối đa diện: loại n; p có Đ đỉnh, C cạnh, M mặt n.M  p.D  2.C Khối đa diện Khối tứ diện Số đỉnh Số cạnh Số mặt Kí hiệu 3;3 Khối lập phương 12 Khối bát diện 12 4;3 3; 4 Khối thập nhị diện (12 mặt) 20 30 12 5;3 Khối nhị thập diện (20 mặt) 12 30 20 3;5 Thể tích V a 12 V  a3 a 15  V a 15  5 V a 12 V V CÁC MƠ HÌNH THƯỜNG GẶP HÌNH 1: Hình chóp S.ABC, SA vng góc với đáy +) Đáy tam giác ABC +) Đường cao SA +) Cạnh bên SB, SC , SA +) SAB, SAC tam giác vng A +) Góc cạnh SB với đáy ABC góc SBA +) Góc cạnh SC với đáy ABC góc SCA HÌNH 2: Hình chóp tam giác S.ABC +) Đáy tam giác ABC Truy cập trang https://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! +) Đường cao SG, với G trọng tâm tam giác ABC +) Cạnh bên SA, SB, SC hợp với đáy góc +) Góc cạnh bên với đáy SAG (hoặc SCG, SBG) +) Mặt bên SAB, SBC , SCA hợp với đáy góc +) Góc mặt bên với đáy góc SMG HÌNH 3: Hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình chữ nhật (hoặc hình vng) SA vng góc với đáy +) Đáy hình chữ nhật (hình vuông) ABCD +) Đường cao SA +) Cạnh bên SB, SC , SD, SA +) SAB, SAC, SAD tam giác vng A +) Góc cạnh SB với đáy ABC góc SBA +) Góc cạnh SC với đáy ABC góc SCA +) Góc cạnh SD với đáy ABC góc SDA HÌNH 4: Hình chóp tứ giác S.ABCD +) Đáy hình vuông ABCD +) Đường cao SO, với O giao điểm AC BD +) Cạnh bên SA, SB, SC, SD hợp với đáy góc +) Góc cạnh bên với đáy SBO (hoặc SAO, SCO, SDO) +) Mặt bên SAB, SBC, SCA, SAD hợp với đáy góc +) Góc mặt bên với đáy góc SMO HÌNH 5: Hình chóp S.ABC (hoặc S.ABCD) có mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Truy cập trang https://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! +) Đáy tam giác ABC (hoặc ABCD ) +) Đường cao SH , với H trung điểm AB B BÀI TẬP ÁP DỤNG CÁC CƠNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH KHỐI CHĨP Cho hình chóp S ABC có cạnh đáy a, cạnh bên b Khi đó: VS ABC  a 3b2  a 12 Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABC có cạnh đáy a, cạnh bên a Thể tích khối chóp là: a3 C a3 B a3 A a3 D Giải: Ta có: VS ABC   a2 a   a2 12  a3 Chọn đáp án B Ví dụ 2: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh bên a Thể tích khối chóp S ABC là: A a3 24 B a3 12 C a3 24 D a3 12 Giải: S ABC tứ diện cạnh a ta có VS ABC  a3 12 Chọn đáp án A Cho hình chóp S ABC có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy  Khi đó: VS ABC  a3 tan  12 Truy cập trang https://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! Ví dụ 3: Cho hình chóp S ABC có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy 600 Thể tích khối chóp là: A a3 B a3 12 C a3 12 D a3 12 Giải: Ta có: VS ABC  a3 a3 tan 600  12 12 Chọn đáp án C Ví dụ 4: Cho hình chóp S ABC có cạnh đáy 2a, góc cạnh bên mặt đáy 300 Thể tích khối chóp S ABC là: a3 B 24 a3 A 48 a3 C 36 2a 3 D Giải: Ta có: VS ABC  2a   tan 300 2a 3  12 Chọn đáp án D Cho hình chóp S ABC có cạnh đáy a, góc mặt bên mặt đáy  Khi đó: VS ABC  a3 tan  24 Truy cập trang https://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! Ví dụ 5: Cho hình chóp S ABC có cạnh đáy 2a, góc mặt bên mặt đáy 600 Thể tích khối chóp là: a3 C 12 a3 B a3 A a3 D 12 Giải: VS ABC  2a   24 tan 600  a3 3 Chọn đáp án A Ví dụ 6: Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a, mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc 450 Thể tích khối chóp S ABC là: a3 B 24 a3 A 48 a3 C 24 a3 D 12 Giải: VS ABC a3 tan 450 a3   24 24 Chọn đáp án B Cho hình chóp S ABC có cạnh bên b, góc cạnh bên mặt đáy  Khi đó: VS ABC  3b3 sin  cos  Ví dụ 7: Cho hình chóp S ABC có cạnh bên a, góc cạnh bên mặt đáy 600 Thể tích khối chóp là: 3a3 A 3a3 C 24 3a3 B 16 3a3 D 32 Giải: 10 Truy cập trang https://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! 3a 3a sin 600.cos 600  32 VS ABC  Chọn đáp án D Ví dụ 8: Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh bên cạnh bên tạo với mặt đáy góc 300 Thể tích khối chóp S ABC là: A 3 B 24 C 3 D Giải: 3b3 sin  cos  3.23.sin 300.cos 300 3   4 VS ABC  Chọn đáp án A Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên b Khi đó: VS ABCD  a 4b2  2a Ví dụ 9: Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên a Thể tích khối chóp là: a3 C a3 B a3 A a3 D Giải: VS ABCD   a2 a   2a  a3 2 Chọn đáp án B Ví dụ 10: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA  SB  SC  SD  a Thể tích khối chóp S ABCD là: A a3 6 11 B a3 2 C a3 D a3 Truy cập trang https://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! Giải: VS ABCD a 4b2  2a a 4a  a a3    6 Chọn đáp án C Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy  Khi đó: VS ABCD  a3 tan  Ví dụ 11: Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy 600 Thể tích khối chóp là: A a3 6 B a3 C a3 D a3 Giải: VS ABCD  a3 a3 tan 600  6 Chọn đáp án A Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy a, góc mặt bên mặt đáy  Khi đó: VS ABCD  a3 tan  Ví dụ 12: Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy a 2, góc mặt bên mặt đáy 450 Thể tích khối chóp là: 12 Truy cập trang https://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! a3 C a3 B a3 A a3 D Giải:  a  tan 45  VS ABCD  a3 Chọn đáp án C Ví dụ 13: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a , góc tạo mặt bên mặt phẳng đáy 450 Thể tích khối chóp S ABCD là: A a3 12 B a3 C a3 D a3 Giải: VS ABCD  a3 tan  a3 tan 450 a3   6 Chọn đáp án D Cho hình chóp S ABCD có cạnh bên b, góc mặt bên mặt đáy  4a tan  Khi đó: VS ABCD    tan   Ví dụ 14: Cho hình chóp S ABCD có cạnh bên a 3, góc mặt bên mặt đáy 450 Thể tích khối chóp là: A a3 B 2a 3 C a3 D 4a 3 Giải: 13 Truy cập trang https://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! VS ABCD    a tan 450   tan 450  4a  Chọn đáp án D Ví dụ 15: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh bên 1, góc tạo mặt bên mặt đáy 450 Thể tích khối chóp S ABCD là: A B 27 C D 27 Giải: 4b3 tan  VS ABCD    tan   413.tan 450    tan  45  27 Chọn đáp án B    Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy a, góc đáy mặt bên  với    ;  4 2 Khi đó: VS ABCD  a3 tan   Ví dụ 16: Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy a, SAB  600 Thể tích khối chóp là: A a3 B a3 C a3 D a3 Giải: VS ABCD a3 tan 600  a3   6 Chọn đáp án C 14 Truy cập trang https://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! 10 Cho hình chóp S ABC có ba mặt phẳng  SAB  ,  SAC  ,  SBC  đơi vng góc diện tích tam giác SAB, SBC , SAC S1 , S2 , S3 Khi đó: VS ABC  2S1.S2 S3 Ví dụ 17: Cho hình chóp S ABC có ba mặt phẳng  SAB  ,  SAC  ,  SBC  đôi vng góc diện tích tam giác SAB, SBC, SAC 15cm2 , 20cm2 , 12cm2 Thể tích khối chóp là: B 20 A 20 C 20 3 20 D Giải: VS ABC  2.15.20.12  20 Chọn đáp án A Ví dụ 18: Cho hình chóp S ABC với mặt phẳng  SAB  ,  SBC  ,  SAC  vng góc với đơi một, diện tích tam giác SAB, SBC, SAC 15cm2 , 20cm2 , 18cm2 Thể tích khối chóp là: A 20 B 20 3 C 20 D 10 3 Giải: VS ABC  2S1.S2 S3 2.15.20.18   20 3 Chọn đáp án A 11 Cho hình chóp S ABC có SA, SB, SC đơi vng góc Biết SA  a, SB  b, SC  c Khi đó: VS ABC  abc 15 Truy cập trang https://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! Ví dụ 19: Cho hình chóp S ABC có SA, SB, SC đơi vng góc Biết SA  5, SB  4, SC  Thể tích khối chóp là: C 30 B 10 A 20 D 60 Giải: VS ABC  5.4.3  10 Chọn đáp án B 12 Cho hình chóp S ABC có SA, SB, SC đơi vng góc Biết AB  a, BC  b, CA  c Khi đó: VS ABC  12 a  b2  c  a  c  b2  b2  c  a  Ví dụ 20: Cho hình chóp S ABC có SA, SB, SC đơi vng góc Biết AB  5; BC  13; AC  10 Thể tích khối chóp là: A C B D 10 Giải: VS ABC  12   10  13  13  10 10  13  5  Chọn đáp án B 16 Truy cập trang https://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! 13 Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a Gọi  P  mặt phẳng qua A song song với BC vng góc với  SBC  , góc  P  với mặt phẳng đáy  Khi đó: V  a3 cot  24 Ví dụ 21: Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a Gọi  P  mặt phẳng qua A song song với BC vng góc với  SBC  , góc  P  với mặt phẳng đáy 300 Thể tích khối chóp S ABC là: A a3 24 B a3 C a3 D 3a3 Giải: Ta có: VS ABC  a3 cot  a3 cot 300 a3   24 24 24 Chọn đáp án A Một số cơng thức tính nhanh khác 14 Cho khối tám mặt cạnh a Nối tâm mặt bên ta khối lập phương Khi đó: V  2a 27 Ví dụ 22: Khối tám mặt có đỉnh tâm mặt hình lập phương cạnh a tích là: 17 Truy cập trang https://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! A a3 12 B a3 C a3 D a3 Giải: Ta có: V  a3 Chọn đáp án C 15 Cho khối tám mặt cạnh a Nối tâm mặt bên ta khối lập phương Khi đó: V  2a 27 Ví dụ 23: Cho khối tám mặt cạnh a Nối tâm mặt bên ta khối lập phương tích a3 V Tỉ số gần giá trị giá trị sau? V A 9, C 15,6 B 7,8 D 22, Giải: Ta có: V  2a a3 a3 27     9,5 27 V 2a 2 27 Chọn đáp án A HẾT Thanks for watching! 18 Truy cập trang https://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! ... Công thức He-rong: S  + ABC vuông A : S  AB AC BC AH  2 + ABC cạnh a: AH  a a2 ;S V CÔNG THỨC KHỐI ĐA DIỆN Khối đa diện: loại n; p có Đ đỉnh, C cạnh, M mặt n.M  p.D  2.C Khối đa diện. .. diện Khối tứ diện Số đỉnh Số cạnh Số mặt Kí hiệu 3;3 Khối lập phương 12 Khối bát diện 12 4;3 3; 4 Khối thập nhị diện (12 mặt) 20 30 12 5;3 Khối nhị thập diện (20 mặt) 12 30 20 3;5 Thể tích. .. chiều cao cạnh bên Lăng trụ đa giác lăng trụ đứng có đáy đa giác Thể tích khối chữ nhật: thể tích ba kích thước Gọi a, b, c ba kích thước tương ứng Suy ra: V  abc Thể tích khối lập phương: độ dài